Este documento describe un método para calcular la integral de una función racional mediante la descomposición de la función en fracciones parciales. Explica cómo descomponer funciones racionales en sumas de fracciones simples que pueden integrarse usando técnicas conocidas. Además, muestra ejemplos detallados del cálculo de varias integrales de funciones racionales.
Ejercicios resueltos 2011 series de fourierFENIXMSN
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre series de Fourier. El primer ejercicio desarrolla en serie de Fourier la función periódica f(x)=0 si x<0 y f(x)=x si 0≤x≤2, obteniendo los coeficientes de Fourier y estudiando la convergencia. Luego, obtiene la suma de la serie 1/n2. Los ejercicios subsiguientes resuelven problemas similares para diferentes funciones periódicas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en n dimensiones como definición, igualdad, operaciones, magnitud, vectores unitarios, vectores ortogonales, vectores ortonormales y combinación lineal. Explica cómo definir vectores en IRn, realizar operaciones como suma y multiplicación por escalares, calcular la magnitud de un vector, y determinar si vectores son ortogonales o ortonormales. También describe cómo expresar un vector como combinación lineal de otros vectores dados.
El documento explica cómo usar el método de iteración del punto fijo para resolver una ecuación. Primero, se expresa la ecuación como x = g(x) para aplicar el método. Luego, se demuestra que la función g(x) cumple las condiciones necesarias para garantizar la convergencia del método. Finalmente, se realizan 6 iteraciones que producen una aproximación de la solución con un error menor a 10-4.
Este documento presenta un modelo matemático de programación lineal para maximizar las utilidades de una empresa de zapatos al determinar la cantidad óptima de cada modelo de zapato a fabricar mensualmente. El modelo incluye una función objetivo para maximizar las utilidades y tres restricciones: 1) horas de producción disponibles, 2) efectivo disponible para cubrir costos variables, y 3) demanda mínima de cada modelo. El modelo determina las cantidades óptimas de los tres modelos de zapatos a producir para cumplir con las restricciones y maximizar las utilidades total
Este documento presenta un tutorial sobre el uso de MATLAB para aplicaciones numéricas. Introduce conceptos básicos como variables, vectores, matrices, funciones, polinomios y representación gráfica. Explica cómo crear y manipular este tipo de objetos matemáticos en MATLAB así como realizar cálculos y visualizaciones numéricas. El tutorial contiene numerosos ejemplos paso a paso para ilustrar el uso de las principales funciones y comandos de MATLAB.
1. A complex number λ is an eigenvalue of a matrix A if there exists a non-zero vector x such that Ax = λx.
2. If a matrix has complex eigenvalues, it provides important information about the matrix, such as in problems involving vibrations and rotations in space.
3. For a complex eigenvalue λ = a + bi, a is called the real part and b is called the imaginary part. The absolute value |λ| represents the "length" or magnitude of the eigenvalue.
Este documento presenta los pasos para resolver un problema de programación lineal minimizando la función objetivo Z = 3X1 + 2X2 sujeto a varias restricciones sobre X1 y X2. El problema se resuelve aplicando el método simplex para hallar la tabla óptima final con las soluciones X1 = 3/5, X2 = 6/5 y Z = 21/5.
Ejercicios resueltos 2011 series de fourierFENIXMSN
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre series de Fourier. El primer ejercicio desarrolla en serie de Fourier la función periódica f(x)=0 si x<0 y f(x)=x si 0≤x≤2, obteniendo los coeficientes de Fourier y estudiando la convergencia. Luego, obtiene la suma de la serie 1/n2. Los ejercicios subsiguientes resuelven problemas similares para diferentes funciones periódicas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en n dimensiones como definición, igualdad, operaciones, magnitud, vectores unitarios, vectores ortogonales, vectores ortonormales y combinación lineal. Explica cómo definir vectores en IRn, realizar operaciones como suma y multiplicación por escalares, calcular la magnitud de un vector, y determinar si vectores son ortogonales o ortonormales. También describe cómo expresar un vector como combinación lineal de otros vectores dados.
El documento explica cómo usar el método de iteración del punto fijo para resolver una ecuación. Primero, se expresa la ecuación como x = g(x) para aplicar el método. Luego, se demuestra que la función g(x) cumple las condiciones necesarias para garantizar la convergencia del método. Finalmente, se realizan 6 iteraciones que producen una aproximación de la solución con un error menor a 10-4.
Este documento presenta un modelo matemático de programación lineal para maximizar las utilidades de una empresa de zapatos al determinar la cantidad óptima de cada modelo de zapato a fabricar mensualmente. El modelo incluye una función objetivo para maximizar las utilidades y tres restricciones: 1) horas de producción disponibles, 2) efectivo disponible para cubrir costos variables, y 3) demanda mínima de cada modelo. El modelo determina las cantidades óptimas de los tres modelos de zapatos a producir para cumplir con las restricciones y maximizar las utilidades total
Este documento presenta un tutorial sobre el uso de MATLAB para aplicaciones numéricas. Introduce conceptos básicos como variables, vectores, matrices, funciones, polinomios y representación gráfica. Explica cómo crear y manipular este tipo de objetos matemáticos en MATLAB así como realizar cálculos y visualizaciones numéricas. El tutorial contiene numerosos ejemplos paso a paso para ilustrar el uso de las principales funciones y comandos de MATLAB.
1. A complex number λ is an eigenvalue of a matrix A if there exists a non-zero vector x such that Ax = λx.
2. If a matrix has complex eigenvalues, it provides important information about the matrix, such as in problems involving vibrations and rotations in space.
3. For a complex eigenvalue λ = a + bi, a is called the real part and b is called the imaginary part. The absolute value |λ| represents the "length" or magnitude of the eigenvalue.
Este documento presenta los pasos para resolver un problema de programación lineal minimizando la función objetivo Z = 3X1 + 2X2 sujeto a varias restricciones sobre X1 y X2. El problema se resuelve aplicando el método simplex para hallar la tabla óptima final con las soluciones X1 = 3/5, X2 = 6/5 y Z = 21/5.
This document contains information about derivatives, integrals, and trigonometric identities. It lists rules for derivation and integration along with the derivatives of common functions like exponentials, logarithms, trigonometric functions, and their inverses. It also provides formulas for integrals of rational, logarithmic, irrational and trigonometric functions. Finally, it lists 15 trigonometric identities.
Este documento describe varios métodos para optimización sin restricciones, incluyendo la minimización o maximización de funciones de una o más variables. Explica conceptos como funciones cóncavas, convexas, cuasicóncavas y cuasiconvexas, y presenta métodos de búsqueda lineal como la búsqueda uniforme, dicotómica y de la relación áurea. También cubre búsqueda multidimensional usando derivadas y matrices definidas y semidefinidas.
Este documento explica el problema dual y el método simplex dual para resolver problemas de programación lineal. 1) El problema dual asocia un problema de minimización a un problema de maximización primal, intercambiando restricciones y variables. 2) El método simplex dual se aplica a problemas con restricciones >= o una combinación de >= y <=. 3) Siguiendo pasos como añadir variables holgura, identificar la variable básica con valor negativo más alto, e intercambiar variables, el método simplex dual resuelve el problema dual asociado.
Este documento trata sobre las funciones exponenciales y logarítmicas. Introduce la función exponencial y sus propiedades gráficas, así como ejemplos y ejercicios de su representación. Luego define la función logarítmica, analiza sus propiedades y gráficas, y presenta ejemplos y ejercicios sobre esta función. Finalmente, explica las propiedades de los logaritmos y resuelve ejercicios aplicando dichas propiedades.
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
Resolução de sistemas de inequações lineares com uma variavelJeremias Manhica
O documento descreve como resolver sistemas de inequações lineares com uma variável em 3 etapas: (1) resolver cada inequação separadamente, (2) representar as soluções de cada inequação no mesmo eixo real, (3) a solução do sistema é a parte comum às soluções das inequações no eixo real, representada por intervalos. Dois exemplos ilustram sistemas cujas soluções são x ∈ ]1; 2] e x∈ [−5; 24/7[.
1. El documento habla sobre programación convexa, una rama de la programación matemática que trabaja con la teoría y métodos de minimización de funciones convexas sobre conjuntos convexos.
2. Se define un conjunto convexo como uno que no tiene indentaciones y una función convexa como aquella cuya gráfica se encuentra por debajo o sobre la cuerda que une cualquier dos puntos de su dominio.
3. Los problemas de optimización con funciones objetivo convexas y restricciones afines pueden formularse como problemas de programación convexa, los cuales incl
Este documento presenta ejemplos de cómo calcular funciones compuestas (f o g)(x) y sus dominios. Explica que para calcular el dominio de una función compuesta, primero se debe encontrar el dominio de la función interna g(x) y luego intersectarlo con el dominio de la función externa f(x). Además, proporciona dos ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular funciones compuestas y sus dominios. Finalmente, propone un ejercicio para que el lector practique estos conceptos.
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Define sistemas de ecuaciones lineales, conjunto solución, y tipos de sistemas (consistentes con solución única, consistentes con infinitas soluciones, inconsistentes). Explica el método de Gauss para determinar el conjunto solución, reduciendo la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada.
Resolución de sistema de ecuaciones cuadráticasTamara Vargas
El documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas de dos tipos: 1) uno formado por una ecuación lineal y una cuadrática, y 2) uno formado por dos ecuaciones cuadráticas. Para el primer tipo, la solución depende de si las ecuaciones se intersectan en un punto, dos puntos o no se intersectan. Para el segundo tipo, la solución también depende de la intersección y puede haber infinitas soluciones si las ecuaciones son iguales. El documento provee ejemplos resueltos de ambos tipos
The document summarizes key concepts about limits from calculus including:
1) Limits are foundational to calculus and describe the behavior of a function as its input gets closer to a target value.
2) One-sided limits describe the behavior of a function as its input approaches the target value from the left or right. For a limit to exist, the one-sided limits must be equal.
3) A limit may not exist if the one-sided limits are not equal, if the function becomes arbitrarily large (approaches positive or negative infinity) as the input approaches the target value, or if the function oscillates without settling on a value.
Este documento describe métodos de aproximación de funciones mediante polinomios. Explica cómo construir un polinomio de interpolación utilizando diferencias finitas o diferencias divididas para aproximar una función tabulada en puntos discretos. También cubre conceptos como el error de interpolación y cómo estimar valores funcionales para argumentos arbitrarios utilizando el polinomio interpolante.
Exercícios Resolvidos: Aplicação da integralDiego Oliveira
O documento apresenta 7 exemplos resolvidos de exercícios envolvendo cálculos com a integral. O primeiro exemplo calcula as equações de movimento de uma pedra em queda livre. O segundo exemplo calcula o tempo para uma maleta cair de uma altitude inicial. O terceiro exemplo calcula a velocidade inicial de uma pedra atirada para baixo.
Este documento introduce el concepto de variable aleatoria. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores numéricos a los sucesos elementales de un espacio de probabilidad de tal forma que para cada valor real x, el suceso {ω: X(ω) ≤ x} pertenece a la σ-álgebra. Explica que la función de distribución de una variable aleatoria X es la probabilidad de que X sea menor o igual que x. Proporciona ejemplos de variables aleatorias como el número de caras en el lanzamiento de una moneda o la suma de los puntos en
The document discusses linear systems of equations and their solutions. It begins by defining key terms like echelon form, reduced row echelon form, and the rank of a matrix. It then explains how to use Cramer's rule and Gaussian elimination to determine if a system has a unique solution, infinite solutions, or no solution. Specifically, it shows that if the determinant of the coefficient matrix is non-zero and none of the Di values are zero, then the system has a unique solution according to Cramer's rule. It also provides examples of solving homogeneous and non-homogeneous systems.
1. El documento describe funciones vectoriales de una variable real, incluyendo su definición, dominio y ejemplos. También describe curvas paramétricas y operaciones con funciones vectoriales como suma, producto punto y producto vectorial. 2. Se proporcionan ejemplos de funciones vectoriales, trazando sus imágenes geométricas y representando curvas dadas mediante funciones vectoriales. 3. Se explica el cálculo de límites para funciones vectoriales.
El documento introduce el método de los multiplicadores de Lagrange para optimizar funciones sujetas a restricciones. Este método proporciona una condición necesaria para que los puntos de una función f(x1,x2,...,xn) sometida a restricciones g1(x1,x2,...,xn)=0,...,gm(x1,...,xn)=0 sean extremos. Se presenta un teorema y un ejemplo para ilustrar cómo aplicar el método para encontrar los puntos críticos de una función con una restricción.
El documento describe el método del punto fijo para resolver ecuaciones no lineales. Este método involucra reescribir la ecuación original en la forma x=g(x) y luego generar una sucesión iterativa xi+1=g(xi) que converge a la raíz. Se presenta la existencia y convergencia del método, así como un algoritmo y ejemplos para ilustrar el cálculo numérico de raíces.
Ejercicio resuelto: Integral por fracciones parcialeshkviktor (HKV)
El documento presenta la solución para calcular la primitiva de la integral S1e2x+4ex+9dx. Primero se transforma la integral aplicando propiedades de potencias. Luego se realiza una sustitución para exponenciales. Finalmente, se aplican fracciones parciales para descomponer la integral en dos integrales más simples de calcular.
Este documento presenta un resumen sobre proposiciones compuestas. Explica que las proposiciones compuestas contienen partículas gramaticales como "no", "o", "y", "si...entonces", y "si y solo si". Define los conectivos lógicos de conjunción, disyunción, condicional, y bicondicional y muestra sus tablas de verdad. Finalmente, incluye una bibliografía.
This document contains information about derivatives, integrals, and trigonometric identities. It lists rules for derivation and integration along with the derivatives of common functions like exponentials, logarithms, trigonometric functions, and their inverses. It also provides formulas for integrals of rational, logarithmic, irrational and trigonometric functions. Finally, it lists 15 trigonometric identities.
Este documento describe varios métodos para optimización sin restricciones, incluyendo la minimización o maximización de funciones de una o más variables. Explica conceptos como funciones cóncavas, convexas, cuasicóncavas y cuasiconvexas, y presenta métodos de búsqueda lineal como la búsqueda uniforme, dicotómica y de la relación áurea. También cubre búsqueda multidimensional usando derivadas y matrices definidas y semidefinidas.
Este documento explica el problema dual y el método simplex dual para resolver problemas de programación lineal. 1) El problema dual asocia un problema de minimización a un problema de maximización primal, intercambiando restricciones y variables. 2) El método simplex dual se aplica a problemas con restricciones >= o una combinación de >= y <=. 3) Siguiendo pasos como añadir variables holgura, identificar la variable básica con valor negativo más alto, e intercambiar variables, el método simplex dual resuelve el problema dual asociado.
Este documento trata sobre las funciones exponenciales y logarítmicas. Introduce la función exponencial y sus propiedades gráficas, así como ejemplos y ejercicios de su representación. Luego define la función logarítmica, analiza sus propiedades y gráficas, y presenta ejemplos y ejercicios sobre esta función. Finalmente, explica las propiedades de los logaritmos y resuelve ejercicios aplicando dichas propiedades.
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
Resolução de sistemas de inequações lineares com uma variavelJeremias Manhica
O documento descreve como resolver sistemas de inequações lineares com uma variável em 3 etapas: (1) resolver cada inequação separadamente, (2) representar as soluções de cada inequação no mesmo eixo real, (3) a solução do sistema é a parte comum às soluções das inequações no eixo real, representada por intervalos. Dois exemplos ilustram sistemas cujas soluções são x ∈ ]1; 2] e x∈ [−5; 24/7[.
1. El documento habla sobre programación convexa, una rama de la programación matemática que trabaja con la teoría y métodos de minimización de funciones convexas sobre conjuntos convexos.
2. Se define un conjunto convexo como uno que no tiene indentaciones y una función convexa como aquella cuya gráfica se encuentra por debajo o sobre la cuerda que une cualquier dos puntos de su dominio.
3. Los problemas de optimización con funciones objetivo convexas y restricciones afines pueden formularse como problemas de programación convexa, los cuales incl
Este documento presenta ejemplos de cómo calcular funciones compuestas (f o g)(x) y sus dominios. Explica que para calcular el dominio de una función compuesta, primero se debe encontrar el dominio de la función interna g(x) y luego intersectarlo con el dominio de la función externa f(x). Además, proporciona dos ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular funciones compuestas y sus dominios. Finalmente, propone un ejercicio para que el lector practique estos conceptos.
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Define sistemas de ecuaciones lineales, conjunto solución, y tipos de sistemas (consistentes con solución única, consistentes con infinitas soluciones, inconsistentes). Explica el método de Gauss para determinar el conjunto solución, reduciendo la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada.
Resolución de sistema de ecuaciones cuadráticasTamara Vargas
El documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas de dos tipos: 1) uno formado por una ecuación lineal y una cuadrática, y 2) uno formado por dos ecuaciones cuadráticas. Para el primer tipo, la solución depende de si las ecuaciones se intersectan en un punto, dos puntos o no se intersectan. Para el segundo tipo, la solución también depende de la intersección y puede haber infinitas soluciones si las ecuaciones son iguales. El documento provee ejemplos resueltos de ambos tipos
The document summarizes key concepts about limits from calculus including:
1) Limits are foundational to calculus and describe the behavior of a function as its input gets closer to a target value.
2) One-sided limits describe the behavior of a function as its input approaches the target value from the left or right. For a limit to exist, the one-sided limits must be equal.
3) A limit may not exist if the one-sided limits are not equal, if the function becomes arbitrarily large (approaches positive or negative infinity) as the input approaches the target value, or if the function oscillates without settling on a value.
Este documento describe métodos de aproximación de funciones mediante polinomios. Explica cómo construir un polinomio de interpolación utilizando diferencias finitas o diferencias divididas para aproximar una función tabulada en puntos discretos. También cubre conceptos como el error de interpolación y cómo estimar valores funcionales para argumentos arbitrarios utilizando el polinomio interpolante.
Exercícios Resolvidos: Aplicação da integralDiego Oliveira
O documento apresenta 7 exemplos resolvidos de exercícios envolvendo cálculos com a integral. O primeiro exemplo calcula as equações de movimento de uma pedra em queda livre. O segundo exemplo calcula o tempo para uma maleta cair de uma altitude inicial. O terceiro exemplo calcula a velocidade inicial de uma pedra atirada para baixo.
Este documento introduce el concepto de variable aleatoria. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores numéricos a los sucesos elementales de un espacio de probabilidad de tal forma que para cada valor real x, el suceso {ω: X(ω) ≤ x} pertenece a la σ-álgebra. Explica que la función de distribución de una variable aleatoria X es la probabilidad de que X sea menor o igual que x. Proporciona ejemplos de variables aleatorias como el número de caras en el lanzamiento de una moneda o la suma de los puntos en
The document discusses linear systems of equations and their solutions. It begins by defining key terms like echelon form, reduced row echelon form, and the rank of a matrix. It then explains how to use Cramer's rule and Gaussian elimination to determine if a system has a unique solution, infinite solutions, or no solution. Specifically, it shows that if the determinant of the coefficient matrix is non-zero and none of the Di values are zero, then the system has a unique solution according to Cramer's rule. It also provides examples of solving homogeneous and non-homogeneous systems.
1. El documento describe funciones vectoriales de una variable real, incluyendo su definición, dominio y ejemplos. También describe curvas paramétricas y operaciones con funciones vectoriales como suma, producto punto y producto vectorial. 2. Se proporcionan ejemplos de funciones vectoriales, trazando sus imágenes geométricas y representando curvas dadas mediante funciones vectoriales. 3. Se explica el cálculo de límites para funciones vectoriales.
El documento introduce el método de los multiplicadores de Lagrange para optimizar funciones sujetas a restricciones. Este método proporciona una condición necesaria para que los puntos de una función f(x1,x2,...,xn) sometida a restricciones g1(x1,x2,...,xn)=0,...,gm(x1,...,xn)=0 sean extremos. Se presenta un teorema y un ejemplo para ilustrar cómo aplicar el método para encontrar los puntos críticos de una función con una restricción.
El documento describe el método del punto fijo para resolver ecuaciones no lineales. Este método involucra reescribir la ecuación original en la forma x=g(x) y luego generar una sucesión iterativa xi+1=g(xi) que converge a la raíz. Se presenta la existencia y convergencia del método, así como un algoritmo y ejemplos para ilustrar el cálculo numérico de raíces.
Ejercicio resuelto: Integral por fracciones parcialeshkviktor (HKV)
El documento presenta la solución para calcular la primitiva de la integral S1e2x+4ex+9dx. Primero se transforma la integral aplicando propiedades de potencias. Luego se realiza una sustitución para exponenciales. Finalmente, se aplican fracciones parciales para descomponer la integral en dos integrales más simples de calcular.
Este documento presenta un resumen sobre proposiciones compuestas. Explica que las proposiciones compuestas contienen partículas gramaticales como "no", "o", "y", "si...entonces", y "si y solo si". Define los conectivos lógicos de conjunción, disyunción, condicional, y bicondicional y muestra sus tablas de verdad. Finalmente, incluye una bibliografía.
Este documento presenta varios métodos de integración como el cambio de variable, integración por partes, sustitución trigonométrica y fracciones parciales. Explica cada método con ejemplos y cómo reducir integrales desconocidas a integrales conocidas aplicando estas técnicas.
Este documento presenta una guía para aplicar el método de fracciones parciales para integrar expresiones donde el numerador y denominador son polinomios. Explica que existen cuatro casos dependiendo de cómo se factorice el denominador, y provee ejemplos para ilustrar cada caso.
Este documento presenta una introducción a la integral de Riemann. Explica conceptos como la partición de un intervalo, las sumas inferiores y superiores, y la definición formal de la integral de Riemann. También cubre propiedades como el teorema fundamental del cálculo y técnicas de integración como sustitución y por partes. Finalmente, introduce conceptos avanzados como integrales impropias.
Integración mediante fracciones parcialesAbraham Aj
Este documento explica el método de integración mediante fracciones parciales. Divide la función racional en una suma de fracciones simples haciendo coincidir los factores del numerador y denominador. Explica cuatro casos: 1) factores lineales distintos, 2) factores lineales iguales, 3) factores cuadráticos distintos, y 4) factores cuadráticos iguales. En cada caso asigna una forma fraccional y determina las constantes para descomponer la función original.
El método de integración por fracciones parciales permite resolver integrales de funciones racionales que son cocientes de polinomios. Este método algebraico divide la integral en partes más simples que pueden integrarse de forma individual. El documento presenta cuatro casos de este método y dos ejemplos para ilustrarlo.
El documento describe cuatro métodos de integración: sustitución o cambio de variable, por partes, y fracciones parciales. Sustitución consiste en cambiar la variable para reducir la expresión a una forma conocida. El método por partes puede integrar funciones trigonométricas inversas, logarítmicas, polinómicas y exponenciales. Fracciones parciales tiene cuatro casos para integrar diferentes tipos de funciones.
El documento proporciona una introducción a los fundamentos teórico-prácticos para el diseño de instrumentos de medición en ciencias sociales. Explica conceptos clave como variable, niveles de medición, tipos de variables, definiciones conceptuales y operacionales. También describe los procesos de medición, clasificación de variables, indicadores y dimensiones de un concepto que deben considerarse para el diseño de instrumentos.
El documento describe cómo realizar sustituciones trigonométricas en integrales para lograr una integración inmediata. Explica cómo sustituir sen(x) por 2tan(x/2) y realizar un cambio de variable para integrar ln(sen(x)) expresándolo como ln(2tan(x/2)). También recomienda identificar propiedades trigonométricas que permitan realizar sustituciones útiles para calcular integrales.
Este documento presenta el método de integración por sustitución trigonométrica. Explica que se puede usar este método para integrales cuyos integrandos contengan radicandos de la forma u2 - a2, donde u es una función de x. Luego detalla las sustituciones trigonométricas correspondientes a senu, secu y tanu, y resuelve seis ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
Este documento describe el método de integración por fracciones parciales. Explica que este método reduce un cociente de polinomios a fracciones más simples para obtener una integral o transformada de Laplace inversa. Detalla que el grado del polinomio del denominador debe ser mayor que el del numerador y cómo se aplica el método cuando los factores del denominador son lineales distintos o repetidos. Incluye ejemplos resueltos y propuestos.
Este documento presenta un resumen de los temas de funciones cuadráticas, racionales y fracciones parciales de precálculo. Incluye ejemplos de descomposición de fracciones en fracciones parciales cuando el denominador contiene factores lineales distintos con diferencias de grado 1 y 2.
Este documento explica el método de integración por sustitución trigonométrica. Define las razones trigonométricas usando un triángulo rectángulo y muestra cómo reemplazar términos en el integrando con funciones trigonométricas según el triángulo utilizado. Luego resuelve dos ejemplos aplicando los pasos: identificar el triángulo, hacer la sustitución, simplificar y resolver la nueva integral, y volver a la variable original.
1) El documento presenta los objetivos y bibliografía para desarrollar el tema de la integral doble en el curso de Análisis Matemático II. 2) Se define la integral doble y se explican conceptos como partición de regiones y suma de Riemann. 3) Se describen propiedades de la integral doble y métodos para calcularla, incluyendo la reducción a integrales sucesivas para dominios rectangulares.
Este documento explica el concepto de integrales triples. 1) Define una integral triple como el límite de sumas triples de Riemann cuando la partición tiende a cero. 2) Explica que una función debe ser continua y tener discontinuidades confinadas para ser integrable. 3) Enumera propiedades como linealidad y descomposición de regiones. El documento también cubre cálculo de integrales triples mediante iteración y coordenadas cilíndricas.
Este documento trata sobre integrales múltiples. Explica conceptos como áreas de regiones planas y volúmenes de regiones sólidas utilizando integrales dobles e integrales triples en coordenadas rectangulares y polares. Incluye ejemplos para calcular estas áreas y volúmenes mediante el uso de estas integrales.
Este documento presenta información sobre conceptos básicos de medición eléctrica como exactitud, precisión, resolución, sensibilidad y gama. También describe diferentes tipos de instrumentos de medición analógicos como los magnetoeléctricos, electromagnéticos y electrodinámicos. Por último, explica brevemente los voltímetros y su conexión en circuitos eléctricos.
Este documento describe los conceptos básicos del cálculo integral, incluyendo las primitivas, la integral indefinida, las propiedades de la integral indefinida, las integrales inmediatas, la integración por partes, la integración por sustitución y la integración de funciones racionales. Explica cómo calcular primitivas, integrales indefinidas y cómo aplicar diferentes métodos para resolver integrales definidas.
El documento explica el método de integración por partes, que permite calcular integrales de productos descomponiéndolas en la suma de dos integrales. Presenta la fórmula general y resuelve varios ejemplos como x cos(x)dx, x2exdx y arctan(x)dx. También introduce métodos alternativos como la integración tabular y por fracciones parciales para integrales más complejas.
Este documento describe los conceptos básicos de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica que una integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de una función, y que las primitivas se diferencian solo en una constante. También presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, como integrales inmediatas, integración por partes e integración por sustitución.
Este documento trata sobre el concepto de primitiva e integral indefinida. Explica que una función G(x) es primitiva de f(x) si G'(x)=f(x), y que la integral indefinida de f(x) es el conjunto de todas sus primitivas. Además, presenta propiedades de la integral indefinida y diferentes métodos para calcularla, como integrales inmediatas, integración por partes e integración por sustitución.
Este documento presenta la resolución de 10 ejercicios de integración indefinida. Los ejercicios involucran el uso de métodos como la integración por partes, el cambio de variable y la descomposición en fracciones simples para resolver integrales de funciones racionales. Al final se proponen 8 ejercicios adicionales para que el lector los resuelva.
El documento describe cómo integrar funciones racionales mediante la separación en fracciones simples. Primero se divide la función racional en términos que puedan integrarse fácilmente. Luego, cada fracción simple se descompone en términos con denominadores que son factores del polinomio denominador original. Finalmente, cada fracción resultante se integra usando cambios de variable y relaciones entre integrales definidas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas, incluyendo las primitivas de una función, la notación de la integral indefinida, las propiedades de la integral indefinida y las integrales inmediatas. También explica métodos como la integración por partes, la sustitución y la descomposición en fracciones simples para calcular integrales indefinidas.
Este documento describe conceptos básicos sobre primitivas e integrales indefinidas. Explica que una función G(x) es una primitiva de f(x) si G'(x)=f(x). También cubre propiedades de las primitivas como que se diferencian en una constante, y propiedades de la integral indefinida como que puede separarse funciones y constantes. Finalmente, presenta métodos para calcular integrales como integrales inmediatas, integración por partes e integración por sustitución.
I. El documento presenta los conceptos básicos de la integral indefinida y algunas de sus propiedades y métodos de cálculo como las integrales inmediatas, la integración por partes y la integración por sustitución.
II. Se explica que una primitiva de una función f(x) es aquella función G(x) cuya derivada es f(x) y que la integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de f(x) de la forma G(x)+C.
III. Se describen métodos como la descomposición en fracciones
1) Se introduce el concepto de primitiva o antiderivada de una función y la integral indefinida.
2) Se explican propiedades de la integral indefinida y se presentan ejemplos de integrales inmediatas.
3) Se describen métodos para calcular integrales más complejas, como la integración por partes, sustitución o cambio de variable, e integración de funciones racionales.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica cómo calcular integrales inmediatas mediante tablas de derivadas y cómo aplicar técnicas como la integración por partes y el cambio de variable para calcular otras integrales. También introduce la descomposición de funciones racionales en fracciones simples para integrarlas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica cómo calcular integrales inmediatas mediante tablas de derivadas y el uso de la integración por partes, sustitución y descomposición en fracciones simples para integrales más complejas. Proporciona ejemplos detallados de cada método.
1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. 2) Se resuelve probando soluciones de la forma xm y determinando los valores de m. 3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuyas raíces dan los exponentes de la solución general.
2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0Raul Noguera Morillo
Este documento presenta ejemplos para ilustrar conceptos relacionados con ecuaciones y funciones cuadráticas. Introduce las ecuaciones cuadráticas y cómo resolverlas mediante factoreo o la fórmula cuadrática. Luego, define funciones cuadráticas y muestra su representación gráfica como parábolas, analizando propiedades como dominio, rango, ceros y extremos. Finalmente, analiza un ejemplo de una función cuadrática que modela la concentración de dióxido de carbono a lo largo del día.
(1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. (2) El método general para resolverla implica probar soluciones de la forma xm y determinar los valores de m. (3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuya resolución proporciona los posibles valores de m y las soluciones asociadas.
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
Este documento presenta la resolución de cuatro problemas de cálculo de integrales mediante diferentes métodos como sustitución, fracciones parciales, integración por partes y sustitución trigonométrica. En el primer problema se resuelven dos integrales usando sustitución. El segundo problema determina soluciones aplicando integración por partes. El tercer problema resuelve integrales mediante fracciones parciales. Finalmente, el cuarto problema aplica sustitución trigonométrica.
Problemas resueltos integrales dobles y triplesortari2014
Este documento presenta 30 problemas resueltos y 30 problemas propuestos sobre integración múltiple. La primera parte explica métodos y soluciones de problemas tipo sobre este tema, mientras que la segunda parte incluye problemas para que el lector pruebe sus conocimientos y algunas soluciones. El documento está dirigido a estudiantes de cálculo en varias variables pero puede ser útil para cualquier persona interesada en el tema.
TIA portal Bloques PLC Siemens______.pdfArmandoSarco
Bloques con Tia Portal, El sistema de automatización proporciona distintos tipos de bloques donde se guardarán tanto el programa como los datos
correspondientes. Dependiendo de la exigencia del proceso el programa estará estructurado en diferentes bloques.
1. Integraci´on por fracciones
parciales
El cociente de dos polinomios se denomina funci´on racional. La deri-
vaci´on de una funci´on racional conduce a una nueva funci´on racional que
puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte,
la integraci´on de una funci´on racional puede conducirnos a funciones que no
son racionales1 por ejemplo:
dx
x
= ln |x| + C y
dx
1 + x2
= arctan (x) + C
ahora daremos un m´etodo para calcular la integral de una funci´on racional
cualquiera y se ver´a que el resultado puede expresarse siempre por medio de
polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos.
La idea del m´etodo es descomponer la funci´on racional en fracciones
simples que pueden calcularse por medio de t´ecnicas ya conocidas (de de-
be realizar la descomposici´on en fracciones parciales de la funci´on racional
considerada).
Supongamos entonces que f(x)
g(x) es una funci´on racional, si es impropia
podemos simplemente dividir y nos queda
f (x)
g (x)
= Q (x) +
R (x)
g (x)
donde Q es un polinomio (el cociente de la divisi´on) y R (x) es el resto de
la divisi´on (note que el grado del resto es menor que el del divisor g (x)),
de esta forma toda funci´on racional se puede escribir como la suma de un
polinomio con una funci´on racional propia.
1
¿C´omo puede mostrarse que determinada funci´on no es racional?
1
2. Nelson Cifuentes F.
Del curso de complementos de mat021 sabemos que toda funci´on racional
propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma
A
(αx + β)k
(0.0.1)
y
Bx + C
(ax2 + bx + c)m (0.0.2)
donde k, m ∈ N, a, b, c, A, B, C, α, β son constates y
b2
− 4ac < 0
en (0.0.2) lo que nos dice que es una cuadr´atica sin ra´ıces reales.
Luego el calculo de la integral de una funci´on racional, se reduce al
calculo de integrales de polinomios (que ya sabemos calcular) y a calculo de
integrales de la forma
Adx
(αx + β)k
y
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m
aprenderemos a calcular este tipo de integrales.
Ejemplo 1. Consideremos la integral
5x + 3
x2 + 2x − 3
dx
la funci´on racional
5x + 3
x2 + 2x − 3
es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) po-
demos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos
conocer las ra´ıces reales del denominador, como
x2
+ 2x − 3 = (x + 3) (x − 1)
se sigue que
5x + 3
x2 + 2x − 3
=
5x + 3
(x + 3) (x − 1)
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3. Nelson Cifuentes F.
luego por el m´etodo de las fracciones parciales, existen constantes A y B
tales que
5x + 3
x2 + 2x − 3
=
A
x + 3
+
B
x − 1
para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los m´etodos co-
nocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la expresi´on por el deno-
minador
5x + 3 = A (x − 1) + B (x + 3)
evaluando la igualdad en x = 1 obtenemos
8 = A · 0 + 4B =⇒ B = 2
evaluando la igualdad en x = −3 se obtiene
−15 + 3 = A (−4) + B · 0 =⇒ A = 3
se sigue
5x + 3
x2 + 2x − 3
=
3
x + 3
+
2
x − 1
luego
5x + 3
x2 + 2x − 3
dx =
3
x + 3
+
2
x − 1
dx
= 3
dx
x + 3
+ 2
dx
x − 1
= 3 ln |x + 3| + 2 ln |x − 1| + C
el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio
del denominador posee tantas ra´ıces reales como el grado del polinomio y
todas las ra´ıces distintas.
Ejemplo 2. Calcular
(2x − 1) dx
(x − 1) (x − 2) (x − 3)
Como ya conocemos las ra´ıces del denominador, efectuamos la descomposi-
ci´on en fracciones parciales:
(2x − 1)
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
2x − 3
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4. Nelson Cifuentes F.
y aplicamos alguna t´ecnica que nos permita encontrar los valores de las
constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador
2x − 1 = A (x − 2) (2x − 3) + B (x − 1) (2x − 3) + C (x − 1) (x − 2)
evaluando tal igualdad en x = 1 obtenemos
2 − 1 = A (1 − 2) (2 − 3) + B · 0 + C · 0
as´ı
1 = A (−1) (−1) =⇒ A = 1
evaluando en x = 2 se obtiene
4 − 1 = A · 0 + B (2 − 1) (4 − 3) + C · 0
as´ı
3 = B
y finalmente, evaluando en x = 3
2 se obtiene
3 − 1 = A · 0 + B · 0 + C
3
2
− 1
3
2
− 2
as´ı
2 = C
1
2
−
1
2
=⇒ C = −8
se sigue
(2x − 1)
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
=
1
x − 1
+
3
x − 2
+
−8
2x − 3
luego
(2x − 1)
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
dx
=
1
x − 1
+
3
x − 2
+
−8
2x − 3
dx
=
dx
x − 1
+ 3
dx
x − 2
− 8
dx
2x − 3
= ln |x − 1| + 3 ln |x − 2| − 4 ln |2x − 3| + C
= ln
|x − 1| |x − 2|3
|2x − 3|4 + C
donde
dx
2x − 3
=
1
2
ln |2x − 3|
(recuerde que al derivar por la regla de la cadena se debe multiplicar por 2).
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5. Nelson Cifuentes F.
Ejercicio 1. Calcular
x
(x2 − 1) (x − 2)
dx
Ejercicio 2. Calcular
2x + 1
(3x − 1) (2x + 5)
dx
Ejercicio 3. Calcular
2x2 + x − 1
2x3 + x2 − 5x + 2
veamos ahora que pasa si la ra´ıces se repiten:
Ejemplo 3. Calcular
x2 + 2x + 3 dx
(x − 1) (x + 1)2
notemos que es una funci´on racional propia, luego podemos efectuar direc-
tamente la descomposici´on en fracciones parciales (no necesitamos dividir
los polinomios) luego
x2 + 2x + 3
(x − 1) (x + 1)2 =
A
x − 1
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)2
desarrollando encontramos
A =
3
2
, B = −
1
2
y C = −1
se sigue
x2 + 2x + 3 dx
(x − 1) (x + 1)2
=
3
2
dx
x − 1
−
1
2
dx
x + 1
−
dx
(x + 1)2
=
3
2
ln |x − 1| −
1
2
ln |x + 1| +
1
x + 1
+ C
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6. Nelson Cifuentes F.
Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo
Adx
(αx + β)k
para k = 1 la integral es
Adx
αx + β
=
A
α
ln |αx + β| + C
para k > 1 podemos efectuar un cambio de variables u = αx+β eso implica
du = αdx de donde
Adx
(αx + β)k
= A
du
αuk
=
A
α
u(−k+1)
(−k + 1)
+ C
=
A
α
(αx + β)(−k+1)
(−k + 1)
+ C
Ejemplo 4. Calcular
3dx
(2x − 1)3
Desarrollo: Podemos hacer la sustituci´on u = 2x − 1 =⇒ du = 2dx se sigue
3dx
(2x − 1)3 = 3
du
2u3
=
3
2
u−3
du
=
3
2
u−3+1
−3 + 1
+ C
= −
3
4
u−2
+ C
= −
3
4 (2x − 1)2 + C
Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m
con b2 − 4ac < 0.
Ejemplo 5. Calcular
xdx
x2 + 2x + 2
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7. Nelson Cifuentes F.
note que en este caso, es denominador no posee ra´ıces reales ∆ = 4 − 8 =
−4 < 0 y
x
x2 + 2x + 2
ya es una fracci´on parcial (no tenemos que aplicar la t´ecnica de descompo-
sici´on), para calcular este tipo de integrales intentamos llavarla a una de la
forma
dv
v2 + 1
que sabemos calcular (arctan v) completemos cuadrados en el denominador,
x
x2 + 2x + 2
=
x
(x + 1)2
+ 1
luego
xdx
(x + 1)2
+ 1
=
xdx
x2 + 2x + 2
si hacemos el cambio de variable
u = x + 1 =⇒ du = dx
luego
xdx
(x + 1)2
+ 1
=
(u − 1) du
(u2 + 1)
=
udu
u2 + 1
−
du
u2 + 1
note que la primera es calculable por una simple sustituci´on v = u2 +1 (esto
es general para las integrales del tipo
xdx
(x2 + α2)m
las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v = x2 +
α2 =⇒ dv
2 = xdx) y la segunda es conocida, luego
udu
u2 + 1
−
du
u2 + 1
=
1
2
ln u2
+ 1 − arctan (u) + C
volvemos a la variable original
xdx
(x + 1)2
+ 1
=
1
2
ln (x + 1)2
+ 1 − arctan (x + 1) + C
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8. Nelson Cifuentes F.
entonces, toda integral de la forma
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m
la podemos escribir como
Bxdx
(ax2 + bx + c)m + C
dx
(ax2 + bx + c)m
pero
Bxdx
(ax2 + bx + c)m
=
B
2a (2ax + b − b) dx
(ax2 + bx + c)m
=
B
2a
(2ax + b) dx
(ax2 + bx + c)m −
Bb
2a
dx
(ax2 + bx + c)m
de esta forma
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m =
B
2a
(2ax + b) dx
(ax2 + bx + c)m + C −
Bb
2a
dx
(ax2 + bx + c)m
la integral
(2ax + b) dx
(ax2 + bx + c)m
se puede calcular mediante la sustituci´on u = ax2 + bx + c =⇒ du =
(2ax + b) dx, por lo que no presenta mayor dificultad.
El problema ahora, es calcular integrales del tipo
dx
(ax2 + bx + c)m
completemos cuadrado de binomio
ax2
+ bx + c = a x2
+ 2
b
2a
x +
b2
4a2
−
b2
4a
+ c
= a x +
b
2a
2
+
4ac − b2
4a
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9. Nelson Cifuentes F.
note que b2 − 4ac < 0 =⇒ 4ac − b2 > 0 obtenemos
dx
(ax2 + bx + c)m =
dx
a x + b
2a
2
+ 4ac−b2
4a
m
=
1
am
dx
x + b
2a
2
+ 4ac−b2
4a2
m
hagamos el cambio de variables
x +
b
2a
=
4ac − b2
4a2
v
entonces
dx =
4ac − b2
4a2
dv
se sigue
1
am
dx
x + b
2a
2
+ 4ac−b2
4a2
m =
1
am
4ac−b2
4a2 dv
4ac−b2
4a2 v2 + 4ac−b2
4a2
m
=
1
am
4ac−b2
4a2
4ac−b2
4a2
m
dv
(v2 + 1)m
de donde obtenemos que el c´alculo de las integrales de la forma
dx
(ax2 + bx + c)m
puede ser reducido al c´alculo de integrales de la forma
dv
(v2 + 1)m
y estas pueden ser abordadas a trav´es de integraci´on por partes, en efecto
dv
(v2 + 1)m = v2
+ 1
−m
dv
= v−2m
1 +
1
v2
−m
dv
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10. Nelson Cifuentes F.
pongamos
k = 1 +
1
v2
−m
=⇒ dk = −m 1 +
1
v2
−m−1
−2
v3
dv
dr = v−2m
dv =⇒ r =
v−2m+1
−2m + 1
as´ı
dv
(v2 + 1)m =
v−2m+1
−2m + 1
1 +
1
v2
−m
−
v−2m+1
−2m + 1
−m 1 +
1
v2
−m−1
−2
v3
dv
es decir
dv
(v2 + 1)m =
v v2 + 1
−m
−2m + 1
−
2m
−2m + 1
v−2m+1 v2 + 1
−m−1
v−2m−2v3
dv
=
v
(−2m + 1) (v2 + 1)m −
2m
−2m + 1
1
(v2 + 1)m+1 dv
si en lugar de m ponemos m − 1 entonces
dv
(v2 + 1)m−1 =
v
(−2 (m − 1) + 1) (v2 + 1)m−1 −
2 (m − 1)
−2 (m − 1) + 1
1
(v2 + 1)m dv
es decir
dv
(v2 + 1)m−1 =
v
(−2m + 3) (v2 + 1)m−1 −
2m − 2
−2m + 3
1
(v2 + 1)m dv
as´ı
1
(v2 + 1)m dv = −
− (−2m + 3) v
(−2m + 3) (2m − 2) (v2 + 1)m−1 −
−2m + 3
2m − 2
dv
(v2 + 1)m−1
=
v
(2m − 2) (v2 + 1)m−1 +
2m − 3
2m − 2
dv
(v2 + 1)m−1
Ejemplo 6. Calcular
dx
(x2 + 1)2
Desarrollo: Aplicando la f´ormula de recurrencia anterior
dx
(x2 + 1)2 =
x
2 (x2 + 1)
+
1
2
dx
x2 + 1
=
x
2 (x2 + 1)
+
1
2
arctan x + C
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11. Nelson Cifuentes F.
Ejemplo 7. Calcular
dx
(x2 + 1)3
Desarrollo: con la f´ormula de recurrencia
dx
(x2 + 1)3 =
x
(2 · 3 − 2) (x2 + 1)3−1 +
2 · 3 − 3
2 · 3 − 2
dv
(x2 + 1)3−1
=
x
4 (x2 + 1)2 +
3
4
dv
(x2 + 1)2
utilizando el ejercicio anterior
dx
(x2 + 1)3
=
x
4 (x2 + 1)2 +
3
4
x
2 (x2 + 1)
+
1
2
arctan x + C
=
x
4 (x2 + 1)2 +
3x
8 (x2 + 1)
+
3
8
arctan x + C
Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una
funci´on racional cualquiera (aunque nuestros c´alculos se ven limitados por
tener que encontrar las ra´ıces que nos permitan hacer la descomposici´on en
fracciones parciales, para encontrar una descomposici´on de polinomios muy
generales necesitariamos la ayuda de un computador y aproximar las ra´ıces)
Ejemplos resueltos
1. Calcular
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
dx
Desarrollo: Primero notamos que la funci´on racional es propia, luego
podemos efectuar directamente la descomposici´on en fracciones par-
ciales sin necesidad de dividir. Ahora busquemos las ra´ıces del deno-
minador
x3
− 1 = (x − 1) x2
+ x + 1
notemos que el segundo factor no tiene ra´ıces reales, as´ı
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + x + 1
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12. Nelson Cifuentes F.
desarrollando encontramos
A = 1, B = 2 y C = 3
luego
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
=
1
x − 1
+
2x + 3
x2 + x + 1
luego
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
dx =
1
x − 1
dx +
2x + 3
x2 + x + 1
dx
= ln |x − 1| +
2x + 3
x2 + x + 1
dx
para calcular la integral
2x + 3
x2 + x + 1
dx
reordenamos en la forma
2x + 1 + 2
x2 + x + 1
dx =
2x + 1
x2 + x + 1
dx +
2
x2 + x + 1
= ln x2
+ 2x + 1 +
2dx
x2 + x + 1
ahora debemos calcular
2dx
x2 + x + 1
para ello completamos cuadrados
2dx
x2 + x + 1
= 2
dx
x2 + 2 1
2 x + 1
4 + 3
4
= 2
dx
x + 1
2
2
+ 3
4
hacemos el cambio de variable
x +
1
2
=
3
4
u =⇒ dx =
3
4
du = dx
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13. Nelson Cifuentes F.
as´ı
2
dx
x + 1
2
2
+ 3
4
= 2
3
4du
3
4u
2
+ 3
4
= 2
3
4
3
4
du
u2 + 1
= 2
1
3
4
arctan u
=
4
√
3
arctan
2
√
3
x +
1
2
+ C
as´ı
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
dx
= ln |x − 1| + ln x2
+ 2x + 1 +
4
√
3
arctan
2
√
3
x +
1
2
+ C
2. Calcular
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2
Desarrollo: La funci´on racional es propia. Efectuamos la descomposi-
ci´on en fracciones parciales:
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 =
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
+
Dx + E
(x2 + 1)2
las constantes nos dan
A =
1
3
, B =
2
3
, C = −
1
3
, D = −1, E = 0
se sigue
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 =
1
3
1
x − 1
+
1
3
2x − 1
x2 + 2
−
x
(x2 + 1)2
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14. Nelson Cifuentes F.
luego
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 dx
=
1
3
dx
x − 1
+
1
3
2x − 1
x2 + 2
dx −
xdx
(x2 + 1)2
=
1
3
ln |x − 1| +
1
3
2xdx
x2 + 2
−
1
3
dx
x2 + 2
−
xdx
(x2 + 1)2
pero
2xdx
x2 + 2
= ln x2
+ 2
y
dx
x2 + 2
la podemos calcular con el cambio de variable
√
2u = x =⇒
√
2du = dx
as´ı
dx
x2 + 2
=
√
2du
2u2 + 2
=
1
√
2
du
u2 + 1
=
1
√
2
arctan u
=
1
√
2
arctan
x
√
2
luego
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 dx
=
1
3
ln |x − 1| +
1
3
ln x2
+ 2 −
1
3
√
2
arctan
x
√
2
−
xdx
(x2 + 1)2
y para
xdx
(x2 + 1)2
es simplemente hacer la sustituci´on
u = x2
+ 1 =⇒ du = 2xdx
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