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Integraci´on por fracciones
parciales
El cociente de dos polinomios se denomina funci´on racional. La deri-
vaci´on de una funci´on racional conduce a una nueva funci´on racional que
puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte,
la integraci´on de una funci´on racional puede conducirnos a funciones que no
son racionales1 por ejemplo:
dx
x
= ln |x| + C y
dx
1 + x2
= arctan (x) + C
ahora daremos un m´etodo para calcular la integral de una funci´on racional
cualquiera y se ver´a que el resultado puede expresarse siempre por medio de
polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos.
La idea del m´etodo es descomponer la funci´on racional en fracciones
simples que pueden calcularse por medio de t´ecnicas ya conocidas (de de-
be realizar la descomposici´on en fracciones parciales de la funci´on racional
considerada).
Supongamos entonces que f(x)
g(x) es una funci´on racional, si es impropia
podemos simplemente dividir y nos queda
f (x)
g (x)
= Q (x) +
R (x)
g (x)
donde Q es un polinomio (el cociente de la divisi´on) y R (x) es el resto de
la divisi´on (note que el grado del resto es menor que el del divisor g (x)),
de esta forma toda funci´on racional se puede escribir como la suma de un
polinomio con una funci´on racional propia.
1
¿C´omo puede mostrarse que determinada funci´on no es racional?
1
Nelson Cifuentes F.
Del curso de complementos de mat021 sabemos que toda funci´on racional
propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma
A
(αx + β)k
(0.0.1)
y
Bx + C
(ax2 + bx + c)m (0.0.2)
donde k, m ∈ N, a, b, c, A, B, C, α, β son constates y
b2
− 4ac < 0
en (0.0.2) lo que nos dice que es una cuadr´atica sin ra´ıces reales.
Luego el calculo de la integral de una funci´on racional, se reduce al
calculo de integrales de polinomios (que ya sabemos calcular) y a calculo de
integrales de la forma
Adx
(αx + β)k
y
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m
aprenderemos a calcular este tipo de integrales.
Ejemplo 1. Consideremos la integral
5x + 3
x2 + 2x − 3
dx
la funci´on racional
5x + 3
x2 + 2x − 3
es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) po-
demos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos
conocer las ra´ıces reales del denominador, como
x2
+ 2x − 3 = (x + 3) (x − 1)
se sigue que
5x + 3
x2 + 2x − 3
=
5x + 3
(x + 3) (x − 1)
Apuntes de Clases 2 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
luego por el m´etodo de las fracciones parciales, existen constantes A y B
tales que
5x + 3
x2 + 2x − 3
=
A
x + 3
+
B
x − 1
para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los m´etodos co-
nocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la expresi´on por el deno-
minador
5x + 3 = A (x − 1) + B (x + 3)
evaluando la igualdad en x = 1 obtenemos
8 = A · 0 + 4B =⇒ B = 2
evaluando la igualdad en x = −3 se obtiene
−15 + 3 = A (−4) + B · 0 =⇒ A = 3
se sigue
5x + 3
x2 + 2x − 3
=
3
x + 3
+
2
x − 1
luego
5x + 3
x2 + 2x − 3
dx =
3
x + 3
+
2
x − 1
dx
= 3
dx
x + 3
+ 2
dx
x − 1
= 3 ln |x + 3| + 2 ln |x − 1| + C
el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio
del denominador posee tantas ra´ıces reales como el grado del polinomio y
todas las ra´ıces distintas.
Ejemplo 2. Calcular
(2x − 1) dx
(x − 1) (x − 2) (x − 3)
Como ya conocemos las ra´ıces del denominador, efectuamos la descomposi-
ci´on en fracciones parciales:
(2x − 1)
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
2x − 3
Apuntes de Clases 3 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
y aplicamos alguna t´ecnica que nos permita encontrar los valores de las
constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador
2x − 1 = A (x − 2) (2x − 3) + B (x − 1) (2x − 3) + C (x − 1) (x − 2)
evaluando tal igualdad en x = 1 obtenemos
2 − 1 = A (1 − 2) (2 − 3) + B · 0 + C · 0
as´ı
1 = A (−1) (−1) =⇒ A = 1
evaluando en x = 2 se obtiene
4 − 1 = A · 0 + B (2 − 1) (4 − 3) + C · 0
as´ı
3 = B
y finalmente, evaluando en x = 3
2 se obtiene
3 − 1 = A · 0 + B · 0 + C
3
2
− 1
3
2
− 2
as´ı
2 = C
1
2
−
1
2
=⇒ C = −8
se sigue
(2x − 1)
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
=
1
x − 1
+
3
x − 2
+
−8
2x − 3
luego
(2x − 1)
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
dx
=
1
x − 1
+
3
x − 2
+
−8
2x − 3
dx
=
dx
x − 1
+ 3
dx
x − 2
− 8
dx
2x − 3
= ln |x − 1| + 3 ln |x − 2| − 4 ln |2x − 3| + C
= ln
|x − 1| |x − 2|3
|2x − 3|4 + C
donde
dx
2x − 3
=
1
2
ln |2x − 3|
(recuerde que al derivar por la regla de la cadena se debe multiplicar por 2).
Apuntes de Clases 4 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
Ejercicio 1. Calcular
x
(x2 − 1) (x − 2)
dx
Ejercicio 2. Calcular
2x + 1
(3x − 1) (2x + 5)
dx
Ejercicio 3. Calcular
2x2 + x − 1
2x3 + x2 − 5x + 2
veamos ahora que pasa si la ra´ıces se repiten:
Ejemplo 3. Calcular
x2 + 2x + 3 dx
(x − 1) (x + 1)2
notemos que es una funci´on racional propia, luego podemos efectuar direc-
tamente la descomposici´on en fracciones parciales (no necesitamos dividir
los polinomios) luego
x2 + 2x + 3
(x − 1) (x + 1)2 =
A
x − 1
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)2
desarrollando encontramos
A =
3
2
, B = −
1
2
y C = −1
se sigue
x2 + 2x + 3 dx
(x − 1) (x + 1)2
=
3
2
dx
x − 1
−
1
2
dx
x + 1
−
dx
(x + 1)2
=
3
2
ln |x − 1| −
1
2
ln |x + 1| +
1
x + 1
+ C
Apuntes de Clases 5 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo
Adx
(αx + β)k
para k = 1 la integral es
Adx
αx + β
=
A
α
ln |αx + β| + C
para k > 1 podemos efectuar un cambio de variables u = αx+β eso implica
du = αdx de donde
Adx
(αx + β)k
= A
du
αuk
=
A
α
u(−k+1)
(−k + 1)
+ C
=
A
α
(αx + β)(−k+1)
(−k + 1)
+ C
Ejemplo 4. Calcular
3dx
(2x − 1)3
Desarrollo: Podemos hacer la sustituci´on u = 2x − 1 =⇒ du = 2dx se sigue
3dx
(2x − 1)3 = 3
du
2u3
=
3
2
u−3
du
=
3
2
u−3+1
−3 + 1
+ C
= −
3
4
u−2
+ C
= −
3
4 (2x − 1)2 + C
Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m
con b2 − 4ac < 0.
Ejemplo 5. Calcular
xdx
x2 + 2x + 2
Apuntes de Clases 6 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
note que en este caso, es denominador no posee ra´ıces reales ∆ = 4 − 8 =
−4 < 0 y
x
x2 + 2x + 2
ya es una fracci´on parcial (no tenemos que aplicar la t´ecnica de descompo-
sici´on), para calcular este tipo de integrales intentamos llavarla a una de la
forma
dv
v2 + 1
que sabemos calcular (arctan v) completemos cuadrados en el denominador,
x
x2 + 2x + 2
=
x
(x + 1)2
+ 1
luego
xdx
(x + 1)2
+ 1
=
xdx
x2 + 2x + 2
si hacemos el cambio de variable
u = x + 1 =⇒ du = dx
luego
xdx
(x + 1)2
+ 1
=
(u − 1) du
(u2 + 1)
=
udu
u2 + 1
−
du
u2 + 1
note que la primera es calculable por una simple sustituci´on v = u2 +1 (esto
es general para las integrales del tipo
xdx
(x2 + α2)m
las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v = x2 +
α2 =⇒ dv
2 = xdx) y la segunda es conocida, luego
udu
u2 + 1
−
du
u2 + 1
=
1
2
ln u2
+ 1 − arctan (u) + C
volvemos a la variable original
xdx
(x + 1)2
+ 1
=
1
2
ln (x + 1)2
+ 1 − arctan (x + 1) + C
Apuntes de Clases 7 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
entonces, toda integral de la forma
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m
la podemos escribir como
Bxdx
(ax2 + bx + c)m + C
dx
(ax2 + bx + c)m
pero
Bxdx
(ax2 + bx + c)m
=
B
2a (2ax + b − b) dx
(ax2 + bx + c)m
=
B
2a
(2ax + b) dx
(ax2 + bx + c)m −
Bb
2a
dx
(ax2 + bx + c)m
de esta forma
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m =
B
2a
(2ax + b) dx
(ax2 + bx + c)m + C −
Bb
2a
dx
(ax2 + bx + c)m
la integral
(2ax + b) dx
(ax2 + bx + c)m
se puede calcular mediante la sustituci´on u = ax2 + bx + c =⇒ du =
(2ax + b) dx, por lo que no presenta mayor dificultad.
El problema ahora, es calcular integrales del tipo
dx
(ax2 + bx + c)m
completemos cuadrado de binomio
ax2
+ bx + c = a x2
+ 2
b
2a
x +
b2
4a2
−
b2
4a
+ c
= a x +
b
2a
2
+
4ac − b2
4a
Apuntes de Clases 8 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
note que b2 − 4ac < 0 =⇒ 4ac − b2 > 0 obtenemos
dx
(ax2 + bx + c)m =
dx
a x + b
2a
2
+ 4ac−b2
4a
m
=
1
am
dx
x + b
2a
2
+ 4ac−b2
4a2
m
hagamos el cambio de variables
x +
b
2a
=
4ac − b2
4a2
v
entonces
dx =
4ac − b2
4a2
dv
se sigue
1
am
dx
x + b
2a
2
+ 4ac−b2
4a2
m =
1
am
4ac−b2
4a2 dv
4ac−b2
4a2 v2 + 4ac−b2
4a2
m
=
1
am
4ac−b2
4a2
4ac−b2
4a2
m
dv
(v2 + 1)m
de donde obtenemos que el c´alculo de las integrales de la forma
dx
(ax2 + bx + c)m
puede ser reducido al c´alculo de integrales de la forma
dv
(v2 + 1)m
y estas pueden ser abordadas a trav´es de integraci´on por partes, en efecto
dv
(v2 + 1)m = v2
+ 1
−m
dv
= v−2m
1 +
1
v2
−m
dv
Apuntes de Clases 9 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
pongamos
k = 1 +
1
v2
−m
=⇒ dk = −m 1 +
1
v2
−m−1
−2
v3
dv
dr = v−2m
dv =⇒ r =
v−2m+1
−2m + 1
as´ı
dv
(v2 + 1)m =
v−2m+1
−2m + 1
1 +
1
v2
−m
−
v−2m+1
−2m + 1
−m 1 +
1
v2
−m−1
−2
v3
dv
es decir
dv
(v2 + 1)m =
v v2 + 1
−m
−2m + 1
−
2m
−2m + 1
v−2m+1 v2 + 1
−m−1
v−2m−2v3
dv
=
v
(−2m + 1) (v2 + 1)m −
2m
−2m + 1
1
(v2 + 1)m+1 dv
si en lugar de m ponemos m − 1 entonces
dv
(v2 + 1)m−1 =
v
(−2 (m − 1) + 1) (v2 + 1)m−1 −
2 (m − 1)
−2 (m − 1) + 1
1
(v2 + 1)m dv
es decir
dv
(v2 + 1)m−1 =
v
(−2m + 3) (v2 + 1)m−1 −
2m − 2
−2m + 3
1
(v2 + 1)m dv
as´ı
1
(v2 + 1)m dv = −
− (−2m + 3) v
(−2m + 3) (2m − 2) (v2 + 1)m−1 −
−2m + 3
2m − 2
dv
(v2 + 1)m−1
=
v
(2m − 2) (v2 + 1)m−1 +
2m − 3
2m − 2
dv
(v2 + 1)m−1
Ejemplo 6. Calcular
dx
(x2 + 1)2
Desarrollo: Aplicando la f´ormula de recurrencia anterior
dx
(x2 + 1)2 =
x
2 (x2 + 1)
+
1
2
dx
x2 + 1
=
x
2 (x2 + 1)
+
1
2
arctan x + C
Apuntes de Clases 10 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
Ejemplo 7. Calcular
dx
(x2 + 1)3
Desarrollo: con la f´ormula de recurrencia
dx
(x2 + 1)3 =
x
(2 · 3 − 2) (x2 + 1)3−1 +
2 · 3 − 3
2 · 3 − 2
dv
(x2 + 1)3−1
=
x
4 (x2 + 1)2 +
3
4
dv
(x2 + 1)2
utilizando el ejercicio anterior
dx
(x2 + 1)3
=
x
4 (x2 + 1)2 +
3
4
x
2 (x2 + 1)
+
1
2
arctan x + C
=
x
4 (x2 + 1)2 +
3x
8 (x2 + 1)
+
3
8
arctan x + C
Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una
funci´on racional cualquiera (aunque nuestros c´alculos se ven limitados por
tener que encontrar las ra´ıces que nos permitan hacer la descomposici´on en
fracciones parciales, para encontrar una descomposici´on de polinomios muy
generales necesitariamos la ayuda de un computador y aproximar las ra´ıces)
Ejemplos resueltos
1. Calcular
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
dx
Desarrollo: Primero notamos que la funci´on racional es propia, luego
podemos efectuar directamente la descomposici´on en fracciones par-
ciales sin necesidad de dividir. Ahora busquemos las ra´ıces del deno-
minador
x3
− 1 = (x − 1) x2
+ x + 1
notemos que el segundo factor no tiene ra´ıces reales, as´ı
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + x + 1
Apuntes de Clases 11 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
desarrollando encontramos
A = 1, B = 2 y C = 3
luego
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
=
1
x − 1
+
2x + 3
x2 + x + 1
luego
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
dx =
1
x − 1
dx +
2x + 3
x2 + x + 1
dx
= ln |x − 1| +
2x + 3
x2 + x + 1
dx
para calcular la integral
2x + 3
x2 + x + 1
dx
reordenamos en la forma
2x + 1 + 2
x2 + x + 1
dx =
2x + 1
x2 + x + 1
dx +
2
x2 + x + 1
= ln x2
+ 2x + 1 +
2dx
x2 + x + 1
ahora debemos calcular
2dx
x2 + x + 1
para ello completamos cuadrados
2dx
x2 + x + 1
= 2
dx
x2 + 2 1
2 x + 1
4 + 3
4
= 2
dx
x + 1
2
2
+ 3
4
hacemos el cambio de variable
x +
1
2
=
3
4
u =⇒ dx =
3
4
du = dx
Apuntes de Clases 12 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
as´ı
2
dx
x + 1
2
2
+ 3
4
= 2
3
4du
3
4u
2
+ 3
4
= 2
3
4
3
4
du
u2 + 1
= 2
1
3
4
arctan u
=
4
√
3
arctan
2
√
3
x +
1
2
+ C
as´ı
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
dx
= ln |x − 1| + ln x2
+ 2x + 1 +
4
√
3
arctan
2
√
3
x +
1
2
+ C
2. Calcular
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2
Desarrollo: La funci´on racional es propia. Efectuamos la descomposi-
ci´on en fracciones parciales:
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 =
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
+
Dx + E
(x2 + 1)2
las constantes nos dan
A =
1
3
, B =
2
3
, C = −
1
3
, D = −1, E = 0
se sigue
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 =
1
3
1
x − 1
+
1
3
2x − 1
x2 + 2
−
x
(x2 + 1)2
Apuntes de Clases 13 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
luego
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 dx
=
1
3
dx
x − 1
+
1
3
2x − 1
x2 + 2
dx −
xdx
(x2 + 1)2
=
1
3
ln |x − 1| +
1
3
2xdx
x2 + 2
−
1
3
dx
x2 + 2
−
xdx
(x2 + 1)2
pero
2xdx
x2 + 2
= ln x2
+ 2
y
dx
x2 + 2
la podemos calcular con el cambio de variable
√
2u = x =⇒
√
2du = dx
as´ı
dx
x2 + 2
=
√
2du
2u2 + 2
=
1
√
2
du
u2 + 1
=
1
√
2
arctan u
=
1
√
2
arctan
x
√
2
luego
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 dx
=
1
3
ln |x − 1| +
1
3
ln x2
+ 2 −
1
3
√
2
arctan
x
√
2
−
xdx
(x2 + 1)2
y para
xdx
(x2 + 1)2
es simplemente hacer la sustituci´on
u = x2
+ 1 =⇒ du = 2xdx
Apuntes de Clases 14 www.profenelson.tk
Nelson Cifuentes F.
as´ı
xdx
(x2 + 1)2 =
du
2u2
=
1
2
u−2
du
= −
1
2
u−1
+ C
= −
1
2 (x2 + 1)
+ C
as´ı
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 dx
=
1
3
ln |x − 1| +
1
3
ln x2
+ 2 −
1
3
√
2
arctan
x
√
2
+
1
2 (x2 + 1)
+ C
Ejercicios propuestos
a)
(2x + 3) dx
(x − 2) (x + 5)
b)
x dx
(x + 1) (x + 2) (x + 3)
c)
x dx
x3 − 3x + 2
d)
x2 dx
x4 + 1
e)
dx
(x + 1) (x2 + 1)2
(x + 2)2
f)
x4 dx
(x2 + 3)2
g)
(x + 1) dx
(x2 − 1)2 h)
dx
x4 − 2x3
i)
x2 dx
(x2 + 2x + 2)2
Apuntes de Clases 15 www.profenelson.tk

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Técnicas de integración

  • 1. Integraci´on por fracciones parciales El cociente de dos polinomios se denomina funci´on racional. La deri- vaci´on de una funci´on racional conduce a una nueva funci´on racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integraci´on de una funci´on racional puede conducirnos a funciones que no son racionales1 por ejemplo: dx x = ln |x| + C y dx 1 + x2 = arctan (x) + C ahora daremos un m´etodo para calcular la integral de una funci´on racional cualquiera y se ver´a que el resultado puede expresarse siempre por medio de polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos. La idea del m´etodo es descomponer la funci´on racional en fracciones simples que pueden calcularse por medio de t´ecnicas ya conocidas (de de- be realizar la descomposici´on en fracciones parciales de la funci´on racional considerada). Supongamos entonces que f(x) g(x) es una funci´on racional, si es impropia podemos simplemente dividir y nos queda f (x) g (x) = Q (x) + R (x) g (x) donde Q es un polinomio (el cociente de la divisi´on) y R (x) es el resto de la divisi´on (note que el grado del resto es menor que el del divisor g (x)), de esta forma toda funci´on racional se puede escribir como la suma de un polinomio con una funci´on racional propia. 1 ¿C´omo puede mostrarse que determinada funci´on no es racional? 1
  • 2. Nelson Cifuentes F. Del curso de complementos de mat021 sabemos que toda funci´on racional propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma A (αx + β)k (0.0.1) y Bx + C (ax2 + bx + c)m (0.0.2) donde k, m ∈ N, a, b, c, A, B, C, α, β son constates y b2 − 4ac < 0 en (0.0.2) lo que nos dice que es una cuadr´atica sin ra´ıces reales. Luego el calculo de la integral de una funci´on racional, se reduce al calculo de integrales de polinomios (que ya sabemos calcular) y a calculo de integrales de la forma Adx (αx + β)k y (Bx + C) dx (ax2 + bx + c)m aprenderemos a calcular este tipo de integrales. Ejemplo 1. Consideremos la integral 5x + 3 x2 + 2x − 3 dx la funci´on racional 5x + 3 x2 + 2x − 3 es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) po- demos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos conocer las ra´ıces reales del denominador, como x2 + 2x − 3 = (x + 3) (x − 1) se sigue que 5x + 3 x2 + 2x − 3 = 5x + 3 (x + 3) (x − 1) Apuntes de Clases 2 www.profenelson.tk
  • 3. Nelson Cifuentes F. luego por el m´etodo de las fracciones parciales, existen constantes A y B tales que 5x + 3 x2 + 2x − 3 = A x + 3 + B x − 1 para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los m´etodos co- nocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la expresi´on por el deno- minador 5x + 3 = A (x − 1) + B (x + 3) evaluando la igualdad en x = 1 obtenemos 8 = A · 0 + 4B =⇒ B = 2 evaluando la igualdad en x = −3 se obtiene −15 + 3 = A (−4) + B · 0 =⇒ A = 3 se sigue 5x + 3 x2 + 2x − 3 = 3 x + 3 + 2 x − 1 luego 5x + 3 x2 + 2x − 3 dx = 3 x + 3 + 2 x − 1 dx = 3 dx x + 3 + 2 dx x − 1 = 3 ln |x + 3| + 2 ln |x − 1| + C el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio del denominador posee tantas ra´ıces reales como el grado del polinomio y todas las ra´ıces distintas. Ejemplo 2. Calcular (2x − 1) dx (x − 1) (x − 2) (x − 3) Como ya conocemos las ra´ıces del denominador, efectuamos la descomposi- ci´on en fracciones parciales: (2x − 1) (x − 1) (x − 2) (2x − 3) = A x − 1 + B x − 2 + C 2x − 3 Apuntes de Clases 3 www.profenelson.tk
  • 4. Nelson Cifuentes F. y aplicamos alguna t´ecnica que nos permita encontrar los valores de las constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador 2x − 1 = A (x − 2) (2x − 3) + B (x − 1) (2x − 3) + C (x − 1) (x − 2) evaluando tal igualdad en x = 1 obtenemos 2 − 1 = A (1 − 2) (2 − 3) + B · 0 + C · 0 as´ı 1 = A (−1) (−1) =⇒ A = 1 evaluando en x = 2 se obtiene 4 − 1 = A · 0 + B (2 − 1) (4 − 3) + C · 0 as´ı 3 = B y finalmente, evaluando en x = 3 2 se obtiene 3 − 1 = A · 0 + B · 0 + C 3 2 − 1 3 2 − 2 as´ı 2 = C 1 2 − 1 2 =⇒ C = −8 se sigue (2x − 1) (x − 1) (x − 2) (2x − 3) = 1 x − 1 + 3 x − 2 + −8 2x − 3 luego (2x − 1) (x − 1) (x − 2) (2x − 3) dx = 1 x − 1 + 3 x − 2 + −8 2x − 3 dx = dx x − 1 + 3 dx x − 2 − 8 dx 2x − 3 = ln |x − 1| + 3 ln |x − 2| − 4 ln |2x − 3| + C = ln |x − 1| |x − 2|3 |2x − 3|4 + C donde dx 2x − 3 = 1 2 ln |2x − 3| (recuerde que al derivar por la regla de la cadena se debe multiplicar por 2). Apuntes de Clases 4 www.profenelson.tk
  • 5. Nelson Cifuentes F. Ejercicio 1. Calcular x (x2 − 1) (x − 2) dx Ejercicio 2. Calcular 2x + 1 (3x − 1) (2x + 5) dx Ejercicio 3. Calcular 2x2 + x − 1 2x3 + x2 − 5x + 2 veamos ahora que pasa si la ra´ıces se repiten: Ejemplo 3. Calcular x2 + 2x + 3 dx (x − 1) (x + 1)2 notemos que es una funci´on racional propia, luego podemos efectuar direc- tamente la descomposici´on en fracciones parciales (no necesitamos dividir los polinomios) luego x2 + 2x + 3 (x − 1) (x + 1)2 = A x − 1 + B x + 1 + C (x + 1)2 desarrollando encontramos A = 3 2 , B = − 1 2 y C = −1 se sigue x2 + 2x + 3 dx (x − 1) (x + 1)2 = 3 2 dx x − 1 − 1 2 dx x + 1 − dx (x + 1)2 = 3 2 ln |x − 1| − 1 2 ln |x + 1| + 1 x + 1 + C Apuntes de Clases 5 www.profenelson.tk
  • 6. Nelson Cifuentes F. Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo Adx (αx + β)k para k = 1 la integral es Adx αx + β = A α ln |αx + β| + C para k > 1 podemos efectuar un cambio de variables u = αx+β eso implica du = αdx de donde Adx (αx + β)k = A du αuk = A α u(−k+1) (−k + 1) + C = A α (αx + β)(−k+1) (−k + 1) + C Ejemplo 4. Calcular 3dx (2x − 1)3 Desarrollo: Podemos hacer la sustituci´on u = 2x − 1 =⇒ du = 2dx se sigue 3dx (2x − 1)3 = 3 du 2u3 = 3 2 u−3 du = 3 2 u−3+1 −3 + 1 + C = − 3 4 u−2 + C = − 3 4 (2x − 1)2 + C Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo (Bx + C) dx (ax2 + bx + c)m con b2 − 4ac < 0. Ejemplo 5. Calcular xdx x2 + 2x + 2 Apuntes de Clases 6 www.profenelson.tk
  • 7. Nelson Cifuentes F. note que en este caso, es denominador no posee ra´ıces reales ∆ = 4 − 8 = −4 < 0 y x x2 + 2x + 2 ya es una fracci´on parcial (no tenemos que aplicar la t´ecnica de descompo- sici´on), para calcular este tipo de integrales intentamos llavarla a una de la forma dv v2 + 1 que sabemos calcular (arctan v) completemos cuadrados en el denominador, x x2 + 2x + 2 = x (x + 1)2 + 1 luego xdx (x + 1)2 + 1 = xdx x2 + 2x + 2 si hacemos el cambio de variable u = x + 1 =⇒ du = dx luego xdx (x + 1)2 + 1 = (u − 1) du (u2 + 1) = udu u2 + 1 − du u2 + 1 note que la primera es calculable por una simple sustituci´on v = u2 +1 (esto es general para las integrales del tipo xdx (x2 + α2)m las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v = x2 + α2 =⇒ dv 2 = xdx) y la segunda es conocida, luego udu u2 + 1 − du u2 + 1 = 1 2 ln u2 + 1 − arctan (u) + C volvemos a la variable original xdx (x + 1)2 + 1 = 1 2 ln (x + 1)2 + 1 − arctan (x + 1) + C Apuntes de Clases 7 www.profenelson.tk
  • 8. Nelson Cifuentes F. entonces, toda integral de la forma (Bx + C) dx (ax2 + bx + c)m la podemos escribir como Bxdx (ax2 + bx + c)m + C dx (ax2 + bx + c)m pero Bxdx (ax2 + bx + c)m = B 2a (2ax + b − b) dx (ax2 + bx + c)m = B 2a (2ax + b) dx (ax2 + bx + c)m − Bb 2a dx (ax2 + bx + c)m de esta forma (Bx + C) dx (ax2 + bx + c)m = B 2a (2ax + b) dx (ax2 + bx + c)m + C − Bb 2a dx (ax2 + bx + c)m la integral (2ax + b) dx (ax2 + bx + c)m se puede calcular mediante la sustituci´on u = ax2 + bx + c =⇒ du = (2ax + b) dx, por lo que no presenta mayor dificultad. El problema ahora, es calcular integrales del tipo dx (ax2 + bx + c)m completemos cuadrado de binomio ax2 + bx + c = a x2 + 2 b 2a x + b2 4a2 − b2 4a + c = a x + b 2a 2 + 4ac − b2 4a Apuntes de Clases 8 www.profenelson.tk
  • 9. Nelson Cifuentes F. note que b2 − 4ac < 0 =⇒ 4ac − b2 > 0 obtenemos dx (ax2 + bx + c)m = dx a x + b 2a 2 + 4ac−b2 4a m = 1 am dx x + b 2a 2 + 4ac−b2 4a2 m hagamos el cambio de variables x + b 2a = 4ac − b2 4a2 v entonces dx = 4ac − b2 4a2 dv se sigue 1 am dx x + b 2a 2 + 4ac−b2 4a2 m = 1 am 4ac−b2 4a2 dv 4ac−b2 4a2 v2 + 4ac−b2 4a2 m = 1 am 4ac−b2 4a2 4ac−b2 4a2 m dv (v2 + 1)m de donde obtenemos que el c´alculo de las integrales de la forma dx (ax2 + bx + c)m puede ser reducido al c´alculo de integrales de la forma dv (v2 + 1)m y estas pueden ser abordadas a trav´es de integraci´on por partes, en efecto dv (v2 + 1)m = v2 + 1 −m dv = v−2m 1 + 1 v2 −m dv Apuntes de Clases 9 www.profenelson.tk
  • 10. Nelson Cifuentes F. pongamos k = 1 + 1 v2 −m =⇒ dk = −m 1 + 1 v2 −m−1 −2 v3 dv dr = v−2m dv =⇒ r = v−2m+1 −2m + 1 as´ı dv (v2 + 1)m = v−2m+1 −2m + 1 1 + 1 v2 −m − v−2m+1 −2m + 1 −m 1 + 1 v2 −m−1 −2 v3 dv es decir dv (v2 + 1)m = v v2 + 1 −m −2m + 1 − 2m −2m + 1 v−2m+1 v2 + 1 −m−1 v−2m−2v3 dv = v (−2m + 1) (v2 + 1)m − 2m −2m + 1 1 (v2 + 1)m+1 dv si en lugar de m ponemos m − 1 entonces dv (v2 + 1)m−1 = v (−2 (m − 1) + 1) (v2 + 1)m−1 − 2 (m − 1) −2 (m − 1) + 1 1 (v2 + 1)m dv es decir dv (v2 + 1)m−1 = v (−2m + 3) (v2 + 1)m−1 − 2m − 2 −2m + 3 1 (v2 + 1)m dv as´ı 1 (v2 + 1)m dv = − − (−2m + 3) v (−2m + 3) (2m − 2) (v2 + 1)m−1 − −2m + 3 2m − 2 dv (v2 + 1)m−1 = v (2m − 2) (v2 + 1)m−1 + 2m − 3 2m − 2 dv (v2 + 1)m−1 Ejemplo 6. Calcular dx (x2 + 1)2 Desarrollo: Aplicando la f´ormula de recurrencia anterior dx (x2 + 1)2 = x 2 (x2 + 1) + 1 2 dx x2 + 1 = x 2 (x2 + 1) + 1 2 arctan x + C Apuntes de Clases 10 www.profenelson.tk
  • 11. Nelson Cifuentes F. Ejemplo 7. Calcular dx (x2 + 1)3 Desarrollo: con la f´ormula de recurrencia dx (x2 + 1)3 = x (2 · 3 − 2) (x2 + 1)3−1 + 2 · 3 − 3 2 · 3 − 2 dv (x2 + 1)3−1 = x 4 (x2 + 1)2 + 3 4 dv (x2 + 1)2 utilizando el ejercicio anterior dx (x2 + 1)3 = x 4 (x2 + 1)2 + 3 4 x 2 (x2 + 1) + 1 2 arctan x + C = x 4 (x2 + 1)2 + 3x 8 (x2 + 1) + 3 8 arctan x + C Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una funci´on racional cualquiera (aunque nuestros c´alculos se ven limitados por tener que encontrar las ra´ıces que nos permitan hacer la descomposici´on en fracciones parciales, para encontrar una descomposici´on de polinomios muy generales necesitariamos la ayuda de un computador y aproximar las ra´ıces) Ejemplos resueltos 1. Calcular 3x2 + 2x − 2 x3 − 1 dx Desarrollo: Primero notamos que la funci´on racional es propia, luego podemos efectuar directamente la descomposici´on en fracciones par- ciales sin necesidad de dividir. Ahora busquemos las ra´ıces del deno- minador x3 − 1 = (x − 1) x2 + x + 1 notemos que el segundo factor no tiene ra´ıces reales, as´ı 3x2 + 2x − 2 x3 − 1 = A x − 1 + Bx + C x2 + x + 1 Apuntes de Clases 11 www.profenelson.tk
  • 12. Nelson Cifuentes F. desarrollando encontramos A = 1, B = 2 y C = 3 luego 3x2 + 2x − 2 x3 − 1 = 1 x − 1 + 2x + 3 x2 + x + 1 luego 3x2 + 2x − 2 x3 − 1 dx = 1 x − 1 dx + 2x + 3 x2 + x + 1 dx = ln |x − 1| + 2x + 3 x2 + x + 1 dx para calcular la integral 2x + 3 x2 + x + 1 dx reordenamos en la forma 2x + 1 + 2 x2 + x + 1 dx = 2x + 1 x2 + x + 1 dx + 2 x2 + x + 1 = ln x2 + 2x + 1 + 2dx x2 + x + 1 ahora debemos calcular 2dx x2 + x + 1 para ello completamos cuadrados 2dx x2 + x + 1 = 2 dx x2 + 2 1 2 x + 1 4 + 3 4 = 2 dx x + 1 2 2 + 3 4 hacemos el cambio de variable x + 1 2 = 3 4 u =⇒ dx = 3 4 du = dx Apuntes de Clases 12 www.profenelson.tk
  • 13. Nelson Cifuentes F. as´ı 2 dx x + 1 2 2 + 3 4 = 2 3 4du 3 4u 2 + 3 4 = 2 3 4 3 4 du u2 + 1 = 2 1 3 4 arctan u = 4 √ 3 arctan 2 √ 3 x + 1 2 + C as´ı 3x2 + 2x − 2 x3 − 1 dx = ln |x − 1| + ln x2 + 2x + 1 + 4 √ 3 arctan 2 √ 3 x + 1 2 + C 2. Calcular x4 − x3 + 2x2 − x + 2 (x − 1) (x2 + 2)2 Desarrollo: La funci´on racional es propia. Efectuamos la descomposi- ci´on en fracciones parciales: x4 − x3 + 2x2 − x + 2 (x − 1) (x2 + 2)2 = A x − 1 + Bx + C x2 + 2 + Dx + E (x2 + 1)2 las constantes nos dan A = 1 3 , B = 2 3 , C = − 1 3 , D = −1, E = 0 se sigue x4 − x3 + 2x2 − x + 2 (x − 1) (x2 + 2)2 = 1 3 1 x − 1 + 1 3 2x − 1 x2 + 2 − x (x2 + 1)2 Apuntes de Clases 13 www.profenelson.tk
  • 14. Nelson Cifuentes F. luego x4 − x3 + 2x2 − x + 2 (x − 1) (x2 + 2)2 dx = 1 3 dx x − 1 + 1 3 2x − 1 x2 + 2 dx − xdx (x2 + 1)2 = 1 3 ln |x − 1| + 1 3 2xdx x2 + 2 − 1 3 dx x2 + 2 − xdx (x2 + 1)2 pero 2xdx x2 + 2 = ln x2 + 2 y dx x2 + 2 la podemos calcular con el cambio de variable √ 2u = x =⇒ √ 2du = dx as´ı dx x2 + 2 = √ 2du 2u2 + 2 = 1 √ 2 du u2 + 1 = 1 √ 2 arctan u = 1 √ 2 arctan x √ 2 luego x4 − x3 + 2x2 − x + 2 (x − 1) (x2 + 2)2 dx = 1 3 ln |x − 1| + 1 3 ln x2 + 2 − 1 3 √ 2 arctan x √ 2 − xdx (x2 + 1)2 y para xdx (x2 + 1)2 es simplemente hacer la sustituci´on u = x2 + 1 =⇒ du = 2xdx Apuntes de Clases 14 www.profenelson.tk
  • 15. Nelson Cifuentes F. as´ı xdx (x2 + 1)2 = du 2u2 = 1 2 u−2 du = − 1 2 u−1 + C = − 1 2 (x2 + 1) + C as´ı x4 − x3 + 2x2 − x + 2 (x − 1) (x2 + 2)2 dx = 1 3 ln |x − 1| + 1 3 ln x2 + 2 − 1 3 √ 2 arctan x √ 2 + 1 2 (x2 + 1) + C Ejercicios propuestos a) (2x + 3) dx (x − 2) (x + 5) b) x dx (x + 1) (x + 2) (x + 3) c) x dx x3 − 3x + 2 d) x2 dx x4 + 1 e) dx (x + 1) (x2 + 1)2 (x + 2)2 f) x4 dx (x2 + 3)2 g) (x + 1) dx (x2 − 1)2 h) dx x4 − 2x3 i) x2 dx (x2 + 2x + 2)2 Apuntes de Clases 15 www.profenelson.tk