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Informe de matematica ( expresiones algebraicas)
Informe de matematica ( expresiones algebraicas)
Suma y Resta de
expresiones algebraicas
Sumar y Restar Monomios:
_Si dos monomios son semejante sumamos y
restamos los coeficientes y dejamos el mismo literal. Si
no son semejantes, esta operación no puede
expresarse de manera más simplificada.
1)6x + 11x = 17x 2) 9xy + 10xy = 19xy
1)9yz – yz = 8 yz 2) 5x – 10x = 5x
Sumar y Restar polinomios:
_Para sumar o restar dos polinomios, operamos sus
monomios semejantes. Si no tienen, dejamos la operación
indicada.
Ejemplo:
 Suma:
1)P(x) = 10x + 6 P(x) + R(x) = 10x + 6 + 9x + 2
R(x) = 9x +2 = 10x + 9x +6+2
= 19x + 8
2)P(xy) = 9xy + 15 P(xy) + q ( xy) = 9xy + 15 + 6xy 4
q ( xy) = 6xy + 4 = 9xy + 6xy +15+ 4
= 14 xy + 19
 Resta:
1)P(x) = 6x + 8 P(x) – q (x) = 6x + 8 – ( 9x + 3 )
Q (x) = 9x + 3 = 6x + 8 – 9x – 3
= 6x – 9x + 8 – 3
= -3x + 5
2)P (xy) = 19xy +2
Q (xy) = 3xy + 15 P(xy) – q ( xy) = 19xy + 2 - 3xy+ 15
= 19xy - 3xy + 2 -15
= 16xy – 13
Valor numérico de expresiones
algebraicas
_Para realizar las operaciones debes seguir un
orden de jerarquía de las operaciones:
 Se resuelven las operaciones entre paréntesis.
 Potencias y radicales.
 Multiplicaciones y divisiones.
 Sumas y restas.
 Calcular el valor numérico de los polinomios:
1) P(x) = x3 – 2.x2 + 3x +6 para X = -1.
P (-1) = (-1)3 – 2. (-1)2 + 3 . ( -1 ) +6
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= -1- 2 – 3 +6
= 0
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P (-4)= ( -4)3 – 2 . ( -4)2 + 3 . ( -4) + 8
= -64- 2 . 16+ 3. ( -4) +8
= - 64 – 32 – 12 + 8
= 100
Multiplicación y División de
expresiones algebraicas
_ La multiplicación de dos o más monomios se efectúa
aplicando las reglas de la potenciación, de los signos, las
propiedades asociativa y conmutativa del producto. Y Como
resultado del producto de monomios se obtiene otro
monomio.
Ejemplo:
1) 2x3 . y4 . ( -6) . x . y6 = 2. (-6) . x3 . x . y4. y6 = -12 . x4. y10
2) 15x3 . 8x2 =
15 . 8 . x3 .x2 =
120 x3+2 =
120x5
Multiplicación de monomios:
Multiplicación de polinomios:
_En este caso se multiplica un polinomio con otro polinomio su
resultado puede ser un polinomio, un número, o cero.
 Se multiplica cada término del polinomio, sumando los
exponentes de las literales iguales.
 Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las
reglas de los signos vista anteriormente.
Ejemplo:
1) x3. x5 = x 3+5 = x8 2) x14 . x = x 14+1= x15
Multiplicación de monomios con polinomios
_ se llama así, cuando un solo factor se encuentra se encuentra
multiplicando un polinomio.
 Se multiplica el termino del monomio por cada termino del
polinomio, sumando dos exponentes de las literales iguales.
 Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signo vistas
anteriormente.
 Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.
Ejemplo:
1) P(x) = 5x2 + 4x P(x) . Q(x) =( 5x2 +4x ) . ( 3x) = ( 5x2) . ( 3x) + (4x). (3x)=
Q(x) = 3x = 15x3 + 12x2
2) P(x) = 8x3+ 5x P(x) . R(x) = ( 8x3 + 5x ) . ( 6x) = ( 8x3) . ( 6x) + ( 5x) . ( 6x)=
R( x) = 6x = 24x4 + 30x2
División de expresión algebraica
_ En esta operación se aplica la regla de los signos, en cuanto a
los demás elementos se aplican las siguientes reglas: Se dividen
los coeficientes , si esto es posible, en cuanto a las literales si hay
alguna que este tanto en el numerador como el denominador, si
el exponente del numerador es el mayor se pone la literal en el
numerador y al exponente se le resta el exponente de la literal del
denominador, en caso contrario se pone la literal en el
denominador y a su exponente se le resta el del numerador.
Ejemplo:
Dividir 9x3 . y2 entre 3x2. W 2) dividir 8x.y2 entre 4x .z
9x3. Y2 / 3x 2w 8x.y2 / 4x.z
9x3. Y2 / 3x2. w = 3xy / w 8x .y2/ 4x.z=2xy / z
Productos notables de expresiones
algebraicas
_Se pueden decir que son el resultado de hacer una factorización,
formada de polinomios, que poseen varios términos, son de gran
ayuda ya que con el uso de sus reglas y formulas, permiten que el
proceso sea mucho más corto y que podamos expresar un
polinomio directamente sin necesidad de ir probando cada termino.
Ejemplo:
Binomio al cuadrado:
Suma:
( a + b)2 = a2 + b2 + 2 . a . b
6x + 2y ) = ( 6x)2 + ( 2y) 2+ 2. 6x . 2y = 36x2 + 4y2+ 24
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Resta:
( a- b)2= a2 + b2 – 2 . a . b
(3x-5y )2 = ( 3x)2 + ( 5y)2 – 2 . 3x . 5y = 9x2 + 25y2-
30xy
Binomio al cubo:
Suma:
(a+b) 3= a3+ 3. a2 .b+3.a.b2+b3
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Resta:
(a- b)3= a3 -3.a2.b+3.a.b2-b3
(3x – 2)3= (3x)3 – 3 . (3x)2 . 2 + 3 . 3x . 22 – 23 = 27 x3 – 54x2 + 36x
-8
Binomios conjugados:
( a+b). ( a –b) = a2 –b2
1) ( 9x + 2y ) . ( 9x – 2y ) = ( 9x)2 – ( 2y) 2 = 81x2 – 4y2
2) ( 3x + 5y) . ( 3x – 5y ) = ( 3x )2 – ( 5y)2 = 9x2 – 25y2
Binomios con un término común:
Formula: ( x + a ) . (x + b) = x2 + ( a + b) =x2 + ( a + b ) x + a. b
1)( x-10) . ( x – 3 )= x2 + ( -10 -3). x+ ( - 10) . ( -3) = x2 – 13x +30
2)( m3 + 5) .( m3 – 1) = (m3)2 + ( 5-1). m3 + 5.(- 1)= m6 + 4m3 - 5
Trinomio al cuadrado perfecto:
Formula: x2 +bx +c = 0
1) 2 .x2 – 8x+ 11 = 0 2) 4 . x – y2 + 8y= 0
(x2 – 8x + 16 – 16) + 11 =0 x= y2 – 8y
(x – 4)2 – 5 = 0 x = y2 – 8y + 16 - 16
(x – 4)2 = 5 x = ( y – 4 )2 - 16
Trinomio al cubo:
1)(x+ 4y – 2z)3
(x +4y -2z) . (x+4y – 2z) . (x +4y – 2z)=
• ( x +4y -2z) .(x)= x2 + 4xy -2xz
• (x +4y -2z) . (4y) = 4xy +16y2 -8yz
• (x +4y- 2z) . (-2z) = -2xz- 8yz+4z2
X2 + 4xy -2xz+4xy+ 16y2-8yz- 2xz-8yz+ 4z2=
X2+8yz-2xz-16yz+16y2+4z2
2)( x -2y +6z)3
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• ( x -2y + 6z )= x2 -2xy+ 6xz
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X2- 2xy + 6xz – 2xy + 4y2- 12yz+ 6xz – 12yz + 36z2
X2 -2xy + 6xz + 4y2 – 12yz + 36z2
Factorización por productos
notables
_Se considera la operación inversa a la multiplicación, pues el
propósito es hallar el producto de dos o más factores.
Factorización de un trinomio al cuadrado:
Un trinomio al cuadrado perfecto es una expresión algebraica
de la forma a2 + 2ab + b2, para saber si un trinomio es cuadrado
perfecto se debe saber que:
 Identificar si el primer y tercer término son cuadrados
perfectos obteniendo la raíz cuadrada de cada uno de los
términos.
 El segundo término debe ser el doble producto de la raíz
cuadrada de los términos anteriores.
Ejemplo:
1) x2 + 10x + 25 2)75 x2 + 18x +81 = ( 9x + 9)
(x+5) . (x+5) = ( x+ 5 )2
Factorización de un trinomio de segundo grado
_Un trinomio de segundo grado es una expresión algebraica de la
forma a2+bx +c , para determinar si un trinomio es de segundo grado
se debe:
 Identificar que tenga un término cuadrado, uno lineal y uno
independiente.
 Identificar si el primer término es cuadrado obteniendo la raíz
cuadrada del término
 Identificar que el término independiente no tenga raíz cuadrada.
Ejemplo:
1) X2 – 3x- 40= ( x – 8)(x+5) 2) x2- x- 90 = (x-10)(x+9)
(-8)(+5) = -40 (-10)(+9)=- 90
(-8) + (+5) = -3 (-10) + (+9) = -1
Factorización de un cuadrado a un binomio
_ Se llama diferencia de cuadrados a un binomio de la forma a2-b2, para
determinar si es una diferencia de cuadrados se debe:
 Identificar si tiene una raíz cuadrada los dos términos de la
expresión , si se cumple con ellos es una diferencia de cuadrados.
Ejemplo:
1) x2 –z2= √x 2 -√z2= (x+z)(x-z) 2) 9x2 -16y2= √9x2 -√16y2 = (3x+4y)(3x-4y )
x z 3x - 4y
Bibliografías
• W.W.W.Superprofesor.com
• W.W.W.Ejemplode.com
• W.W.W.Yosoytuprofesor.com
• W.W.W.RazonamientoPDF.com
• W.W.W.Matematicassn.blogspot.com
• W.W.W.Cienciamatematica.com
• W.W.W.Proyectos.Javerianacali.Edu.com
• W.W.W.Slidisher.com
• W.W.W.Cienciasmatematicas.com
• W.W.W.Matematicasparaestudiante.net.com
• W.W.W.Aulafacil.com
• W.W.W.Matematicatuya.com
• W.W.W.Matematica18.com
• W.W.W.Wikipedia.com

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  • 3. Suma y Resta de expresiones algebraicas Sumar y Restar Monomios: _Si dos monomios son semejante sumamos y restamos los coeficientes y dejamos el mismo literal. Si no son semejantes, esta operación no puede expresarse de manera más simplificada.
  • 4. 1)6x + 11x = 17x 2) 9xy + 10xy = 19xy 1)9yz – yz = 8 yz 2) 5x – 10x = 5x Sumar y Restar polinomios: _Para sumar o restar dos polinomios, operamos sus monomios semejantes. Si no tienen, dejamos la operación indicada. Ejemplo:  Suma: 1)P(x) = 10x + 6 P(x) + R(x) = 10x + 6 + 9x + 2 R(x) = 9x +2 = 10x + 9x +6+2 = 19x + 8 2)P(xy) = 9xy + 15 P(xy) + q ( xy) = 9xy + 15 + 6xy 4 q ( xy) = 6xy + 4 = 9xy + 6xy +15+ 4 = 14 xy + 19
  • 5.  Resta: 1)P(x) = 6x + 8 P(x) – q (x) = 6x + 8 – ( 9x + 3 ) Q (x) = 9x + 3 = 6x + 8 – 9x – 3 = 6x – 9x + 8 – 3 = -3x + 5 2)P (xy) = 19xy +2 Q (xy) = 3xy + 15 P(xy) – q ( xy) = 19xy + 2 - 3xy+ 15 = 19xy - 3xy + 2 -15 = 16xy – 13 Valor numérico de expresiones algebraicas _Para realizar las operaciones debes seguir un orden de jerarquía de las operaciones:  Se resuelven las operaciones entre paréntesis.  Potencias y radicales.  Multiplicaciones y divisiones.  Sumas y restas.
  • 6.  Calcular el valor numérico de los polinomios: 1) P(x) = x3 – 2.x2 + 3x +6 para X = -1. P (-1) = (-1)3 – 2. (-1)2 + 3 . ( -1 ) +6 = -1 -2 . 1+3 . (-1) +6 = -1- 2 – 3 +6 = 0 2) P(x) = x3 – 2.x2 + 3x + 8 para x=- 4 P (-4)= ( -4)3 – 2 . ( -4)2 + 3 . ( -4) + 8 = -64- 2 . 16+ 3. ( -4) +8 = - 64 – 32 – 12 + 8 = 100 Multiplicación y División de expresiones algebraicas _ La multiplicación de dos o más monomios se efectúa aplicando las reglas de la potenciación, de los signos, las propiedades asociativa y conmutativa del producto. Y Como resultado del producto de monomios se obtiene otro monomio. Ejemplo: 1) 2x3 . y4 . ( -6) . x . y6 = 2. (-6) . x3 . x . y4. y6 = -12 . x4. y10 2) 15x3 . 8x2 = 15 . 8 . x3 .x2 = 120 x3+2 = 120x5 Multiplicación de monomios:
  • 7. Multiplicación de polinomios: _En este caso se multiplica un polinomio con otro polinomio su resultado puede ser un polinomio, un número, o cero.  Se multiplica cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.  Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vista anteriormente. Ejemplo: 1) x3. x5 = x 3+5 = x8 2) x14 . x = x 14+1= x15 Multiplicación de monomios con polinomios _ se llama así, cuando un solo factor se encuentra se encuentra multiplicando un polinomio.  Se multiplica el termino del monomio por cada termino del polinomio, sumando dos exponentes de las literales iguales.  Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signo vistas anteriormente.  Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.
  • 8. Ejemplo: 1) P(x) = 5x2 + 4x P(x) . Q(x) =( 5x2 +4x ) . ( 3x) = ( 5x2) . ( 3x) + (4x). (3x)= Q(x) = 3x = 15x3 + 12x2 2) P(x) = 8x3+ 5x P(x) . R(x) = ( 8x3 + 5x ) . ( 6x) = ( 8x3) . ( 6x) + ( 5x) . ( 6x)= R( x) = 6x = 24x4 + 30x2 División de expresión algebraica _ En esta operación se aplica la regla de los signos, en cuanto a los demás elementos se aplican las siguientes reglas: Se dividen los coeficientes , si esto es posible, en cuanto a las literales si hay alguna que este tanto en el numerador como el denominador, si el exponente del numerador es el mayor se pone la literal en el numerador y al exponente se le resta el exponente de la literal del denominador, en caso contrario se pone la literal en el denominador y a su exponente se le resta el del numerador. Ejemplo: Dividir 9x3 . y2 entre 3x2. W 2) dividir 8x.y2 entre 4x .z 9x3. Y2 / 3x 2w 8x.y2 / 4x.z 9x3. Y2 / 3x2. w = 3xy / w 8x .y2/ 4x.z=2xy / z
  • 9. Productos notables de expresiones algebraicas _Se pueden decir que son el resultado de hacer una factorización, formada de polinomios, que poseen varios términos, son de gran ayuda ya que con el uso de sus reglas y formulas, permiten que el proceso sea mucho más corto y que podamos expresar un polinomio directamente sin necesidad de ir probando cada termino. Ejemplo: Binomio al cuadrado: Suma: ( a + b)2 = a2 + b2 + 2 . a . b 6x + 2y ) = ( 6x)2 + ( 2y) 2+ 2. 6x . 2y = 36x2 + 4y2+ 24 x.y Resta: ( a- b)2= a2 + b2 – 2 . a . b (3x-5y )2 = ( 3x)2 + ( 5y)2 – 2 . 3x . 5y = 9x2 + 25y2- 30xy
  • 10. Binomio al cubo: Suma: (a+b) 3= a3+ 3. a2 .b+3.a.b2+b3 ( x + 3)3= x3 +3. X2. 3+3.x. 32+ 33 = 8x3 – 36 x2 + 54x – 27 Resta: (a- b)3= a3 -3.a2.b+3.a.b2-b3 (3x – 2)3= (3x)3 – 3 . (3x)2 . 2 + 3 . 3x . 22 – 23 = 27 x3 – 54x2 + 36x -8 Binomios conjugados: ( a+b). ( a –b) = a2 –b2 1) ( 9x + 2y ) . ( 9x – 2y ) = ( 9x)2 – ( 2y) 2 = 81x2 – 4y2 2) ( 3x + 5y) . ( 3x – 5y ) = ( 3x )2 – ( 5y)2 = 9x2 – 25y2 Binomios con un término común: Formula: ( x + a ) . (x + b) = x2 + ( a + b) =x2 + ( a + b ) x + a. b 1)( x-10) . ( x – 3 )= x2 + ( -10 -3). x+ ( - 10) . ( -3) = x2 – 13x +30 2)( m3 + 5) .( m3 – 1) = (m3)2 + ( 5-1). m3 + 5.(- 1)= m6 + 4m3 - 5
  • 11. Trinomio al cuadrado perfecto: Formula: x2 +bx +c = 0 1) 2 .x2 – 8x+ 11 = 0 2) 4 . x – y2 + 8y= 0 (x2 – 8x + 16 – 16) + 11 =0 x= y2 – 8y (x – 4)2 – 5 = 0 x = y2 – 8y + 16 - 16 (x – 4)2 = 5 x = ( y – 4 )2 - 16 Trinomio al cubo: 1)(x+ 4y – 2z)3 (x +4y -2z) . (x+4y – 2z) . (x +4y – 2z)= • ( x +4y -2z) .(x)= x2 + 4xy -2xz • (x +4y -2z) . (4y) = 4xy +16y2 -8yz • (x +4y- 2z) . (-2z) = -2xz- 8yz+4z2 X2 + 4xy -2xz+4xy+ 16y2-8yz- 2xz-8yz+ 4z2= X2+8yz-2xz-16yz+16y2+4z2 2)( x -2y +6z)3 ( x- 2y + 6z) . (x – 2y+ 6z) . ( x – 2y + 6z)= • ( x -2y + 6z )= x2 -2xy+ 6xz • ( x – 2y +6z) =- 2xy + 4y2 - 12yz • ( x – 2y +6z) = 6xz – 12yz + 36z2 X2- 2xy + 6xz – 2xy + 4y2- 12yz+ 6xz – 12yz + 36z2 X2 -2xy + 6xz + 4y2 – 12yz + 36z2
  • 12. Factorización por productos notables _Se considera la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito es hallar el producto de dos o más factores. Factorización de un trinomio al cuadrado: Un trinomio al cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma a2 + 2ab + b2, para saber si un trinomio es cuadrado perfecto se debe saber que:  Identificar si el primer y tercer término son cuadrados perfectos obteniendo la raíz cuadrada de cada uno de los términos.  El segundo término debe ser el doble producto de la raíz cuadrada de los términos anteriores. Ejemplo: 1) x2 + 10x + 25 2)75 x2 + 18x +81 = ( 9x + 9) (x+5) . (x+5) = ( x+ 5 )2
  • 13. Factorización de un trinomio de segundo grado _Un trinomio de segundo grado es una expresión algebraica de la forma a2+bx +c , para determinar si un trinomio es de segundo grado se debe:  Identificar que tenga un término cuadrado, uno lineal y uno independiente.  Identificar si el primer término es cuadrado obteniendo la raíz cuadrada del término  Identificar que el término independiente no tenga raíz cuadrada. Ejemplo: 1) X2 – 3x- 40= ( x – 8)(x+5) 2) x2- x- 90 = (x-10)(x+9) (-8)(+5) = -40 (-10)(+9)=- 90 (-8) + (+5) = -3 (-10) + (+9) = -1 Factorización de un cuadrado a un binomio _ Se llama diferencia de cuadrados a un binomio de la forma a2-b2, para determinar si es una diferencia de cuadrados se debe:  Identificar si tiene una raíz cuadrada los dos términos de la expresión , si se cumple con ellos es una diferencia de cuadrados. Ejemplo: 1) x2 –z2= √x 2 -√z2= (x+z)(x-z) 2) 9x2 -16y2= √9x2 -√16y2 = (3x+4y)(3x-4y ) x z 3x - 4y
  • 14. Bibliografías • W.W.W.Superprofesor.com • W.W.W.Ejemplode.com • W.W.W.Yosoytuprofesor.com • W.W.W.RazonamientoPDF.com • W.W.W.Matematicassn.blogspot.com • W.W.W.Cienciamatematica.com • W.W.W.Proyectos.Javerianacali.Edu.com • W.W.W.Slidisher.com • W.W.W.Cienciasmatematicas.com • W.W.W.Matematicasparaestudiante.net.com • W.W.W.Aulafacil.com • W.W.W.Matematicatuya.com • W.W.W.Matematica18.com • W.W.W.Wikipedia.com