Este documento resume la transformada de Fourier, que convierte una señal en el tiempo en un espectro de frecuencias. Explica que la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias de una señal durante el tiempo en que existió, a diferencia del oído humano que percibe frecuencias que cambian con el tiempo. También describe propiedades como la linealidad, cambios de escala y traslación en la variable y la transformada, y cómo la convolución y la derivada se relacionan con la transformada.

1. La Transformada
De
Fourier
Randy Guerrero
CI:24.778.102
Ing. Civil

2.  La transformadadeFourier :es básicamenteelespectro defrecuenciasdeuna
función.Un buen ejemplo deesoes lo quehaceel oídohumano,yaquerecibe
unaondaauditivayla transformaen unadescomposición en distintas
frecuencias(que es loque finalmenteseescucha).El oídohumanova
percibiendodistintasfrecuenciasamedida que pasael tiempo,sin embargo,la
transformadadeFouriercontiene todaslas frecuenciasdeltiempo duranteel
cualexistió la señal;es decir, en la transformadadeFourierseobtieneunsólo
espectrodefrecuencias paratodala función.

3.  Definiciónformal:
Seaf unafunciónLebesgue integrable:
LatransformadadeFourierde fesla función
Estaintegral tienesentido,puesel integrandoesuna
funciónintegrable.Una estimativasimple demuestraquela
transformadadeFourierF(f) esunafunciónacotada.
Ademáspormedio del teoremade convergenciadominada
puededemostrarsequeF(f) escontinua.

4.  La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:
Nótesequela únicadiferencia entrela transformada
deFourieryla transformadadeFourierinversa esel
signo negativo en el exponentedel integrando.El
teoremadeinversión de Fourier formuladoabajo
justificael nombredetransformadadeFourierinversa
dadoa estatransformada.Elsigno negativoen el
exponentedelintegradoindicala traspolaciónde
complementosyuxtapuestos.Estoscomplementos pueden
seranalizadosatravésdela aplicacióndela varianzapara
cadafunción.

5.  Suspropiedadesbasicas:
LatransformadadeFourieresunaaplicaciónlineal:
Valen lassiguientes propiedadesparaunafunciónabsolutamenteintegrable f:
Cambiodeescala:
Traslación:
Traslaciónen la variabletransformada:

6. Transformadadeladerivada:
Sify suderivadasonintegrables
Derivada dela transformada: Si f y t → f(t)} f(t) son integrables, la transformada
deFourier F(f) es diferenciable
Estasidentidadessedemuestranporuncambio de variableso integraciónpor
partes.
Enlo que sigue, definimosla convoluciónde dos funcionesfy gen la rectadela
manerasiguiente:

7. Nuevamente lapresencia del factordelantedela integral simplificael enunciadodelosresultados
como el que sigue: Si fyg sonfuncionesabsolutamenteintegrables,laconvolución tambiénes
integrable,yvalela igualdad:
Tambiénpuedeenunciarseun teoremaanálogoparala convoluciónen lavariable transformada,
peroeste exige ciertocuidadoconel dominiodedefinición de latransformadadeFourier.

8. Algunos ejercicios deFourier:
CalcularF(w) para el pulso rectangularf(t) siguientes