La transformada de Fourier descompone una función en su espectro de frecuencias. Se define formalmente como la integral de la función multiplicada por un exponencial complejo. Sus propiedades incluyen ser lineal, cambiar de escala con la traslación en el dominio o en la variable transformada, y relacionar la derivada de la función con la transformada de la derivada. La transformada de Fourier inversa reconstruye la función original a partir de su espectro de frecuencias.

1. La Transformada De Fourier
Luis Hernández
CI: 26.014.161
Ing. Civil
Matemáticas VI
Sección «B»

2. La transformada de Fourier : es básicamente el espectro de frecuencias de
una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que
recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas
frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va
percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo,
la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante
el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un
sólo espectro de frecuencias para toda la función.

3. Definición formal:
Sea f una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de fes la función
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una
función integrable. Una estimativa simple demuestra que la
transformada de Fourier F(f) es una función acotada.
Además por medio del teorema de convergencia dominada
puede demostrarse que F(f) es continua.

4. La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está
definida por:
Nótese que la única diferencia entre la transformada
de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el
signo negativo en el exponente del integrando. El
teorema de inversión de Fourier formulado abajo
justifica el nombre de transformada de Fourier inversa
dado a esta transformada. El signo negativo en el
exponente del integrado indica la traspolación de
complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden
ser analizados a través de la aplicación de la varianza para
cada función.

5. Sus propiedades básicas:
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente
integrable f:
Cambio de escala:
Traslación:
Traslación en la variable transformada:

6. Transformada de la derivada:
Si f y su derivada son integrables
Derivada de la transformada: Si f y t → f(t)} f(t) son
integrables, la transformada de Fourier F(f) es
diferenciable
Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o
integración por partes.
En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f y g en la
recta de la manera siguiente:

7. Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el
enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones
absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la
igualdad:
También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la
variable transformada,
pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la
transformada de Fourier.

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