Este documento presenta una introducción a la Transformada de Fourier, una herramienta matemática que transforma señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Explica que la Transformada de Fourier descompone una función en sus componentes de frecuencia, y que la Transformada inversa puede usarse para reconstruir la función original. También incluye ejemplos de cálculo de Transformadas de Fourier para diferentes funciones simples.

1. República Bolivariana De Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
Santiago Mariño
Extensión San Cristóbal
Matemáticas IV
Integrante:
Jeilyn García R.
C.I: 26.594.338
Escuela:
Ing. Industrial
San Cristóbal, Julio 2016

2. La Transformada de Fourier
La transformada de Fourier (pr. fʊrieɪ), denominada así por Joseph Fourier, es una
transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del
tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la
física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los
dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación
como a la función que produce.
Es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es
lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una
descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído
humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin
embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo
durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un
sólo espectro de frecuencias para toda la función.
Transformada integral:
,
Entonces se puede recuperar la función mediante otra transformada
integral,
,
Llamada transformada inversa. A las funciones y se les
llama núcleos de sus transformadas respectivas. El teorema de inversión de
Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa
dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado
indica la traspiración de complementos yuxtapuestos.
se F(x) una función definida en -∞ a ∞ entonces su transformada de Fourier no
es más que el coeficiente cw de la integral de Fourier en forma compleja para
F(x)

3. Definición formal
Sea f una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de f es la función
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una
estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función
acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede
demostrarse que F(f) es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida
por:
Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la
transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del
integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el
nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo
negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos
yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la
aplicación de la Varianza para cada función.
Transformada de Fourier de funciones simples

5. Ejemplos
1. Encontrar la trasformada de Fourier de la función impulso
Definición de impulso:
y
2. Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función:
SOLUCIÓN:
Por propiedades del valor absoluto se sabe que:
Entonces:
Entonces al evaluar estos resultados por sus determinados parámetros se sabe
que al evaluarlo por los límites infinito(00) y menos infinito (-00) el resultado es
cero por lo tanto:

6. 3. Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función: ¿F [f (t)]
(w)?
SOLUCIÓN:

7. 4. Encuentre la Transformada de Fourier de definida por :
Donde
Solución:
De Acuerdo con:
Se tiene que
5. Encuentre su transformada de Fourier
Observamos que hay un corrimiento
Entonces la transformada nos queda

8. 6. Demostrar que :
Partiendo de la definición
Por lo tanto demostramos que:
7.