La transformada de Fourier es una transformación matemática que convierte señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Es reversible y tiene aplicaciones en física e ingeniería. Transforma una función en su espectro de frecuencias. El documento explica la definición matemática de la transformada de Fourier, sus propiedades básicas como la linealidad y cómo se aplica a funciones simples.

1. Transformada
de Fourier
Erwin Sánchez
C.I:24.148.458
Matemática IV
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión San Cristóbal

2. Transformada de Fourier
Denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática
empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el
dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la
ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los
dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de
transformación como a la función que produce.
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una
función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe
una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas
frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va
percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la
transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el
cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo
espectro de frecuencias para toda la función.

3. La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder
a una función f de valores complejos y definida en la recta, con otra
función g definida de la manera siguiente:
Donde f es L1, es decir, f tiene que ser una función integrable en el
sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral
en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes
a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la
transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es
universal. En la práctica las variables  y  suelen estar asociadas a
dimensiones como el tiempo —segundos— y frecuencia —herzios—
respectivamente, si se utiliza la fórmula alternativa:

4. • Propiedades básicas
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
• Valen las siguientes propiedades para una función
absolutamente integrable f:
• Cambio de escala:
• Traslación:
• Traslación en la variable transformada:
• Transformada de la derivada: Si f y su derivada son
integrables,

5. • Derivada de la transformada: Si f y t → f (t) son integrables, la
transformada de Fourier F(f) es diferenciable
• Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o
integración por partes.
En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f y g en la
recta de la manera siguiente:
• Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el
enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones
absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y
vale la igualdad:
También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en
la variable transformada, pero este exige cierto cuidado con el dominio
de definición de la transformada de Fourier.

6. Transformada Inversa de Fourier
Transformada de Fourier de funciones simples

7. Ejemplo 1.
Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función:
solución:
Por propiedades del valor absoluto se sabe que:
Entonces:
Entonces al evaluar estos resultados por sus determinados parámetros se sabe que al
evaluarlo por los límites infinito(00) y menos infinito (-00) el resultado es cero por lo
tanto:

8. Ejemplo 2.
Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función
Solución:

9. Ejemplo 3.
Ejemplo 4.

10. Ejemplo 5.
Ejemplo 6.
Ejemplo 7.