Notas de clase de Razonamiento Cuantitativo

Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2
Razonamiento Cuantitativo
Con especial cariño a
mi madre Delva por su crianza,
por la semilla que sembraste en
mí, a Lilia mi esposa, por su
apoyo, estimulo, comprensión y
sacrificio, a mis hijos porque
son mi fuente de inspiración, a
todas aquellas personas que
han creído en mi trabajo y que
me han dado la oportunidad de
seguir creciendo cada día y a
mis estudiantes a quienes va
dirigido este trabajo.
Gracias
José Francisco Barros Troncoso
Julio 24 de 2016

Contenido
LA MATEMÁTICA...........................................................................................................................6
LÓGICA............................................................................................................................................7
Conectivos Lógicos.....................................................................................................................8
Interpretación oracional Idiomática.......................................................................................13
Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas ........................................................15
Tablas de Verdad......................................................................................................................15
Equivalencia Lógica: Algebra de proposiciones.....................................................................16
Leyes del Algebra de Proposiciones........................................................................................17
Inferencias Lógicas...................................................................................................................18
Reglas de Inferencia.................................................................................................................18
Cuantificación de Enunciados .................................................................................................25
Clasificación de las Proposiciones Categóricas por la Cualidad y la Cantidad......................26
CONJUNTO....................................................................................................................................29
Notación de Conjunto ..................................................................................................................29
Tipos de Conjuntos ..................................................................................................................29
Relación entre Conjuntos.........................................................................................................29
Representación Gráfica de un Conjunto .................................................................................29
Operación entre Conjuntos......................................................................................................30
Número de Elementos de un Conjunto...................................................................................32
SISTEMAS DE NUMERACIÓN ......................................................................................................42
El Número.................................................................................................................................42
Los Operadores ........................................................................................................................43
Reglas de prioridad de los operadores aritméticos ...............................................................44
Criterios de Divisibilidad.........................................................................................................46
Sistemas de Numeración .........................................................................................................47
Números Naturales..................................................................................................................47
Números Enteros .....................................................................................................................56
Números Racionales ................................................................................................................60
Números Mixtos...........................................................................................................................64
Número Decimal ......................................................................................................................71
Número Irracional....................................................................................................................74
Números Complejos.................................................................................................................75
La unidad imaginaria 𝐢.............................................................................................................75

RAZÓN Y PROPORCIÓN ...............................................................................................................79
Razón ........................................................................................................................................79
Proporción................................................................................................................................80
Magnitudes Directamente Proporcionales.............................................................................82
Magnitudes inversamente proporcionales.............................................................................90
Regla de tres compuesta..........................................................................................................93
Repartos Directamente Proporcionales .................................................................................98
Repartos Inversamente Proporcionales...............................................................................100
LA GEOMETRÍA Y SISTEMAS DE MEDIDAS..............................................................................103
Unidades de Medida...............................................................................................................104
Unidades de Longitud............................................................................................................106
Perímetro................................................................................................................................107
Unidades de Longitud del Sistema Ingles.............................................................................111
Unidades de Superficie ..........................................................................................................114
Área.........................................................................................................................................114
Unidades Agrarias..................................................................................................................120
Unidades de Volumen............................................................................................................122
Unidades de Capacidad..........................................................................................................126
Unidades de Masa ..................................................................................................................129
Unidades de Tiempo ..............................................................................................................130
POTENCIACIÓN RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN.................................................................133
Potenciación ...........................................................................................................................133
Radicación ..............................................................................................................................137
Logaritmación ........................................................................................................................142
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ...................................................................................................146
Conceptos Básicos..................................................................................................................146
Suma y Diferencia de Términos Algebraicos........................................................................148
Multiplicación de Términos Algebraicos ..............................................................................149
Expresión Algebraica.............................................................................................................152
Productos Notables................................................................................................................152
División de Monomios ...........................................................................................................156
Factorización..........................................................................................................................160
Fracciones Algebraicas ..........................................................................................................171
Racionalización de Denominadores......................................................................................172

ECUACIONES ..............................................................................................................................174
Ecuaciones Lineales...............................................................................................................174
Escritura de Expresiones y Ecuaciones ................................................................................191
Sistemas de Ecuaciones Lineales ..........................................................................................191
Ecuaciones Cuadráticas .........................................................................................................181
Solución de ecuaciones cuadráticas..........................................................................................181
Ecuaciones con Radicales ........................................................... ¡Error! Marcador no definido.
Ecuaciones Exponenciales.....................................................................................................187
Ecuaciones Logarítmicas .......................................................................................................189
INECUACIONES ..........................................................................................................................213
Desigualdades ........................................................................................................................213
Intervalos................................................................................................................................215
Inecuaciones Lineales............................................................................................................216
FUNCIÓN.....................................................................................................................................224
Representación de una Función............................................................................................224
Imagen de una Función..........................................................................................................229
Gráfica de Funciones..............................................................................................................233
Función Lineal.......................................................................................................................234
Función Cuadrática ................................................................................................................241
Función Polinómica de Grado Superior a Dos......................................................................246
Función Exponencial..............................................................................................................247
Función Logarítmica ..............................................................................................................250
Función Cociente o Racional..................................................................................................258
Función Por Partes o Por Trozos..........................................................................................261
ESTADISTICA..............................................................................................................................269
Objetivo Fundamental de la Estadística ...............................................................................269
Tipos de Estadística ...............................................................................................................269
Otras definiciones ..................................................................................................................269
Distribución de Frecuencias..................................................................................................270
Diagrama de Barras ...............................................................................................................270
Diagrama de Sectores ............................................................................................................271
Medidas de Tendencia Centra o Centralización ...................................................................272
BIBLIOGRAFÍA ...........................................................................................................................273

LA MATEMÁTICA
¿Qué es MATEMÁTICA? Del latín. Mathematĭca, y este del griego τὰ μαθηματικά,
derivado de μάθημα, que significa ciencia, conocimiento, aprendizaje
La matemática es la ciencia que mejor conocemos porque el número es una creación
humana.
La matemática es un modo de pensar, un modo de razonar. Se puede usar para
comprobar si una idea es cierta, o por lo menos, si es probablemente cierta. La
matemática es un campo de exploración e invención, en el que se descubren nuevas
ideas cada día, y también es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase
de problemas en las ciencias, el gobierno y la industria. Es un lenguaje simbólico que
es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra. ¡Hasta ha llegado a
sugerirse que la matemática sería el lenguaje que entendería los habitantes de Marte
(si existieran)!
Obtenido del libro: EXPLORANDO LA MATEMATICA, tomo 1
En general podemos concluir que el objetivo general de la matemática es la búsqueda
del desarrollo del pensamiento lógico del hombre.
¿Cuál es el problema de la matemática? A través de la historia la matemática ha sido
y es una de las áreas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de
enseñanza y aprendizaje, ¿Por qué? ¿Cómo se justifica dicha complejidad?
 No sea comprendido el problema de las matemáticas.
 Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad. (¿Falta trabajo en la
formación de los docentes?)
 Su orden
 Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes)
 Su perfección formal (Su rigurosidad)
 Terror de la sociedad.
 La figura del docente
Hoy en día son muchas las personas que están trabajando en el diseño de estrategias
que permitan mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que
requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas
significativos y comprensivos, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y
más complejos.
http://jaa-matematicas.blogspot.com/2006/10/qu-es-la-matemtica.html
http://www.sectormatematica.cl/simce.htm

LÓGICA
Lógica (Del lat. logĭca, y este del gr. ∧ογική).
1. f. Ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento científico. Formal,
o ~ matemática.
1. f. La que opera utilizando un lenguaje simbólico artificial y haciendo abstracción de
los contenidos.
Tomado de: http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=logica
La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de
la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo ∧ογική
(logike), que significa "dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo", que a
su vez viene de ∧όγος (logos), "palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o
principio".
Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel
elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un
argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar
teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los
programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos;
y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de
problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para
realizar cualquier actividad.
Tomado de: http://www.mitecnologico.com/Main/Proposiciones
Una Proposición es una expresión u oración declarativa con sentido completo que no
depende de la persona, ni del espacio ni del tiempo. Toda proposición tiene un valor
de verdad que puede ser verdadero o falso pero no ambas a la vez, esto es una ley
denominada ley del tercer excluido. La proposición es el elemento fundamental de la
lógica matemática. Una proposición se expresa generalmente con letra minúscula, dos
puntos y a continuación la oración.
Algunos ejemplo de proposiciones validas o no validas son:
𝑝: La tierra es plana.
𝑞: Los médicos prolongan la enfermedad de los pacientes
𝑟: Ningún abogado es honesto (No)
𝑠: Los economistas pronostican fenómenos físicos
𝑡: Buenos días (No)
𝑤: Hoy es lunes (No)
𝑣: Hace Calor (No)
𝑥: Santa Marta es más bonita que Valledupar (No)

Conectivos Lógicos
Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas. Las proposiciones simples
están formadas por una sola oración y las compuestas por más de una oración y
enlazadas por conectivos lógicos a saber: la negación, disyunción, conjunción,
condicional y bicondicional.
La Negación
Si a una proposición simple se le antepone la expresión no es cierto o se le interpone
el adverbio no se forma una proposición compuesta llamada la negación de la
proposición principal. Se simboliza con ~ 𝑝. Si p es una proposición simple, la negación
de p se representa ~ p y se lee no p.
Tabla de verdad
Utilizaremos los números 1 y 0 para indicar que las proposiciones son verdaderas o
falsas respectivamente
𝑝 ~ 𝑝
1 0
0 1
Nótese que si la proposición es verdadera su negación es falsa y viceversa
Ejercicio. Niegue cada una de las siguientes proposiciones
𝑎: La matemática es la madre de todas las ciencias
𝑏. Las drogas genéricas no sanan
𝑐: Algunas leyes no son claras
𝑑: Colombia tiene la mejor democracia en América Latina
𝑒: El hombre no es el único animal racional
𝑓: No es cierto que todas las aves vuelan
𝑔: No hay nadie en casa
La Disyunción
Es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples. Se
representa con el símbolo v se lee o. Si p y q son proposiciones simples la disyunción
de p y q se representa p v q se lee p o q.
Tabla de verdad
𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Nótese que la disyunción solamente es falsa si las dos proposiciones son falsas
Ejercicios: Escriba la proposición compuesta e indique su valor de verdad si:
r: Simón Bolívar era venezolano
s: Simón Bolívar era colombiano.
Entonces: r v s≡
p: La tierra es redonda
q: La tierra es ovalada
Entonces: 𝑝 ∨ 𝑞 ≡
p: La ballena es un mamífero
s: La ballena no tiene branquias
Entonces: 𝑝 ∨ 𝑠 ≡
p: El calentamiento global es consecuencia de que la tierra se acerca al sol
s: El calentamiento global es consecuencia del número de habitantes de la
tierra
Entonces: ~(𝑝 ∨ 𝑞) ≡
p: La evolución tecnológica ha retrasado la evolución del hombre
s: La evolución tecnológica no aporta a la inteligencia del hombre
Entonces: 𝑝 ∨ 𝑠 ≡
La Disyunción Exclusiva Es un caso especial de disyunción cuyo símbolo es v, que se
diferencia del anterior en que solo es verdadera cuando una y solamente una de las
proposiciones es verdadera.
La Conjunción
representa con el símbolo ∧ se lee y. Si p y q son proposiciones simples la conjunción
de p y q se representa p ∧ q se lee p y q.
Tabla de verdad
𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

Nótese que la conjunción es verdadera solo cuando las dos proposiciones son
verdaderas.
r: Simón Bolívar era venezolano
s: Simón Bolívar lidero la libertad de las chilenos.
Entonces: 𝑟 ∧ 𝑠 ≡
p: La tierra es redonda
q: La tierra es achatada en los polos
Entonces: 𝑝 ∧ 𝑞 ≡
p: La ballena tiene branquias
s: La ballena es un mamífero
Entonces: ~𝑝 ∧ 𝑠 ≡
p: La Sierra nevada de Santa Marta pertenece al Cesar
s: La sierra nevada de Santa Marta está afectada por el calentamiento
global
Entonces: 𝑝 ∧ ~𝑠 ≡
p: La evolución tecnológica ha retrasado la evolución del hombre
s: La evolución tecnológica aporta a la inteligencia del hombre
Entonces: ~(𝑝 ∧ 𝑠) ≡
El Condicional
representa con el símbolo→ se lee Si...entonces. Si p y q son proposiciones simples el
condicional de p y q se representa p → q se lee Si p entonces q.
Tabla de verdad
𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Nótese el condicional solo es falso cuando la primera proposición es verdadera y la
segunda es falsa.
r: Todos los peces son ovíparos

s: La ballena no es pez
Entonces: r → s≡
p: Colombia es el tercer país más rico en agua
q: En Colombia hay problemas con el consumo de agua
Entonces: p → ~ q≡
p: Colombia instalará bases militares de EEUU
s: Venezuela mantiene relaciones con Colombia
Entonces: ~𝑝 → 𝑠 ≡
p: Los paramilitares devuelven las tierras
s: Hay desplazados en Colombia
Entonces: p → ~ s≡
p: La evolución tecnológica ha mejorado el nivel de vida del hombre
s: El hombre ha aprovechado la evolución tecnológica
Entonces: p → s≡
Tipos de Condicionales
Dado la condicional p→q denominada condicional directa entonces se denomina:
 Contraria: la condicional ~ p → ~ q
 Reciproca: la condicional q → p
 Contra-reciproca: la condicional ~q → ~p
Ejercicio:
Escriba la contraria, la recíproca y la contra-reciproca de cada proposición
1. Si los países vecinos a Colombia colaboran con los grupos insurgentes entonces no
son países amigos
2. Si no aumenta el precio del petróleo entonces disminuye el consumo de
biocombustible
3. Si el banco de la República sube las tasas de interés entonces no se estimula la
actividad económica y se desacelera la economía
4. Si la administración del recurso público es eficiente entonces no hay que crear
nuevos impuestos
5. Si los ingresos de la Nación se reducen de manera drástica entonces la confianza
inversionista en el país disminuirá y se provocará salida de capitales.
6. Si continua el encarecimiento del dólar entonces no crece la producción o
disminuye los ingresos para el Estado
Salud
1. Si las niñas presentan mejoría entonces no se le puede diagnosticar una
enfermedad

2. Si el flujo sanguíneo no es regular entonces el vaso capilar esta obstruido
3. Si la salud es un negocio entonces no hay médicos humanistas
4. Si no actualizan las historias clínicas entonces la atención médica es deficiente
5. Si no aumenta la inversión en salud entonces cerraran los hospitales y no habrá
atención médica.
6. Si hay fiebre y no expectora entonces se tiene que recetar antibiótico y no
expectorante.
7. Si es una enfermedad rara entonces no es fácil su diagnóstico y
El Bi-condicional
representa con el símbolo ↔ se lee Si .. Solo si. Si p y q son proposiciones simples la
bicondicional de p y q se representa p ↔ q se lee p si solo si q.
Tabla de verdad
p Q p ↔ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Nótese la bi-condicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones
son iguales.
Ejercicios: Escriba la proposición compuesta e indique su valor de verdad si
r: En Colombia hay paz
s: En Colombia todos los gobernantes son honestos
Entonces: r ↔ s≡
p: x + 5 = 7
q: x = 2
Entonces: p ↔ q≡
p: Las células vegetales poseen cloropastos
s: Las células vegetales poseen clorofila
Entonces: p ↔ s≡
p: Los paramilitares devuelven las tierras
s: Los paramilitares tienen garantizado el reintegro a la sociedad
p: El Unión Magdalena volverá a la primera categoría

s: El unión Magdalena es vendido
p: Haití es el país más pobre del mundo
s: Haití es el país con mayor posibilidad de invasión extranjera
Equivalencias de los Conectores
Conector Lenguaje Común
Negación No; No es cierto que; no es el caso que
Conjunción Y: Pero; Sin embargo; Además; Aunque; A la vez; No
obstante, Ni
Disyunción O;
Condicional “Si… entonces…”; “Por lo tanto”, “…si…”, “…dado
que…”; “siempre que…”; “… porque…”; “…en vista
que…”
Bicondicional “Si y solo si”
Interpretación oracional Idiomática
Se denomina interpretación idiomática, a cualquier enunciado cuya estructura
coincida con una proposición dad:
Ejercicio. Interprete oracionalmente cada enunciado, identifique las proposiciones
simples y represente en forma simbólica
1. Si los estudiantes son responsables de sus compromisos y muestran interés en el
estudio de su profesión entonces la universidad mejora el nivel académico o
buscará estrategias para la deserción
2. Si el hombre fuera racional entonces no construyera armas lesivas para la
humanidad
3. Es falso, que las rosas son rojas y las violetas son azules
4. Si las políticas de estado son buenas entonces el país no estaría en guerra
5. Si Colombia es el país que más abastece a Venezuela y Venezuela es el principal
comprador de los productos colombianos entonces las diferencias en sus
presidentes no convienen a ninguno de los dos países
6. Los residentes cancelarán la administración si solo si la junta administradora
cambia al administrador o abren una cuenta bancaría donde se pague la
administración

7. Si el calentamiento global es producto de la contaminación ambiental o de la tala
indiscriminada de árboles, entonces no, a la contaminación ambiental y a la tala
indiscriminada de arboles
8. La inversión social se mejora si solo si se implementan políticas de fortalecimiento
tributario y no hay corrupción administrativa.
9. Si no es cierto que, el decrecimiento sea un modelo económico y no social entonces
su idea principal relaciona la producción y al ser humano.
10. Si los ingresos de la Nación se reducen de manera drástica entonces la confianza
inversionista en el país disminuirá y se provocará salida de capitales.
11. Si continua el encarecimiento del dólar entonces no crece la producción o
disminuye los ingresos para el Estado
Salud
12. Si la mayoría de las menores de edad se han quejado de dolor de cabeza y no han
presentado movimientos anormales entonces el diagnostico no pueden ser
clasificados como convulsiones o alteración del sistema nervioso.
13. Si la salud en Colombia es administrada por políticos o no profesionales de la salud
entonces se seguirán creando clínicas de garaje y no gozaremos de un servicio de
salud óptimo
14. En Colombia habrá una población sana si solo si la salud no se trata como un
negocio y los pacientes como clientes
15. Si las estadísticas sobre las enfermedades raras son pobres o no existen entonces
no se tiene identificada la población vulnerable y hay un alto desconocimiento
médico
16. Si la salud es una empresa entonces los médicos son mercaderes y los pacientes sus
clientes.

Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas
Los diagramas de verdad nos permiten conocer el valor de verdad de un enunciado
compuesto
Ejercicio. Hallar el valor de cada proposición si: 𝑎 (1), 𝑏(0), 𝑐(0) 𝑦 𝑑(1)
1. (𝑎 ∧ 𝑏) → 𝑐
2. (𝑏 ∨ 𝑐) ↔ 𝑑
3. ~(𝑏 ∨ 𝑑) → (~𝑏 ∨ ~𝑑)
4. [(𝑑 ∧ 𝑎) ∨ 𝑐] ↔ [(𝑑 ∨ 𝑐) ∧ (𝑎 ∨ 𝑣 𝑐)]
5. 𝑐 → (𝑎 ∧ ~𝑐)
Ejercicios
Hallar el valor de cada proposición
1. [∼ ( 𝑝 ∧∼ 𝑞)] → [∼ 𝑝 ∨ 𝑞] , con 𝑝(0) 𝑦 𝑞(1)
2. {[(𝑝 ↔∼ 𝑞) ∨ 𝑟] →∼ 𝑝} , con 𝑝(0), 𝑞(0) 𝑦 𝑟(1)
Tablas de Verdad
Una tabla de verdad es un diagrama que permite determinar claramente cuando una
proposición compuesta es verdadera, falsa o variada.
Si todos los valores de verdad de una proposición compuesta son verdaderos se
denomina una tautología, por ejemplo [𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞)], si son falsos una contradicción,
por ejemplo [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ ~𝑞], de lo contrario se llama indeterminada o contingencia,
por ejemplo [(p ∨ q) →~p].
El proceso de construcción de una tabla de verdad inicia por determinar el número de
combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones simples
constituyentes. Si la proposición consta de n proposiciones simples diferentes, puesto
que cada una de ellas tiene dos valores posibles (verdadero o falso) habrá 2n
combinaciones posibles de valores.
Ejercicio. Construir la tabla de verdad de cada proposición compuesta e indique su
tipo
1. ( 𝑝 → 𝑞) ∧ ( 𝑝 ∧ ~𝑞)
𝑝 𝑞 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑝 ∧ ~𝑞 ( 𝑝 → 𝑞) ∧ ( 𝑝 ∧ ~𝑞)
1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0
La proposición es una contradicción

2. ~(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ~( 𝑞 ↔ 𝑝)
𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ~( 𝑝 ∧ 𝑞) 𝑞 ↔ 𝑝 ~( 𝑞 ↔ 𝑝) ~(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ~( 𝑞 ↔ 𝑝)
1 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 1
0 0 0 1 1 0 1
La proposición es indeterminada o contingencia
3. {(𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞} → ~𝑝
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 (𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞 {(𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞} → ~𝑝
1 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1
La proposición es una tautología
4. {(𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝} → 𝑞
5. ~{ 𝑝 → [~𝑝 → ( 𝑞 ∨ ~𝑞)]}
6. ( 𝑝 ∨ 𝑞) ↔ ~( 𝑝 ∨ 𝑞)
7. [( 𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝] → 𝑞
8. [(𝑝 ↔ ~𝑞)˄ 𝑞] → ~𝑝
9. [∼ ( 𝑝˄ ∼ 𝑞)] → [∼ 𝑝˅𝑞]
10. (𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑟
11. {[(𝑝 ↔∼ 𝑞) ∨ 𝑟] →∼ 𝑝}
12. (𝑝 → 𝑞) ↔ (∼ 𝑝 ⋁ 𝑞)
Equivalencia Lógica: Algebra de proposiciones
Se dice que dos proposiciones 𝑃(𝑝, 𝑞, … ) 𝑦 𝑄(𝑝, 𝑞, … ) son lógicamente equivalentes si
tienen idénticas tablas de verdad, se denota 𝑃(𝑝, 𝑞, … ) ≡ 𝑄(𝑝, 𝑞, … ).
Por ejemplo. Consideremos las tablas de verdad de las proposiciones
~ (p ∧ q) y ~p v ~ q
P Q p ∧ q ~(p ∧ q) p q ~p ~ q ~p v ~ q
1 1 1 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 1 0 0 1 1 1

Como los resultados finales de las tablas de verdad son iguales, las proposiciones son
equivalentes es decir ∼ (𝑝 𝛬 𝑞) ≡ (∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞)
Ejercicio.
Verifique la equivalencia de la siguiente proposición
1. (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ∼ (∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞)
2. 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑝 ∧ 𝑞)
3. [∼ (∼ 𝑝 → 𝑞)] ≡ [∼ 𝑝˄ ∼ 𝑞]
Las proposiciones satisfacen muchas equivalencias lógicas, o leyes, a continuación
enunciamos unas de las más importantes, t denota tautología y f contradicción
Leyes del Algebra de Proposiciones
Leyes Proposiciones
Idempotencia p v p ≡ p p ∧ p ≡ p
Asociativas (p v q) v r ≡ p v (q v r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
Conmutativas (p v q) ≡ (q v p) (p ∧ q) ≡ (q ∧ p)
Distributivas
p v (q ∧ r) ≡ (p v q) ∧(p v
r)
p ∧ (q v r) ≡ (p ∧ q) v(p ∧ r)
Leyes de
identidad
P v f ≡ p P ∧ t ≡ p P v t ≡ t P ∧ f ≡ f
Leyes de
complementos
p v ~p ≡ t p ∧ ~p ≡ f ~t ≡ f ~f ≡ t
Leyes de
involución
~ ~p ≡ p
Morgan ~(p v q) ≡ ~p ∧ ~𝑞 ~(p ∧ q) ≡ ~p v ~𝑞
Implicación y
disyunción
p → q ≡ ~p ∨ q
Negación de la
implicación
~(p → q) ≡ p ∧ ~q

Inferencias Lógicas
Uno de los objetivos de la lógica es determinar cómo unas proposiciones pueden
derivarse de otras, esta derivación es de naturaleza puramente formal y recibe el
nombre de deducción.
Por medio de la deducción se muestra si una determinada proposición llamada
conclusión resulta de una o más proposiciones llamadas premisas. El proceso por el
cual se establece que la conclusión se sigue de las premisas recibe el nombre de
prueba.
Una prueba se desarrolla de acuerdo con las tautologías y a partir de ciertas reglas,
denominadas reglas de inferencias, que son necesarias establecerlas desde un
principio.. Llamaremos correcta a una inferencia que siga las reglas establecidas.
Una inferencia lógica consiste en obtener una proposición verdadera (conclusión) a
partir de una proposición verdadera dada (premisas) a la que aplicamos las reglas de
inferencia.
Reglas de Inferencia
1. Modus Ponendo Ponens (PP)
Ejemplo
Premisa 1: Si la emisión de gas carbónico aumenta entonces aumentará la
temperatura sobre la tierra
Premisa 2: La emisión de gas carbónico aumenta
Conclusión: Aumentará la temperatura sobre la tierra
Premisa 1: p → q Esquemáticamente: p → q p1
Premisa 2: p p p2
Conclusión: q . . q
Ejemplo
p p1
p →~ q p2
.. ~ q
Ejemplo
(~ p v q) → (s ∧ r) p1
(~ p v q) p2
.. s ∧ r
2. Modus Tollendo Tollens (TT)
Premisa 1: p → q Esquemáticamente: p → q P1
Premisa 2: ~ q ~ q P2

Conclusión: ~ p .. ~ p
Premisa 1: Si los Mayas predecían el futuro entonces porque no evitaron su
destrucción.
Premisa 2: Los mayas evitaron su destrucción
Conclusión: Los mayas predecían el futuro
3. Modus Tollendo Ponens (TP)
Premisa 1: p v q Esquemáticamente: p v q P1
Premisa 2: ~ p ~ p P2
Conclusión: q . . q
p v q P1+
~ q P2
.. p
Premisa 1: Los carnavales son fiestas de sectas satánicas o del pueblo
Premisa 2: Los carnavales no so fiestas de sectas satánicas
Conclusión: Los carnavales son fiestas del pueblo
4. Regla del Silogismo Hipotético (SH)
Esquemáticamente
p → q P1
q → r P2
.. p → r
Ejemplo
Premisa-1: Si tengo problemas de obesidad entonces tendré problemas de
hipertensión
Premisa-2: Si tengo problemas de hipertensión entonces puedo morir del corazón
Conclusión: Si tengo problemas de obesidad entonces puedo morir del corazón
Ejemplo
Premisa-1: Si el Unión Magdalena tiene buenos jugadores entonces juega bien el
futbol
Premisa-2: Si Unión Magdalena juega bien el futbol entonces subirá de categoría
Conclusión: Si el Unión Magdalena tiene buenos jugadores entonces subirá de
categoría

5. Regla del Silogismo Disyuntivo (SD)
Esquemáticamente
p → r P1
q → s P2
p v q P3
.. r v s
Ejemplo
Premisa-1: Si aumenta el precio de la gasolina entonces sube el precio del
transporte urbano
Premisa-2: Si se incrementa el cultivo de palma entonces utilizaremos
biocombustible
Premisa-3: Aumenta el precio de la gasolina o se incrementa el cultivo de palma
Conclusión: Sube el precio del transporte urbano o utilizaremos biocombustible
Ejemplo
Premisa-1: Si se incrementa el desempleo entonces las empresas están quebrando
Premisa-2: Si se aplican nuevos impuestos entonces la economía decrece
Premisa-3: Se incrementa el desempleo o se aplican nuevos impuestos
Conclusión: Las empresas están quebrando o la economía decrece
6. Leyes de Morgan (LM)
~(p v q) P1 ó ~p ∧ ~q P1
..~p ∧ ~q ..~(p v q)
~ (p ∧ q) P1 ó ~p v ~q P1
..~p v ~q ..~(p ∧ q)
7. Reglas de las Proposiciones Bi-condicionales
(p ↔ q) P1 ó (p → q) ∧ (q → p) P1
..(p → q) ∧ (q → p) ..(p ↔ q)
8. Doble Negación (DN)
Premisa 1: ~ (~ p) Esquemáticamente: ~ (~ p) P1
Conclusión: p . . p
La regla de la doble negación se puede expresar
p P1
~ (~ p)
Premisa: La ballena no es un animal mamífero
Conclusión: No es cierto que la ballena no sea un animal mamífero

9. Regla de Simplificación (S)
Esquemáticamente
p ∧ q P1 ó p ∧ q P1
.. p ..q
Ejemplo
Premisa: La tala de árboles acaba las fuentes de agua y aumenta la temperatura del
suelo
Conclusión-1: La tala de árboles acaba las fuentes de agua
Conclusión-2: La tala de árboles aumenta la temperatura del suelo
Ejemplo
Premisa: El incremento de la inflación sube las tasas de interés e incrementa la
inversión extranjera
Conclución-1: El incremento de la inflación sube las tasas de interés
Conclución-2: El incremento de la inflación incrementa la inversión extranjera
10. Regla de Adjunción (A)
Esquemáticamente
p P1 ó p P1
q P2 q P2
.. p v q ..q v p
Ejemplo
Premisa-1: El gobierno colombiano es democrático
Premisa-2: El gobierno colombiano es socialista
Conclución-1 El gobierno colombiano es democrático o es socialista
Conclución-2 El gobierno colombiano es socialista o es democrático
Ejemplo
Premisa-1: Albert Einstein era físico
Premisa-2: Albert Einstein era filósofo
Conclución-1 Albert Einstein era físico o era filósofo
Conclución-2 Albert Einstein era filósofo o físico
11. Regla de Adición (LA)
Esquemáticamente
p P1
..p v q
Ejemplo
Premisa: Los economistas predicen el futuro
Conclusión: Los economistas predicen el futuro o analizan el presente

Ejemplo-2 El plan Colombia fue un fracaso
Conclusión: El plan Colombia fue un fracaso o un éxito
12. Regla de la Simplificación Disyuntiva
Esquemáticamente
p v p
.. p
Ejemplo
Premisa-1: Aprueba el curso o aprueba el curso
Conclusión: Aprueba el curso
Ejemplo
Premisa: Se opera o se opera
Conclusión: Se opera
Conmutativas (LC)
p v q P1 p ∧ q P1
.. q v p .. q ∧ p
Ejercicios
Escriba la conclusión que se puede deducir de cada uno de los siguientes conjuntos de
premisas y represéntela simbólicamente:
1. Si no hay inyección de capital, entonces la empresa debe cerrar
2. Si en Venezuela continúan los cierres a las empresas privadas y los apagones
entonces Chávez baja en su popularidad o no será re-elegido
3. Hoy es el último día del mes. Si hoy es último día del mes entonces solo habrá
banco hasta las once de la mañana
4. a > b y k > 0. Si a > b y k > 0 entonces a x k > b x k
Ejercicio
Escriba la conclusión en cada uno de los siguientes conjuntos de premisas y determine
la regla de inferencia utilizada
p → ~q P1
~p P2
~p → ~q P1
~q → r P2
~(~p ∧ ~q P1

p → ~r P1
~q → s P2
p v ~q P3
(p ∧ ~q) v r P1
~p v q P2
p → (r ∧ s) P1
q → ~s P2
p v q P3
~p P1
~q P2
(p → ~q) ∧ (~q →p) P1 (p v ~q) → r P1
~(~p v q) P2
Ejercicio
Aplique las leyes de Morgan para establecer la conclusión
~(p v ~q) ~[(p v ~q)∧ r] ~(~p ∧ ~q)
p ∧ ~q ~p v ~q ~[(p v (~q ∧ r)
Ejercicio
Verifique si la conclusión dada es correcta
1. Si Pedro llama entonces María regresa. Pedro llama. Por lo tanto Pedro llama
2. Es falso que: estudio y trabajo. Por lo tanto ni estudio ni trabajo.
3. Si 𝑎 es múltiplo de 𝑏 y 𝑏 es múltiplo de c entonces a es múltiplo de c. 𝑎 no es múltiplo
de 𝑐. Por lo tanto, concluyo que 𝑎 no es múltiplo de 𝑏 o 𝑏 no es múltiplo de 𝑐
~p → ~q P1
p P2
.. q
p → ~q P1
~q → r P2
.. r →p
~(~p v q) P1
.. p ∧ ~q
p → r P1
~q → s P2
p v ~q P3
.. r ∧ s
(~p ∧ q) v r P1
P v ~q P2
.. r
(~p ∧ q) → r P1
~r P2
.. p v ~q
Ejercicio
Escriba la conclusión que se puede deducir de cada uno de los siguientes conjuntos de
premisas y represéntela simbólicamente e indique la regla inferencia que aplica:
1. Si bajan los aranceles entonces aumenta la importación. No aumenta la
importación.
2. Si el mototaxismo le gana la batalla al transporte legal entonces las empresas de
transporte público tendrán una dura crisis financiera. Si las empresas de

transporte público tienen una dura crisis financiera entonces el transporte público
queda en manos de ilegales.
3. No es cierto que, si suben las tasas de interés se incrementa la inversión extranjera
y aumenta el empleo.
4. Si las grandes cadenas de supermercado siguen abriendo sucursales en los barrios
entonces las tiendas de barrio tienden a desaparecer. No es cierto que las tiendas
de barrios tiendan a desaparecer
5. No es cierto que, si se aumenta la importación se incrementa la inversión de capital
o crece la economía.
6. No es cierto que, todos los estudiantes son irresponsables y no respetan a los
docentes
7. Los argentinos no son los mejores jugadores de futbol o no son las personas más
humildes.
8. Si se cuentan con los recursos para cancelar las deudas entonces no continua la
anormalidad académica. Se cuenta con los recurso para cancelar la deudas
9. No es cierto que los países desarrollados no trazaron su futuro basado en el
conocimiento.
10. Si en Colombia no se forma capital humano con grandes capacidades entonces no
se logra disminuir la desigualdad y el empleo informal. En Colombia no se forma
capital humano con grandes capacidades
11. Colombia estaría preparado para asumir las exigencias del comercio moderno si
solo si desarrolla un mercado más competitivo.
12. Si la tasa de interés baja entonces los demandantes del mercado financiero solicitan
más créditos. Si los demandantes del mercado financiero solicitan más créditos
entonces los oferentes retiran sus ahorros.
13. Los emprendedores colombianos mejoran su cadena de valor o no son
competitivos. Los emprendedores colombianos son competitivos.
14. Si la administración del recurso público es eficiente entonces no hay que crear
nuevos impuestos. Si se estimula al contribuyente entonces aumenta la inversión
social. la administración del recurso público es eficiente o se estimula al
contribuyente

15. Si se recortan las expectativas de crecimiento económico entonces no crece el
empleo. Crece el empleo.
16. La crisis no afecta la economía colombiana si solo si los exportadores conquistan
mercados en el exterior.
Cuantificación de Enunciados
Aristóteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma “S es P”
donde S es el sujeto, y P el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es un
concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un individuo o entidad
concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero, tenemos un
enunciado singular, mientras que en el segundo caso sería un enunciado conceptual o
general.
En los Analíticos Anteriores sólo se consideran los enunciados conceptuales o
generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos.
El enunciado es una oración que afirma o niega algo de algo, y es universal, particular
o indefinido. Llamo
 universal al pertenecer a todo o a ninguno;
 particular, al pertenecer a alguno o no a todo;
 indefinido, al pertenecer o no pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad
Cuantificador Universal
Se representa con el símbolo ∀ que se lee “para todo”. Contiene una expresión
lingüística como “todos” o “para todo”, y atribuye el predicado universalmente al
sujeto, es decir, afirma que el concepto-predicado es aplicable a todas las cosas a las
que se aplica el sujeto.
Simbólicamente ∀𝒙 ∈ 𝑨/𝑷(𝒙) La expresión afirmativa es “todo S es P” y la expresión
negativa “ningún S es P”
Cuantificador Existencial
Se simboliza con ∃ se lee “existe”. Contiene una expresión lingüística como “algún” o
“hay” o “para algún” y atribuye el predicado particularmente al sujeto, es decir es
decir solo afirma que el concepto que el concepto del predicado es aplicable a algunos
casos a las que también se aplica el concepto sujeto.
Simbólicamente ∃𝒙 ∈ 𝑨/𝑷(𝒙) La expresión afirmativa es “Algún S es P”, la expresión
negativa “algún S no es P”

Negación de los Cuantificadores
Simbólicamente
 ~(∀𝑥 ∈ 𝐴/𝑃(𝑥)) ≡ (∃𝑥 ∈ 𝐴/~𝑃(𝑥))
 ~(∃𝑥 ∈ 𝐴/𝑃(𝑥)) ≡ (∀𝑥 ∈ 𝐴/~𝑃(𝑥))
Clasificación de las Proposiciones Categóricas por la Cualidad y la Cantidad.
Las proposiciones categóricas
Proposición Universal Afirmativa: Todos los gatos son mamíferos (A)
Proposición Universal Negativa: Ningún gato es mamífero (E):
Proposición Particular Afirmativa: Algún gato es mamífero (I)
Proposición Particular Negativa: Algún gato no es mamífero (O)
Ejercicio
Identifique las siguientes proposiciones
1. Algunos políticos son candidatos presidenciales
2. Ningún músico es boxeador
3. Todo locutor es poseedor de un permiso para ejercer su profesión
4. Algunos de tus poemas no están bien logrados
5. Todos los artefactos que necesitan gasolina son contaminantes del aire
6. Algún miembro de ese consejo no apoyo la medida
7. Ninguna de las decisiones emanadas de organismo tan ineficientes son eficaces
8. Todos los integrantes del equipo son menores de doce años
9. Ningún desinfectante es inofensivo para la salud
10. Algunos escritores de novelas de ciencia-ficción no son detectives
El Cuadrado de la Oposición de las Proposiciones. Inferencias que se basan en él

 Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera y O es falsa
 Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa y O es verdadera
 Si I es verdadera: E es falsa, A y O quedan indeterminadas
 Si O es verdadera: A es falsa, E e I quedan determinados
 Si A es falsa: O es verdadera, E e I quedan indeterminadas
 Si E es falsa: I es verdadera, A y O quedan indeterminados
 Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera y O es verdadera
 Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa e I es verdadera
Ejercicio
¿Qué puede inferirse acerca de las siguientes proposiciones, en cada uno de los
conjuntos dados, si suponemos que la primera de ellas es verdadera? ¿Y si suponemos
que es falsa?
Nº Proposiciones Valores
de Verdad
1 Todos los filósofos son inteligentes 1 0
Ningún filosofo es inteligente
Algún filosofo es inteligente
Algún filosofo no es inteligente
2 Ningún político es mentiroso 1 0
Todos los políticos son mentirosos
Algún político es mentiroso
Algún político no es mentiroso
3 Algunos titulares de prensa están mal redactados 1 0
Ningún titular de prensa está mal redactado
Todos los titulares de prensa están mal redactados
Algunos titulares de prensa no están mal redactados
4 Ningún mamífero es roedor 1 0
Todos los mamíferos son roedores
Algunos mamíferos son roedores
Algunos mamíferos no son roedores
5 Algunos ejercicios de lógica no son difíciles de resolver 1 0
Todos los ejercicios de lógica son difíciles de resolver
Ningún ejercicio de lógica es difícil de resolver
Algunos ejercicios de lógica son difíciles de resolver
Ejercicio
Identifique el cuantificador que aplica y niegue cada una de las siguientes
proposiciones
1. Todos los tumores son malignos

2. Ninguna droga genérica cura
3. Algunos médicos no son humanitarios
4. Algunas clínicas estafan al estado
5. Algunas enfermedades no tiene explicación cientifica
6. Todos los políticos son corruptos
7. Algunos futbolistas son profesionales
8. Ningún hombre es racional
9. Existen buenas políticas de estado
10. Todos los jóvenes siente atracción hacia la tecnología
11. Algunos guerrilleros no son delincuentes
12. Ningún programa de televisión enseña
13. Existen profesores malos
14. Todo el que se educa es culto
15. Algunos mototaxistas son delincuentes
16. Todas las investigaciones científicas aumentan las expectativas de vida del ser
humano.
17. Ningún país latinoamericano posee una economía sólida.
18. Algunos reinsertados continúan delinquiendo.
19. Algunos costeños no son mamadores de gallo.
20. Todas las políticas de estado buscan superar una crisis.
21. Todos los seres vivos son pluricelulares
Ejercicios
Niegue las siguientes proposiciones
1. Todos los médicos confunden las patologías de las enfermedades raras (0)
2. Algunas enfermedades raras no tienen tratamiento (1)
3. Algunos medicamentos alteran el sistema nervioso (1)
4. Algunas personas no nacen con malformaciones cardiacas (0)
5. Ninguna de las niñas han presentado síntomas que comprometa su vida (1)
6. Todas las niñas que manifiestan malestares fueron vacunadas (0)
7. Algunos gremios no apoyan el cambio de horario de entrada a la oficina (1)
8. Todas las empresas en Colombia destacan el incremento de las ventas en el 2014 (0)
9. Todos los ingresos fiscales del país están atados al sector petrolero (0)
10. Algunos analistas advierten que las alzas del dólar no repercuten en la inflación (1)

CONJUNTO
Intuitivamente un conjunto es una colección de elementos bien definidos
Notación de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayúsculas
y sus elementos con letra minúscula.
Los conjuntos se enuncian por:
 Por Extensión: Cuando se enuncian cada uno de los elementos del conjunto
𝐴 = {𝑎, 𝑒 𝑖, 𝑜, 𝑢}
𝐷 = {1, 3, 5, 7, 9}
 Por comprensión: Cuando se enuncia una o más propiedades de los elementos del
conjunto
𝐴 = { 𝑥/𝑥𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙}
𝐴 = { 𝑥 ∈ ℕ/𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 10}
Tipos de Conjuntos
Los conjuntos pueden ser:
 Finitos: Se pueden contar sus elementos.
 Infinitos: No se pueden contar sus elementos.
 Vacío: No tiene elementos y se representa con el símbolo 𝜙.
 Universal: Conjunto de referencia y se representa con la letra 𝑈
Relación entre Conjuntos
Dos conjuntos pueden ser:
 Subconjunto: Si A y B son conjuntos se dice que A es subconjunto de B (𝐴 ⊂ 𝐵) si
todos los elementos de A están en B.
 Iguales: Si todos los elementos correspondientes son iguales.
 Disjunto o disyuntos: No tienen elementos en comunes
Representación Gráfica de un Conjunto
Diagrama de Venn-Euler (Diagrama Sagital) Es una herramienta que ilustra las
relaciones entre conjuntos, se representa en un área plana, por lo general delimitada
por un círculo.

Operación entre Conjuntos
1. Unión: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
2. Intersección: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
3. Diferencia: 𝐴 – 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∋ 𝐵}
4. Complemento: 𝐴 𝐶
= {𝑥/𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∋ 𝐴}
5. Diferencia Simétrica: 𝐴 𝛥 𝐵 = {𝑥/𝑥 Є (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝑥 ∋ (𝐴 ∩ 𝐵)}

Ejercicio
Sean U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 5}, B = {5, 7, 8, 9} C= {2, 4,5, 8}
Determinar
A U C C n B B – C Ac
C Δ A 𝐴 𝑐
∩ 𝐵 𝑐
(A n B) c 𝐵 𝑐
∪ 𝐶 𝑐
(B U C) c (C - B) c Ac – (B n C c) A n (C – B) c
Ejercicio
Sean 𝑈 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 𝐴 = {1,5,6,8}, 𝐵 = {0,2,5,7,9} 𝑦 𝐶 = {1,3,5,8,9}
Determinar
1. 𝐴∆𝐶
2. 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐
3. 𝐵 ∩ 𝐶 𝑐
4. 𝐶 − ( 𝐴 ∩ 𝐵)
5. ( 𝐴 ∩ 𝐶 𝐶) − (𝐴 𝑐
∪ 𝐶)
Ejercicio
Escriba la expresión del conjunto cuya área se encuentra sombreada

Ejercicio
Representa en el diagrama dado (por separado) los siguientes conjuntos
1. 𝐵 ∩ 𝐶
2. ( 𝐴 ∩ 𝐵) − 𝐶
3. 𝐴 𝑐
∩ 𝐶
4. ( 𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶
5. (𝐵 − 𝐶) 𝑐
Número de Elementos de un Conjunto
El conjunto A es finito si podemos determinar su número de elementos. Notamos n(A)
al número de elementos o cardinal de un conjunto A
Dados dos conjuntos finitos A y B podemos considerar 2 posibilidades
 Si A y B son disyuntos es decir 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces 𝑛(𝐴 𝑈 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵)
 Si A y B tienen elementos comunes es decir 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅, entonces 𝑛(𝐴 𝑈 𝐵) =
𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) – 𝑛(𝐴 𝑛 𝐵)
 Si tenemos 3 conjuntos
𝑛(𝐴 𝑈 𝐵 𝑈 𝐶)
= 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) – 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐶 ∩ 𝐵)
+ 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
Problemas
1. De un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las
siguientes respuestas, 80 tomaban jugos y leche, 100 tomaban café con leche, 190
tomaban leche, 220 tomaban jugo o leche, 210 tomaba café o leche, 20 toman jugo
y café pero no leche y 50 tomaban café con leche y no jugo. Se pregunta
a. ¿Cuántas personas toman de los tres alimentos?
b. ¿Cuántas personas toman solo jugo?
c. ¿Cuántas personas toman solo leche?
d. ¿Cuántas personas toman solo café?
e. ¿Cuántas personas no toman ninguna de las tres cosas al desayuno?
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/conjuntos_y_
operaciones_agsm/ejercicios.pdf

Por datos
① 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 +
𝑥8 = 250
②𝑥4 + 𝑥5 = 80
③𝑥4 + 𝑥6 = 100
④𝑥4 + 𝑥5+𝑥6 + 𝑥7 = 190
⑤𝑥1 + 𝑥2+𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 220
⑥𝑥3 + 𝑥4+𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 210
⑦𝑥2 = 20
⑧𝑥6 = 50
De ⑦ en ③
𝑥4 + 50 = 100 , entonces 𝑥4 = 50
Remplazando en ②
𝑥5 + 50 = 80, entonces 𝑥5 = 30
Remplazando en ④
50 + 30 + 50 + 𝑥7 = 190, entonces 𝑥7 = 60
Remplazando en ⑥
𝑥3 + 50 + 50 + 30 + 60 = 210, entonces 𝑥3 = 20
Remplazando en ①
10 + 20 + 20 + 50 + 30 + 50 + 60 + 𝑥8 = 250, entonces 𝑥8 = 10
Respuesta
a. 50 de los encuestados toman los tres alimentos.
b. 10 de los encuestados toman solo jugos.
c. 60 de los encuestados toman solo leche.
d. 20 de los encuestados toman solo café.
e. 10 de los encuestados no toman ninguno de los tres alimentos.
2. En una batalla campal intervinieron 1200 hombres, de los cuales:
 420 fueron heridos en la cabeza
 430 fueron heridos en los brazos
 320 fueron heridos en las piernas
 80 fueron heridos en ambos miembros (brazos y piernas)
 50 fueron heridos en la cabeza y en brazos
 60 fueron heridos en piernas y cabezas
 20 fueron heridos en las tres partes
 200 no fueron heridos
J
L
C

Se pregunta ¿Cuántos fueron heridos solo en un lugar?
Consideremos el conjunto C los heridos en la cabeza, B los heridos en los brazos y
P los heridos en las piernas, Representamos gráficamente el problema así
Por datos
∩ ( 𝐶 ∪ 𝐵 ∪ 𝑃) = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6+𝑥7 + 𝑥8 = 1200 (1)
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 + 𝑥5 = 420 (2)
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥6 = 430 (3)
𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 320 (4)
𝑥4 + 𝑥6 = 80 (5)
𝑥2 + 𝑥4 = 50 (6)
𝑥4 + 𝑥5 = 60 (7)
𝑥4 = 20 (8)
𝑥8 = 200 (9)
Remplazando (8) en (7): 20 + 𝑥5 = 60; 𝑥5 = 40
Remplazando (8) en (6): 𝑥2 + 20 = 50; 𝑥2 = 30
Remplazando (8) en (5): 20 + 𝑥6 = 80; 𝑥6 = 60
Remplazando en (4): 20 + 40 + 60 + 𝑥7 = 320; 𝑥7 = 200
Remplazando en (3): 30 + 𝑥3 + 20 + 60 = 430 ; 𝑥3 = 320
Remplazando en (2): 𝑥1 + 30 + 20 + 40 = 420 ; 𝑥1 = 330
Verificando en (1):
∩ ( 𝐶 ∪ 𝐵 ∪ 𝑃) = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6+𝑥7 + 𝑥8 = 1200
330 + 30 + 320 + 20 + 40 + 60 + 200 + 200 = 1200
1200 = 1200
¿Cuántos fueron heridos solo en un lugar?
 330 Fueron heridos solo en la cabeza
 320 fueron heridos solo en los brazos
C
P
B

 200 fueron heridos solo en las piernas
 Por lo tanto 850 fueron heridos solo en un lugar
3. Una encuesta a un grupo de 100 estudiantes acerca de los gustos en la lectura
aporta los siguientes datos; 65 leen novelas, 75 poesía, 55 leen novelas y poesía, 20
novelas y diarios, 30 diarios y poesía; 10 leen los tres temas y 5 no leen ninguno de
los tres temas
Se pregunta
a. ¿Cuántos estudiantes leen solo poesía?
b. ¿Cuántos estudiantes leen solo diario?
c. ¿Cuántos estudiantes leen solo novela?
Gráficamente
r1+r2+r3+r4+r5+r6+r7+r8=100
r4+r5+r6+r7=65
r1+r2+r4+r5=75
r5+r4=55
r6+r4=20
r2+r4=30
r4=10
r8=5
Por (7) y (4): r5 + 10 = 55; r5 = 55 – 10= 45 (9)
Por (7) y (5): r6 + 10 = 20; r6 = 20 – 10 = 10 (10)
Por (7) y (6): r2 + 10 = 30; r2 = 30 – 10=20 (11)
Por (7), (9) y (10): 10 + 45 + 10 + r7 = 65; r7 = 0 (12)
Por (11), (7) y (9):r1 + 20 + 10 + 45 = 75; r1 = 0 (13)
Por todo: 0 + 20 + r3 + 10 + 45 + 10 + 0 + 5 = 100; r3=10
Respuesta: 10 estudiantes leen solo diario, y ningún estudiante lee solo poesía o
novelas
4. En una investigación realizada sobre los hábitos de lectura de los estudiantes de la
Universidad se encuentra que 48% leen la revista A, 50% la revista B, 30% la revista
C, 20% la revista A y B, 10% las revistas B y C, 13% las revistas A y C, 10% no leen
ninguna de las revistas.
Se pregunta
a. ¿Qué porcentaje leen las tres revistas?
b. ¿Qué porcentaje leen la revista A y la C, pero no la B?
c. ¿Qué porcentaje leen solo la revista B?
Representamos gráficamente
N
P
D
r8

Por datos
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 + 𝑥5 = 48 (1)
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥6 = 50 (2)
𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 30 (3)
𝑥2 + 𝑥4 = 20 (4)
𝑥4 + 𝑥6 = 10 (5)
𝑥4 + 𝑥5 = 13 (6)
𝑥8 = 10 (7)
¿Qué pregunta?
𝑥4 =
𝑥5 =
𝑥3 =
Sabemos que:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥8 = 100 (8)
De (6) 𝑥5 = 13 − 𝑥4
De (5) 𝑥6 = 10 − 𝑥4
De (4) 𝑥2 = 20 − 𝑥4
Remplazando 𝑥5 𝑦 𝑥6 en (3) 𝑥4 + 13 − 𝑥4 + 10 − 𝑥4 + 𝑥7 = 30 despejando 𝑥7 =
7 + 𝑥4
Remplazando 𝑥2 𝑦 𝑥6 en (2) 20 − 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥4 + 10 − 𝑥4 = 50 despejando 𝑥3 =
20 + 𝑥4
Remplazando 𝑥2 𝑦 𝑥5 en (1) 𝑥1 + 20 − 𝑥4 + 𝑥4 + 13 − 𝑥4 = 48 despejando 𝑥1 =
15 + 𝑥4
Remplazando en (8)
15 − 𝑥4 + 20 − 𝑥4 + 20 − 𝑥4 + 𝑥4 + 13 − 𝑥4 + 10 − 𝑥4 + 7 − 𝑥4 + 10 = 100
, despejando 𝑥4 = 5
Por tanto
𝑥1 = 15 + 5 = 20
𝑥2 = 20 − 5 = 15
𝑥3 = 20 + 5 = 25
𝑥5 = 13 − 8 = 8
𝑥6 = 10 − 5 = 5
𝑥7 = 7 + 5 = 12
En conclusión
a. El 5% leen las tres revistas.
b. El 8% leen la revista A y la C, pero no la B.
c. El 25% leen solo la revista B.
5. Una universidad aplica una encuesta entre un grupo de egresados del programa de
ciencias empresariales para conocer sus preferencias en 3 especializaciones,
obteniendo los siguientes resultados
 29 no quieren estudiar Administración de Negocios,
 11 prefieren Administración de Negocios y Comercio Internacional;
 8 prefieren Administración de Negocios y Logística;
A B
C

 10 prefieren Comercio Internacional solamente;
 5 prefieren Comercio Internacional y Logística;
 8 Administración de negocios y Comercio Internacional pero no logística.
 5 no le gusta ninguna de las tres.
Se pregunta:
a. ¿Cuántos fueron los encuestados?
b. ¿Cuántos no quieren estudiar Administración de negocios?
c. ¿Cuántos prefieren estudiar Administración de Negocios y Logística pero no
Comercio Internacional?
6. En un estudio realizado sobre los pacientes adultos admitidos durante un mes se
encontró:
 57 con problemas cardiacos
 57 con problemas Renales
 57 con problemas respiratorios
 8 ninguna de las tres
 44 con problemas cardiacos y renales
 32 con problemas renales y respiratorios
 31 cardiacos y respiratorios
 21 las tres enfermedades
Se pregunta
a. ¿cuántos pacientes ingresaron?
b. ¿cuántos tienen problemas solo cardiacos?
c. ¿cuántos tienen problemas solo renales?
d. ¿cuántos tienen problemas solo respiratorios?
7. Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios
de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil) los datos de la encuesta fueron
los siguientes
 Motocicleta solamente: 5
 Motocicleta: 38
 No gustan del automóvil: 9
 Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil: 3
 Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20
 No gustan de bicicleta: 72
 Ninguna de las tres cosas: 1
 No gustan de la motocicleta: 61
Se pregunta
a. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?
b. ¿A cuántos les gusta la bicicleta solamente?
c. ¿A cuántos les gusta el automóvil solamente?
d. ¿A cuántos les gusta las tres cosas?
e. ¿A cuántos les gusta la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

8. De 1000 televidentes encuestados se obtiene la siguiente información
 391 ven programas deportivos
 230 ven programas cómicos
 545 ven programas sobre el mundo animal
 98 ven programas cómicos y deportivos
 152 ven programas cómicos y sobre el mundo animal
 88 ven programas deportivos y sobre mundo animal
 90 ninguno de los tres programas
 50 ven programas deportivos y cómicos pero no sobre el mundo animal
Se pregunta
a. ¿Cuántos de los entrevistados ven los tres tipos de programas?
b. ¿Cuántos de los entrevistados ven sólo uno de los tres tipos de programas?
9. En una sección de 45 estudiantes, 24 juegan futbol, de los cuales 12 solo juegan
futbol, 25 juegan basquetbol, 10 solo basquetbol, 19 juegan vóley bol y 9 juegan
futbol y basquetbol. Si todos práctica por lo menos un deporte, se pregunta
a. ¿Cuántos juegan basquetbol y vóley bol?
b. ¿Cuántos juegan futbol y no basquetbol?
c. ¿Cuántos juegan vóley bol y no basquetbol?
10. Un colegio realiza tres pruebas a 100 estudiantes y ésta arroja los siguientes
resultados
 2 Estudiantes fracasaron en las tres pruebas
 7 Estudiantes fracasaron en la primera y segunda prueba
 8 Estudiantes fracasaron en la segunda y tercera
 10 Estudiantes fracasaron en la primera y tercera
 25 Estudiantes fracasaron en la primera prueba
 30 Estudiantes fracasaron en la segunda prueba
 25 Estudiantes fracasaron en la tercera prueba
Se Pregunta
a. ¿Cuántos fracasaron solamente en la primera prueba?
b. ¿Cuántos fracasaron en la segunda y en la tercera pero no en la primera?
c. ¿Cuántos aprobaron las tres pruebas?
11. En una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 297 tenían casa
propia; 273 poseían automóvil; 405 hijos; 165 automóvil e hijos; 120 automóvil y
casa; 190 casa y hijos 15 tenían casa, automóvil e hijos.
Se pregunta:
a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
b. ¿Cuántas personas tienen solo casa propia?
c. ¿Cuántas personas tienen solamente casa e hijos?
12. Hay 100 atletas y tres estaciones diferentes en que se presentan deportes: futbol
en el otoño, basquetbol en el invierno y beisbol en la primavera. Algunos de los

atletas juegan solamente un deporte, otros dos y otros tres. 40 personas juegan
futbol, 15 los tres deportes, 5 basquetbol y futbol pero no beisbol y 10 solamente
futbol. ¿Cuántas personas juegan tanto beisbol como futbol?
13. Una empresa de servicios va a ampliar su red comercial y por ello necesita
incorporar a 26 asesores. La empresa requiere fundamentalmente personas que
posean, al menos, una de las características siguientes
 Alguna experiencia en el área de ventas
 Formación técnica
 Conocimiento del inglés
En concreto, la empresa ofrece 12 plazas para los de la característica a; 14 para la
los de características b; 11 plazas para los de característica c. Ahora bien la empresa
quiere que 5 asesores posean características a y b, que 3 posean características a y
c, que 6 asesores posean b y c, y 3 asesores con b y c y no con a.
a. ¿Cuánto de esos 26 asesores quiere la empresa que posean las tres
características citadas?
b. ¿A cuántos asesores se les erige tener solo conocimientos del inglés?
c. ¿Cuántos tienen experiencia en ventas y conocimiento en inglés y no tienen
formación técnica?
14. Una universidad aplica una encuesta a los 60 de sus egresados en Salud para
conocer sus preferencias en 3 especializaciones, obteniendo los siguientes
resultados
 15 prefieren pediatría solamente,
 11 prefieren pediatría e cirugía;
 12 prefieren cardiología solamente;
 8 prefieren pediatría y cardiología;
 10 prefieren cirugía solamente;
 5 prefieren cirugía y cardiología;
 3 las tres especializaciones.
Se pregunta:
d. ¿Cuántos no quieren estudiar ninguna de las especializaciones propuestas?
e. ¿Cuántos no quieren estudiar pediatría?
f. ¿Cuántos quieren estudiar pediatría y cardiología pero no cirugía?
15. De un total de 60 estudiantes de un colegio:
 15 prefieren francés solamente,
 11 prefieren francés e inglés;
 12 prefieren alemán solamente;
 8 prefieren francés y alemán;
 10 prefieren inglés solamente;
 5 prefieren inglés y alemán; y
 3 los tres idiomas.

Se pregunta
a. ¿Cuántos no prefieren ningún idioma?
b. ¿Cuántos prefieren alemán?
c. ¿Cuántos prefieren alemán e inglés solamente?
d. ¿Cuántos prefieren francés?
16. En una encuesta a 200 estudiantes, se halló que:
 68 se comportan bien.
 138 son inteligentes.
 160 son habladores.
 120 son habladores e inteligentes.
 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes.
 13 se comportan bien y no son habladores.
 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes.
Se pregunta ¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no
son habladores y no son inteligentes?
17. Un alumno de la facultad efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes
acerca de los hábitos de estudio en la biblioteca de ingenierías y aporta los
siguientes datos: Prefieren Física 40, álgebra 55, geometría 55, física y álgebra 15,
física y geometría 20, álgebra y geometría 30, prefieren las tres asignaturas 10, no
asisten a la biblioteca 5. ¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?
18. En una encuesta hecha a 100 personas sobre sus conocimientos de idiomas resultó
lo siguiente:
Hablan inglés 27; francés 22; italiano 12; inglés y francés 10; francés y alemán 9;
inglés, francés y alemán 6; alemán e italiano 5; 19 hablan inglés pero no alemán; el
número de los que hablan alemán es el triple de los que hablan únicamente francés;
ninguno de los que hablan italiano hablan ni francés ni inglés.
Se pregunta
a. ¿Cuántos no hablan ninguno de los 4 idiomas?
b. ¿Cuántos hablan únicamente alemán?
c. ¿Cuántos saben al menos 2 idiomas?
d. ¿Cuántos saben italiano o francés pero no inglés?
e. ¿Cuántos no saben alemán y no saben inglés, pero saben francés?
19. Al investigar un grupo de 480 estudiantes sobre sus intereses de estudios
superiores se obtuvo la siguiente información :
 Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil , también querían estudiar
Ingeniería de Procesos
 Ninguno quería estudiar Ingeniería Civil y Educación Preescolar
 10 estudiantes preferían estudiar otras carreras
 60 querían estudiar Educación Preescolar e Ingeniería de Procesos

 440 quieren estudiar Ingeniería de Procesos
 180 quieren estudiar Ingeniería Civil
a. Represente la situación de forma gráfica.
b. ¿Cuántos estudiantes desean estudiar solamente Educación de Preescolar?
20. Una encuesta aplicada a 75 pacientes admitidos en la unidad de cardiología de un
hospital durante un periodo de dos semanas, arrojo los siguientes resultados:
 47 llegaron con presión arterial alta
 12 tenía problemas de presión arterial alta y respiratorios pero no con
colesterol alto
 46 llegaron con nivel de colesterol alto
 31 llegaron con problemas de presión arterial alta y nivel de colesterol alto
 52 llegaron con problemas respiratorios
 29 llegaron con problemas de nivel de colesterol alto y problemas respiratorios
 33 llegaron con problemas de presión arterial alta y problemas respiratorios
Se pregunta:
a. ¿Cuántos pacientes llegaron con las tres dificultades?
b. ¿Cuántos pacientes llegaron con ninguna de las tres dificultades?

SISTEMAS DE NUMERACIÓN
El Número
Es un símbolo que representa una cantidad. A través de la historia el hombre ha
utilizado diferentes formas de representar cantidades
Evolución del Número
La necesidad de contar. La invención de la matemática data de los albores de la
humanidad. La matemática es más vieja como el instinto de propiedad, es decir tan
antigua como el hombre, este se sintió matemático en cuanto el afán de retener lo suyo
lo llevo a contar sus rebaños y medir sus tierras.
Los dedos primer sistema de numeración. En sus comienzo, el hombre numeraba las
cosas con los dedos, si quería decir uno levantaba un dedo, dos
levantaba dos dedos, con las dos manos podía contar hasta diez.
Para señalar número mayor hacía girar las manos: veinte la
giraba dos veces, treinta tres veces, etcétera.
Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar: las yescas, piedras,
nudos, rayas en las piedras, hasta llegar al ábaco.
La forma de los Números Romanos se parece mucho a la manera de contar con los
dedos que se usaba en un principio, el uno, dos y tres corresponden a los dedos
levantados, el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos
abiertas y entrecruzadas a la altura de las muñecas.
Los números que utilizamos en la actualidad se derivaron también del sistema de
contar con los dedos. El uno, desde un principio se escribió tal como lo hacemos hoy;
el dos era representado por dos trazos pero horizontal; el tres por tres bastones
acostados, el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz, el cinco por una
mano cerrada con el pulgar extendido. Al escribirse rápidamente, sin levantar la
pluma del papel, fueron tomando la forma que conocemos.

Los Números Arábigos que son Hindúes; Esos números que utilizamos provienen de
la antigua escritura India, se denominan arábigos porque en el año 711, los Árabes
invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilización. Posteriormente los
signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los árabes en Europa; de allí
fueron conocidos como signos arábigos.
http://viviendoyaprendiendo.wordpress.com/2008/07/14/los-nombres-de-los-
numeros/
Lectura de Números
Lea las siguientes cifras:
1. 5´006.004
2. 200.202
3. 1´001.000
4. 1057.003.000
5. 52,125
Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una
semana. El lunes consigna doscientos mil cien pesos, el martes un millón cinco mil diez
pesos, el miércoles gira un cheque por un millón un mil diez pesos, el jueves consigna
cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos.
¿Cuánta plata le queda en el banco?
Los Operadores
Son símbolos que indican una relación u operación entre dos o más números. Existen
diferentes tipos de operadores:
 Los lógicos, permiten combinar expresiones (y, o, no).
 De relación: permiten realizar comparaciones entre valores (=, <, ≤, >, ≥, ≠).
Ejercicios
Problema

 Aritméticos: Indican una operación
 Adición o Suma (+)
 Sustracción o resta (-)
 Multiplicación ( x, *, . , la ausencia de signo se asume que hay una multiplicación
2a)
 División ( ÷, /)
 Potenciación (𝛬)
 Radicación (√)
 Logaritmación: logaritmo de base 10 (log) y logaritmo natural (ln)
Expresiones Aritméticas: Es la combinación de números y operadores
Realice las siguientes operaciones
1. 85935 + 97486
2. 7000 – 5699
3. 32476 – 25588
4. 4 x 2.5
5. 0 ÷ 19
6. 23 ÷ 0
7. 25.15 + 73.045
8. 3168 ÷ 198
9. 745÷ 5.48
Reglas de prioridad de los operadores aritméticos
Las expresiones de dos o más operandos requieren de reglas que permitan el orden
de las operaciones, este orden es:
1. Los signos de agrupación: ( ), [ ], { }
2. Logaritmación
3. Potenciación y radicación
4. Multiplicación y división
5. Suma y resta
Si en una expresión se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se
resuelve de izquierda a derecha.
Ejercicios
¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones?
5 + 4 * 1 - 2 6 + 9 × 2 54327*4  
32
∗ 3 759*6  6 – 8 ÷ 4 + 3 × 2
Ejercicios

6 + 4 × 3 – 42 ÷ 4 18 + 5 * 3 + 4 * 6 16 - 23 ÷ 2 + 6 x √36
33 + 3 * 4 / 6 4 × 32 - 23 ÷ √16 + 5 2 * 5 – 3 * 6
10 + 54 ÷ (−3)2
× √18 + (−2) 1500 + 50𝐿𝑛(3 × 2 − 1)
−(−2) + √(−2)2 − 4 × (3)(−1)
2(3)
35 ÷ √25 × 3 – 5 × 2 + 23÷4
Ejercicios
Ubique los signos de agrupación en el lugar adecuado para obtener el resultado
indicado:
1 2 3
6 + 8 ÷ 2 – 3 × 1= 4
6 + 8 ÷ 2 – 3 × 1= -2
6 + 8 ÷ 2 – 3 × 1= 7
6 + 8 ÷ 2 – 3 × 1= -14
5 × 6 - 4 × 5 = 10
5 × 6 - 4 × 5 = 50
5 × 6 - 4 × 5 = 130
5 × 6 - 4 × 5 = -70
8 – 2 * 3 + 1 = 24
8 – 2 * 3 + 1 = 19
8 – 2 * 3 + 1 = 3
8 – 2 * 3 + 1 = 0
4 5 6
8 + 6 ÷ 2 – 1 × 4 = 3
8 + 6 ÷ 2 – 1 × 4 = 7
8 + 6 ÷ 2 – 1 × 4 = 2 4
8 + 6 ÷ 2 – 1 × 4 = 1 6
8 + 6 ÷ 2 – 1 × 4 = 5 6
12 + {[(8 ÷ 4) – 2] × 3} = 12
{12 + [8 ÷ (4 – 2)]} × 3 = 48
12 + 8 ÷ 4 – 2 × 3 = 30
12 + 8 ÷ 4 – 2 × 3 = 36
12 + 8 ÷ 4 – 2 × 3 = 24
12 + 8 ÷ 4 – 2 × 3 = 9
12 + 8 ÷ 4 – 2 × 3 = 8
27 ÷ √9 × 3 − 4 + 23
= 31
27 ÷ √9 × 3 − 4 + 23
= −1
27 ÷ √9 × 3 − 4 + 23
= 63
27 ÷ √9 × 3 − 4 + 23
= 7
27 ÷ √9 × 3 − 4 + 23
= 15

Criterios de Divisibilidad
Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.
http://www.vitutor.com/di/di/a_3.html
Número Criterio Ejemplo
2 El número termina en cero o cifra par 378: porque "8" es par
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3 480: porque 4+ 8+ 0 =
12 es múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó
múltiplo de 4.
7324: porque 24 es
múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5. 485: porque acaba en 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3. 326
7 Para números de 3 cifras: Al número formado por las
dos primeras cifras se le resta la última multiplicada
por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número
original también lo es.
469: porque 46-(9*2)=
28 que es múltiplo de 7.
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de
3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo.
Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido
en cada grupo y comprobar si el resultado final es un
múltiplo de 7.
52176376: porque (37-
12) - (17-12) + (5-4)=
25-5+1= 21 es múltiplo
de 7.
8 El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó
múltiplo de 8.
27280: porque 280 es
múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3744: porque
3+7+4+4= 18 es
múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0. 470: La última cifra es 0.
11 Sumando las cifras (del número) en posición impar por
un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el
resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es
cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por
éste.
42702: 4+7+2=13 ·
2+0=2 · 13-2=11 → 11
es múltiplo de 11
Si el número tiene dos cifras será múltiplo de 11 si esas
dos cifras son iguales.
66: porque las dos cifras
son iguales. Entonces 66
es Múltiplo de 11
12 El número es divisible por 3 y 4. 528
13 Un número es divisible por trece si al tomar la última
cifra de la derecha multiplicada por 9 y restar esta
cantidad al número que resulta de quitar dicha cifra el
resultado es cero o un múltiplo de 13.
364
4*9=36
36-36=0

Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de
3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de
derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al
resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número
original también lo es.
25 Si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25 500, 1025, 1875
125 Si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125. 1000, 1125, 4 250
Aplique los criterios de divisibilidad indicados en la tabla para comprobar las
divisibilidades de cada número.
534 403 7286 56892 53955
Halla un número de 3 o más cifras que sean divisibles por:
Por 4 Por 7 Por 8 Por 11 Por 13
Sistemas de Numeración
Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir números. Cada sistema de
numeración tiene una base. Entre los sistemas de numeración conocidos tenemos:
Binario de base dos, octal de base ocho, el hexadecimal de base 16 y el decimal de base
diez, este último es el que empleamos nosotros.
Números Reales
Números Dígitos: Son los que consta de una cifra
Números Reales: Se considera el conjunto universal, se representa con la letra R, a él
pertenecen:
 Los Naturales: Los números para contar, se representa con la letra N.
 Los Enteros: Están formados por los naturales el cero y los negativos.
 Los Racionales son los de la forma a/b
 Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razón de dos enteros.
Tienen representaciones decimales que no se repiten ni terminan
Números Naturales
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los
elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó
Ejercicios
Ejercicios

el ser humano para contar objetos, ya que las tareas de contar y de ordenar son las
más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven
para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º
(decimosexto),…
http://www.casdquindio.edu.co/userfiles/naturales.pdf?phpMyAdmin=eb0b7294f6
d4a0e56126a77981c1b8cc
Problemas
1. En cierta isla se carece de moneda, pero maneja la siguiente tasa de cambio
50 plátanos = 20 cocos
30 cocos = 12 pescados
100 pescados = 1 hamaca
¿Cuántos plátanos equivale una hamaca?
Por datos:
 50 plátanos equivalen a 20 cocos , si dividimos ambos valores por 2 encontramos
que:
 25 plátanos equivalen a 10 cocos, si multiplicamos ambos valores por 3
encontramos que:
 75 plátanos equivalen a 30 cocos, pero 30 cocos equivalen a 12 pescados, por
tanto
 75 plátanos equivalen a 12 pescados, si dividimos ambos valores por 3,
encontramos
 25 plátanos equivalen a 4 pescados, si multiplicamos por 25, encontramos que:
 625 plátanos equivalen a 100 pescados, como 100 pescados equivalen a una
hamaca, entonces
 625 plátanos equivalen a una hamaca.
2. Un granjero venden huevos de gallina. Averigua los ingresos que obtendrán
durante un año sabiendo que:
 Tienen 2 corrales uno con 50 gallinas y otro con 80.
 Cada gallina pone una media de 24 huevos al mes.
 Cada docena la venden a $2000.

3. Juan vende pescados en el mercado. Si los vende a 500 pesos cada uno, se compraría
una carreta y le sobrarían 160 pesos, pero si los vende a 550 pesos cada uno, le
sobrarían 2500 pesos luego de comprar la carreta. ¿Cuánto cuesta la carreta?
4. Un empleado ha sido contratado por 15 meses, tiempo por el cual se le ha ofrecido
pagar $3´240.000 más un auxilio de transporte. Cumplidos los ocho meses, el
empleado renunció al trabajo, y recibió como paga $2´320.000 incluido el auxilio
de transporte. ¿De cuánto fue el auxilio?
5. Un distribuidor de helados distribuye helados de acuerdo con: cada 4 días de
vainilla, cada 6 días de arequipe y cada 8 días de fresa, ¿después de cuántos días
vuelve a surtir los 3 sabores?
6. Una persona pago $8750 por un automóvil gasto $830 en cambio de llantas y 200
en afinarlo para alquilarlo durante 2 años a razón de $1500 por trimestre y luego
lo vendió por $7750 ¿Cuál fue la utilidad?
7. Si 40 libros cuestan lo mismo que 20 cuadernos, y 18 lápices lo mismo que 4
borradores, ¿cuántos cuadernos nos pueden dar por 60 lápices, si el precio de 30
libros equivale a 40 borradores?
8. A una función de teatro infantil entraron 270 personas. Por cada dos niños entro
un adulto a la función. Cada adulto pago $6000 y los niños entraron gratis.
a. ¿Cuántos niños y cuántos adultos entraron a la función?
b. ¿Cuánto dinero se recaudó en la función?
9. Transcurridas 24 semanas desde el inicio de un proyecto de vivienda se han
construido 24 casas. En las últimas 8 semanas se construyeron 2 casas por
semana. ¿cuántas casas por semana construyeron las primeras 16 semanas?
10. A un estadio entran en total 12 425 personas de las cuales 1254 no pagan la boleta
a la entrada. La recaudación total fue de $39 098 500. ¿Cuál es el valor de cada
boleta de entrada si todos los asistentes pagan el mismo valor?
11. Cierto almacén vende pantalonetas con las siguientes promociones
Promoción A $9 000 cada pantaloneta
Promoción B $30 000 la primera pantaloneta y
$2500 por cada pantaloneta
adicional
a. Si se necesita comprar 4 pantalonetas. ¿con cuál promoción le sale más barata?
¿por qué?
b. Si se cuenta con $100 000 ¿Cuántas pantalonetas puede comprar en cada
promoción?

c. ¿Qué cantidad de pantaloneta cuestan lo mismo en las dos promociones?
12. Una empresa obtuvo ganancias en el 2004 por $32,184 millones; en el 2005
$14,159 millones más que el año anterior; en el 2006 tanto como en los años
anteriores juntos; en el 2007 tanto como en los tres años anteriores juntos; y en
el 2008, $ 12,136 millones más de lo que gano en 2007 y en el 2005 ¿cuánto ha
ganado durante los 5 años?
13. Una persona compró un libro que costó $105 000; un vestido por $140 000; una
cámara fotográfica que costó $180 000 más que el libro y el vestido juntos; un
anillo que costó $ 175 000 más que el libro, el vestido y la cámara; y un
computador que costó $ 235 000 más que todo lo anterior. Si le sobraron $211
000, ¿cuánto dinero tenía?
14. Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de
compraventa: el inventario inicial es de 157 bolsas, recibe durante la semana las
siguientes cantidades, el lunes 285, el martes 278, el miércoles 196, el jueves 418
y el viernes 332. El sábado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas. Si
compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500. ¿Cuál es utilidad obtenida
durante dicha semana?
15. ¿Cuánto costó lo que al venderse por $12´517.350 deja una pérdida de
$1´383.500?
16. Si compro un computador portátil por 750 dólares si quiero ganarme $2 000 000
por su venta, teniendo en cuenta que el dólar está en $2´190.80 ¿en cuánto debo
vender?
17. Un comerciante hace un pedido de 3000 Kg de arroz. Inicialmente recibe 813 Kg,
más tarde 124 Kg menos que la primera vez y después 156 Kg más que la segunda
vez. ¿Cuánto arroz falta por enviarle?
18. Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razón
de $100 la unidad. Si se le dañaron 35 naranjas ¿cuál es la ganancia o la perdida?
19. Un comerciante vende 14 sacos de harina a $10 800 cada uno con una pérdida de
$ 200 por saco; 20 sacos de arroz a $7 760 cada uno con una ganancia de $ 100
por saco y 7 sacos de frijoles a $ 4 800 con una pérdida de $ 500 por saco. ¿Cuál
fue el costo de toda la mercancía que se vendió?
20. Un comerciante compra un lote de sacos de azúcar por $594 000 y luego los
vendió $ 950 400 ganado así $ 2 640 por saco. ¿cuántos sacos compró?

21. En un teatro las entradas de adulto costaban $ 9 000 y las de niños $ 3 000. Si se
recaudaron $ 5 460 000 y por cada niño entraron dos adultos ¿cuántos
espectadores entraron al teatro?
22. Si cinco amigos alquilan una casa, cada uno tiene que pagar $150 000 por el
alquiler. Pero si se agregan a la casa tres amigos más, ¿cuánto tendrán que pagar
cada uno por el alquiler de la misma casa?
23. Un constructor compra una parcela de 5 hectáreas que le cuesta $6´500.000. Se
gasta $1´200.000 en urbanizarla, y pierde 1 hectárea entre calles y aceras. El
terreno que le queda lo divide en 25 parcelas. Si quiere ganar $5´400.000, ¿a qué
precio tiene que vender el metro cuadrado de parcela?
24. Los abuelos de Ana son granjeros y venden huevos de gallina. Averigua el
beneficio que obtendrán durante un año sabiendo que:
a. Tienen 1.000 gallinas.
b. Cada gallina pone una media de 26 huevos al mes.
c. Los huevos los ponen en cartones de 2,5 docenas.
d. Cada docena la venden a 0,58 euros.
e. Por cada cartón pagan 0,03 euros.
f. Se les rompen el 5% de los huevos.
25. En un almacén de ropa se vendió 8 camisas de lino de $ 71 900 c/u, descontando
$10 785 en cada camisa; 5 camisas casuales de $ 74 900 c/u; y 17 camisetas de $
18 900 c/u. si las ventas las tiene que repartir en dos que son los dueños. ¿Cuánto
le tocará a cada uno?
Salud
26. Un local de Policlínica funciona con los siguientes costos:
 El alquiler de $15´000.000 al mes
 Salarios administrativos de $5´000.000
 $2´000.000 de sueldos fijos a cada uno de los 5 médicos
Si cada consulta cuesta $15.000 y este es el único ingreso del local ¿cuántos
pacientes deberá atender cada médico para cubrir los gastos de la clínica?
27. Un frasco de jarabe viene en presentación de 250 ml. El médico ha recetado a un
paciente que tome 3 cucharadas diarias de 5 ml ¿Tiene suficiente jarabe para los
12 días de tratamiento?
28. El corazón de una persona palpita 70 veces por minuto. Calcula el número de
palpitaciones que habrá dado en un día.

Mínimo Común Múltiplo (mcm)
Es el más pequeño de los múltiplos comunes de dos o más números.
Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números, se siguen estos pasos:
1. Se descompone cada número en producto de factores primos.
2. El producto de estos factores comunes elevados al mayor exponente y de los no
comunes es el mínimo común múltiplo de los números dados.
Ejercicios Halle mínimo común múltiplo de cada grupo de números:
1. 12 y 8
Descomponemos los números en sus factores primos
12 2
6 2
3 3 Es decir el 32 se puede escribir como
1 12 = 22
× 3
8 2
2 2 8 = 23
1
Indica que el 𝑚𝑐𝑚(12,8) = 23
× 3 = 8
2. 32 y 68
32 2
16 2
4 2 32 = 25
2 2
1

68 2
17 17 68 = 22
× 17
1
Indica que el 𝑚𝑐𝑚(32,68) = 25
× 17 = 544
3. 20, 35 y 60
20 2 35 5 60 2
10 2 7 7 30 2
5 5 1 15 3
1 35 = 5 × 7 5 5
20 = 22
× 5 1
60 = 22
× 3 × 5
Indica que el 𝑚𝑐𝑚(20,35,60) = 22
× 3 × 5 × 7 = 420
4. 3 y 5
5. 4, 6 y 8
6. 30 y 45
7. 12, 18 y 60
8. 4, 6 y 21
9. 20, 50 y 100
10. 12, 15 y 60
11. 80, 120 y 300
12. 140, 325 y 490
Problemas
1. Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal
cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. A las 9 de la
mañana del 1 de junio los tres relojes han coincidido en dar la señal. ¿qué día y a
qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos?
Hallamos el mcm de 60, 150 y 360
60 150 360 2
30 75 180 2
15 75 90 2
15 75 45 3
5 25 15 3

5 25 5 5
1 5 1 5
1
Es decir que el 𝑚𝑐𝑚(60,150,360) = 23
× 32
× 52
= 1800 minutos
Convertimos los 1800 minutos en horas:
1800 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ×
1 𝐻𝑜𝑟𝑎
60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
= 30 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Los tres relojes volverán a dar la señal otra vez juntos el 2 de junio a las 3 pm.
2. En un paradero de bus, uno pasa con una frecuencia de 18 minutos, otro cada 15
minutos y un tercero cada 8 minutos. Si se encuentran a las 6:00 a.m. ¿a qué hora
se vuelven a encontrar en el paradero?
3. Supongamos que dos cometas pasan cerca de la tierra cada 15 y 25 años
respectivamente. Si los dos coincidieron en el año 2002, entonces podemos afirmar
que el encuentro más próximo ocurrirá en el año:
4. Cuatro patinadores participan en un torneo, razón por la cual compiten en una pista
circular recorriéndola totalmente en 8, 10, 12 y 15 segundos, respectivamente. Si
parten juntos, ¿en cuántos minutos se encontrarán en la partida?
5. Si compras un paquete de jamón que trae 18 tajadas y un paquete de queso de 34
tajadas, ¿cuánto paquete de jamón y de queso debes comprar para tener la misma
cantidad de cada uno?
6. Juan tiene la gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas.
Acaba de tomar los dos medicamentos a la vez. ¿De aquí a cuantas horas volverá a
tomárselos a la vez?
7. Luís va a ver a su abuela cada 12 días, y Ana cada 15 días. Hoy han coincidido los
dos. ¿De aquí a cuantos días volverán a coincidir en casa de su abuela?
8. Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada
minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. ¿A qué hora vuelven a coincidir?
9. Juan va a Barranquilla cada 18 días, Pedro cada 15 días y María cada 8 días. Hoy
día 10 de enero han coincidido en Barranquilla los tres viajantes. ¿Dentro de
cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Barranquilla?
10. Tres personas están haciendo gimnasia en una plaza, una da vuelta caminando, otra
trotando y otra corriendo. La primera tarda 10 minuto en dar una vuelta la segunda
tarda 6 minutos y la tercera 2 minutos. Si comenzaron a la misma hora y en el
mismo lugar ¿cada cuánto tiempo se vuelven a encontrar el punto de partida?

11. Diego ha iniciado un tratamiento médico para su alergia. Debe tomar tres
medicamentos distintos: unas pastillas, un jarabe y una crema. Las pastillas las
debe tomar cada tres horas, el jarabe cada cuatro y la crema aplicarla cada dos
horas. Si Diego tomó todos los medicamentos a las 8:00 de la mañana, ¿a qué hora
los volverá a aplicar todos?

Números Enteros
Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y
multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado,
, donde es el orden usual sobre , es un conjunto completamente
ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto
de los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán
Zahlen 'números').
Valor Absoluto de un Número: Es la distancia del número al cero, por ello este valor
siempre es positivo, es decir no tiene en cuenta el signo. Si x es un número entero el
valor absoluto de x se representa |x|.
Ejemplos:
 |-5| = |5|
 |-3|<|-4|
 |-2|>|1|
Ley de los signos
 Adición y sustracción de Números Enteros: Para sumar o restar dos o más números
enteros se debe tener en cuenta:
Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el número que tienen los
números
Ejemplo
 5 + 3 = 8
 (-5) + (- 3)= -8
Si son de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del número
de mayor valor absoluto
Ejemplo
 5 – 3 = 2
 -5 + 3 = -2
 Multiplicación y División de Números Enteros: Para multiplicar o dividir dos enteros
se tienen en cuenta las siguientes consideraciones:
El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo
 6 * 3 = 18
 (-6) * (-3) = 18
 6 ÷ 3 = 2
 (-6) ÷ (-3) = (2)
El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo

Ejemplo
 16 * (-4) = -64
 (-16) * 4 = -64
 16 ÷ (-4) = -4
 (-16) ÷ (4) = -4
Ejercicios
Resuelva
1. – { 16 - [ 12 - ( 6 - 8)]}
2. 5 – [ - 24 ÷ (−25 + 17)]
3. −12 ÷ [−4(3 − 5) − 2(2 − 3)]
4. −4 {8 ÷ −[(−11 + 7) + 3(−2 + 4)]}
5. {[(−3)4
÷ √−729
3
] − [−√256
4
∗ (−5 + 2)]}
Ejercicios
Dada la suma
3 5 𝑎 3 b
+ 2 c 2 d 7
e 8 2 1 5
Calcular: [( 𝑎 + 𝑏) − ( 𝑐 − 𝑑)] + 𝑒
Ejercicios
Marque con una C la afirmación correcta y con una I la incorrecta. Si la repuesta es
incorrecta justifíquela:
1. 19 – 54 – 81 = 116 ( )
2. 2. -9 + 18 – 10 = - 1 ( )
3. Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )
4. Si 3x = -18 entonces x = 6
5. -1 > -2 ( )
6. |-3| <|-5| ( )
7. -5 – 2 < -15 + 8 ( )
8. |-7 + 12| > |8 – 3| ( )
Problemas
1. Se quiere resolver un problema sobre tres números enteros consecutivos que
sumados fueran 81. Se escribe la ecuación (n – 1) + n + (n + 1)
a. ¿Qué representa n?
b. ¿Cuáles son los tres números?
2. Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de café.
a. ¿Cuántos litros de agua quedan en el tanque después de 5 horas, si se gastan
un promedio de 4900 litros por hora?

b. ¿Cuántos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua
alcance?
3. En un campeonato de fútbol intercolegial se inventaron una regla de juego que
consistía en: partido ganado daba 3 puntos, partido empatado daba 1 punto,
partido perdido quitaba 2 puntos, cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en
contra quitaba 1. Al final cada equipo jugó 8 partidos y la tabla de resultados fueron
los siguientes:
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus
respectivos puntos:
4. Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000. Vendió una
parte por US $ 46400, a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra
parte en US $ 36000, ganando US $ 100 a cada uno.
a. ¿Cuántos computadores tiene el lote?
b. Para obtener una ganancia de US $ 4000 ¿a cómo debe vender los restantes
computadores?
5. Se ha comprado 100 acciones de una empresa a un precio de 24 € cada. Pasado 3
meses el precio de cada acción ha disminuido en 5 € ¿A cuánto asciende la perdida?
6. Un comerciante ha comprado una caja con 56 manzanas que pesa 22.4 Kg por $89
600 ha vendido. Si se venden 12 Kg de manzana a $3200 la unidad y el resto se
estropeo ¿Cuál es la utilidad obtenida?
7. Pitágoras, filósofo y matemático griego, vivió entre los años 582 y 496 A.C. ¿A qué
edad murió? ¿Cuántos años hace de eso?
EQUIPO
PARTIDOS GOLES
GAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8
OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 1 8 8
REBELDES 3 2 3 12 7
PITUFOS 2 0 6 7 12
Posición Equipo Puntos
1
2
3
4
5

8. Hipatía de Alejandría fue una científica, filósofa y maestra que murió asesinada en
el año 415 a la edad de 45 años. Arquímedes, en cambio, fue un matemático griego
que murió a la edad de 75 años durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los
romanos en el año 212 a.C. ¿En qué año nació cada uno?
9. Euclides de Alejandría científico que enseño matemáticas durante más de 20 años,
nació hace 2336 años y murió hace 2276 ¿en qué año nació? ¿En qué año murió? ¿A
qué edad murió?
10. Los participantes de un concurso deben contestar 30 preguntas, cuando dan una
respuesta correcta obtienen 3 puntos, si pasan no tienen puntos, si contestan
incorrectamente pierden un punto. Cierto concursante acumula solamente 6
puntos. Indicar las posibles respuestas
a. 2b y 0 m b. 4b y 6 m c. 6 b y 12 m d. 8b y 18 m
e. 3 b y 3 m f. 5 b y 9m g. 7b y 15 m h. 9b y 21 m
Salud
11. Una vacuna viene en presentación de 12.5 cc y se aplica 2.5 cc por paciente. Si se
cuenta con 5 cajas de vacunas cada una con 100 unidades y se necesita aplicar a
una población de 3000 personas ¿cuántas personas quedan sin vacunarse?
12. Un paciente herido pierde 3 cc de sangre por minuto. Si el cuerpo humano tiene
5000 cc de sangre, se pregunta
a. En una hora ¿qué cantidad de sangre queda en el cuerpo?
b. Si cada bolsa de sangre posee 0.25 cc ¿cuántas bolsas de sangre se necesitan
para recuperar la sangre perdida?

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