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Razonamiento Matemático
Funciones lineales y afines
PREPÁRATE
SESIÓN
21

Razonamiento Matemático | 21. Funciones lineales y afines
Actividad: Utilizamos nuestros conocimientos
de funciones lineales y afines para resolver
problemas cotidianos
Función
Es un caso especial de correspondencia entre dos conjuntos, tal que un elemento
del primer conjunto se relaciona con uno solo del segundo conjunto.
Se simboliza: f: A → B y se lee función de A en B.
Dominio y rango de la función
Dominio de la función. Es un conjunto inicial o preimagen.
Rango de función. Es un conjunto de llegada o conjunto imagen.
Funciones lineales y afines
Recordamos conceptos básicos
Ayer estaba jugando en línea
en una cabina y, al término del
juego, que duró 2,5 horas, la
señora me cobró S/ 3 y a mi
amigo, que estaba jugando 4
horas, le cobró S/ 3,50. Si la
señora cobra por la primera
hora S/ 2 y S/ 0,5 por cada
hora siguiente, ¿por qué
le cobró esa cantidad a mi
amigo? No me explico.
Es fácil. Para
saber por qué
les cobró esa
cantidad, podemos
establecer una
correspondencia
entre dichas
cantidades (horas
y precio) mediante
una función lineal.
Donde x es el
número de horas
adicionales a la
primera hora que
estuvieron jugando.

Reglas para determinar funciones
— Especificar el dominio, el rango y la ley de correspondencia.
— Especificar la fórmula algebraica y = f(x).
— Mostrar la tabla de correspondencia de valores.
Representación gráfica de una función lineal
Se representa en un plano cartesiano ubicando los pares ordenados de la
correspondencia.
Función afín
Está compuesta por dos funciones y su forma general es f(x) = mx + b, es un
sinónimo de una función lineal.
Donde m y b son constantes, y m es diferente de cero.
Dominio de la función D(f)
Conjunto de todos los valores que puede tomar la variable x.
Rango de la función R(f)
Conjunto de todos los valores que puede tomar y.
Representación gráfica línea recta
La gráfica de toda función de la forma f(x) = mx + b de primer grado es una línea
recta que corta al eje y en “b”.
Observamosquetodassonlineales,debidoaquerepresentanfuncionesdeprimergrado.

Función lineal de segundo grado
No es una función.
y = x2
+ 1

Situaciones problemáticas
Situación problemática 1
En el mes de octubre, el recibo de agua registró un consumo de 12 m3
de agua
potable y el importe fue S/ 17,99; en el mes de noviembre, se consumió 15 m3
y el
costo fue S/ 22,49; y en el mes de diciembre, se consumió 16 m3
. Si la tarifa por m3
es 1,499, ¿cuánto se pagará en diciembre?
A) S/ 15,98
B) S/ 16,98
C) S/ 18,98
D) S/ 20,98
E) S/ 23,98
Solución
Lo que hacemos estomaren cuenta el costo del m3
. Luego, si en octubre el consumo
fue de 12 m3
y su costofue S/ 17,99, solo multiplicamos 12(1,499) y saldría S/ 17,988.
Así, continuamos realizando la misma operación para noviembre y diciembre.
Ese cálculo lo podemos observar mejor en el siguiente cuadro:
En el mes de diciembre se pagó S/ 23,984.
Respuesta E
m3
1 12 15 16
Costo S/ 1,499 S/ 17,988 S/ 22,485 S/ 23,984

Bien,veamoselcasodelasdistanciasylostiempos.Imagínatequeunautomóvilvaauna
velocidad constante de 100 km /h en una autopista. Para llegar de Lima a Ica se demora
3,03 horas; para ir de Lima aArequipa, 9,66 h; y para desplazarse de Lima a Tacna, 12,93
horas. ¿A qué distancia aproximada se encuentra cada departamento de Lima?
A) Ica: 300 km; Arequipa: 900 km; Tacna: 1200 km
B) Ica: 302 km; Arequipa: 944 km; Tacna: 1266 km
C) Ica: 303 km; Arequipa: 966 km; Tacna: 1293 km
D) Ica: 330 km; Arequipa: 990 km; Tacna: 1369 km
E) Ica: 360 km; Arequipa: 999 km; Tacna: 1468 km
Solución
Yo puedo hacer el cálculo fácilmente. Si es una velocidad constante: d = (v)(t), quiere
decir que la distancia está en función del tiempo. Por lo tanto:
Distancia de Lima a Ica = 100(3,03) = 303 km
Distancia de Lima a Arequipa = 100(9,66) = 966 km
Distancia de Lima a Tacna = 100(12,93) = 1293 km
Claro que estos cálculos son aproximados, ya que el viaje en carretera requiere
mucho más tiempo y también va a depender de cuántas paradas se realicen.
Respuesta C

Ricardo es vendedor de electrodomésticos. Él recibe mensualmente un sueldo
mínimo de S/ 930 más una comisión del 5 % por cantidad de ventas, lo cual
incrementa su remuneración. El total de ventas realizadas en junio correspondió
a un monto de S/ 2800; en julio, S/ 3400; en agosto, S/ 2500; en septiembre,
S/ 4800. Calculemos cuánto ganó en los últimos 4 meses.
A) S/ 1070
B) S/ 2170
C) S/ 3225
D) S/ 4395
E) S/ 5325
Solución
Observemos el siguiente cuadro y lo completamos.
Para ello, establecemos la expresión algebraica que representa la función:
f(x) = 930 + 5 %(x)
Donde f(x) representa la remuneración final.
Calculamos el 5 % de cada total de ventas. Luego, a ese monto, le sumamos el
sueldo mínimo y obtenemos la remuneración mensual.
Mes
Sueldo
mínimo
Total de
ventas
Comisión
(5 %)
Remuneración final
f(x) = 1/20(x) + 930
Junio S/ 930 S/ 2800
Julio S/ 930 S/ 3400
Agosto S/ 930 S/ 2500
Septiembre S/ 930 S/ 4800

Ahora, observa el cuadro con los datos completos:
Finalmente, para saber cuánto ganó en los últimos cuatro meses solo sumamos el
monto que recibió en cada mes. El resultado es S/ 4395.
Muy bien, ya sabemos cuánto ganó Ricardo en cuatro meses.
Respuesta D
Cada vez aumenta más el turismo en el país. Hay muchos lugares turísticos que
debemos conocer. Por eso, cuando se presenta la oportunidad, las familias salen
de viaje utilizando un bus de transporte. Sin embargo, a veces, cuando hay mucha
gente y hay muchas maletas, estas se pueden perder. Si se debe a un descuido, no
hay nada que hacer, pero si es responsabilidad de la empresa contratada, esta tiene
que pagar un monto por la pérdida como indemnización.
Indecopi dio una resolución al respecto: el monto que tiene que pagar la empresa es
la mitad del monto del pasaje multiplicado por el número de kilos del equipaje perdido.
Jorge sufrió la pérdida de su equipaje, el cual pesaba 12,5 kilogramos, y reclamó a
la empresa. Si el pasaje le costó S/ 68, ¿cuánto recibirá Jorge de indemnización por
parte de la empresa?
A) S/ 850
B) S/ 725
C) S/ 625
D) S/ 525
E) S/ 425
Mes
Sueldo
mínimo
Total de
ventas
Comisión
(5 % = 1/20)
Remuneración final
f(x) = 1/20(x) + 930
Junio S/ 930 S/ 2800 S/ 140 S/ 1070
Julio S/ 930 S/ 3400 S/ 170 S/ 1100
Agosto S/ 930 S/ 2500 S/ 125 S/ 1055
Septiembre S/ 930 S/ 4800 S/ 240 S/ 1170

Solución
Podemos resolverlo fácilmente.
El monto está en función del peso:
f(x) = 1/2 (m)(x)
f(x) = 1/2 (68) (12,5)
f(x) = 425
Recibirá S/ 425.
Respuesta E
Jacinto es chofer de una empresa de productos lácteos. Él realiza entregas de
estos productos desde el norte hasta el sur del país. Si recorre con una velocidad
constante de 75 km/h una distancia de 525 km cada día y para cada 45 minutos,
¿cuánto tiempo demoró en dos días si en el primer día realizó cuatro paradas y en el
segundo día paró dos veces?
A) 8,5 h
B) 10 h
C) 14,5 h
D) 16,5 h
E) 18,5 h
Solución
Para resolver esta situación, debemos establecer una correspondencia entre las
magnitudes de tiempo y número de paradas.
Se sabe: d = (v)(t) → t = d/v.
Señalamos la función:
f(x) = 3/4x + t
Día 1:
t = 3/4(4) + 525/75 = 3 + 7 = 10 h
Día 2:
t = 3/4(2) + 525/75 = 1,5 + 7 = 8,5 h
Tiempo en los dos días: 10 h + 8,5 h = 18,5 h
Respuesta E

Hay muchas situaciones de lavida diaria en las que se establecen correspondencias
entre magnitudes y estas se expresan gráficamente en un sistema de coordenadas.
A continuación, se muestra la gráfica correspondiente al vaciado de un tanque de
agua por minuto.
Determinar la cantidad de litros al termino de cuatro minutos.
A) 70 litros
B) 60 litros
C) 50 litros
D) 40 litros
E) 30 litros
Solución
Es sencillo. Observamos que es una función lineal. A mayor cantidad de tiempo,
mayor vaciado de litros.
Por lo tanto, relacionamos cada minuto con la cantidad de litros.
1.er
minuto: 10 litros
2.º minuto: 15 litros
3.er
minuto: 20 litros
4.º minuto: 25 litros
Si se suman los litros por cada minuto, en total se tendrían 70 litros.
Respuesta A
25
20
15
10
5
1 2 3 4 5 6 Tiempo (minutos)
Volumen (litros)

Veamos la siguiente situación:
Si f(x) = 4x – 9, ¿cuáles son los interceptos con los ejes x y y de la gráfica de la
función?
Se sabe que toda función se puede representar en el plano cartesiano y que
los interceptos son los puntos de intersección de la gráfica con los ejes de las
coordenadas: el eje x de las abscisas y el eje y de las ordenadas.
A) (0; -5) y (5/4; 0)
B) (0; -6) y (6/4; 0)
C) (0; -7) y (7/4; 0)
D) (0; -8) y (8/4; 0)
E) (0; -9) y (9/4; 0)
Solución
Vamos a igualar x = 0 para hallar la coordenada de y.
f(0) = 4(0) − 9 = −9 → y = –9
Para hallar la coordenada de x igualamos y = 0.
f(x) = y = 0
0 = 4x − 9
x = 9/4
Las coordenadas de los interceptos son (0; -9) y (9/4; 0).
Respuesta E

Retos
Los retos son los desafíos que te impulsarán a desarrollar tus propias estrategias y permitirán
verificar tus logros de aprendizaje. Para ello, tendrás que leer bien la situación (problema o
ejercicio), comprenderla, analizar los datos, trazar un plan de acción y realizar las operaciones
para comprobar luego el resultado. ¡Éxitos en tu proceso de aprendizaje!
Reto 1
Rosita estaba resolviendo sus ejercicios de matemática y tuvo dificultad en uno
de ellos: “¿Cuál es la función lineal: f(x)= mx – b, si f(3) = 10 y f(5) = 4f(1)?”. Creo
que tú puedes ayudarla y decirle cuál es la respuesta correcta.
A) f(x) = -3x + 1
B) f(x)= -3x – 1
C) f(x) = 3x + 1
D) f(x) = 3x – 1
E) f(x) = –2x + 1
Reto 2
Si f(x) = 2x + 0,5 y y g(x) = 2,4 x – 1, halla el valor de M = f(f(3)) + g(2) – f(1).
A) 15,8
B) 14,8
C) 16,25
D) 16,8
E) 16,2

Reto 3
A Renata le gusta mucho preparar deliciosos pasteles y uno de sus favoritos es el
de espinacas, que los hace muy ricos, según sus clientes. Se sabe que cada 100
gramos de espinaca producen 32 calorías. Ella tiene que hacer diferentes tamaños
de pasteles en función al número de calorías.
Toma en cuenta que las relaciones de correspondencia que ella puede establecer
se expresan en forma de pares ordenados:
f(x) = {(50; 16), (200; 64), (100; 32), (150; m), (n,128)}
Halla los valores de m y n.
A) m = 400 g y n = 48 cal
B) m = 25 g y n = 48 cal
C) m = 48 cal y n = 40 g
D) m = 48 cal y n = 400 g
E) m = 32 cal y n = 28 g
Resolvemos los retos
Reto 1
Rosita estaba resolviendo sus ejercicios de matemática y tuvo dificultad en uno de
ellos: “¿Cuál es la función lineal: f(x) = mx – b, si f(3) = 10 y f(5 ) = 4f(1)?”. Creo que
tú puedes ayudarla y decirle cuál es la respuesta correcta.
Solución
La forma general de una función afín es f(x) = mx + b.
Sabemos lo siguiente:
f(3) = m3 + b = 10 → 3m + b = 10 (1)
f(5) = m5 + b = 5m + b (2)
4f(1) = 4[m1 + b]= 4 [m + b] = 4m + 4b (3)

Igualamos (2) y (3).
5m + b = 4m + 4b
5m – 4m = 4b – b
m = 3b
Reemplazamos en (1).
3(3b) + b = 10
9 b + b = 10
10 b = 10 → b = 1
Por lo tanto, m = 3(1) = 3.
La función sería: f(x) = 3x + 1
Respuesta C
Reto 2
Si f(x) = 2x + 0,5 y g(x) = 2,4x – 1, halla el valor de M = f(f(3)) + g(2) – f(1).
Solución
Hallamos primero cada función por separado y luego resolvemos la operación.
f(f(3)) = [2(f(3)) + 0,5] = [ 2(2.3+0,5) + 0,5] = [2(6 + 0,5) + 0,5] = 13,5
g(2) = 2,4(2) – 1 = 4,8 – 1 = 3,8
f(1) = 2(1) + 0,5 = 2,5
M = 13,5 + 3,8 – 2,5 = 14,8
Respuesta B
Reto 3
A Renata le gusta mucho preparar deliciosos pasteles y uno de sus favoritos es el de
espinacas,queloshacemuyricos,segúnsusclientes.Sesabequecada100gramosde
espinaca producen 32 calorías. Ella tiene que hacer diferentes tamaños de pasteles en
función al número de calorías. Toma en cuenta que las relaciones de correspondencia
que ella puede establecer se expresan en forma de pares ordenados:

f(x) = {(50; 16), (200; 64), (100; 32), (150; m), (n; 128)}
Halla los valores de m y n.
Solución
Ordenamos los valores según los datos y los colocamos en una tabla. Luego, los
analizamos.
Relacionamos.
Los gramos: 50 + 100 = 150 → 16 + 32 = 48 cal
Las calorías: (64)(2) = 128 → (200)(2) = 400 g
Respuesta D
Gramos 50 100 150 200 n
Calorías 16 32 m 64 128
Las matemáticas hacen referencia, de hecho, solo a cosas que
realmente existen, porque Dios creó el mundo, no un juego abstracto,
en medida, peso y número.

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