Soluciones de la guía N°4 de matemáticas del Preuniversitario CEPECH. Año 2012.

1. SGUC3AMTA04004V2
VARIACIONES
PROPORCIONALES
Y
PORCENTUALES
GUIA DE EJERCITACIÓN
Variaciones proporcionales y
porcentuales

2. Estimado alumno:
Aquí encontrarás las claves de corrección, las habilidades y los procedimientos de
resolución asociados a cada pregunta, no obstante, para reforzar tu aprendizaje es
fundamental que asistas a la corrección mediada por tu profesor, ya que sólo en esta
instancia podrás resolver cualquier duda subyacente.
CLAVES DE CORRECCIÓ
GUÍA EJERCITACIÓ VARIACIO ES PROPORCIO ALES
Y PORCE TUALES
PREGU TA ALTER ATIVA ivel
1 C Aplicación
2 A Análisis
3 D Aplicación
4 A Aplicación
5 A Aplicación
6 D Aplicación
7 E Aplicación
8 C Aplicación
9 B Aplicación
10 B Aplicación
11 C Aplicación
12 B Aplicación
13 D Aplicación
14 D Aplicación
15 A Aplicación
16 E Aplicación
17 E Aplicación
18 B Análisis
19 E Evaluación
20 D Evaluación

3. 1. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
m: cantidad de mujeres.
h: cantidad de hombres
m:h=9:7
m = 9k
h = 7k
m + h = 80 (Reemplazando)
9k + 7k = 80
16k = 80 (Despejando k)
80
k= (Simplificando)
16
k=5
Entonces:
m = 9k (Reemplazando)
m=9·5
m = 45
Por lo tanto, asistieron 45 mujeres.
2. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Análisis
I) Verdadera, ya que:
Lápices rojos hay 18 y negros 24, la razón de lápices rojos y negros es:
18
= (Simplificando)
24
3
4
Lo que significa que por cada 3 lápices rojos hay 4 lápices azules.
II) Falsa, ya que:
La razón entre el total de lápices y la cantidad de lápices negros es
42
= (Simplificando)
24
7
4

4. III) Falsa, ya que:
La razón entre la cantidad de lápices negros y rojo es
24
= (Simplificando)
18
4
= 1, 3
3
3. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
1 R
R directamente proporcional a ⇒ =k (Desarrollando)
Q 1
Q
R ⋅Q = k (Reemplazando)
16 · 2 = k
32 = k
R ⋅Q = k (Reemplazando)
4 · Q = 32 (Despejando Q)
32
Q=
4
Q=8
4. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
Gramos Calorías
100 300
30 x
Corresponde a una proporcionalidad directa, entonces:
100 300
= (Desarrollando)
30 x
100x = 30 ⋅ 300 (Despejando x)
30 ⋅ 300
x= (Simplificando y multiplicando)
100
x = 90
Por lo tanto, con 30 gramos del mismo alimento se tiene 90 calorías.

5. 5. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
Kilómetros Minutos
60 45
x 195
Corresponde a una proporcionalidad directa, entonces:
60 45
= (Desarrollando)
x 195
45x = 60 · 195 (Despejando x)
60 ⋅ 195
x= (Simplificando y multiplicando)
45
x = 260
Por lo tanto, en 3 horas 15 minutos recorrerá 260 kilómetros
6. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
Se define:
x = Dinero que le corresponde a Marcos
y = Dinero que le corresponde a Lucas
z = Dinero que le corresponde a Mateo
Según el enunciado:
x + y + z = 147.000
Por definición de variables inversamente proporcionales:
x ⋅ 1 = k, y ⋅ 2 = k, z⋅4=k (Despejando)
k k
x = k, y = , z=
2 4
x + y + z = 147.000 (Reemplazando)
k k
k+ + = 147.000 (Aplicando m.c.m)
2 4
4k + 2k + k = 147.000 ⋅ 4 (Despejando k)

6. 147.000 ⋅ 4
k= (Simplificando y multiplicando)
7
k = 84.000
Reemplazando k:
k k
x = k, y = , z=
2 4
x = 84.000, y = 42.000 , z = 21.000
Por lo tanto, la diferencia de dinero entre el que recibe más y el que recibe menos es:
84.000 – 21.000 = $ 63.000
7. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
m · n2 = k (Reemplazando)
27 · 1 = k
27 = k
Entonces:
m · n2 = k (Reemplazando)
m · 92 = 27
81m = 27 (Despejando m)
27
m= (Simplificando)
81
1
m=
3

7. 8. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
Obreros horas m2
P 8 120
P+3 x 60
Obreros y horas son variables inversamente proporcionales, horas con metros cuadrados
son directamente proporcionales, entonces:
Obreros horas m2
P 8 120
P+3 x 60
P · 8 · 60 = (P + 3) · x · 120 (Despejando x)
8 ⋅ 60 ⋅ P
=x (Simplificando)
( P + 3) ⋅ 120
4P
=x
P+3
 4P 
Por lo tanto, (P + 3) obreros en pintar 60 m2 se demorarán   horas.
 P + 3
9. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
100
x es el 20% de (Escribiendo en lenguaje matemático)
20
20 100
x= ⋅ (Simplificando)
100 20
x=1

8. 10. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
Si son 120 rosas blancas y rosadas, y 78 son rosadas, entonces 42 son blancas.
Entonces:
Cantidad Porcentaje
120 100
42 x
Aplicando proporción directa:
120 100
= (Desarrollando)
42 x
120x = 42 · 100 (Despejando x)
42 ⋅ 100
x= (Simplificando y multiplicando)
120
x = 35
Por lo tanto, el 35% de las rosas son blancas.
11. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
$6.000 equivale al 80% del precio original, entonces:
Cantidad Porcentaje
x 100
6.000 80
Aplicando proporción directa:
x 100
= (Desarrollando)
6.000 80
80x = 6.000 · 100 (Despejando x)
6.000 ⋅ 100
x= (Simplificando y multiplicando)
80
x = 7.500
Por lo tanto, el artículo costaba originalmente $ 7.500.

9. 12. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
El precio sin IVA, corresponde al 100%, y el precio con IVA corresponde al 119%
Cantidad Porcentaje
x 100
29.155 119
Aplicando proporción directa:
x 100
= (Desarrollando)
29.155 119
119x = 29.155 · 100 (Despejando x)
29.155 ⋅ 100
x= (Simplificando y multiplicando)
119
x = 24.500
Por lo tanto, el artículo sin IVA cuesta $ 24.500.
13. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
Aplicando proporción directa:
8 100
= (Despejando x)
3 x
100 ⋅ 3
x= (Simplificando)
8
x = 37,5%

10. 14. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
La fórmula para determinar la variación porcentual es:
C f − Ci
· 100%
Ci
Donde: C i : cantidad inicial
C f : cantidad final
Cf = $ 150.000
Ci = $ 195.000
Entonces:
C f − Ci
Variación porcentual = · 100% (Reemplazando)
Ci
 195.000 − 150.000 
=  · 100%
 150.000 
 45.000 
=  · 100%
 150.000 
= 0,3 · 100%
= 30%
15. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
Según el enunciado, nos queda:
Dinero en euros Porcentajes
7,7 ⋅ 106⋅ 540 70
x 100
Aplicando proporción directa:
7,7 ⋅ 10 6 ⋅ 540 70
= (Despejando x)
x 100
7,7 ⋅ 10 6 ⋅ 540 ⋅ 100
x=
70

11. 16. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
El enunciado expresado en lenguaje matemático nos queda:
x
(x + ) (El precio aumentado en un 20%)
5
x 1 x
(x + ) – (x + ) = 900 (El nuevo precio disminuido en un 25%, es $ 900)
5 4 5
x x x
x+ – – = 900 (Aplicando m.c.m)
5 4 20
20x + 4x – 5x – x = 900 ⋅ 20
18x = 900 ⋅ 20 (Despejando x)
900 ⋅ 20
x= (Simplificando y multiplicando)
18
x = 1.000
Por lo tanto, el precio inicial de la polera era $ 1.000.
17. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Aplicación
Si la ley indica que cada persona puede descontar un 75% de los impuestos, es decir:
75 5
⋅ ⋅ x = 90.000 (Simplificando)
100 100
3 1
⋅ ⋅ x = 90.000 (Desarrollando, encontrando x)
4 20
90.000 ⋅ 4 ⋅ 20
x=
3
x = 2.400.000
Por lo tanto, el ingreso de la persona es $ 2.400.000

12. 18. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Análisis
Sea:
x (Valor del dólar, día lunes)
10
x+ ⋅x (Desarrollando suma de fracciones)
100
110
⋅x (Valor del dólar ,día martes)
100
110 10 110
⋅x+ ⋅ ⋅x (Simplificando y desarrollando suma de fracciones),
100 100 100
110 11
⋅x+ ⋅x
100 100
121
⋅x (Valor del dólar, día miércoles)
100
I) Falsa, ya que el día lunes el valor fue 100% y el día martes 110%.
II) Verdadera, ya que aumentó en un 21%
III) Falsa, ya que como los valores son distintos, el alza en pesos del valor del día
martes y miércoles es diferente.
19. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Evaluación
(1) Hay más mujeres que hombres. Con esta información, no se puede determinar la
razón entre la cantidad de hombres y mujeres.
(2) Hay 25 personas en el bus. Con esta información, no se puede determinar la razón
entre la cantidad de hombre y mujeres ya que la cantidad exacta de mujeres y de
hombres se desconoce.
Con ambas informaciones, no se puede determinar la razón entre la cantidad de
hombres y mujeres que hay en el bus, ya que se sabe el total personas pero no la
cantidad exacta de hombres y mujeres.

13. 20. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Razones, proporciones y porcentajes
Habilidad Evaluación
(1) El 75% de los bombones O son de mazapán. Con esta información y la del
enunciado, es posible determinar la cantidad de bombones que tiene la caja, ya
que los 3 bombones corresponden al 25%.
(2) La razón entre los bombones de mazapán y los que O son de mazapán es 1 : 3.
Con esta información y la del enunciado, es posible determinar la cantidad de
bombones que tiene la caja, ya que los que no son de mazapán son el triple de 3.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola. .