Este documento presenta un análisis de los temas más representativos de la trigonometría como las razones trigonométricas, las funciones trigonométricas y sus aplicaciones en triángulos rectángulos y la solución de problemas comunes. Explica las definiciones de las razones trigonométricas y sus aplicaciones en diversos problemas matemáticos y de ingeniería. También presenta ejemplos de problemas resueltos que ilustran cómo se usan las funciones trigonométricas para calcular distancias y ángulos.

1. POR : YASSER DAVID SALAZAR . C
GRADO: 10-02
COLEGIO FRANCISCO ANTONIO DE ULLOA
AREA DE TRIGONOMETRIA
POPAYAN, CAUCA
2011

2. POR: YASSER DAVID SALAZAR . C
PRESENTADO A : LUZ ENEIDA DAZA
GRADO: 10-02
COLEGIO FRANCISCO ANTONIO DE ULLOA
AREA DE TRIGONOMETRIA
POPAYAN, CAUCA
2011

3. En el presente trabajo tratare de realizar un análisis mas concreto
sobre los temas mas representativos de la trigonometría como lo
son: las razones trigonométricas , las funciones trigonométricas y
sus aplicaciones en triángulos rectángulos y solución de
problemas comunes para mostrar como se ha enriquecido
también con otros temas referentes e importancia en la ciencia y
la tecnología , además como la trigonometría nos ha ayudado en el
desempeño y búsqueda de soluciones reales en nuestra vida
diaria y en la cotidianidad y progreso en el campo de la
ingeniería y todos los cálculos de precisión.

4. TAREA 1: RAZONES TRIGONOMETRICAS
A) Investiga la definición de las razones trigonométricas que se
establecen entre los lados de un triangulo rectángulo.
La base de la trigonometría esta en las razones
trigonométricas, valores numéricos asociados a cada
ángulo, permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de
los triángulos. Las mas importantes son : seno, coseno, y tangente
, que se definen a continuación .
Antes existía tablas numéricas en las que se daban los valores de las
razones trigonométricas de un ángulo en la actualidad, con una
calculadora científica se obtienen con toda precisión cualquier ángulo.

5. En un ángulo  de un triangulo
rectángulo, ABC, se llama seno , y se
escribe sen , al cociente entre la
longitud del cateto opuesto y la
longitud de la hipotenusa.
Análogamente se define el coseno(cos) :como cociente entre la longitud
del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa.
La tangente(tan): como el cociente entre la longitud del cateto opuesto
y la longitud del cateto adyacente.

6. B) Determina las razones trigonométricas reciprocas.
Se define la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones
reciprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
La cosecante(cosec): es la razón reciproca de seno, como la longitud de la
hipotenusa entre la longitud del cateto opuesto.
La secante(sec): es la razón reciproca de coseno, como la longitud de la
hipotenusa entre la longitud del cateto adyacente.
La cotangente(cot): es la razón reciproca de la tangente, como la
longitud del cateto adyacente entre la longitud del cateto opuesto.
Normalmente se emplea las relaciones trigonométricas seno, coseno y
tangente y salvo que haya un interés especifico se utilizan.

8. TAREA 2: APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
A) plantea y resuelve 5 problemas de aplicación de funciones
trigonométricas(elabora gráficos que expliquen el problema).
El objetivo prioritario de esta rama de las matemáticas es el estudio de
las medidas de los ángulos y lados de los triángulos. Las primeras
aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la
navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal
problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una
distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia
entre la tierra y la luna. Se encuentran notables aplicaciones de las
funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ingenierías.

9. Las aplicaciones mas destacadas son en el estudio de fenómenos
periódicos y como se propagan las ondas: las ondas que se producen al
tirar una piedra en el agua, o al agitar una cuerda cogida por dos
extremos, o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los
rayos-x, las ondas sonoras, entre otros. En la astronomía al calcular
el radio de la tierra, distancia de la tierra a la luna, distancia de la
tierra al sol, predicción de eclipses, confección de
calendarios, artillería, cartografía, y en la elaboración de un mapa de
un lugar del que se conoce algunas distancias y algunos ángulos.
Construcciones.
Además en la construcción de cartas marinas y edificios para que
cumplan ciertas exigencias de orientación o construyendo un teodolito
casero.

10. En este tema hay que tener muy en cuenta la llamada: línea de visión ala
recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar
observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la
horizontal del observador y el lugar observado cuando este esta
situado arriba del observador. Cuando el observador esta mas alto lo
llamaremos ángulo de depresión.

11. Uno de los problemas mas comunes en este tema para una solución son:
1-Cual es la longitud de una persona que observa un edificio de 125 mtrs
de altura, cuando presenta un ángulo de elevación de 48º desde la
azotea del edificio?
rta:
tan 48º = 125 mtrs
S
S= 125 mtrs
tan 48º
S= 112.55 mtrs

12. Cual es la distancia del observador a la azotea del edificio medida
horizontal ?
Rta: h= 90º - 48º= 42º d= 125mtrs . Tan 42º
tan 42º = distancia d= 112.56 mtrs
125 mtrs
2- Una escalera de 6 mtrs de largo se apoya en un muro vertical con un ángulo
de inclinación 38º . ¿ A que distancia se ubica la base de la escalera con
respecto al muro?
Rta: en el triangulo rectángulo de la figura conocemos , la hipotenusa, y
deseamos calcular el cateto adyacente a . Utilizando la razón
trigonométrica cos , tenemos:

13. por lo tanto, la distancia que hay entre la base de la escalera y el muro es
6 . Cos 38º  = 4.72 mtrs
♪ ¿ A que altura toca la pared, la
escalera?
Sen 38º= altura
6mtrs
h = 6 mtrs . Sen 38º
h= 3.693 mtrs
3- Un poste vertical al suelo y de altura h esta sujeto por una de
longitud l con un ángulo de inclinación . ¿cual es la altura del poste?

14. Rta : en el triangulo rectángulo se conoce
la hipotenusa y se requiere calcular el
cateto opuesto, por lo tanto ocupamos la
razón trigonométrica Sen :
Esta expresión nos permite calcular la
altura del poste, una vez conocidos  y l.
h = 15 mtrs . Sen 35º
h = 8.60 mtrs
4- si el ángulo de elevación del sol a cierta hora es de 42º, calcula hasta la unidad
mas cercana en mtrs la altura de un hombre cuya sombra mide 82 cm de longitud.

15. Rta: tan 42º = Altura
82 cm
82 cm . Tan 42º = h
82 cm . 73. 8331 cm = h
6054.314 cm
5- Desde un punto que esta a 12 mtrs. Del suelo, se observa un objeto
con un ángulo de depresión de 53º¿ cual es la distancia del objeto
observado desde el punto en medida horizontal?

16. h = 90º - 53º= 37º
Tan 37º = distancia
12 mtrs
d = 12 mtrs . Tan 37º
d = 9, 042 mtrs
6- El cordel de una cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48º
con la horizontal. ¿Encuentre la altura de la cometa con respecto al
suelo, si el cordel mide 87 mtrs?
Sen 48º = altura
87 mtrs

17. d = 87 mtrs . Tan 37º
d = 65.559 mtrs
7- Un turista observa la torre Eiffel
De 300 mtrs de altura, cuando presenta un
ángulo de elevación de 52º desde la calle mas
relevante de parís¿ cual es la longitud de dicho
turista?
Rta : Tan 52º = 300 mtrs
L
L= 300 mtrs L= 234.385 mtrs
Tan 52º

18. ♪También se le puede calcular la altura si el turista mide 1.50 cm y
presenta un Angulo de elevación de 21º. A una distancia de 2.000 cm
¿ cual es la altura?
Rta : Tan 21º = altura (h) H= h + altura del teodolito
2.000 cm H= 767.72 cm + 1.50 cm
2.000 cm . Tan 21º = h H= 917.72 cm
2.000 cm . 0.38386 = h H= 9,1772 mtrs = 9.2 mtrs
767.72 cm = h
8- Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 128
pies, el ángulo de una embarcación cercana es de 20º. ¿ A que
distancia del faro esta la embarcación?

19. Rta:
h = 90º - 20º = 70º
Tan 70º = distancia
128 pies
d= 128 pies . Tan 70º
d= 351.67 pies
♪ también se le puede calcular la altura si
nos situamos en un punto del suelo y veras el
punto mas alto de la torre bajo un ángulo de
63º. El turista se acerca 8 mtrs en la línea
recta y el ángulo es de 82º . Hallar la altura?

20. Tan 82º = altura h = x . Tan 82º hallamos la altura:
x h= 3.0470 . Tan 82º
Tan 63º = altura tan 63º ( x+8) = h h = 21.68 mtrs
x+8
Igualamos 1 y 2 :
X tan 83º= tan 63º(x+8)
X tan 82º= tan 63º+ 8 . Tan 63º
x tan 82º- x tan 63º= 8 . Tan 63º
X( tan 82º- tan 63º) = 8 . Tan 63º
X= 8 . Tan 63º = 3.047
( tan 82º - tan 63º)

21. TAREA3: APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN
SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
La base de la trigonometría esta en las razones trigonométricas, valores numéricos
asociados a cada ángulo, permiten relacionar operativamente los ángulos y
lados de los triángulos. Las mas importantes son : seno, coseno, y tangente
, que se definen a continuación .
Antes existía tablas numéricas en las que se daban los valores de las razones
trigonométricas de un ángulo en la actualidad, con una calculadora científica se
obtienen con toda precisión cualquier ángulo.
Las aplicaciones mas destacadas son en el estudio de fenómenos periódicos y como se
propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua, o al
agitar una cuerda cogida por dos extremos, o las ondas electromagnéticas de la
luz, el microondas o los rayos-x, las ondas sonoras, entre otros.

22. En la astronomía al calcular el radio de la tierra, distancia de la tierra a la
luna, distancia de la tierra al sol, predicción de eclipses, confección de
calendarios, artillería, cartografía, y en la elaboración de un mapa de un lugar del
que se conoce algunas distancias y algunos ángulos. Construcciones.
Además en la construcción de cartas marinas y edificios para que cumplan ciertas
exigencias de orientación o construyendo un teodolito casero.
A) Investiga:
♪ Cuales son las características de los triángulos oblicuángulos y como los
resolvemos.
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que
no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo
oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de
todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

23. En general, se denomina triángulo oblicuángulo a cualquier tipo de
triángulo, siendo el triángulo rectángulo un caso particular de esta
denominación.
Para construir un triángulo es necesario conocer estas dos importantes
propiedades:
1ª.- En todo triángulo, la suma de los tres ángulos vale 180º.
2ª.- En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus
lados es mayor que la longitud del tercero.
La solución de todo triángulo se origina en la aplicación de cualquiera de los
siguientes teoremas:
1.- Teorema del seno.
En todo triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo
opuesto es el mismo.

24. 2.- Teorema del coseno.
En todo triángulo cualquiera de lados a, b, c y ángulos A, B, C, se cumple
Análogamente, para los otros lados.
♪Además se puede resolver dependiendo del caso de resolución los cuales son los
siguientes con su respectiva solución:
Caso I.- Conocidos los tres lados.
Aplicamos tres veces el teorema del coseno
Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido.
En primer lugar calculamos a aplicando el teorema del coseno.
Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido.
Seguidamente, aplicando el teorema del seno, calculamos los ángulos B
Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido.
Seguidamente, aplicando el teorema del seno, calculamos los ángulos B y C.

25. Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos.
En primer lugar, se calcula fácilmente el ángulo C.
Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos.
A continuación, se aplica el teorema de los senos y se calculan los
lados b y a
Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos.
A continuación, se aplica el teorema de los senos y se calculan los
lados a
Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos.
A continuación, se aplica el teorema de los senos y se calculan los
lados y b

26. Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Supongamos conocidos los lados a y c y el ángulo A; quedarían como
incógnitas el lado b y los ángulos B y C. En primer lugar se aplica el
teorema del seno.
Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Ya estamos en condiciones de conocer el ángulo que falta, B.
Por último volvemos a aplicar el teorema del seno y calculamos el lado b.
Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Pues bien, se nos pueden dar, en este último caso, las siguientes
posibilidades:
A) < c · senA, con lo cual el triángulo no existe.
Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
B) a = c · senA, con lo cual el triángulo es rectángulo.

27. Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
A) &gta.; c · senA y a ; c, en cuyo caso existen dos triángulos: ABC
y ABC´.
♪Como resolvemos los casos del triangulo oblicuángulo. Con un ejemplo
muy sencillo dependiendo de las leyes de senos y de cosenos:
La ley o teorema de los Senos es una relación de tres igualdades que
siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo
cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas
de triángulos. Especialmente los triángulos oblicuángulos, es
decir, aquellos que carecen de un ángulo recto o de 90°.

28. La ley de los Senos dice así:
“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos”.
Su fórmula es la siguiente:
Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas)
son los ángulos del triángulo.
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir
de los datos que te dan (que generalmente son tres datos).
No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley
de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo
puede resolver.

29. En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y
un lado, se usa la ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el
ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno.
Por ejemplo: resolver el triángulo siguiente:
Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de
43° y A al lado de 5. Lo que se tiene entonces es lo siguiente:
A=5B=?
a = 43° C = ?
b = 27° c = ?
El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de
un triángulo siempre suma 180°. Es decir: c = 180° - a - b. Se sustituye en
esta expresión los ángulos:

30. c = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°
c= 110°
Con esto, se cuenta ya con los tres ángulos a, b y c. Para encontrar los lados
faltantes usamos la ley de los senos:
Sustituyendo queda:
Se fija la atención en los dos primeros términos:
En este momento se ignorará el tercer término. De la igualdad que se encuentra
en el recuadro se puede despejar B, (como el sen 27°) y, debido a que está
dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba:
Entonces se calcula la siguiente expresión:

31. 2.26995 = B
Sen (43º)
Solamente queda por calcular C. Para ello, se volverá a usar la ley de los
Senos, pero ahora si tomaremos en cuenta la igualdad que contenga a
la C:
5__ = 3.32838 = __C___
Sen (43º) Sen(27º) Sen(110º)
Se sustituye el valor de la B en la igualdad.
Se despeja la C, por lo tanto, como sen 110° está dividiendo abajo, pasa
del lado izquierdo multiplicando arriba:
Se realiza la operación correspondiente y resulta:

32. 3.12765_ = C
Sen (27º)
Con este última dato queda resuelto todo el triángulo.
Obsérvese que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha se hubiera
usado la de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo:
__5___ = 3.32838 = __C____
Sen (43º) Sen(27º) Sen(110º)
Escrito ya sin el término de en medio:
__5___ = __ C___
Sen (43º) Sen(110º)

33. Se despeja la C :
5. Sen(110º) = C
Sen(43º)
Se realizan las operaciones, y el resultado obtenido es igual que el anterior:
C= 6.88925
La ley o teorema del coseno: es un término que permite conocer cualquier
lado de un triángulo, pero para resolverlo pide que conozcas los otros
dos lados y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. La ley de los
Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas de triángulos, como
los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de 90°.

34. La ley del Coseno dice así:
“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el
coseno del ángulo que forman”
A, B y C son los lados del triángulo, y a, b y c son los ángulos del triángulo:
Las letras minúsculas y mayúsculas del mismo tipo no se encuentran
juntas, es decir, la a está en el ángulo opuesto de A, la b está en el
ángulo opuesto de B y la c está en el ángulo opuesto de C. Esto siempre
debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el
resultado seguramente te saldrá erróneo.

35. Observa que la ley del coseno sólo será cuando tienes los dos lados y el ángulo
que hacen los lados, porque si no te dan el ángulo que hacen los
lados, tendrás que usar la ley de senos.
Arriba se muestran las características que tiene que tener el triángulo para
resolverlo por la ley de cosenos, es decir, los tres datos necesarios.
Recuerda que para sacar el ángulo interno la suma de los tres ángulos internos
dará 180° y te quedara la formula de la manera siguiente:
C= 180º - a – b
Un ejemplo basándonos en el primer caso: conocidos los tres lados.
Ejemplo. Resolver el triángulo cuyos datos son:
a = 34, b = 40, c = 28.
Se aplica la ley de coseno.

36. Cálculo de A. a2 = b2 + c² - 2bc cos A.
Despejando cos A: cos A = b² + c² - a² . 2bc
Cos A = 40² + 28² - 40² = 1600 + 784 - 1156 = 307 = 0.54821.
(2) x(40) x (28) 2240 560
 A = 56° 45'.
Cálculo de B.
Análogamente: a² + c² - b² . 2ac
Cos B = 34² + 28² 40² = 1156 + 784 1600 = 340 = 0.17857.
(2) (34) (28) 1904 1904

37.  B = 79° 43„
Cálculo de C.
Análogamente:
Cos C = a² + b² - c² . 2ab
Cos C = 34² + 40² 28² = 1156 + 1600 784 = 1972 = 0.725
(2) (34) (40) 2720 2720
 C = 43° 32´
Es decir:
A = 56° 45"
B = 79° 43'
C = 43° 32'
A + B + C = 180º 0' 0‟‟ = 180°.

38. B) Plantea y resuelve 5 problemas de aplicación de los teoremas del seno y
coseno a situaciones de la vida diaria( elabora gráficos que expliquen el
problema).
1- Un estudiante debe hacer una pirámide para su proyecto
De ciencia. El realizara la pirámide de kefren como
modelo a escala. De tal forma que un lado mida 75 cm,
otro 70 cm y el ángulo opuesto al primer lado debe ser
de 50º. ¿lo conseguirá?
Rta: Sen 50º = Sen B = Sen C_
75 cm b 70 cm
Sen 50º = Sen C
75 cm 70 cm

39. Sen = 70 cm . Sen 50º B = 75 cm . Sen 84º 21‟ 32‟‟
75 cm Sen 50º
 c = 45º 38‟ 28‟‟ B= 97.43 cm
Hallamos el ángulo B:
180º - 45º 38‟ 28‟‟ – 50º
 b= 84º 21‟ 32‟‟
Sen 50º = Sen B
75 cm b
2-La torre inclinada de pisa se encuentra inclinada 4º en dirección opuesta al
sol . Cuando el ángulo de elevación es de 65º y muestra una sombra de
20,5 de largo sobre el nivel del piso . Calcular la longitud de la torre de pisa?

40. Rta : Sen A = Sen B = Sen C
a b c
Sen 50º = Sen 65º
a 20.5 m
Sen 50º . 20.5 m = a . Sen 65º
a= Sen 50º . 20.5 m = 17 m
Sen 65º
Sen 50º = Sen 65º
17 m C
Sen 65º . 17 m = c . Sen 50º
C= Sen 65º . 17 m C= 20, 11 cm
Sen 50º

41. 3- Un carpintero debe hacer un marco para un reloj de cuerda de forma
triangular de tal forma que un lado mida : 35 cm, otro 28 cm y el ángulo
opuesto al primer lado debe ser de 55º ¿ lo conseguirá ?.
Rta: Sen 55º = Sen B = Sen C
Sen 55º = Sen C_
28 cm 35 cm
Sen C = 35 cm . Sen 55º
28 cm
 C= 1º 1‟ 26‟‟
180º - 1º 1‟ 26‟‟ – 55º  B = 123º 58‟ 34‟‟
Sen 55º = Sen B b = 28,34 cm
28 cm b

42. 4- Un ingeniero manifiesta que la obra de un puente tiene las siguientes
dimensiones : 780 m y 835 m con un ángulo de 52º . Calcular la
longitud del puente? .
Rta:
a² = a²+ b²- 2ab . Cos  52º
a² =(780m)² +( 835m)² - 2(780m).(835m). Cos 52º
a² = 608.400 + 697.225 – 1302.600 . 0.61
a²= 1305.625 - 1302.600 . 0.61
a²= 1305.625 - 794.586
a²= 511.039
a² = 22,60

43. Los puentes mas representativos para la solución del teorema del seno:

44. 5- Un artesano ruso quiere rediseñar un instrumento de cuerda muy tradicional
llamado: la balalaica. Pero tiene un problema le dieron los siguientes lados: a =
17 ; b= 18; y c = 9 y para acabar la finalidad del instrumento debe hallar los
tres ángulos?
Rta: utilizamos el teorema del coseno
a² = b²+ c²- 2bc . Cos A
Cos A= b² + c²- a²
2 bc
Cos A= (18)² + (9)²- (17)²
(2) .(18) .( 9)
Cos  A = 116  A= Cos- 1 ( 116 )
324 324
 A= 69º 1‟ 15‟‟

45. b²= a²+ c²- 2ac . Cos B
2ac .Cos B= a²+ c²-b²
Cos B= a²+ c²-b²
2ac
Cos B= ( 17)²+(9)²-(18)²
(2) .(17).(9)
Cos B= 46
306
B= Cos -1 ( 46 )
306
B= 81º 21‟ 14‟‟
C= 180º- 69º 1‟ 15‟‟- 81º 21‟14‟‟ C= 29º 37‟ 31‟‟.

46. 6- Un panadero quiere realizar un postre pero no tiene el molde adecuado pero
lo dieron las siguientes lados: a= 18; b= 19; c= 10. para que su postre sea
especial debe adecuarlo y hallar los tres ángulos para entregarlos en la
fiesta.
♪Utilizamos el teorema del coseno:
a² = b²+ c²- 2bc . Cos A
2bc.Cos A= b²+ c²-a²
Cos A= b²+ c²-a²
2ac
Cos A= (19)²+(10)²-( 18)²
(2).(19).(10)
Cos A= 137
180

47. A= Cos-1( 137 ) = A= 40º 26‟ 15‟‟
180
b²= a²+ c²- 2ac . Cos B= a²+ c²- b²
Cos B= a²+ c²- b²
2ac
Cos B= (18) ²+(10)²- (19)²
(2) . (18). (10)
Cos B= Cos -1 (63 )
360
B= 79º 55‟ 16‟‟
C= 180º- 40º 26‟ 15‟‟- 79º 55‟ 16‟‟
C= 59º 38‟ 29‟‟.

48. TAREA 4: APORTE INDIVIDUAL A LA CONSTRUCCION DE UN MARCO TEORICO
QUE PERMITA MEJORAR EL DESEMPEÑO Y LA BUSQUEDA DE
SOLUCIONES REALES EN EL AREA DE MATEMATICAS.
Mi aporte individual sobre un marco teórico que nos ayude a manifestar soluciones
claras y concisas del área de matemáticas es argumentos y ejemplos claros y
concretos con demostraciones visuales y dinámicas fuera del aula para que tenga
una mayor comprensión en el área y volverla mas dinámica y interactiva y no tan
estática y manual. Además este trabajo nos ayudo de manera satisfactoria en el
aprendizaje sobre como la trigonometría no es tan aburrida y nos muestra una
nueva cara de la matemática especifica en resultados y como podemos interactuar
por medio de dibujos, problemas comunes y como nos facilita por medio del
trabajo en equipo o individual de forma tecnológica.

49. El área de matemáticas y todas sus ramas( geometría-calculo-estadística-probabilidad-
algebra-aritmética trigonometría) la resaltaría de manera dinámica analizando como en
nuestra vida diaria utilizamos la matemática y como es necesaria para nuestra vida y los
acontecimientos del campo social, cultural, y político en la actualidad y en la antigüedad
de cualquier sociedad o civilización que ha existido atraves del tiempo les formaría
grupos los cuales por medio de casos reales y de manera
dinámica(videos, dibujos, juegos, etc.) nos aclararían temas muy concurrentes y difíciles
para algunos o muchos y utilizaríamos como una herramienta fundamental la tecnología
y los medios de telecomunicación-radial). Además de manifestar la matemática por
medio de las humanidades como por ejemplo: teatro-cuentos-narración-poemas-
anécdotas que nos manifiesta cada vez mas como la matemática ha sido uno de los
descubrimientos mas destacados e importantes en una sociedad consciente y de modales
éticos y políticos y como hay muchas cosas que la matemática no tiene al descubierto y
nos pueden facilitar cada vez mas la compresión de forma analítica hasta alcanzar un
grado imponente y congruente en el cual cualquier sociedad podrá manifestar de forma
equitativa la necesidad de un estado y como las matemáticas han influido para tener de
a qui a un futuro un mundo mejor y satisfactorio para todos…..

50. Post: profesora de luz Eneida daza manifiesto que le envié el trabajo de cónicas del cuarto
periodo para que me de su visto bueno sobre el manejo de la tecnología y como por
demasiadas circunstancias no pudo entregarse el dia indicado, solo es para que manifieste
la calidad de trabajo que se había realizado.
Gracias por su tiempo y enseñanza en este año lectivo…
Ate: grado 10-02 .