Este documento presenta información sobre ángulos verticales y situaciones combinadas en trigonometría. Incluye 27 problemas de ejercicios sobre ángulos de elevación, depresión y distancias entre objetos observados desde diferentes puntos. Explica conceptos como ángulos de elevación, depresión y cómo calcular distancias y alturas usando trigonometría cuando se observan objetos desde posiciones diferentes.

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN’’
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez
ÁNGULOS VERTICALES
SITUACIONES COMBINADAS
"Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación "α". Si
luego nos desplazamos hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación
para su parte más alta sería "β". Ahora, note la representación gráfica:
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Desde el pie de un poste se observa la
parte más alta de una torre con un
ángulo de elevación de 75º; el mismo
punto es observado desde la parte más
alta del poste con un ángulo de
elevación de 15º, si la distancia entre el
poste y la torre es d unidades; entonces
la longitud (en u) del poste es:
A) 3d B) 2 3d C) 3 3d
D) 4 3d E) 5 3d
02. Desde el pie de un poste, el ángulo de
elevación de la parte más alta de un
campanario mide 45º y desde la parte
superior del poste que tiene 9 m de
altura, el ángulo de elevación mide 30º
¿cuál es la altura del campanario?
A) 3 3
2
B) 5 2
1 2
C) 7 3
3 1
D) 9 3
3 1
E) 9 3
3 1
03. En un instante dado, desde un avión que
se desplaza a 300 de altura se observa
un punto en tierra con un ángulo de
depresión cuya medida es 30º ¿cuánto
debe recorrer (en m) el avión en línea
recta horizontal para que dicho ángulo
mida 60º?

 60
º
N60ºE
Línea Horizontal
LíneaVisual

h
 : Ángulo de Elevación
H

Línea Horizontal
Línea
Visual
 : Ángulo de Depresión
Semana Nº 15

2. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
A) 100 B) 150 C) 100 3
D) 200 E) 200 3
04. Un barco recorre 200 millas en la
dirección S(75º)O, luego cambia su
dirección a SE recorriendo hasta un
punto situado al sur del punto de
partida. Halle la distancia entre el punto
de partida y el punto de llegada.
A) 50 6 B) 100 6 C) 100 3
D) 200 6 E) 300 3
05. Un alumno se desplaza 36m en la
dirección S60ºO y desde esta nueva
ubicación se desplaza 18m en la
dirección N60ºO. ¿Cuál es la distancia
entre el punto de salida y el punto de
llegada?
A) 9 3 B) 11 5 C) 18 7
D) 5 3 E) 3 7
06. Dos autos parten de un mismo punto, el
primero en la dirección N3E y segundo
con rumbo S2E. Cuando el primero
recorre 20 km y el segundo 21km la
distancia que los separa es 29km. Halle
.
A) 5º B) 9º C) 12º D) 15º E) 18º
07. Una persona recorre 60 km en la
dirección Nº 53ºO, luego 60 2 km en la
dirección SO y finalmente 90km hacia el
Este. ¿A qué distancia se encuentra
dicha persona de su posición inicial (en
km).
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40
08. A, B y C son tres puntos que se
encuentran al Oeste, SO y Sur de un
punto P respectivamente, si desde
B se observa a los puntos A y C
en las direcciones NºO y SºE
respectivamente. Además, BC = 5
y BA = 6, calcule la tangente del ángulo
CAP.
A) 6
5
B) 2
3
C) 3
2
D) 5
6
E) 1
3
09. Dos móviles P y Q parten del mismo
punto, el primero con dirección
NE
1
4
N y el segundo con dirección NO
1
4
O, si ambos avanzan la misma
distancia diga en qué dirección se
encuentra P respecto de Q.
A) E 1
4
NE B) ENEC) NE
D) N
1
4
NO E) NNO
10. Un marino navega desde un punto A,
120 km en la dirección Nº 37ºO y luego
hace el viaje de regreso; por un error,
este viaje de vuelta lo hace en dirección
S53ºE, con un recorrido de 120km
¿cuánto tiene que recorrer y en qué
dirección tiene que navegar para llegar
al punto A de partida?
A) 24 2 km, en dirección SO
B) 24 km, en dirección SO
C) 12 2 km, en dirección SO
D) 24 2 km, en dirección S(37º)0
E) 24 km, en dirección S(37º)O
11. Un barco navega a 2 15 km/hr, hacia
el Este; a las 13:15 horas observa la
cúspide de un acantilado en la dirección
NE 1
4
E, con un ángulo de elevación cuya
medida es 30º a las 13:45 horas observa
otra vez la misma cúspide que se halla
en dirección NO 1
4
N con un ángulo de
elevación cuya medida es 60º. Calcule
(en m) la longitud de la altura del
acantilado.
A) 3 2
2
B) 5 C) 3 D) 3 3 E) 5 2
5
12. Desde el pie de un poste, se observa la
parte más alta de un campanario con
ángulo de 45º; si desde la parte superior
del poste, que tiene 9m de altura, el
ángulo de elevación es altura de 30º.
¿Cuál es la altura del campanario?

3. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
A) 9 3
2
B) 7 2
1 2
C) 5 3
2
D) 9 3
3 1
E) 9 3
3 1
13. Un hombre mide 1,70m de estatura y
observa su sombra a las 4 de la tarde.
Asumiendo que amanece a las 6.00
am y que el sol hace un semicírculo
sobre el hombre ¿cuánto mide su
sombra?
A) 1,54m B) 1,67m C) 2,00m
D) 2,55m E) 2,94m
14. Un soldado, tirado en el suelo observa
un pedestal de 12m de altura, este
sostiene un monumento de 13m de
altura. ¿A qué distancia (en m) del
pedestal se debe colocar el soldado para
ver el pedestal y el monumento con
ángulos de observación iguales?
A) 40m B) 50m C) 60m
D) 64m E) 72m
15. Dos botes son observados desde lo alto
de un faro en la misma dirección y en el
mismo plano vertical que contiene al
faro. El bote más cercano se observa con
ángulo de depresión º y el otro con
ángulo de depresión de 37º. Si la altura
del faro es de 25m, ambos botes
están separados por 20m y el faro está a
15m sobre el nivel del mar, halle el valor
de tg.
A)
4
5
B)
5
4
C)
6
5
D)
5
6
E)
7
6
16. Desde la parte superior de un edificio
de 17.3 metros de altura se observa un
auto que se aleja primero con una
depresión angular de 75º y después de
15 segundos con una depresión angular
de 15º. Halle la velocidad del auto en
metros por segundo.
A) 2 m/sB) 4 m/s C) 5 m/s
D) 6 m/s E) 8 m/s
17. Un árbol quebrado por el viento forma
de un triángulo rectángulo con el suelo.
¿Cuál era la altura del árbol, si la parte
que ha caído hacia el suelo forma con
este un ángulo de 30º y la parte que ha
quedado en pie tiene una altura de 20m?
A) 35m B) 40m C) 45m
D) 50m E) 60m
18. Una torre de 15m de altura está en el
borde de un acantilado. Desde un punto
del plano horizontal que pasa por la
base del acantilado, las elevaciones
angulares de las partes superior e
inferior de la torre, se observa que son 
y , siendo tg = 1,26 y tg = 1,185.
Hállese la altura del acantilado.
A) 227mB) 237m C) 247m
D) 257mE) 273m
19. El ángulo de elevación de la parte alta de
un edificio mide 68º11’ y la asta de la
bandera de 7,2 m de altura ubicada en la
parte superior del edificio subtiende un
ángulo de medida 2º10’ a la vista del
observador. Si además; tan(70º21’) =
2,8 y tan (21º 49’) = 0,4; halle la
altura del edificio en metros.
A) 70 B) 60 C) 50
D) 40 E) 30
20. Una persona observa la parte superior
de un muro con un ángulo de elevación
de medida , si después de acercarse
hacia el muro en el cuádruple de su
altura, entonces el nuevo ángulo de
elevación es el complemento de .
Calcule : E = cot() + tan()
A) 2 5 B) 2 6 C) 2 7
D) 2 8 E) 2 11
21. Una persona desde un mismo punto
observa a su derecha a un ave volando a
una altura de 40m, con un ángulo de
elevación de 53º; y a su izquierda
observa otra ave volando a una altura de
30m, con un ángulo de elevación de 37º.
Calcule la distancia que separa a las dos
aves, en metros.

4. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
A) 25 B) 25 2 C) 50
D) 50 2 E) 100
22. Un edificio se encuentra al pie de una
colina cuya inclinación, con respecto al
plano horizontal, mide 15º. Un niño que
se encuentra a 36 metros de la base del
edificio sobre la colina observa la parte
más alta del edificio con un ángulo de
elevación que mide 45º. Halle (en
metros) la altura del edificio.
A) 8 6 B) 9 6 C) 16 6
D) 18 6 E) 24 6
23. Una persona de altura h, observa la
parte más alta de un muro (de altura H)
con un ángulo de elevación , luego se
acerca hacia el muro deteniéndose y
observando la parte más alta del muro
con un ángulo de elevación que es el
complemento de , pero además
observa la parte más baja del muro con
el ángulo de depresión
2

. ¿Cuál es la
razón entre la altura de la persona y la
altura del muro?
A)
 2
cot( )
cot( ) tan 

 
B)
 2
cot( )
cot( ) cot 

 
C)
 2
tan( )
tan( ) cot 

 
D)
 2
tan( )
tan( ) tan 

 
E)
 2
tan( )
1 tan 


24. Una persona A, ubicada en el patio de un
edificio, observa a una persona B
ubicada en lo alto del edificio de
24m de altura, con un ángulo de
elevación de 37º en la dirección NE; a su
vez, la persona B observa a una persona
C, ubicada en el piso con un ángulo de
depresión de 53º y en la dirección SE.
Calcule (en m.) la distancia entre la
persona A y la persona C.
A) 337 B) 2 337 C) 3 337
D) 4 337 E) 5 337
25. Un hombre se encuentra ubicado entre
dos postes de luz pública que tienen la
misma altura, si dicho hombre observa
la parte más alta de uno de ellos en la
dirección Norte y con ángulo de
elevación de 60º, luego recorre 10m en
la dirección Este y observa la parte más
alta del mismo poste con ángulo de
elevación de 30º y la del otro poste con
ángulo de elevación de 16º. Determine
aproximadamente la distancia que
separa a los dos postes (en metros).
A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23
26. Una persona A ubicada a una altura de
12m, observa a otra persona B en la
dirección Este y con ángulo de
depresión de 53º; otra persona C
ubicada a la misma altura que la
persona B en la dirección Sur-Este con
un ángulo de depresión de 37º. Calcule
(en m) la distancia entre A y C.
A) 7 B) 2 7 C) 3 7
D) 4 7 E) 5 7
27. Desde un punto P al Sur de una torre se
observa su parte más alta con un ángulo
de elevación , desde el punto Q al Oeste
de la torre se observa el mismo punto
con un ángulo de elevación que es
complemento de . Si la distancia entre
P y Q es 47 veces la altura de la
torre. Calcule M = tan + cot.
A) 3 B) 5 C) 7
D) 9 E) 11
28. Desde el sur de una torre se observa su
parte superior con un ángulo de
elevación  luego avanzamos en la
dirección E(90º – )N, hasta ubicarnos
exactamente al Este de la torre.
Determine el ángulo de elevación con
que se sirve la parte superior de la
torre en esta nueva posición.
A) 15º B) 30º C) 45º
D) 60º E) 75º