El documento presenta la colección 'El postulante', un recurso académico dirigido a jóvenes que buscan preparar exámenes de admisión en instituciones educativas en Perú, abarcando temas fundamentales de trigonometría con ejercicios prácticos y teóricos. Entre los contenidos tratados se encuentran sistemas de medición angular, razones trigonométricas, identidades y ecuaciones, así como aplicaciones en contextos reales. El texto fue desarrollado por un equipo de docentes con amplia experiencia en el área, buscando proporcionar una sólida base para el éxito académico de los estudiantes.

2. CO LECCIÓ N EL POSTULANTE
TRIGONOMETRÍA

3. COLECCIÓN EL POSTULANTE
TRIGONOMETRÍA
E d it o r ia l

4. TRIGONOM ETRÍA - Colección El Postulante
Salvador Timoteo
© Salvador Timoteo
Diseño de portada: Óscar Farro
Composición de interiores: Lidia Ramírez
Responsable de edición: Alex Cubas
© Editorial San Marcos E. I. R. L., editor
Jr. Dávalos Lissón 135, Lima
Telefax: 331-1522
RUO 20260100808
E-ma¡l informes@ editorialsanmarcos.com
Primera edición: 2007
Segunda edición 2013
Tiraje: 1000 ejemplares
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú
Registro N.° 2012-12002
ISBN 978-612-302-916-6
Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
sin previa autorización escrita del autor y del editor.
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RUC 10090984344

5. ÍNDICE
Sistema de medición angular............................................................................................................................ 9
Razones trigonométricas de un ángulo agudo............................................................................................. 16
Razones trigonométricas de ángulos en posición estándar...................................................................... 27
Circunferencia trigonométrica............................................................................................................................ 31
Identidades trigonométricas para un mismo arco......................................................................................... 38
Arcos compuestos................................................................................................................................................ 42
Reducción al primer cuadrante......................................................................................................................... 46
identidades de arcos m últiples.......................................................................................................................... 51
Transformaciones trigonom étricas.................................................................................................................. 59
Ecuación trigonométrica..................................................................................................................................... 66
Funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas........................................................... 73
Resolución de triángulos oblicuángulos......................................................................................................... 82

6. PRESENTACION
Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando
en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades,
institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional.
La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son
desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado
de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para
enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar
y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria
exitosa.
Finalmente, deseamos hacer un reconocimiento al staff de docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe­
dro de Castro, Jorge Solari y Nathall Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academias
de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de
los contenidos.
-E L EDITO R-

7. SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR
ANGULO TRIGONOMETRICO
Se genera por la rotación de un rayo (en el mismo
plano), alrededor de un punto fijo llamado vértice,
desde una posición inicial hasta una posición final.
Consideramos un ángulo positivo cuando las rota­
ción del rayo sea contraria al movimiento de las
manecillas de un reloj (antihorario); cuando la rota­
ción sea en el mismo sentido de movimiento (hora­
rio) el ángulo se considera negativo.
Donde:
O: vértice de los ángulos generados
6: ángulo trigonométrico positivo
(3: ángulo trigonométrico negativo
Cuando a un ángulo trigonométrico se le in­
vierte su sentido, su valor cambia de signo.
Para sumar ángulos trigonométricos en un
gráfico estos deben tener el mismo sentido.
MEDICIÓN DE UN ÁNGULO
Al medir un ángulo, tratamos de asignarle un nú­
mero que indique la magnitud de este. Se debe te­
ner presente para un ángulo positivo, que cuando
sea mayor la rotación, mayor será el ángulo.
ÁNGULO DE UNA VUELTA
Es aquel que se genera, cuando el lado final e ini­
cial coinciden por primera vez de cierta rotación.
Podríamos asignarle a este ángulo el número 1 y
decir que ángulo de una vuelta es: 1 v.
La forma más lógica para medir el ángulo es el
número de vueltas o llamado también número de
revoluciones.
0 /4 v
1/2 v
3/4 v
< ? ■ 01 v
MEDIDA EN GRADOS SEXAGESIMALES
El sistema más utilizado en aplicaciones de inge­
niería, topografía y navegación es el sistema sexa­
gesimal.
En este sistema definimos el ángulo de una vuelta
como aquel ángulo cuya medida es 360° (1°: grado
sexagesimal).
Ejemplo:
240°
Dibujemos un ángulo de 2/3 de una vuelta y calcu­
lemos su medida.
La medida en grados sexagesimales de este ángu­
lo es |(3 6 0 °) = 240°
.-. Medida de un ángulo en grados sexagesima­
les = (Número de revoluciones) (360°)
Tenemos también:
1 v = 360° 1° = 6 0 ’ 1' = 60”
* 1° = 3600”
Donde: 1’: minuto sexagesimal
1”: segundo sexagesimal
MEDIDA EN GRADOS CENTESIMALES
Debido a que este sistema no es muy utilizado y
carece de aplicaciones prácticas, solo nos limita­
remos a mencionar algunas equivalencias. En este
sistema definimos el ángulo de una vuelta como
aquel cuya medida es 4009 (19: grado centesimal)
También tenemos:
1 v = 4009 1s = 100m 1m = 100
* 1g = 10 000s
Donde: 1m: minuto centesimal
1S: segundo centesimal
MEDIDA EN RADIANES
Consideremos un ángulo 0 y dibujemos una cir­
cunferencia de radio r y el vértice del ángulo en su
centro O; sea además L la longitud del arco de la
circunferencia que se genera. Entonces se define:

8. 1 0 | C o l e c c ió n E l Po s t u l a n t e
La medida de un ángulo en radianes (números de
radianes) viene expresado por:
Ejemplo:
De la definición:
g _ L _ 8_cm _ 4
r 2 cm
El número 4 no tiene unidades, asi un ángulo de
4 (radianes) significa un ángulo que subtiende un
arco cuya longitud es cuatro veces la longitud del
radio (L = 4r)
Ahora si consideramos L = r, en­
tonces según la definición tene­
mos:
Podemos definir un ángulo de un radián (1 rad)
como el ángulo central que subtiende un arco cuya
longitud es igual a la del radio.
cYlata/:— .......... „
; 1 vuelta: 360° = 4009 = 2n rad ¡
— vuelta: 180° = 2009 = n rad
i 2 I
- vuelta: 90° = 100a = - rad
I 4 2 I
| • 1 r a d > 1 ° > 1 8 I
| • 27' = 50m
| . r > 1 m
| • 81" = 250s
| • 1 " > 1 s
I • 27' = 5000s
! . r > 1 s I
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS QUE REPRESEN­
TAN LA MEDIDA DE UN ÁNGULO
Consideremos ahora un ángulo trigonométrico po­
sitivo como se muestra en la figura:
Siendo:
S: número de grados sexagesimales del ángulo (
C: número de grados centesimales del ángulo 8.
R: número de radianes del ángulo 0.
Se cumple: S
180
C
200
o 180R. c 200R. s c
TI 71 ü 10
S = 9k S = 180k
C = 10k C = 200k
R = Tik
LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA
Si un arco de longitud L en una circunferencia de
radio r, subtiende un ángulo central (medida en ra­
dianes)
Entonces: L = 0r 0 < 0 < 2ti
L = 0r
Aplicaciones
1. Número de vueltas que da una rueda sin
resbalar, al desplazarse de una posición a
otra
En la figura se muestra una rueda de radio r,
que se desplaza de una posición A a otra B,
sin resbalar.

9. T r ig o n o m e t r ía ! H
El número de vueltas que da dicha rueda para
tal condición se calcula mediante la siguiente
relación:
2nr
2.
Donde:
nv: número de vueltas que da la rueda.
i¿. longitud descrita por el centro de la rueda,
r: radio de la rueda.
Poleas y engranajes
Engranajes en contacto y poleas unidas por
una faja de transmisión
En la figura (I) se tiene dos engranajes y en la
figura (II) se tiene dos poleas unidas por una
faja de transmisión. En cada caso, si Agirá un-
ángulo 0A entonces B girará otro ángulo 0B.
Además las longitudes descritas por los pun­
tos P, T y F son iguales, es decir:
:¿t—U 0A rA - 0 B rB - ¿F
¿p: denota la longitud de la trayectoria descri­
ta por el punto P, análogamente para los
otros puntos mencionados.
Poleas unidas por un eje.
Se tienen dos poleas unidas por un eje, si la
polea A gira un ángulo eAentonces la polea B,
girará un ángulo 0B:
AREA DE UN SECTOR CIRCULAR
A la porción sombreada de la figura, se denomina
sector circular.
Si 9 es el ángulo central expresado en radianes, de
una circunferencia de radio r, y si S denota el área
de un sector circular subtendido porG.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el equivalente en grados, minutos y se-
gundos sexagesimales de un arco de ^ rad:
Resolución:
Pasando al sistema sexagesimal:
^ rad (
7 re rad
900°
7
900 [_
© 128 128°
/
x 60
240 | 7
© 34 ~ 34'
x 6 0
120 |
1
5ti
17 => 17"
rad = 128°34'17"
32-
Hallar la conversión de rad en grados
sexagesimales.
Resolución:
Pasando al sistema sexagesimal:
32 x1 80 °32E rad( i8 0 1
9 n rad
6 4 0 °

10. 1 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
3tc
Si el complemento del arco x es - — radianes,
hallar el valor de x en grados centesimales.
Resolución:
Sabemos que el complemento de un arco x
es: - x
2
i-. _i j. 71 'JJLPor dato: —- x = - —
71
12
71 3ti
2 X _ 14
3ti
=> x = ^ rad
14 7
= 142, 8571£
Este valor lo pasamos al sistema centesimal:
5n 200a _ 1000a
7 i Tirad / 7
Pasando a minutos y segundos se obtiene:
x = 142a 85m 71s
4. Un tramo de una vía férrea curvilínea está for­
mado por dos arcos sucesivos. El primer arco
corresponde a un ángulo central de 20° con un
radio de 2500 pies y el segundo corresponde a
un ángulo central de 25° con un radio de 3000
pies. Encontrar la longitud total de la vía.
Resolución
Observar de la figura que la longitud total de la
vía es igual a la suma de los arcos L-i y L2.
l , - ( f i ¡ r ) < 2500>
2 , ( f f ^ O O O )
6250n 2 5 0 0 2 0 V
Considerando: n = 3,1416 se obtiene
.-. L, + L2 = 2181,67 pies
5. Se tiene un sector circular de radio r y ángu­
lo central de 36°. ¿Cuánto hay que aumentar
al ángulo central de dicho sector para que su
área no varíe, si su radio disminuye en un
cuarto del anterior?
Resolución:
Sector circular (inicialmente):
s = li 2 ...(1)
2 180 I
(S: área del sector circular)
Sector
Observar que el radio (por dato) del nuevo
sector es igual a 3r/4, pero el área no varía.
s = 5 '36 + “ > - !s r ( 7 ) 2 - <2)
Como el área es la misma, entonces iguala­
mos (1) y (2):
l/ 3 6 jL r2 = 1(36
2 180 / 2 180 4 I
Simplificando: 36° = (36° +
Operando tenemos: a = 28°
["e j e r c ic io s PROPUESTOS T |
90g + — rad + 16°
1. Calcule el valor de: R =
20
471
15
rad - 8°
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Dada la siguiente equivalencia: 11a < > a°b'
calcule: b - a
a) 45
d) 48
b) 46
e) 49
3. Si: (a + 1)a o ( a + 2)0
calcule (a2 + a)° en radianes.
a )á
d )f
371
b)
15
c) 47
e) —
’ 30
4 si — rad < > a°b'c", calcule (a + 2b - c)9 en
32
el sistema sexagesimal.
a) 72° b) 81° c) 90° d) 99° e) 108°
5. Los ángulos internos de un triángulo miden:
(3x)°, (10x)g, y rad. Calcule la diferencia
circular (después):

11. T r ig o n o m e tr ía ¡ 1 3
6.
9.
10.
11.
de las medidas del mayor y menor ángulo en
radianes.
a) 5tt/18
d) 4tc/8
b) n/3
e) n/2
c) 7rc/18
120R C
V n 10
siendo S y C las medidas sexagesimal y cen­
tesimal de un ángulo trigonométrico.
Reducir la expresión
E =
c + s
c - s
17
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Determine la medida radial del ángulo que
cumple: 12S + 5C + 40R/n = 32
a) ni10 rad b) rt/40 rad c) n/80 rad
d) 71/100 rad e) ti/90 rad
La suma del doble del número de grados
sexagesimales con el número de grados cen­
tesimales de un ángulo es igual a 140. Deter­
minar la medida circular de dicho ángulo.
a) | rad
d) | rad
b) — rad
4
e) í rad
6
c) -5- rad
5
El número de segundos sexagesimales de un
ángulo más el número de minutos centesima­
les del mismo ángulo es 66 800. Calcule la
medida radial de dicho ángulo.
a) ti/20
d) 7i/9
b) ti/18
e) ti/6
c) 7l/10
Calcule la medida del ángulo para el cual se
cumple que: S + 3C - 10SR = 30 (ti = 22/7)
a) 12° b) 15° c) 18°
d) 21° e) 24°
Si a° y bs son suplementarios que están en la
relación de 1 a 4, respectivamente, calcule el
valor de: -Ia + b
a) 11
d) 14
b) 12
e) 15
c) 13
12. Calcule: 5 0 o (-— —— - V siendo:
x: número de segundos centesimales de un
ángulo.
y: número de segundos sexagesimales del
mismo ángulo,
z: número de minutos centesimales del mis­
mo ángulo.
13.
14.
16.
17.
a) 169
d) 172
b) 170
e) 173
c) 171
Determine la medida radial del ángulo que
cumpla con la Igualdad:
9
a) ni3 rad
d) 27t/5 rad
— + 20— = 12(S4 -
10 n
b) n/2 rad
e) 3n/5 rad
C4 + R4)
c) ni5 rad
Determine la medida circular del ángulo que
cumpla con la igualdad, siendo S, C y R los
números convencionales para un ángulo.
1/A , 1 V, , 1 U , 1 -¿- + 1 = 1 +.
9R SI
a) n/2 rad
d) ji/8 rad
1 1 + S + 2/
b) n/4 rad
e) n/10 rad
'(1+ s + C - 1/
c) nJ5 rad
15. SI:
x x
x'
° l ix ’x ” y / X 9 X m
) 1
{ x m )
< > a°b'c"
calcular:
a) 10
d) 24
a - c - 1
b) 15
e) 25
c) 20
Siendo S y C los números de grados sexa­
gesimales y centesimales para un mismo án­
gulo el cual cumple: Sz + 81 < 18S
convertir (4SC)9 a radianes.
a) 9n/5
d) 3n/5
b) 4n/5
e) 6nl7
c) 2n/3
Siendo S y C los números que representan la
medida de un ángulo en grados sexagesima­
les y grados centesimales, respectivamente,
cumplen la igualdad:
Vs + Vs + V s i ~ = Ve - Je -
Calcular la medida radial de dicho ángulo.
c) 3,9n rada) 1,9ti; rad
d) 4,9n rad
b) 2,9n rad
e) 0,9n rad
18. Calcular la medida del mayor ángulo en radia­
nes, si la suma de la cuarta parte del número
de grados sexagesimales de un ángulo y los
tres quintos del número de grados centesima-

12. 1 4 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
les de otro ángulo es 70, además se sabe que
dichos ángulos son suplementarios.
a) n
d) ni2
19.
2 0 .
b) 2ti/3
e) n/4
c) 2n
Un ángulo a mide a0b° y también acO9. Si
c > b, ¿cuál es el menor valor que puede to­
mar a en radianes?
12n
5
b)
14n
5
17n
10
c)
16 tt
5
Se tienen dos ángulos positivos y se sabe lo
siguiente: la diferencia del número de minutos
centesimales de uno de ellos con el número
de minutos sexagesimales del otro es 400,
además sus números de grados sexagesi­
males y centesimales del segundo y primero
suman 10. Calcule la diferencia de estos án­
gulos en radianes.
a) rt/46
d) íi/8
b) ti/ 12
e) tl/96
c) tt/20
1. d 5. e 9. c 13. e 17. a
2. a 6. d 10. a 14. e 18. b
3. c 7. d 11. d 15. a 19. b
4. b
JD
OÓ
12. c 16. a 20. e
D éEJERCICIOS PROPUESTOS
u
1. Hallar x.
a) 1
b) 2
c) 1/2
d) 1/3
e) 2/3
De la figura, calcular:
a) 1
b) 3
c) 6
d) 5
e) 4
x + 4
Calcular el área de la región sombreada:
R = 6 m
a) 12?t m2
b) 14n m2
c) 15n m2
d )1 6 n m2
e) 17t í m2
En un sector circular se cumple que:
4 L
L 6R + - : S + 380
donde: R: radio; 9: número de radianes del
ángulo central; L: longitud de arco, S: área.
Hallar S:
a) 14
d) 18
b) T5
e) 20
c) 16
5. SI S = 5L2, calcular x (S: área).
a) 2L
b) 3L/2
c) L
d) L/2
e) L/3
6. Calcular: 92 + 0
a) 1
b) 2
c) 3
d) 1/2
e) 1/3
7. Hallar x.
a) 1
b) 1/2
c) 1/3
d) 2
e) 3 x + 2
Calcular el valor de x.
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
En un sector circular el radio y el perímetro es­
tán en la relación de 1 a 3. Calcular la medida
del ángulo central.
a) — rad
' 2
d) 2 rad
b) 1 rad
e) — rad
2
c) — rad
2

13. T r ig o n o m e t r ía | 1 5
10. Determinar la longitud de la cuerda que cubre
todo el sistema.
a) R (3 + ti)
b) 2R (3 + ti)
c) 3R (3 + rt)
d) 4R (3 + ti)
e) 5R (3 + ti)
11. Calcular 9, si: S-, = S2
d) ti/5
12. Si A: área,
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 6
13. SI St + S2
a) ti/15
b) ti/12
c) ti/3
d) 7i/10
e) ti/5
14. Calcular el
a) 48
b) 44
c) 40
d) 46
e) 43
15. Calcular: S (área)
2a
c) 2ab
d) ab e ) f
16. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central
mide 409. SI el radio mide 15 m, calcular la
longitud de arco que subtiende.
a) ti m
d) 4ti m
b) 2n m
e) 5ti m
c) 3ti m
17. Si L, + L2 :
14tt
3 ’
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
18. Calcular x.
a) 1/3
b) 1
c) 4/3
10
d) 5/3
e) 2
~ 2
3 X
tn
til
1. b 5. a 9. b 13. c 17. d
> 2. c 6. a 10. b 14. a 18. d
«
1 3. a 7. a 11. d 15. d
ü 4. e 8. d 12. e 16. c
b) 71/9 c) 71/6
e) ti/4
hallar x.
= 15tt m2, calculare.
área S de la región sombreada.
a + p = 120°; hallar R.

14. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Se llama triángulo rectángulo al que tiene un án­
gulo recto, recuerde que el lado opuesto al ángulo
recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes
catetos.
En la figura, llamamos c a la hipotenusa, para In­
dicar que su longitud es de c unidades y, con el
mismo fin, llamamos a y b a los catetos, ahora su­
pongamos que 0 es el ángulo agudo.
En el triángulo rectángulo mostrado se cumple:
o < e < 90°
a < c; b < c
Teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (RT)
La razón trigonométrica de un ángulo agudo en
un triángulo rectángulo se define como el cociente
que se obtiene al dividir las medidas de las longi­
tudes de dos de los lados del triángulo rectángulo
con respecto al ángulo agudo.
Si en el triángulo de la figura anterior nos referimos
a las longitudes de los lados del triángulo con los
nombres hipotenusa (c), cateto opuesto (b) y cate­
to adyacente (a) al ángulo 0. Podemos definir las
razones trigonométricas de 0 del modo siguiente:
sen0 =
COS0 =
tan0 =
coto =
sec0 =
cscO =
cateto opuesto al ángulo 0 _
hipotenusa
cateto adyacente al ángulo 0
hipotenusa
cateto opuesto al ángulo 0
cateto adyacente al ángulo 0
cateto adyacente al ángulo 0
cateto opuesto al ángulo 0
hipotenusa________
cateto adyacente al ángulo (
hipotenusa _ c
cateto opuesto al ángulo 0 b
a
’ c
. b
a
a
^ b
_c
” a
Ejemplo:
Calcule los valores de las seis razones trigono­
métricas del menor ángulo agudo 0 de un trián­
gulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 uni­
dades.
Resolución:
Teorema de Pitágoras
(8)2 + (15)2 = a2
289 = a2 a = 17
En el 6:
sen0 =
17
COS0 = | |
17
sec0 =
15
tan0 = A CSC0 = H
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS
AGUDOS: 30°, 60°, 45°, 37° Y 53°
Las razones trigonométricas (RT) de estos ángu­
los se obtienen a partir de los siguientes triángulos
rectángulos.
2 k / '6 0 °
k
2
1
/^ 3 0 ° r / W
k-/3 73
5k
3k 3
/< 3 7 ° r X 3 7 ° r
4k 4
^ N ^ n g u lo
RT
o
O
co
37° 45° 53° 60°
1 3 72 4 73
sen
2 5 2 5 2
73 4 72 3 1
eos
2 5 2 5 2
tan
73
3
3
4
1 4
3
73

15. T r ig o n o m e t r ía | 1 7
^-^Á n g u lo
R T ^
30° 37° 45° 53° 60°
cot /3 4
3
1
3
4
/3
3
sec
2/3
3
5
4
12
5
3
2
CSC 2 5
3
12
5
4
2 /3
3
cV la ta :-
1.
/6 - /2
/6 + / 2
i k /
1
/V 5 ° n 1 5 w
(2-/3) (2 + /3Í
2. Los valores de las seis razones trigo­
nométricas dependen únicamente de la
medida del ángulo y no de las longitudes
de los lados del triángulo rectángulo.
Luego:
,tB'
By
ACB tenemos que: sen 0 =
BC
AB
B’C’
L^AC’B' tenemos que: sen 0 = ——
M AB
, BC B'C'
Luego: — = =-^~
a AB AB'
Así encontramos el mismo valor para
sen0 sin Importar cual sea el triángulo
rectángulo que utilicemos para calcular­
lo, una idea similar podría servir para las
otras razones trigonométricas.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Siendo 0 un ángulo agudo, se cumple:
csce =
1
sen0
=> sen0csc0 = 1
sec6 =
1
=> cos0sece = 1
COS0
cote =
1
tan9
=> tan9 cote = 1
Ejemplos:
sen9 = j csc0 = ^
tan© =
5
cote =
_5_
/5
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS
COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos agudos se lla­
man complementarlos si su
suma es un ángulo recto.
En la figura que se muestra:
6 y a: son ángulos comple­
mentarios (0 + a = 90°).
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b
como 6 y el ángulo opuesto al cateto a como a, en
consecuencia:
b 3
sen© = —=cosa; eos© = —= sena
c c
tan0 = —= cota; cote = ^ = tana
a b
sec0 = —
a
; csca; csc0
sena = cos(90° - a)
tana = cot(90° - a)
seca = csc(90° - a)
Debido a estas relaciones, las razones
Seno y coseno
Tangente y cotangente
Secante y cosecante
RT(a) = CO-RT(P)
=> a + P = 90°
se llaman co-razones trigonométricas una de la
otra, respectivamente.

16. 1 8 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Ejemplos:
sen40° = cos50° sec20° = csc70°
tan80° = cotí 0o cot3° = tan87°
cos62° = sen28° csc24° = sec66°
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Las aplicaciones de la trigonometría en campos
como topografía y navegación requieren resolver
triángulos rectángulos. La expresión "resolver un
triángulo" significa encontrar la longitud de cada
lado y la medida de cada ángulo del triángulo.
En esta sección veremos que podemos resolver
cualquier triángulo rectángulo si se nos da:
I. Las longitudes de dos lados.
II. La longitud de un lado y la medida de un án­
gulo agudo.
I. Conociendo las longitudes de dos lados
Ejemplo:
Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo
que sus catetos miden 1 y 2, respectivamente.
Resolución:
Para calcular x, aplicamos el teorema de
Pltágoras:
(1)2 + (2)2 = a2
=> a2 = 5
.-. a = ¡5
Para determinar la medida del ángulo 9,
calculemos una razón trigonométrica con
los catetos de longitudes 1 y 2.
Es decir: tan9 = — => 9 = 26°30'
2
Como: 9 + p = 90° => p = 63°30’
II. Conociendo un lado y la mediada de un án­
gulo agudo
A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un
ángulo agudo.
Incógnitas: x, y
y
— = sen 9 = y = asená
a
En el triángulo rectángulo la medida del
otro ángulo agudo es: 90° - 9
asen0
acosO
B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del
cateto opuesto a dicho ángulo.
Incógnitas: x, y
Cálculo de x:
— = cot9 => x = acotó
Cálculo de y:
y
a
csc9 => y = acsc9
En el triángulo rectángulo la medida del
otro ángulo agudo es: 90° - 9
acotB
C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del
cateto adyacente a dicho ángulo.
Análogamente a los triángulos rectángulos
anteriores tenemos:
atanB
AREA DE LA REGION TRIANGULAR
El área de cualquier reglón triangular esta dado por
el semlproducto de dos de sus lados multiplicado
por el seno del ángulo que forman dichos lados.
Así tenemos:
S = —absenó
2

17. TRIGONOMETRÍA ¡ 1 9
ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos contenidos en un plano verti­
cal formados por la línea de mira (o visual) y la linea
horizontal, que parten de la vista del observador.
• Línea vertical. Vertical de un lugar es la línea
que coincide con la dirección que marca la
plomada.
• Línea horizontal. Se denomina así a toda
aquella línea perpendicular a la vertical.
• Plano Vertical. Es el que contiene a toda línea
vertical.
• Línea visual. Llamada también línea de mira,
es aquella línea recta Imaginarla que une el
ojo del observador con el objeto a observarse.
Los ángulos verticales pueden ser:
Ángulo de elevación. Es el ángulo formado por la
línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto
se encuentra por encima de la línea horizontal.
En la figura se muestra la ubicación de los ángulos
de elevación y depresión.
• a: es la medida del ángulo de elevación, porque
se encuentra contenido en un plano vertical.
• 0: es la medida del ángulo de depresión, por­
que está contenido en un plano vertical.
(3: no es un ángulo de elevación porque está
contenido en un plano inclinado.
Ángulo de depresión. Es aquel ángulo formado por
la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto
se encuentra por debajo de la línea horizontal.
Ángulo de observación. Es aquel ángulo for­
mado por dos líneas de mira que parten de un
mismo punto al observar un objeto de un extremo
al otro.
0: ángulo de observación
Ejemplo:
El ángulo de elevación de la cúspide de una torre
es de 60°, a 72 metros de ella, estando el ojo del
observador a (3 metros sobre el suelo, la altura de
la torre es aproximadamente:
Resolución:
Observar que:
^P M Q
V3 :
H
EJERCICIOS RESUELTOS
En un triángulo rectángulo un cateto mide 4 m
y la altura sobre la hipotenusa 2,4 m. ¿Cuál es
el área del triángulo?
Resolución:
2,4
4
EAHB: sena = 0,6
sena = ¿ =» a = 37°
5
fc^ABC: tana = ~
-'AABC '
(4)(3)
El perímetro de un triángulo rectángulo es
de 338 m. Si la tangente de uno de los án­
gulos agudos es 2,4; ¿cuánto mide el cateto
menor?

18. 2 0 | C o l e c c ió n E l Po s t u l a n t e
Resolución:
Dato: tana = 2,4 I !
5
..(1)
De la figura: tana = — ..,(2)
De (1) y (2): | ^
Entonces sea: a = 12x y b = 5x
c = Js f+ h 1'= t/(12x )2 + (5x)2
c = 13xc = lÍ6 9 x 2
Dato: a + b + c
12x + 5x + 13x
30
: 338
338 30x = 338
Cateto menor: b = 5x = 5
338
30
b = 56,33
3. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles
ABC de catetos 1 m (ángulo recto en B). Por
B se traza una perpendicular a AC; por D una
perpendicular a BC; por E una perpendicular
a AC: por F una perpendicular a BC y así su­
cesivamente. Calcular el límite de la suma:
BD + DE + EF + FG + ...
Resolución:
A
D
«N. F
A<* r A ar •C
B
fcsADB: BD = sena
^BED : DE = BDsena = sen2a
Í^DFE: EF = DEsena = sen3a
ts,EGF: FG = EFsena = sen4a
S = BD + DE + EF + FG + ....
S = sena + sen2a + sen3a + sen4a + ...
S = sena [1 + sena + sen2a + sen3a + .
S = sena(1 + S) => (1 - sena)S = sena
g sena
1 - sena
Por dato el tAB C es isósceles
Entonces: a = 45°
_1_
¡2sen45
1 - sen45
1
1 (2 + 1
¡ 2 - 1 ¡2 + 1
¡2
=» S = ¡2 + 1
Considerando jt = 3,1416; ¿cuál es el valor de
la secante de un arco de: 1,04720 radianes?
Resolución:
Nos piden calcular: sec(1,04720).
3,1416 ti
3 “ 3
Como: 1,04720 =
=> sec(1.04720) ¡ s e c ( ^ ) = 2
5. La cotangente de un ángulo vale 1,5; ¿cuánto
vale la tangente de su complemento?
Resolución:
Dato: cota = 1,5
Por RT de ángulos complementarios sabemos
que:
tan(90°- a) = cota tan(90° - a) = 1,5
6. Hallar el valor numérico de la siguiente expre­
sión:
¡3 cos230°tan60° - ¡6 sen45°cot30° +
2sec45°cos45° - —
4
Resolución:
Reemplazando los valores Indicados:
/ 3 ( | ) 2(7 3 )-l6 (f)(/3 ) + 2 / 2 ( ^ ) - l
^ 9 _ 6 2 _ 1 = 1
4 2 4
7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide
¡5 y los ángulos agudos B y C cumplen con la
relación: senB = 2senC. Hallar las longitudes
de los catetos.
Resolución
Dato: senB = 2senC
b = 2c
a a
b2 + c2 = (¡5)2 =* (2c)2 + c2
b = 2c
5c2 = 5 1
1 a b = 2

19. T r ig o n o m e t r í a ! 21
Hallar el valor de la siguiente expresión:
sen4x + 3tan3x - 2sec2x - 4
4
para: x = 45°
Resolución:
Sea: E = sen4x +3tan3x - 2sec2x - 4
4
Para x = 45°:
E = sen445° + 3tan345° - 2sec245° - 4
E = + 3(1)3 - 2 ( / 2 ) 2 - l
E = — + 3
4
- 4 - 1 -1
Hallar el valor de:
A =
sen230 + lc s c 460 + 4 r sec360
2 36
cot430 + sec245 + 3tan45
Resolución:
Reemplazando los valores conocidos:
A =
A =
i r + —í — y + — (2 f
2 I 2/3 J 36
(/3 )4 + (/2 )2 + 3(1)
1 8 2 11'2
4 9 9 j
9 + 2 + 3
49 ]1'2
36 J
14
7
_6_ _ J _
14 12
10. Hallar los ángulos agudos a y p tales que:
tan(3a - 35°) = cot(90° - p) A 2p - a = 15°
Resolución:
Como: tan(3a - 35°) = cot(90° - p)
Entonces: 3a - 35° + 90° - p = 90°
Simplificando: 3a - p = 35° ...(1)
Dato: 2p - a = 15° ...(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se ob­
tiene: a = 17° A p = 16°
HEJERCICIOS PROPUESTOS
1. Del gráfico, calcular: senG
a) 0.2
b) 0,5
c) 2/3
d) 2/5
e) 3/4
I I
2. Siendo 0 un ángulo agudo, tal que: tanO = 5/12:
calcular el valor de: E = cose - sen0
a) 3/19
d) 9/16
b) 4/17
e) 5/13
c) 7/13
3. Siendo x un ángulo agudo para el cual:
cscx = 2,5; calcular el valor de:
M = 5cos2x - 3senx
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B),
senAcscC - 2 tan A
simplificar: E :
a) 1
d) 4
senAsecCtan A
b) 2
e) 5
c) 3
5. Dado el triángulo rectángulo ABC (recto en B).
Calcular cscA, sabiendo que:
secC - senA = 3senC
a) fío
d) v5
b) 2 fíO
e) 2 /5
c) 3/10
6. Si el perímetro de un triángulo rectángulo ABC
(recto en B) es 168 cm, además: cscA = 25/7,
calcular la diferencia entre ¡as longitudes de
los dos mayores lados.
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm
d) 4 cm e) 5 cm
7. Siendo x e y ángulos agudos, calcular x,
si: cos(2x + y + 15°)sec(3x + y - 12°) = 1
a) 25°
d) 12°
b) 27°
e) 15°
c) 29°
8. Calcular el ángulo agudo x que cumple:
sen(5x + 13°) - cos(4x + 14°) = 0
a) 3°
d) 9°
b) 5°
e) 11°
c) 7°
9. Calcular el valor de:
sen20" + cot(25" + 3x) + sec(80" - 5x)
csc(10" + 5x) + tan(65" - 3x) + cos70"
a) 1
d) 1/2
b) 0
e) 1/3
c) 2

20. 2 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
10. Siendo a y p ángulos agudos, calcular p, si:
sen(7a - 15°) = cos(5a + 21°)
tan(2p - a)cot(3a + 2°) = 1
a) 5° b) 10° c) 15°
d) 20° e) 25°
11. Calcular la medida del ángulo agudo x para el
cual se cumple:
cot(2x - 9°) = tan1°tan2°tan3° ... tan89°
a) 10°
d) 27°
b) 18°
e) 30°
c) 20°
12. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen:
sec(5x + 10°) = csc(2y +20°)
tan(20° + y)tan(30° + 3y) = 1
calcular: M = sen(4y + x) + tan(4x + y)
a) 1/2 b)1 c) 3/2
d) 2 e)3
13. Siendo a y p ángulos agudos tales que:
tana = 17 A cscp = 2 /2
calcular: E = tan'
2/ a + p /a + p
" ' + tan'
a) 1/2
d) 3/4
3
b) 1
e) 4/3
2
c) 3/2
14. Si a, p y 0 son ángulos agudos que cumplen:
sen(3a + P) = cos(30 + 2p)
eos (a + P + 0)sec(3a + 2p)
cos(2o. + 2p + 20)csc(P + 30)
c) -12/2
calcular: M
a) 1/2
d) 13
b) 1
e) 2
15. En un triángulo rectángulo ABC (recto
en C), se sabe que: tan2B = 2; calcular:
E = 2tan2A - csc2B
a) - 2
d) 1
b) -1
e) 2
c) 0
16. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen:
cot(x + 40 )tan(y + 20 )
tan(50° - x) =
calcular: E
a) 1/2
d) 1212
tan 10 cot80
sen(x + y + 50")cos(20" + y)
cosíy - x - 10")
b) 1312 c) 3/4
e) 4/5
17. Se tiene un cubo donde se traza una de sus
diagonales y una de las diagonales de su base,
de tal manera que tenga un punto en común
con la diagonal del cubo. Calcular la tangente
del ángulo que forman dichas diagonales.
a) 12 b) 1212 c) 13/2
d) 1612 e) 1616
18. Del gráfico,
a) 1/2
b) 2/3
c) -1
d) 1
e) 3/5
2 .
1. c 5. d 9. a 13. b
r°
o
6. d 10. c 14. a
3. c 7. a 11. d 15. b
4. b 8. c 12. b 16. d
17. b
18. d
rEJERCICIOS PROPUESTOS Y ]
1. Calcular el valor de:
tan 60° + sec245° + 4 eos 60°
cot45° - sen30°
a) 10
d) 16
b) 12
e) 18
c) 14
Si: tan0 - sen45°tan60° = 0; 0: agudo
calcular E = 1Osen20 + 6csc20
a) 8
d) 16
b) 10
e) 20
c) 12
3. Calcular el valor de x (agudo) en:
4sen(22° + x) cos(68° - x) =
tan(30° + x)tan(60°
a) 2° b) 4° c) 8°
d) 10° e) 12°
4. Calcular sec6 del gráfico:
a) H 3/3
b) 11314
c) 11315
d) VÍ3/6
e) 11317
■ x )
calcular: P = tanp + tan0

21. T r ig o n o m e t r ía | 2 3
5. De la figura, calcular: tan©
a) -Í3 b) /3 /2 c) 1
d) 2e)1313
6. De la figura, hallar csc0, si AO = OB.
a) /2 B
b) 2 /2
c) 2 /3
d) -Í2/2
e) V3/3 o
7. De la figura, calcular: tana
a) 1/2
b) 2
c) 1/4
d) 4
e) 1
8. De la figura, calcular: tana
d) 10/3 e) 10
9. De la figura, calcular: tana
a) 1/2
b) 1/3
c) 4/7
d) 3/5
e) 5/7
10. Calcular: A = 10tana + 11tañe
a) 8 /3
d) 5
11. Hallar x.
a) 3senatan9
b) 2senacot0
c) 3senasen0
d) 3coso.tan0
e) 3cosacotü
12. De la figura, calcular: —
b
a) 73/5
b) 2 /3 /5
c) 3 /3 /5
d) 4 /3 /5
e) 5 /3 /5
13. De la figura, calcular x.
a) asen(0 - a)tana
b) asen(0 - a)cota
c) asen(0 - a)seca
d) asen(a - 0)tana
e) asen(a - 0)cota
14. Del gráfico, calcular: x
a) 2(tana + tanp)
b) 2(cota + cotp)
c) 2(cota - tanp)
d) 2(cota - cotp)
e) 2(tana - tanp)
15. De la figura, calcular x.
a) 2R(tan0 + 1)
b) 2R(cot0 + 1)
c) R(cot0 + 1)
d) R(cot0 - 1)
e) R(tan0 + 1)
16. Calcular:
E = (2sen30° + sec60°)tan53° + /3tan60°
a) 3 b)5 c) 7
d) 9 e)11
17. Si: sen0 - tan37° = 0;
calcular: A = •I-Í7 tañe + 1

22. 2 4 | C o le c c ió n E l P o s tu la n te
a) 2 b) 3 c) 5
d) 2 /3 e) 3 /2
18. Simplificar:
2tan(35° + x)tan(55° - x) + tan260°
cosí 8 csc72 - sen30
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) 6
19. Del gráfico, calcular: /6 se n 9 + 1
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e )7
20. De la figura, calcular tanO.
a) 1/3
b) 1/4
c) 3/4
d) 2/3
e) 3/2
21. Calcular x del gráfico:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
22. Del gráfico, calcular:
A = 2sen(9 -1 5 °) + sec(9+15°)
a)1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
in i. c 6. a 11. a 16. c 21. d
y 2. d 7. b 12. b 17. a 22. c
>
<í 3. d 8. c 13. e 18. a
j 4. a 9. b 14. c 19. b
ü 5. b 10. b 15. c 20. d
FEJERCICIOS PROPUESTOS
J
1. Del gráfico,
a) 19
b) 18
c) 17
d) 15
e) 12
2. En un triángulo ABC cuya área es 0,5 m2,
determinar a que es Igual el producto de las
cosecantes de los ángulos del triángulo.
a) abe
d) a2b2c
b) a2b2c2 c) ab2c2
3.
e) a2bc2
Siendo St y S2 áreas, calcular:
a) 1
b) 2 4 a / „ '
/ 1c) 3
d) 4 6 a / S2
e) 5
4. Del gráfico, calcular:
b) 2sen8 + cos8
d) 3cos9 + 4cos9
-a + T
a) 3sen8 + 2cos8
c) 4cos8 + 3sen9
e) 3cos9 + 2cos8
5. Del gráfico, calcular:
a) sen28
b) csc29
c) cos29
d) sec28
e) tan29
Desde un punto en el suelo se observa la par­
te más alta de un edificio con una elevación
angular de 37°, nos acercamos al edificio a
una distancia de 10 m y el nuevo ángulo de
elevación para el mismo punto es 45°. Calcu­
lar la altura del edificio.
calcular x.

23. T r ig o n o m e t r ía | 2 5
a) 14 m b) 15m c) 28 m
d) 30 m e) 32m
7. Desde un punto en el suelo, situado entre 2
muros de 3 m y 4 /3 m se observa sus puntos
más altos con ángulos de elevación de 30°
y 60°, respectivamente. Calcular la distancia
entre dichos puntos.
a) 10 m b) 12m c) 14 m
d) 16 m e) 18m
8. Desde la base de un árbol se observa la parte
superior de un edificio con un ángulo de ele­
vación de 45° y desde la parte superior del ár­
bol se observa el mismo punto con un ángulo
de elevación de 37°. Si la altura del edificio es
de 120 m. Calcularla altura del árbol.
a) 10 m b) 20 m c) 30m
d) 40 m e) 50 m
9. Una persona colocada a 36 m de una torre ob­
serva su parte más alta con un ángulo de ele­
vación a (tana = 7/12). ¿Qué distancia habría
que alejarse para que el ángulo de elevación
sea 6, donde: tan6 = 1/4?
a) 36 m b) 40 m c) 42 m
d )4 6 m e) 48 m
10. Desde la parte superior de un muro de 2 m de
altura, se observa un árbol con un ángulo de
depresión de 30° su base y con un ángulo de
elevación de 60° su parte superior. Hallar la
altura del árbol.
a) 4 m b) 6 m c) 8 m
d) 10 m e) 12 m
11. Desde un avión, que se encuentra a una al­
tura H, se observa en tierra un objetivo con
un ángulo de depresión de 60°; luego de un
minuto y habiendo pasado por encima del ob­
jetivo, se vuelve a observar el mismo con una
depresión angular de 30°. Si la velocidad del
avión es de 300 km/h, calcular H, además la
trayectoria del avión es una linea horizontal.
a) 1350 m b) 2500 m c) 1250 m
d) 3500 m e) 2000 m
12. Un cachimbo de la Universidad Vlllarreal de
1,5 m de altura observa la parte superior de
un poste, con un ángulo de elevación 4). Si el
cachimbo se acerca 45 m, hacia el poste y en
línea recta, el nuevo ángulo de elevación sería
9, halle la altura del poste, sabiendo que:
coto - cote = 2
15.
16.
a) 16 m
d) 24 m
b) 18 m
e) 25 m
c) 20 m
13. Desde el último piso de un edificio se ob­
serva un avión con un ángulo de elevación
de 53°. Si la altura del edificio es de 200 m
y la altura de vuelo del avión es de 1 km,
calcular la distancia del avión al último piso
del edificio.
a) 1600 m
d) 800 m
b) 1200 m
e) 1000 m
c) 600 m
14. Desde la base A de un camino inclinado, un
ángulo a con respecto a la horizontal, se ob­
serva la parte superior S, de un poste de 2 m
de altura con un ángulo de elevación 2a. Si el
poste se encuentra en el camino y AS = 7 m,
calcular tana.
a) 2/9_
d) 6/2
b) 2/7
e) 4 /2
c)7/2
Calcular el área de una región triangular don­
de 2 de sus lados miden 12 m y 14 m, además
la medida del ángulo que forman dichos lados
es 30°.
a) 40 m b) 41 m2 c) 42 m2
d) 43 m2 e) 44 m2
Del gráfico, calcular x.
a) — sene
b
b) — sene
' a
c) — sene
c
d) abcsene
e) — sene
a2
17. Del gráfico, calcular: A = sene + 2cos0
a) 1
b) 1/2
c) 3/2
d) 3
e) 2

24. 2 6 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
18. Si a + b = ab; calcular x.
a) 73
C
b) 2/3
/30°
c) 3/3
7 x'd) 4 /3
e) 5/3 ------------
19. Del gráfico, calcular el área de la región som­
breada.
15 5 10
a) 13,5
d) 16,5
b) 14,5
e) 17,5
c) 15,5
20. A 16 m de la base de un árbol el ángulo de
elevación para la parte más alta es 37°. Cal­
cular la altura del árbol.
a) 10 m
d) 13 m
b) 11 m
e) 14 m
c) 12 m
1. e 5. d 9. e 13. e 17. e
2. b 6. d 10. c 14. b 18. a
3. c 7. a 11. c 15. c 19. d
4. c 8. c 12. d 16. c 20. c

25. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR
ANGULO EN POSICION NORMAL
Un ángulo 0 está en posición normal, posición es­
tándar o canónica si su vértice está en el origen de
un sistema coordenado rectangular y su lado inicial
coincide con el eje x positivo.
Cuando un ángulo 0 está en posición normal, el
lado final puede estar en uno de los cuadrantes en
cuyo caso se dice que 0 está en tal cuadrante, o
bien encontrarse sobre el eje x o el eje y, entonces
se dice que es un ángulo cuadrantal.
Ejemplos:
I. y.
- a g u ­
a y o
yt IV.
<ÜH:
p > o e < o
Entonces a , (|> A p están en posición normal.
a e MIC, ó e IIC y p es un ángulo cuadrantal.
9 no está en posición normal.
ÁNGULOS COTERMINALES
Son aquellos ángulos que pueden o no estar en
posición normal y tienen las siguientes caracterís­
ticas:
I. El mismo lado Inicial
II. El mismo vértice
III. El mismo lado final
Sin considerar el sentido de los ángulos, es decir,
que ambos ángulos pueden tener el mismo sentido
o sentidos opuestos, se tiene:
V értice Lado
En ambas figuras a y 0 son ángulos cotermlnales,
en el primer gráfico son ángulos trigonométricos y
en el segundo ambos están en posición normal.
Propiedades de ángulos coterminales
1. La diferencia de dos ángulos coterminales es
un número que se representa por 360°k (k:
entero). Es decir, si a y 0 son ángulos cotermi­
nales, se cumple:
a - 0 = 360°k
donde: k.= +1, ±2, ±3, ...
Siendo a y Oángulos coterminales y en posición
normal como se muestra en la figura se tiene:
cosa = —
r
sen0
cose
tana =
tan9 = —
x
sena = sen©
c o sa = COS0
tana = tan0
Análogamente para las demás razones trigo­
nométricas. Luego, podemos concluir:

26. 2 8 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
RT(g) = RT(9)
Donde RT: razón trigonométrica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN
POSICIÓN NORMAL
y
sen0 = — =
r
ordenada
radio vector
COS0 = — =
r
abscisa
radio vector
y
tan0 = - =
X
ordenada
abscisa
cote = - =
y
abscisa
ordenada
sec6 = — =
X
radio vector
abscisa
CSC0 = — =
y
radio vector
ordenada
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el valor numérico de la expresión:
E = sen180° + 2cos180° + 3sen270° +
4cos270° - 5sec180° - 6csc270°
Resolución:
Recordar:
sen eos tan cot sec CSC
180° 0 -1 0 3 -1 3
270° -1 0 3 0 3 -1
Reemplazando en la expresión dada:
E = 0 + 2 (-1 ) + 3 (-1 ) + 4(0) —5(—1) —6(—1)
E = - 2 - 3 + 5 + 6 = 6
2. Indicar los signos de las siguientes expresio­
nes en el orden F, G, H.
_ (sec285 tan2138 sen210 )3
(csc3215 cot338 )
(sen3260 cotí 15 cosí 16 )3
( j —-----------------------------------------
(csc195 tan336 f
l_l _ sen195 cot340 csc128
(tan135 sec298 )3
Resolución:
Recordar los signos de las RT en cada cua­
drante.
seno todas son
cosecante positivas
(+) (+)
tangente coseno
cotangente secante
(+) (+)
En las expresiones dadas solo reemplazamos
los signos.
[(+)(+)(—)]3 (-)
(-)(-) (+)
[R H H P (-)
[(-H+tf (+)
(-)(-)(+) (+)
[H(+)P (-)
[ " e j e r c ic io s p r o p u e s t o s '" |
1. De la figura siguiente, calcule tan0.
a) -4 /3
b) 4/3
c) -1
d) 3/4
e) -3 /4
2. Del gráfico mostrado; calcule tana.
a) 2/3
b) 1/3
c) 1/2
d) 3/2
e) 1

27. T r ig o n o m e t r ía | 2 9
3. Del gráfico mostrado, calcule tan0.
a) 1/2 Y A(2; 6)
b) 1/3
c) 1
d) 2 Sj 3 T X
e) 3 7 x
4. Si 9 es un ángulo positivo, en posición normal
y está comprendido entre la segunda y terce­
ra vuelta; determine su valor si se cumplen:
tan9 = cot(ji/4) y sen0 < 0.
a) 35ti/4 b)75n/4 c)55j[/4
d) 65ti/4 e)45ti/4
5. Del gráfico mostrado, calcule tañe.
a) -2 /3 y (4;4)
b) -3/4
c) -4/3 m /
d) -5 /4
e) -3/2 eC V (2; 0) x
-i
6. Del gráfico mostrado; calcule 3tan6 + x cote
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
7. SI 0 es un ángulo en posición normal tal que
tañe = y0 pertenece al segundo cuadran-
5
te; calcule: 2 + V41(sen9 + cose)
a) - 2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
8. SI se tiene que 6 es un ángulo en posición nor­
mal del cuarto cuadrante, para el cual se tiene
12
que cose = — calcule: 3 + 13(sen6 + cos0)
a) 8 b) 10 c) 11
d) 9 e) 6
9. Determine el cuadrante al cual pertenece 6 si
se cumple: (sen6 + cos0)sec6 < 1 y además:
tan0sen0 > 0
a) IC b) IIC c) INC
d) IVC e) F. D.
10. Determine el cuadrante al cual pertenece 9 si
se tiene que: |sen0| + sene = 0 y además:
sen6cos0 > 0
a) IC b) IIC c) NIC
d) IVC e) F. D.
11. Si 0 es un ángulo positivo y menor que una
vuelta y pertenece al tercer cuadrante; deter­
mine el signo de:
I. E = (sen0+ cose )tan0
II. F = |s e n |^ | - cos|^-jjsen0
III. A = (sen20 - cos0)tan(0/2)
a) ( - ) ; ( - ) ; (+) b) (-);(+ ); ( - )
c) (-); (-); (-) d) (+); (-); (-)
e) (+); (+); (-)
12. Dadas las relaciones:
1 + |sen0|tan0 < 0 Atan0sen0 > 0
determine el signo de la expresión:
E = (sene - cos0)(tan0 + cote)
a) (+) b) ( - ) c) (+) o (—)
d) 0 e) F.D.
13. Del gráfico mostrado, calcule: 3sen0 + 2cos6
b) 2
c) 3
d) - 2
e) - 3 (-1 2 ; -5 )
14. De la figura siguiente, calcule: sen6 - 4cos6
a) 5 (“
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
15. El punto P (-3 ; 5) pertenece al lado final de un
ángulo 0 en posición normal; calcule:
■/34(sen0 + cose)
a) 1/2 b) 1 c) 2
d) 3 e) 1/3

28. 3 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
16. El lado final de un ángulo 9 en posición normal
pasa por el punto (4; -5 ); calcule:
V4Í(sen0 - cos9)
a)-1 b) - 3 c) - 5
d) - 7 e) -9
17. Del gráfico mostrado, calcule el valor de m, si
se tiene que: tanG = 3/2
a) 1
b) - 8
c) 4
d) -2
e) - 6
18. En la figura mostrada, calcule: tana + tanG
a ) -13/12 (a: a + 5)
b) -4 /7
c) -5 /6 —
d) -35/12
e) -1 2 /7 (a —1; a)
19. Del gráfico mostrado, calcule: tanG + tana
a) - 3 y
y
b) - 2
c) -1
d) - 4 X 3 T '
1 .
e) - 5 a> 7 x
20. Del gráfico mostrado; calcule tanG.
a) - 3
b) -2
c) -1
d) -1 /2
e) -1 /3
1. e 5. a 9. d 13. e 17. b
2. d 6. d 10. c 14. b 18. c
3. a 7. d 11. c 15. c 19. a
4. b
-Q
00
12. a 16. e 20. b

29. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
En la figura se tiene una circunferencia con centro
en C(h; k) y radio r. Si P (x; y) es un punto cual­
quiera de la circunferencia, por distancia entre dos
puntos se tiene: r = J(x - h)2+ (y - k)2 , pero esto
es equivalente a la ecuación:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 ...(I)
A la ecuación (I) se denomina ecuación de la cir­
cunferencia con centro en (h; k) y radio r.
A aquella circunferencia que tenga por ecuación:
x2 + y2 = 1, se le denomina circunferencia trigo­
nométrica o unitaria. Entonces esta circunferencia
tendrá centro en el origen y radio igual a una uni­
dad. La gráfica de la circunferencia trigonométrica
(CT) se observa en la siguiente figura:
ARCO DIRIGIDO
Es la trayectoria recorrida por un punto móvil so­
bre una curva en un sentido determinado. Asi, por
ejemplo, en la figura el arco AB se forma por la
trayectoria de un punto sobre la curva G, partiendo
de A (posición inicial u origen) llegando al punto B
(posición final o extremo). Análogamente el origen
del arco CD es C y su extremo es D.
0,
/ B
'D
ARCOS EN POSICIÓN NORMAL
Son arcos dirigidos formados en una circunferen­
cia con centro en el origen del plano cartesiano,
donde la posición inicial de estos arcos es el punto
Q punto de intersección del lado positivo del eje x
con la circunferencia) ver figura.
En adelante discutiremos aquellos arcos dirigidos
en posición normal donde la posición inicial sea un
punto tal como Q. Aquellos arcos formados en sen­
tido antihorario se consideran positivos, y en senti­
do horario se les consideran negativos.
En la figura, ios puntos S y P son los extremos de
los arcos v y p, respectivamente.
y: es un arco positivo
(sentido antihorario)
(3: es un arco negativo
(sentido horario)
Así tenemos un arco dirigido QP en posición nor­
mal (figura 1). Del sector circular sombreado, se
tiene que por la longitud del arco es LQP = ar. Para
una CT (r = 1), se cumplirá: LQP = a (figura 2).
Es importante trabajar los arcos en posición normal
en la CT teniendo en cuenta el extremo del arco,
este extremo nos indicará el cuadrante al que per­
tenece dicho arco. Así, por ejemplo, en la figura
0 e IC y y e MIC.
A ,
x
En la figura (a), se tiene una recta numérica verti­
cal donde el origen de la recta coincide con el punto
A(1; 0) de la CT. Considerando a la CT como una
sección de un carrete y la recta numérica como un
hilo (espesor despreciable) entonces, en la figura

30. 3 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
(b), la parte positiva de la recta se envuelve en sen­
tido antihorario y la parte negativa en sentido horario.
Este procedimiento tiene por fin ilustrar al lector
que a cada punto de la recta numérica le corres­
ponde un único punto de la CT.
Como ya se ha enunciado, es importante ubicar el
extremo de un arco en la CT, ya sea para la ubica­
ción de su cuadrante o para las definiciones que se
verán más adelante. Así, por ejemplo el arco 1 en
la CT se relaciona a un ángulo en posición normal
1 rad Fig. (a), análogamente el arco n a ti rad Fig.
(b) y el arco -2 a - 2 rad Fig. (c)
REPRESENTACIONES DE LAS RAZONES TRIGO­
NOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA
En esta parte, al referirnos a un arco, hacemos la
suposición de que este es un arco dirigido en la CT
en posición normal, es decir, su punto inicial es el
origen de arcos A(1; 0). En las representaciones
siguientes se han utilizado segmentos dirigidos.
Definición I
El seno de un arco es la ordenada de su extremo.
Ejemplos:
y
6
V ,
Zil |7 O t"* 1 X
6 1 sen(—1)1 /
L ) Y - 1
ció/ ' — E
Definición II
El coseno de un arco es la abscisa de su extremo.
Teorema 1: V a e IR, se cumple:
-1 < sena <1 A —1 < cosa < 1
En efecto, si a es cualquier número real, entonces
su extremo en la CT podrá ser cualquier punto de
la CT. Los intervalos que contienen los valores del
sena y cosa, se ilustran en la fig. (a) y fig. (b), res­
pectivamente.
Fig. (a)

31. T r ig o n o m e t r ía | 3 3
Sea la figura siguiente y consideremos que k e Z,
planteamos el siguiente cuadro a manera de resumen.
CT B< °j)
7 XA’( - 1 ; 0 Í J A ( 1 ; 0 )
B '(0 ; —1 )
En el
punto
Se ubican los extrem os
de los arcos de la forma
Ejem plos
A 2 kn
- 6 tc, —471, —2 ti, 0, 271,
471, 67c, 8 ti, 1Ü7I
B 2k n +'IL V (4 k + 1)IL
2 2
ti 5n 97t 13tc 17ti
2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2
3ti 7n 11 ti 15tx
2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 " "
A' 2kn + 7i V (2k + 1 )ti
71, 371, 571, 771, 971, ...
—7i, —37:,—571,—7 ti,—9 ti,
B' 2kji + 3 j ». (4k + 3 ) í
2 2
371 7k 1 171 1571 1971
2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2
71 5ti 9ti 1371
2 ’ 2 ’ 2 ' 2 ’ "
Continuando en la figura, tenemos que si el extre­
mo de un arco se ubica en el punto:
A o A', el seno tiene un valor de cero.
Ejemplos:
senO = 0: sen?: = 0: sen2ir = 0
se n (-5 ii) = 0; sen28n = 0
Se concluye que: | sen(kn) =~0~|; vk e Z
B, el seno tiene un valor Igual a la unidad.
Ejemplos:
s e n ( ! ) = 1 ; sen
- 3 ;t
2
= 1: senl
5 ti
2
41 TI
2
1;
= 1;
s e n ( l f ^ = 1
Se concluye que: sen(2k7t - 1 Vk e Z
B’, el seno tiene un valor igual a -1
Ejemplos:
13n _
2 I “
s e n ( ^ ) = - 1
s e n /- 4 = —1■
L) = ~1
Se concluye que: sen(2kji + y ] = -1 v k e Z
B o B el coseno tiene un valor de cero
Ejemplos:
c o s (^ ) = 0 ;
cos(~|~) = 0;
cos|--?l5-J = 0
Se concluye que:
co síZ |2 L )= 0 ;
cos(2k + 1 )4 = o vk e Z
A, el coseno tiene un valor Igual a la unidad.
Ejemplos:
cosO = 1; c o s 2¡t = 1; cos4rr = 1
cos(-6ir) = 1; eos 100n = 1
Se concluye que: cos(2k7t) = 1 ; v k e Z
A', el coseno tiene un valor igual a -1
Ejemplos:
c o s ti = - 1 ; cos3n = - 1 ; cos9n = - 1
cos(-15n) = -1 ; co s 4 5 ti = - 1
Se concluye que: cos(2kn + ti) = —1 1; vk e Z
Definición III
La tangente de un arco es la ordenada del pun­
to de intersección entre la recta tangente que
pasa por el origen de arcos y la prolongación
del radio o diámetro que pasa por el extremo
del arco.

32. 3 4 I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Definición IV
La cotangente de un arco es la abscisa del pun­
to de intersección entre la recta tangente que
pasa por el origen de complementos y la pro­
longación del radio o diámetro que pasa por el
extremo del arco.
Ejemplos:
y
V cotp B
y
cota V ’ B(0; 1) C O tjl/6
'"Sta /^~/n i4 í . a n . li/6
V 0 Ja x ° Ja x
—n/2
cotí
A la recta o que es la tangente a la CT en B(0; 1)
se le suele denominar eje de cotangentes.
Teorema 2
tana elR; Va eIR - j(2n + n e Z
cota eIR: Va g IR - {nii}; n e Z
Definición V
La secante de un arco es la abscisa del pun­
to de intersección entre la recta tangente que
pasa por el extremo del arco y el eje x.
Ejemplos:
y
R /secp
~ . p
a
y s
M 0 seca I x
P
qV —^ C J
P y Q: puntos
de tangencia
y
F J z -
e / 7 3
s e c - i
> 4 ) D
s e c ( | ) l °
C T ~ v '—
71 / y
- y S 'G
V " X
F y G: puntos
Definición VI
La cosecante de un arco es la ordenada del
punto de intersección entre la recta tangente
que pasa por el extremo del arco y el eje y.
Ejemplos:
y
C
p s/ a
1 C S C a
V r
c s c p
0 / X
CT—^
D
y
CT *-
il/2
/csc(§
V
V 0
JA / X— 17.14/
_ y r
csc( —rt/4)
G
(P y Q: ptos. de tangencia) (B y T: ptos. de tangencia)
Teorema 3
• seca < -1 v seca >1; Va e K —j(2n + 1)-|j; n eZ
• csca < -1 V csca > 1; Va e IR -{nn}; n e Z
SENOVERSO, COSENOVERSO Y EXSECANTE
El senoverso o verso de un arco 0 denotado
por versO, se define:
/0 g 1Everso = 1 - cosO
El cosenoverso o coverso de un arco 0 deno­
tado por covO, se define:
V0 <covO = 1 - sen© : IR
La exsecante o secante externa de un arco 0
denotado por exsecO, se define:
exsecO secO-1 ; v e e IR -|(2 n + 1)-|j; n e Z
0 < verse < 2
0 < covO < 2
exsecO < - 2 v exsecO > 0

33. T r ig o n o m e t r ía ¡ 3 5
Gráficamente el verso de un arco es el seg­
mento dirigido en el eje x que parte del punto
cuya coordenada es el coseno de dicho arco
hacia el origen de arcos.
Ejemplos:
De la figura se cumple:
versO = PA
Ya que PA = A - P
=> versO = A - P
.-. versO = 1 - cosO
Gráficamente el coverso de un arco es el seg­
mento dirigido en el eje y que parte del punto
cuya coordenada es el seno de dicho arco ha­
cia el origen de complementos.
Ejemplo:
De la figura se cumple:
covO = QB
Ya que QB = B - Q
=> covO = B - Q
covO = 1 - seno
Gráficamente la exsecante de un arco es el
segmento dirigido en el eje x que parte del ori­
gen de arcos hacia el punto cuya coordenada
es la secante de dicho arco.
Ejemplo:
De la figura, P es punto de tangencia y se
cumple:
exsecO = AR
Ya que: AR = R - A
=> exsecO = R - A
exsecO = secO -1
1. Decir si son falsos (F) o verdaderos (V) los si­
guiente enunciados:
I. Las funciones seno y coseno son negati­
vas en el tercer cuadrante y crecientes en
el cuarto cuadrante.
II. No existe función trigonométrica alguna
de un ángulo del segundo cuadrante que
sea positivo y aumenta a medida que el
ángulo crece.
III. Solo existe una función que puede tomar
el valor de 3,8 y ser positiva en el tercer
cuadrante.
Resolución:
Analizamos cada proposición:
I. Está proposición es verdadera. Las fun­
ciones seno y coseno son negativas en el
INC. En el IVC ambas funciones son cre­
cientes.
II. Esta proposición es falsa. Ya que la fun­
ción secante es positiva y creciente en el
segundo cuadrante.
III. Esta proposición es falsa. Ya que las fun­
ciones tangentes y cotangentes son positi­
vas en el tercer cuadrante y cualesquiera
de estas pueden tomar el valor de 3,8.
.-. VFF
2. Cuando el ángulo x aumenta de 90° a 180°,
¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) El seno aumenta
b) El coseno aumenta
c) La cosecante aumenta
d) La secante disminuye
e) La cotangente aumenta
Resolución:
Si x varia de 90° a 180° estamos en el segun­
do cuadrante, entonces:
a) El seno varía de 1 a 0
b) El coseno varía de 0 a -1
c) La cosecante varía de 1 a +oo
d) La secante varia de - o c a -1
e) La cotangente varía de 0 a —00
Rpta:. c
3. En la circunferencia trigonométrica se pide
indicar el valor de: OC + DB, en función del
ángulo a.
Resolución:
Como se trata de la CT, entonces OD = OA = 1
OC = csccí y DB = cota.

34. 3 6 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
OC + DB = csca + cota
_ 1 , cosa
sena T sena
_ 1 + COS a
sena
[jE JE R C IC IO S PROPUESTOS l
1. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor?
a) sen40° b) sen100° c) sen160°
d) sen220° e) sen280°
2. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor?
a) cos20° b)cos100° c)cos160°
d)cos260° e) cos320°
3. En la CT hallar el área de la región sombreada:
a) sena
b) cosa
c) 1/2sena
d) 1/2cosa
e) 1
4. En la circunferencia trigonométrica mostrada:
cose = 2/3 y OM = MB. Calcular el área de la
región triangular OMP.
a) 1/6
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/2
e) 2/3
5. Si: ji/2 < x < y < n, entonces:
I. senx > seny
II. cosx < cosy
III. senx< cosy
Son verdaderas:
a) Solo I b) Solo II c) Solo III
d) I y II e) I y II
2 k 1
6. Hallar los valores de k, si: cos8 = — - —
a) [-1 ; 2] b) [-2 : 1] c) [-3 ; 2]
d) [-1 ; 3] e) [-1 ; 1]
2a —3
7. Si: senx = — -— : hallar la suma de todos los
5
valores enteros que pueden tomar a.
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
8. Calcular AB, donde A y B representan los va­
lores mínimo y máximo de la expresión:
P = 5 - 3cosx
a ) -1 5 b) —6 c) 8 d) 15 e) 16
3k 4- ?
9. Si: 9 e INC y cos9 = — y — , hallar el intervalo
de k.
a) (-5 ; 3) b) (0: 2/3) c) (-3 ; 2/3)
d) (-2 /3 : 0) e) (3: 2/3)
10. SI a y 9 son arcos diferentes, calcular la dife­
rencia entre los valores máximo y mínimo de
la expresión:
Q = 2 se c(-|j - sen2a + 2cos20
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
11. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):
I. sen2 < sen3
II. cos5 > cos6
III. sec4tan6 > 0
a) VVV b) FFV c) FVF
d) VFF e) FFF
12. Del gráfico, calcular el área de la región som­
breada, si: BP = PQ = QB'
a) (1/3)sen0
b) (1/3)cos0
c) (~1/3)sen8
d) (-1/3)cos0
e) (-1/6)sen0
13. De la figura, calcular d.
a) _ s e n 0 _
1 + COS0
cos8
1 + sen9
sen9—
1 - cose
cose
1 + sen8

35. T r ig o n o m e t r ía ¡ 3 7
14. Calcular el valor de:
r- /senx - 1 + /cosx + 1
para: x = nl2
a) 1/2
d) 1/5
/senx + 8
b) 1/3
e) 1/6
c) 1/4
15. SI: — < x < — . indicar la variación de:
a) [4; 5]
d)]4,5]
2senx + 3
b) ]4, 5[
e) ] 4, 5]
c) [4, 5[
16. En ia CT hallar el área de la reglón sombreada:
a) sena
b) cosa
c) (1/2)sena
d) (1/2)cosa
e) 1
17. SI: sena = 0,8
a) 3
b) 4
c) 5
d) 0,8
e) 0,6
18. Si: x <
3n
2 4
son verdaderas:
I. senx > cosx
II. sen2x > cos2x
III.senx -cosx < 0
indicar qué proposiciones
a) Solo I
d) I y III
b) Solo II
e) I y II
c) Solo I
19. Simplificar la expresión:
/ cosx - 1 + feosx + 3
E =
/senx + 1
para: x = 0
a) 1 b) (2/2 c) (2
d) 2 e) 1/2
k —1
20. Hallar los valores de k, si: sen0 = -------
2
a) [-1 ;1 ] b) [-1 ; 2] c) [-1 :3 ]
d) [-2 ; 3] e) [-1 ; 4]
21. Determine el Intervalo de k, si se cumple la
siguiente Igualdad:
2 cosx - 1 _ k + 2 __ k - 1
3 2 3
a) [-1 4 : 6] b) [—13; —5] c) [-1 2 ; 4]
d) [4; 12] e) [5: 13]
3a — 1
22. Si: cosx = ----------. calcular la suma de todos
2
ios valores enteros de a.
a) - 2 b) -1 c) 0
d) 1e ) 2
23. Si: 0 £ IVC y sen0 = a ~ ^ , cuántos valores
5
enteros puede tomar a.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
24. SI: 0 £ IIC y cosO = ^ ~ ^ , hallar el intervalo
de k. 5
a) [-2 : 8] b) [-2 : 3] c) (-2 ; -3 )
d) (-2 : 8} e) [2; -3 ]
tn 1. b 6. a 11. b 16. b 21. a
u 2. c 7. d 12. d 17. e 22. d
<r 3. a 8. e 13. c 18. e 23. b
j
□
4. a
5. a
9. c
10. b
14. b
15. d
19. d
20. c
24. b

36. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN MISMO ARCO
Identidades trigonométricas Identidades trigonométricas
recíprocas por cociente
senxcscx = 1
cosxsecx = 1
tanxcotx = 1
Identidades
pitagóricas
• tanx =
senx
cosx
• cotx =
cosx
senx
Identidades trigonométricas
auxiliares
sen2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
cYlata/:--------
Despejando:
• sen4x + cos4x = - 2sen2xcos2x
• sen6x + cos6x = - 3sen2xcos2x
• tanx + cotx = secx esex
• sec x + esc x = sec xese x
• (1 ± senx ± cosx) = 2(1 ±senx)(1 ±cosx)
sen29 + cos20 = 1
sen2© = 1 - cos20 senG) = (1 + cos6)(1 - cos0)
Asimismo:
eos O= 1 - sen 0 =» eos 0 =(1 +sen8)(1 -senG)
identidades auxiliares
- 2sen 0cos 0
sen60 + eos6© = 1 - 3sen20cos20
tan0 + cot0 = sec9csc0
sec20 + csc20 = sec20csc20
(1 + senG + cosG) = 2(1 + sen0)(1 + cos0)
Demostraciones
sen20 + cos20 = 1
Ai cuadrado: (sen20 + cos2i
sen 0 + eos 0 = 1
Al cubo: (sen20 + cos20)3 = 13
sen60 + cos60 + 3(sen20cos20)(sen20 + cos20) = 1
1
sen 60 + cos60 + 3sen20cos20 = 1
=» sen20
tan6 + cote =
cos20 = 1 - 3sen20cos20
senO , cos0
cose sen0
tan0 + cot0 =
tanO + cote =
cosGsenG
1
cosGsenG
tanG + cote = sec0csc0
sec20 + csc20 = — 1—- h------i-
cos 6 sen 0
sec20 + csc20 = .sen20 + cos2e
i2e
1
(1 + senO + cose)2
= 12+ (sen0)2+ (cos0)2+ 2sen0 + 2cos0 + 2sen0cos0
= 1 + sen20 + cos20 + 2sen9 + 2eos0 + 2sen9cos9
= 2 + 2sen0 + 2cos0 + 2sen0cos9
= 2(1 + senG) + 2cos0(1 + senO)
= (1 + sen0)(2 + 2cos0)
= 2(1 + sen0)(1 + eos©)
=» (1 + sen0 + cosG)2 = 2(1 + sen0)(1 + cos9)
PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR
Demostrar una identidad consiste en que ambos
miembros de la igualdad propuesta sean equiva­
lentes, para lograr dicho objetivo se siguen los si­
guientes pasos:
1. Se escoge el miembro más complicado.
2. Se lleva a senos y cosenos (por lo general).
3. Se utilizan las identidades fundamentales y
las diferentes operaciones algebraicas.
Ejemplos:
1. Demostrar: secx(1 - sen2x) - esex = cotx
Resolución:
Se escoge al 1.er miembro:
secx(1 - sen2x)cscx
Se lleva a senos y cosenos:
1 1
-(eos x)-
Se efectúa: cosx-
1
Demostrar:
[secx + tanx
=cotx = cotx
1][1 + secx - tanx] = 2tanx

37. T r ig o n o m e t r ía | 3 9
Resolución:
Se escoge el 1,er miembro:
[secx + tanx - 1][secx - tanx + 1] =
[secx + (tanx - 1)][secx - (tanx - 1)]
(secx)2 - (tanx - 1)2 =
(1 + tan2x) - (tan2x - 2tanx - 1) =
1 + tan2x - tan2x + 2tanx -1 =
2tanx = 2tanx
PROBLEMAS PARA SIMPLIFICAR Y REDUCIR
Ejemplos:
1. Reducir: K = sen4x - cos4x + 2cos2x
Resolución:
Por diferencia de cuadrados:
K = (sen2x + cos2x)(sen2x - cos2x) + 2cos2x
K = sen2x - cos2x + 2cos2x
K = sen2x + cos2x => K = 1
2. Simplificar: E = 1±_22§2Í------------ —
senx 1 - cosx
Resolución:
1 - cos2x
(1 + cosx)(1 - cosx) - (senx)(senx)
senx(1 - cosx)
¡- sen2x - sen2x 0t = ------------------------- =>t = ------------------------
s e n x (l-c o s x ) s e n x (1 -c o s x i
=> E = 0
PROBLEMAS CONDICIONALES
Dada una o varias condiciones se pide hallar una
relación en términos de dicha o dichas condiciones.
Ejemplo:
-1
Si: senx + cosx = —; hallar: senxcosx
2
Resolución:
Del dato alcuadrado: (senx + cosx)2 =
sen2x + cos2x + 2senxcosx = —
4
3 3
2senxcosx = — => senxcosx = ——
4 8
PROBLEMAS PARA ELIMINAR ÁNGULOS
La idea central es eliminar todas las expresiones
algebraicas y que al final quede relaciones inde­
pendientes de la variable.
Ejem plo:
Eliminar x, a partir de: senx = a a cosx = I
Resolución:
De senx = a => sen2x = a2
cosx = b => cos2x = b2
Sumamos: sen2x + cos2x = a2 + b2
1 = a2 + b2
EJERCICIOS RESUELTOS
Si cosx + senxtanx = 1,2; ¿cuánto vale secx?
Resolución:
cosx + senxí senx ) = 1,2
' eos x 1
cosx + = 1,2 =* cos2x + sen2x = i 2
cosx cosx
1
= 1.2 =• secx = 1,2
oua A
¿Qué función trigonométrica deberá es­
cribirse en vez de M para que laecuación
tana + cota = Mseca setransforme en una
identidad?
Resolución:
tana + cota = Mseca
sena cosa _ M / _ l _
cosa sena ~ cosa I
senacosa ' cosa
1 M
senucosu cosa
M = csca
Hallar las expresión equivalente de:
secx - cosx
esex - senx
Resolución:
secx - cosx
Sea: F ¡
esex - senx
1 .
- - cosx
cosx
1 - sen2x
senx
F _ _cos¿<_ _ sen^x ^ F = tan3x

38. 4 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
4. Simplificar la expresión:
E =(tanx + tany)(1 - cotxcoty) +
(cotx + coty)(1 - tanxtany)
Resolución:
E= (tanx + tany)(1 - cotxcoty) + (cotx+ coty)(1 - tanxtany)
Á B
Efectuamos la expresión A:
A = tanx + tany - coty - cotx
Efectuamos la expresión B:
B = cotx + coty - tany - tanx
Como: E = A + B => E = 0
5. Hallar el valor numérico de la siguiente expre­
sión: x 3
tan x + cot x
sec2x + cot2x - 2
sabiendo que: 4tanx = 3
Resolución:
Dato: tanx = 3/4
Como: sec2x = 1 + tan2x, entonces:
£ _ tan3x + cot3x
tan2x + cot2x - 1
(tanx + cotx)(tan2x - tanxcotx + cot2x)
(tan2x + cot2x - 1)
E = tanx + cotx = f + § = f §
6. Simplificar:
cosxcotx - senxtanx
cscx - secx
Resolución
eos x cot x - senx tan x
Sea: F =
cscx - secx
cosxi senx
cosxí ) —s e n x ]
senx cosx
senx
cosx - senx
senxcosx
cosx - senx
F =
senxcosx
cosx - senx
senxcosx
cosx - senx )(cos2x + cosxsenx + sen2x)
cosx - senx
F = cos2x + senxcosx + sen2x
F = 1 + senxcosx
[ " ejer c ic io s propuestos” !
1. Simplificar:
A = 16(sen6x + cos6x) - 24(sen4x + cos4x) +
1 0(sen2x + cos2x)
a) 0
d) -2
b) 1
e) 2
c) - 1
Si: tanx + tan2x = 1, calcular: S = cotx - tanx
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2
3. Reducir:
U = (1 + sen2x)2 + 2(1 + sen2x)(1 + cos2x) +
(1 + cos2x)2
a) 0
d) 9
4. Simplificar: R =
a) 1
d) 9/2
b) 4
e) 27
c) 3
sec4a (1 - sen4a) - 2 tan2a
csc4a (1 - cos4a) - 2 cot2a
b) 2 c) 4
e) 5
5. Reducir: Y =cosx + cosx - secx
1 + senx 1 - senx
a) senx b) cosx c) secx
d) cscx e) tanx
6. Simplificar:
tan2x + cot2x - 2 tan2x + cot2x + 1
J =
a) 1
d) 4
tanx + cotx - 2
b) 2
e) 5
tanx + cotx + 1
c) 3
15
7. Si: senx - cosx = —
5
calcular: A = 5senxcosx - 1
a) 0
d) 5
b) 1
e) 1/5
c) 3
8. Calcular a + b, de:
1 , 1
1 + sene cscG - 1
= a + btan
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3

39. T r ig o n o m e t r ía | 4 1
Calcular el valor de:
sen4x - cos4x - 1
M =
a) -2
d) 1
sen x - eos x + 1
b) -1
e) 2
c) 0
10. Si:
sen x + eos x - 1 _3_
‘ 16
calcular: senxcosx
a) +2
d) +4
b) ±1/2
e) ±1/8
c) ±1/4
11. Eliminar x, s¡: senx - sen x = m
cosx - cos3x = n
a) m2 + n2 = 3/mñ b) m2 - n2 = 3Vmñ
c) m2 + n2 = 3Vmñ2 d) m2
e) m2 - n2 = m2n2
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres­
ponda:
I. sen70° > sen170°
II. c o s í00° > cos200°
III. sen60° = cos300°
IV. sen250° > cos250°
a)V VV F
d)FVV F
b) VFVF
e) FVFV
c) W F F
13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres­
ponda:
I. sen1 > cosí
II. co s6 > co s5
III. sen3 > sen2
c) VVF
14. Si: senx = 3m - 1, determine el Intervalo de m.
a) V W
d) FVF
b) VFV
e) FFV
a) [-1 ; 1] b) [-2/3 ; 2/3] c) [0; 2/3]
d) [-1 :2 /3 ] e) [—1; 0]
15. Determine el intervalo de k, si: 2cosx = 5k + 1
b> [ - H ] ° > [ - H I
d ) | - ° "
1. 11
b ) l2. 1
5’ 5] 5 ’ 5
3. 11
6 ) |
ío- ¿ l
5 ’ 5j l0’ 5]
16. Del gráfico mostrado, calcular el área de la re­
gión sombreada:
a) (1/2)sen9
b) (1/4)sen0
c) (3/2)sen0
d) (3/4)sen0
e) (5/4)sen9
17. Reducir:
J = (1 - cos2x)(1 + cot2x) +
a) 0
d) 1
18.
19.
Hallar n, en: tan29 - sen20
(1 - sen2x)(1 + tan2x)
b) - 2 c) 2
e) -1
2o
a) 1
d) senO
b) sen20
e) cos0
: ntan 0
c) COS20
Del gráfico mostrado, calcular el mínimo valor
deAC.
a) a B
b) 2a
c) 3a
d) 4a
e) 5a
20. Eliminar©, si: sen© ± eos© = n
sen30 + cos39 = m
,3
a) 3n = 2m ± n3
c) m + n = mn
e) 3mn = n2 + m2
b) 3m = 2n ± m
d) n3 - 2m = 3mn
1. e 5. c 9. b 13. c 17. c
2. b 6. c 10. b 14. b 18. b
3. d 7. b 11. c 15. d 19. c
4. a 8. c 12. c 16. d 20. a

40. ARCOS COMPUESTOS
PARA LA SUMA DE DOS ARCOS
sen(a + (3) = senacosp + cosasenp
cos(a + P) = cosacosp - senasenp
tana + tanp
tan(a+ p) :
COt(a+ P) =
1 - tanatanp
cota cotp - 1
cota + cotp
Ejemplos:
1. Calcular: sen67°
sen67° = sen(30° + 37°)
= sen30°cos37° +
“ 2 X 5 ' 2 5
cos30°sen 37°
sen67°
4 + 3 /3
10
Calcular: cos75°
cos75°
cos75D
cy io ta /:—
=cos(30° + 45°)
=cos30°cos45° - sen30°sen45°
V3 V2
~2~ T
/6 - ¡2
. 1 , 1 1
2 " 2
PARA LA DIFERENCIA DE ARCOS
sen(a - p) = senacosp - cosasenp
cos(a - P) = cosacosp + senasenp
tana - tanp
tan (a - p) =
cot(a - P) =
1 + tanatanp
cota cotp + 1
cota - tanp
Ejemplos:
1. Calcule: cos7°
cos7° = cos(60° - 53°)
= cos60°cos53° + sen60°sen53°
c o s r = 1 X | + f x | =
2 5 2 5 10
2. Calcular: tan16°
tan16° = tan(53° - 37°)
tan53 - tan37
tan 16°
1 + tan53 tan37
7
tan16° =
4 _ 3
3 4
1 + 1 , 3 24
3 4 12
= 12 ^ tan16o = X
24
cVloia:-
Z 7 4 2
2 5 X
7
24
IDENTIDADES ADICIONALES
senía + p)sen(a - P) = sen2a -s e n 2p
cos(a + p)cos(a - P) = cos2a - sen2p
sen(a ± 3)
tana ± tanp = -
cosacosp
tana +tanp + tanja+p)tanatanp =tan(a + p)
cYlata
Siendo a y b números reales, x variable real,
se cumple:
asenx + bcosx = 'la2+ b2sen(x - 0)
b
Donde: senO =
COS0
la^Tb2
. a
/a 2 + b2

41. T r ig o n o m e t r ía | 4 3
Ejemplos:
senx + ¡3 cosx = 2sen(x + 60°)
* senx - cosx = /2sen(x - 45°)
Siendo f(x) = asenx + bcosx; x eIR se cumple:
- /a 2 + b2 < f (x ) < -¡a2+ b2
Ejemplos:
- 2 < /3 senx + cosx < 2
- (5 < 2senx - cosx < ¡5
- -ÍY3 < 3senx + 2cosx < /i~3
Si A + B + C = k, se cumple:
tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC
cotAcotB + cotAcotC + cotBcotC = 1
SI A + B + C = ji/2, se cumple:
cotA + cotB + cotC = cotAcotBcotC
tanAtanB + tanBtanC + tanAtanC = 1
En forma general, si A + B + C = kn (k e Z ) o
A + B + C = (2k + 1)-| (k e Z ) las relaciones de!
teorema anterior siguen siendo válidas.
EJERCICIOS RESUELTOS
Si: a - b = ji/3; calcular:
P = (cosa + cosb)2 + (sena + senb)2
Resolución:
P = (cosa + cosb)2 + (sena - senb)2
P = cos2a + 2cosacosb - cos2b + sen2a +
2senasenb + sen2b
P = 2 + 2(cosacosb + senasenb)
P = 2 + 2cos(a - b)
Dato: a - b = n/3
P = 2 + 2cosí/M = 2 + 2
13 ' 2
si: a + b + c = ?t/2, hallar el valor de:
tanatanb + tanatanc + tanbtanc
Resolución:
Si: a + b + c = n/2
a + b = - | - c ^ tan(a + b) = tan(-^ - c)
tana + tanb , 1
= cote = -------
1 - tanatanb tanc
(tana + tanb)tanc = 1 - tanatanb
tanatanc + tanbtanc + tanatanb = 1
Simplificar:
E = cos(180° - x) sen(90° + y) +
sen(180°- x) cos(90° + y)
Resolución:
cos(180° - x) = -cosx; sen(180° - x) = senx
sen(90° + y) = cosy; cos(90° + y) = -sen y
Reemplazando:
E = -cosxcosy + senx(-seny)
E = -(cosxcoy + senxseny)
E = -cos(x - y)
b = 60°, hallar el valor
sen2b
Si a - b = 45° y a
numérico de: sen2a
Resolución:
Dato: a + b = 45° y a - b = 60°
sen2a - sen2b = sen(a + b)sen(a - b)
j2 ñ íb
= sen45°sen60° = — x — = —
2 2 4
Calcular el valor natural muy aproximado del
sen23°.
Resolución:
sen23° = sen(60° ■37°)
sen23° = sen60°cos37° - cos60°sen37°
“ n23- ( f )5) ( I
sen23°
4 / 3 - 3
10
6. Si: tan(x + y) = 33 A tany = 3
encontrar el valor de tanx.
Resolución:
tan(x + y) = 33
tanx + tany
1 - tanxtany
tanx + 3
33, dato: tany = 3
1 - 3tanx
tanx + 3 = 33 - 99tanx
tanx + 99 tanx = 3 3 - 3
100tanx = 30 =* tanx = 0,3
Si: a + b
R =
225°, calcular el valor de:
cotacotb
(1 + cota)(1 + cotb)

42. 4 4 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Resolución:
cot(a + b) = cot225°
cotacotb - 1
cota + cotb
co ta cotb -1 = cota + cotb ...(1)
R :
= 1
cotacotb
1 + cota + cotb + cotacotb
cotacotb
De (1): R =
R =
1 + cotacotb - 1 + cotacotb
cotacotb _ J_
2cotacotb 2
1
tan9
Simplificar: P =
cot(4> - 6)
1 - -
tan0
cot(<(> - 0)
Resolución:
La expresión P es equivalente a la siguiente:
tan9 + tan(ij> - 0)
1 - tan0tan((j> - 9)
Esta expresión es el desarrollo de la tangente
de una suma de dos ángulos, es decir:
P = tan[0 +(<)>- 0)] = tan<j>
[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS
□
1. Del gráfico, calcule tanO.
a) 9/19
b) 1/10
c) 21
d ) 1/21
e) 9/10
2. Si: ABDE es un cuadrado, además: BC = 3;
CD = 2: AF = 1, calcule: tan0
a) -3 /7
b) -7 /3
c) 3/7
d) 7/3
e) -1/1 0
3. Calcularel valorde: N =sen10°+tan40°cos10°
a)sen20°
d) tan10°
b)2sen20°
e) 2
o)1
4. Calcular: tanx, si:
sen4xcos5x + cosx = sen5xcos4x
a) -1
d) 2
b) 1
e) 3
c) -2
5. Si se cumple: 2sen(x + y) = 3sen(x - y)
calcular: tanxcoty
a) 1/5
d) -1 /5
b) 5
e) 1
c) - 5
6. Si: ta n (2 a -p ) = 3 A ta n (2 p -a ) = - 2
calcular: tan(a + P)
8)1
d) -1 /7
b) -1
e) -7
c) 1/7
7. Calcule:
R = tan36° + tan24° + (3 tan36°tan24°
a) 1
d) ían12°
b) ¡3
e) 2(3
c) (312
Calcular: S = (1 + tan35°)(1 + tan10°)
a) 1
d) - 2
b) 2
e) 3
c) —1
9. Calcule el máximo valor de:
E = 3 + 2senx + (5 cosx
a) 0 b) 3 c) 5
d) 6 e) 12
sen(x + y) + sen(x - y)
10, Reducir: A =
a) tanx
d) cotx
11. Simplificar: A =
cos(x - y) - cos(x + y)
b) coty
e) 1
a) senx b) cosx
d) (6sem e) (6 cosx
c) tany
</2sen(45 + x ) - c o s x
(3 senx + 2 eos (60 + x )
c) tanx
12. Reducir: E =
a) 1/2
d) 2
sen48°cos12° + sen12°cos48°
sen33° eos 3o - sen3° eos 33°
b) 1
e) (3
13. Calcular el valor de: S =
a) 0,5
d) 2
b) 1
e) 2,5
c) (312
tan32 + tan 13
1 - tan32 tan 13
c) 1,5

43. T r ig o n o m e t r ía | 4 5
14. Reducir:
R = cos(21° + x)cos(16° - x) -
sen(21° + x)sen(16° - x)
a) 0 b) 4/5 c) 3/5
d) senx e) sen(37° + x)
sen(a - 6)
15. Reducir: P = ta n a -
cosa cosp
a) tana b) tanp c) sena
d)senp e) senasenp
16. Si cote = 1/4, calcule: tan(45° + 0)
a) -1 b) - 3 c) -5/3
d) 3e) -4/3
17. Del gráfico, calcule: tañe
a) 1
b) 13/15
c) 7/17
d) 17/7
e) -1
18. Reducir: M = -/3cos20° + sen20°
a) sen80° b) cos80° c) 2sen80°
d)2cos80° e) 2sen40°
19. Calcule el menor valor de x (agudo) en:
cos35 eos 15 -se n 3 5 s e n 1 5
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 25° e) 70°
20. Calcular el valor de m, si:
mtan50° = tan70° - tan20°
a) 1/2 b) 1 c) 3/2
d) 2 e) -1
1. a 5. b 9. d 13. b 17. c
2. b 6. c 10. b 14. b 18. c
3. e 7. b 11. c 15. b 19. c
4. b
_Q
có
12. e 16. c 20. d

44. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Una función trigonométrica de un número real cual­
quiera puede expresarse como función de un nú­
mero real del primer cuadrante. Esto puede mos­
trarse a partir de ciertas fórmulas de reducción que
se-deducen a partir de las identidades de arcos
compuestos dando valores particulares.
Recordemos que:
cos(a + p) = cosacosp - senasenp
Si sustituimos a por nl2 obtenemos:
co s(-| + p) = cos(-|)cosp -s e n (-|)s e n p
y como: cos(-|) = 0 y sen(-|) = 1
eos + p ) = -senp
Ahora si en dicha relación reemplazamos p por
— - 0, tenemos:
2
cos( —+ - 0) = - sen(-£ - 0
' 2 2 / 2
cos(7t - 0) = -cosO
REGLAS PRÁCTICAS DE REDUCCIÓN AL PRIMER
CUADRANTE
Para razones trigonométricas cuyos ángulos sean
de la forma: 90° ±cc, 270° + a , 180° + a, 360° + a
RT/90 ± a = +CORT(a)
270 ± a)
RT/180” —a = +RT(o)
'360° ± a l
Para determinar el signo (+) o ( - ) del segundo
miembro se asume que a sea agudo (así el va­
lor que tenga no lo sea), con el fin de determinar
el cuadrante del ángulo del primer miembro y así
establecer el signo que le corresponde a la razón
trigonométrica de dicho ángulo.
y 90°
90° + a 90° - a
180° - a 360° + a
180° 0°,
360°
180° + a 270° + a
270° - a 360° - a
270°
cVLoia:•------------ --------------------------------
Signos de las razones trigonométricas
+90°
'(+ )
180°
tan
cot (+)
Todas
(+)
■360°
eos
sec
270°
(+ )
Ejemplos:
sen(270° - a) = -coso
e lilC
sec(180° + a) = -se ca
e lilC
cot(270° + a) = -ta n a
ElV C
tan240° =
tan(180° + 60°) = +tan60°
e l IÍC
tan(270° - 30°) = +cot30°
e l ÍÍC
cos310° =
cos(270° + 40°) = +sen40°
e lV C
cos(360° - 50°) = +cos50°
e lV C
Para razones trigonométricas cuyo ángulo es
de la forma: 360°n + a ; n e Z
Se tiene: RT(360°n + o) = RT(a); n e Z
Ejemplos:
cosí 172° = cos(360“ x 3 + 92°) = cos92°
= cos(90° + 2 ) = -sen2°
tan755° = tan(360° y 2 + 35°) = tan35°
csc(-1390°) = csc(-1440° + 50°)
= csc[360 / (-4 ) + 50o]
= csc50°
sec39 605°= sec(360° x 110 + 5°)
= sec5°

45. T r ig o n o m e t r ía | 4 7
Para razones trigonométricas de ángulos negativos
Recordemos que:
cos(p - a) = cos¡3cosa + senpsena
Si p = 0, tenemos:
co s(-a ) = cosOcosa + senOsena
Como cosO = 1 y senO = 0
Entonces:
Asimismo:
co s(-a ) = cosa
se n (-a ) = -sen a
Por identidades fundamentales tenemos:
s e n (-a ) sena
ta n (-a ) =
c o s (-a ) cosa
Se concluye: ta n (-a ) = -tan a
Análogamente se obtienen:
co t(-a ) = -co ta
s e c(-a ) = seca
csc(-a ) = -csca
Ejemplos:
sen(-130°)= -sen130° = -sen(180° - 50°)
e lIC
= -(+sen50°) = -sen50°
tan(-762°) = -tan762° = -tan(360° a 2 + 42°)
= -tan42°
sec(G - 270°) = sec[-(270° - 0)]
= sec(270° - 0] = —cscO
I - 3ji 3ti
= c o s ( i + — ) = -s e n /— )
' 2 1 0' '1 0 '
Propiedades:
1. SI: a 4 p = 180°
Se cumple:
sena = senp
cosa = -cosp
tana = -tanp
Demostración:
De la condición tenemos: a = 180° - p
=> cosa = cos(180° - p) = -cosp
e¡IC
cosa = -cosp
Análogo para las restantes.
Ejemplos:
sen140°= sen40°
cosí 70° = -c o s í 0°
• tan135° = -tan45°
’ C0S( f ) = - C° S( t )
___/ 4ji
2. Si: a 4 p = 360°
Se cumple:
sena = -senp
cosa = cosp
tana = -tanp
Ejemplos:
sen320° = -sen40°
cos345° = cosí 5°
eos
i 771
4 / = C0S( f )
tan( ^ ) = - tan( f )
cot
5ji
= - cot/
csc(x 4 290°) = -csc(70° -x )
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar la expresión: F
sen(-|) 4 tan2x - /2
1 4 cos3x
cuando x = 210°
Resolución:
Para: x = 210°
p _ sen 105 4 tan420 - -Í2
1 4 eos 630
sen105°= sen75° =
■Í6 + -Í2
tan420° = tan(360° 4 60°) = tan60° = Í3
cos630° = cos(7 x 90°) = 0
F _ ^6 4 /2 | [ñ - ^ + 4 / 3 - 3 / 2
4 4
Encontrar el valor de la siguiente expresión:
sen150°tan225°cos(-210°)
F =
s e n (- 120°)cos(-315°)tan300°

46. 4 8 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Resolución:
• sen150° = sen30° = 1/2
• tan225° = tan(180° + 45°) = tan45° = 1
• cos(-210°) = cos210° = cos(180° + 30°)
= - c o s 3 0 ° =
sen(-120°) = -sen120° = -sen60° = -7 3 /2
cos(-315°) = cos315° = cos(360° - 45°)
= cos45° = 72/2
• tan300° = tan(360° - 60°) = -tan60° = - 73
Reemplazamos:
3. Calcular el valor de la siguiente expresión:
P _ sen670 xcos310 xsec250 xsen200
sen130 xcos50 x cosí 80
Resolución:
sen670° = sen(720° - 50°) = -sen50°
cos310° = cos(360° -5 0 °) = cos50°
sec250° = sec(270° - 20°) = -csc20°
sen200° = sen(180° + 20°) = -sen20°
sen130° = sen50°
cosí 80° = -1
Reemplazando:
(-se n 5 0 )(cos50 )(-c s c 2 0 )(-sen20 )
(sen50 )(cos50 ) (- 1)
Simplificando: F = 1
4. Si sen16° = 7/25, calcular: tan2954°
Resolución:
tan2954° = tan(360° x 8 + 74°) = tan74° = cotí 6°
=> tan2954° = cotí 6° = 24/7
5. Si: tanx + coty = 2; x + y = n, hallar: cotx
Resolución:
Como: x + y = ti => y = k - x
=> coty = -co tx
Reemplazando:
•i
tanx - cotx = 2 => — — - cotx = 2
cotx
1 - cot2x = 2cotx =» cot2x + 2cotx - 1 = 0
cotx = ~ 2 ± 2 ^ = cotx = -1 ± 72
2
[~E JE R C IC IO S PROPUESTOS "]
/ 371
tan (re + x)cos'
Reducir: A =
cot|-^T - xjsen(360 - x )
a) 1 b) 0 c) -1
d) 1/2 e) -1 /2
2. Calcular: E = 3csc150° + tan225° - sec300°
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e ) 5
3. Simplificar:
A = sen170°csc190° + 6sen150° - 2cos180°
a) 1 b) 2 c) 3
d ) 4 e ) 5
4. Si: x + y = 180°. calcular:
taní-^-)
^ _ 2senx '2 '
S6ny c o tí^
a) 2 b)3 c) -1
d) - 2 e)0
Calcular: A = ^ !an1485 + 4cos2100
cosí 20
a ) -1 4 b) 14 c) -1 2
d) 12 e) -1 0
6. Reducir la expresión
i o- 3 rn.Q I ^2sen(67i + x) + 3 c o s (4 r - x
E =
sen(47t - x)
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) - 2
Simplificar: A =
cos(f + X) tan(2jl ■
s e n (-x ) ta n (-x )
a) 1 b) 2 c)-1
d) - 2 e) 0
cos(207i + x) ta n (4 1 n -x )
8. Reducir: A = — -— +
c o s (-x ) c o t ( ^ - x

47. T r ig o n o m e t r ía | 4 9
a) -1
d) 1
b) - 2
e) 2
c) 0
9. Calcular:
A = 4cos(-120°) - 3cot(-315°) + 4sec(-300°)
a) 1
d) - 3
b) 2
e) - 2
c) 3
10. Dado un triángulo ABC, calcular:
sen(A + B) 2tan(B + C)
senC tan A
a) 1
d )-1
b) 2
e) - 2
c) 3
11. Si: x + y = 2n, calcular:
A = senx + ta n (-|) ■seny + t a n ^
a)senx
d) -2 ta n (
12. Calcular:
A = 2tan
a) 1
d) 4
b)2senx
e) 0
c) -ta n (
■^T) + sen(C ^ x jsec(7i - x) + 3sen(-^ )
b) 2
e) 5
c) 3
13. Simplificar:
2sen(100 + x ) 3tan(240 - x )
sen(80 - x )
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
tan(120 + x )
c) 3
14. Calcular:
A = 2tan43 4 3 ^ ) - 2 c o s 1 4 7 ti + 6sen(61-
a) 1
d) 4
15. Si a -
b) 2
e) 5
c) 3
- (3 son suplementarios, reducir:
sen(a + 2p)tan(a + ^
A = :------
i(2 a + p)cot(p + -
a) 1
d) -tanp
b )-1
e) -cosa
c) -ta n a
16. Indicar si es verdadero (V) o falso (F)
I. sec(90° + x) = cscx
II. cot(270° - x) = tanx
III. esc (270° + x) = secx
a) FFF
d) FVF
b) FFV
e) FVV
c) VVF
17. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):
I. tan(180° + x) = -ta n x
II. cos(360° - x) = -cosx
III. sen(360° -x ) = -sen x
a) FFF
d) FVV
18. Simplificar:
b) VFV
e) VVF
c) FFV
sen(180° + x) tan(90° + x)
cos(270°-
a) 1
d) -1 /2
19. Simplificar: A =
- x) cot(180° - x)
b) -1 c) 1/2
e) 0
sen(180° - x)sec(90° - x)
cot(270° + x)
a) tanx b)-co tx c) cotx
d) -ta n x e)-c o t2x
20. Calcular:
A = 2sen330° - 4sec240°
a) 13
d) 10
b) 12
e) 9
■2tan135°
c) 11
21. Dado un triángulo ABC, simplificar:
2cos(A + B)
E =
a) -1
d) - 2
22. Reducir:
A = cos(
a) 1
d) -1 /2
23. Reducir:
A = cos1°
a) 1
d) -1 /2
cosC
b) 1
e) 5
3sec(A + B + C)
c) 2
111/
8n
-cos(tt)+ cosu i
b) -1
e) 0
/10n
(11
c) 1/2
■cos2° + cos3° + ...
+ cos178° + cos179° + cos180°
b) 2
e) -1
c) 1/2

48. 5 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
24. Reducir:
(a + 1)cos540 -(a -1 )s e n 6 3 0
(b -1 )co s1 2 6 0 + (b + 1 )se n 4 5 0
a) 1 b ) -1 c) a
d) b e) a/b
m 1. a 6. b 11. e 16. d 21. b
Ui 2. e 7. e 12. d 17. c 22. e
>
<í 3. d 8. c 13. e 18. e 23. e
j 4. b 9. c 14. c 19. b 24. b
ü 5. a 10. c 15. a 20. e __j

49. IDENTIDADES DE ARCOS MÚLTIPLES
Las identidades de arcos compuestos han sido de­
mostradas para todo número real. A partir de estas
identidades podemos deducir otras, en especial,
podemos obtener las identidades que expresan
sen, cos y tan de 2a, a l2 o 3a en términos de sen,
cos y tan de a.
Puesto que estas son válidas para todo a y p, ha­
ciendo a = p obtenemos:
IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE
• sen2a = 2senacosa
• cos2a = cos2a - sen2a
cos2a = 1 - 2sen2a
cos2a = 2cos2a - 1
• tan2a
2 tan a
1 - tan2a
Identidades auxiliares
2sen2a = 1 - cos2c<
2cos2a = 1 + cos2a
2tanu
sen2a =
c o s 2 a =
1 + tan2a
1 - tan2a
1 + tan2a
cota + tana = 2csc2a
cota - tana = 2cot2a
sen4a +cos4a = — + —cos4a
sen6 + cos6a = —+ —cos4a
Ejemplos:
• sen42° = 2sen21°cos21°
cos48° = cos22 4 °- sen224°
• tan14° = 2tan7—
1 - tan27
cos249 - sen240 = cos80
• 2 s e n ( |jc o s ||'| = sen©
2sen2( f )
1 - eos/
2 tan 4
1 + tan24
cosí 2° =
: s e n 8 °
1 + tan26
cot20° + tan20° = 2csc40°
s e n 4 ( ¿ )
cVLota: -
1 + tan20 / ^
2tan0
/ < 2 0 r
1 - tan20
También podemos establecer lo siguiente:
Como: cos20 = 1-2sen20
Hacemos: 20 = a , tenemos
_2/ a cosa = 1 - 2sen (44
2
2 '
cosa
IDENTIDADES DEL ARCO MITAD
El signo del segundo miembro se elige según el
cuadrante del arco a/2 y de la razón trigonométrica
que lo afecta.
Ejemplos:
: 315 ¡1 - cos315
sen

50. 5 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
315
2
■¡2 - -Í2
tan4° = tanj — |
tan4° =
r -
tan4° = 5 /2 - 7
Identidades auxiliares
« n ( f )t Vi
s e n (|.j - cos(-^) = ±-/l - sena
ta n (^ ) = csca - cota
c o t(^ ) = csca + cota
Ejemplos:
• tan4° = csc8° - cot8° = 5 / 2 - 7
• cotí 5° = csc30° + cot30° = 2 + /3
tan(3n/8) = csc(3ir/4) - cot(3rt/4) = /2 + 1
IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE
sen3a = 3sena - 4sen3a
cos3a = 4cos3a - 3cosa
• tan3a
3ta na - tan3a
1 - 3tan2a
Ejemplos:
sen48° = 3sen16° - 4sen316°
cos24° = 4 co s38° - 3cos8°
3tan37 - tan337
tan1110 =
sena = 3se n (-j
1 - 3tan237
4sen,3i a i
3 '
cos2a = 4cos3/ — - 3C0S1,2a
tan12x =
3 / 3
3tan4x - tan34x
1 - 3tan24x
Triángulos rectángulos de 18° y 36°
/ 5 - 1
/5 + 1
Identidades auxiliares
4sen3a = 3sen« - sen3a
4cos3a = 3cosa + cos3a
sen3a = senu(2cos2a + 1)
cos3a = cosa(2cos2a - 1)
tan3a _ 2cos2a + 1
tana 2cos2a - 1
sen3a = 4senasen(60° - a)sen(60° + a)
cos3a = 4cosacos(60° - a)cos(60° + a)
tan3a = tanatan(60o - a)tan(60° + a)
EJERCICIOS RESUELTOS
Determine el valor de:
A = sen10°sen50°sen70°
Resolución:
Aplicando las identidades auxiliares:
4sen10 sen(60 - 10 )sen(60 + 10 )
A =
sen30 1/2
4
1
2. Determinar el valor de:
M = 16cos5°cos55°cos65°
Resolución:
M = 4 x 4cos5°cos(60° - 5°) cos(60°
' /6 + Í2
-5 o)
M = 4cos15° = 4 = /6 + /2
Si: tan25° = a, hallar el valor de la expresión:
tan155 -ta n 1 1 5 . tan205 -ta n 1 1 5
X " *
1 + tan155 tañí 15 tan245 + tan335

51. T r ig o n o m e t r ía | 53
Resolución:
• .ten 155 - ten115_ _ tan(i55° - 115°)
1 + tan155 tan115 .
= tan40
• tan205° = tan(180° + 25°) =tan25°
• tan115° = -tan65°
tan245° = tan(180° + 65°) = tan65°
• tan335° = tan(360° - 25°) = -tan25°
tan205 -ta n 1 1 5 tan25 + tan65
tan245 + tan335 tan65 - tan25
Propiedad:
= K
tana + tanb sen(a + b)
tana - tanb sen(a - b)
K =
sen(65 + 25 ) sen9Q 1
sen(65 - 2 5 ) sen40 sen40
Reemplazando en T:
T = tan40°
T =
1 sen40° 1
sen40°/ eos 4 0 °' sen40°
1 1
: csc50
eos 40° sen50°
1 + tan225 1 + a2
T = csc50° =
2tan25 2a
4. Si: esc x = 3 y x e IC; cuánto vale 8csc2x.
Resolución:
Dato: cscx = 3, x e iC
2/2
8 c s c 2 x =sen2x 2senxcosx
8 c s c 2 x =
¥ ) ( ¥ ) ¥
8 c s c 2 x = 1 |■Í2 -Í2 -Í2
5. Si: cotx = -0 ,5 ; hallar el valor de 20cot2x
Resolución:
Como: 2cot2x = cotx - tanx
Entonces: 20cot2x = 10(cotx - tanx)
20cot2x = lo |-l-( -2 ) j = 15
Hallar el valor de la expresión
1 (3
S =
sen10 cos10
Resolución:
g _ cos10 - /3sen10
sen10 eos 10
2( —eos 10° - — sen10°
2 2S =
S =
S =
sen20°
2
4(cos6Q eos 10 - sen60 sen10 )
sen20
4cos(60 + 1 0 ) 4cos70° 4sen20°
sen20° sen20° sen20°
S = 4
Dada la expresión: tan<t> = (2 + /3 )ta n |^
calcular: tan<j>
Resolución:
Dato: tanrf) = (2 + /3 )ta n |^ •(1)
Por propiedad
. tan3x _ 2cos2x + 1
tanx 2 cosx - 1
Sea: <|>= 3x, entonces en (1):
tan3x
:2 + /3
2 eos 2x + 1
: 2 + /3
tanx - 2cos2x - 1
Aplicando propiedades de proporciones:
2 eos 2x + 1 + 2 eos 2x - 1 2 + /3 + 1
2cos2x + 1 - 2osx + 1
4cos2x 3 + /3
2
cos2x :
1 + / 3
2cos2x =
2 + /3 - 1
V3(1 + /3 )
1 + /3
■/3
2
2x = 30° x = 15°
Volviendo a la variable original:
(h
— = 15° =>()) = 45° tariíj) = tan45°

52. | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Si: x = —; hallar el valor de tañí
Resolución:
Como: taní-2-) = csca - cota
Para x = nos queda:
tan<1%)
V3
La base de un rectángulo mide el doble de su
altura, hallar la tangente del ángulo agudo que
forman sus diagonales
Resolución:
De la figura: tan(-S-) = 1
tana =
2 ta n ( f)
tana =
1 - tan2
2 I
< - r
tana = 4/3
tana =
1-1 14 4
Los radios de dos circunferencias son 1 y 2,
la distancia de sus centros es 7. Calcular el
coseno del ángulo formado por las tangentes
exteriores a estas circunferencias.
Resolución:
Sea a el ángulo formado por las tangentes,
PO es bisectriz de dicho ángulo. De la figura:
cosa = 1 - 2sen cosa = 1
11.
1 2 .
cosa = 1 -
49
£7
49
Determinar el valor de la expresión:
A = sen3acsca - cos3aseca
Resolución:
sen3a eos 3a
A =
A =
A =
A =
sena cosa
sen3acosa - cos3asena.
senucosa
sen(3a - a ) _ sen2a
senacosa
2senacosa
senacosa
= 2
senacosa
Hallar el valor de: Q = 4cos10°cos50°cos70°
Resolución:
Q = 4cos10°cos50°cos70°
Q = 4cos10°cos(60° - 10°)cos(60° + 10°)
Q = cos(3 x 10°) = cos30°
sen2x
_/3
2
13. Reducir: N
cosx
11 + cos2x / 1 + cosx
Resolución:
Como: 1 + cos2a
N
N =
2senxcosx
2cos2x 2 eos
2/ X i
2 s e n (-)c o s (-)
2 c o s 2 ( ¡ ) 2 eos
2 / X ,
N = tañí
14. Reducir:
S = tanu + 2tan2a + 4tan4a + 8cot8a
Resolución:
Como: cotx - tanx = 2cot2x
=> cotx = tanx + 2cot2x
S = tana + 2tan2a + 4 (tan4a + 2cot8a)
cot4a
S = tana + 2tan2a + 4cot4a
S = tana + 2(tan2a + 2cot4a)
S = tana
cot2a
2cot2a S : cota

53. T r ig o n o m e t r ía | 5 5
15. Hallar el valor de: M =
sen3a _ eos 3a
sena cosa
Resolución:
^ _ 3sena - 4sen3a _ 4cos3a - 3 eos a
sena cosa
M = 3 - 4sen2a - 4cos2a + 3
M = 6 - 4(sen2a + cos2a) = 6 - 4 = 2
[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS i " [
1. Calcular tan2a, si: tana = 72 - 1
a) /2 + 1 b) 272 c) -2 7 2
d) 1 e) 72
2. SI cosa = — , 360° < a <450°; calcular: cosí —í
41 Í 2 ;
a) -
d)
741
741
3. Simplificar:
b) 741 C) 741
741
1 - eos 42
a) sen21° b) cos21° c) sen89°
d) cos84° e) sen 16°
4. Calcular: csc74° - cot74°
a) 1/2 b) 3/4 c) 4/3
d) 1/3 e) 24/25
5. Calcular:
(2sen15°cos15°)2 + (2sen22°30'cos22o30')2
a) 1/4 b) 3/4 c) 5/4
d) 7/4 e) 9/4
6. Simplificar:
1 + eos 46
1 - eos 40
a) tan226 b cot229 c) sec220
d) sec229 e) csc226
1
7. Si sena = - - , a e IIIC; calcular: sen2a
a)
472
d )f
8. Si cosa = 4 , 270° < a <360°; calcular: cosí —l
6
e) -
715
12
9. SI sena = — , 90° < a < 180°; calcular: sení—í
13 ' 2 1
a) -
d)
3713
13
4713
13
b)
4713
13
2713
13
c)
3713
13
10. Simplificar: gsc40, -c o t4 0
tan200
a) 0,1
d) 2
b) 1
e) -0,1
c) -1
11. Calcular: sen22°30’
a)
d)
2 - 7 2
2
72 + 72
b) J Í ± H c) 1 1 1
Simplificar:
2(csc6 - cot6 )
sec23 - 2 ta n 23
a) tan3°
d) cot6°
b) tan6°
e) tan12°
c) cot3°
Simplificar:
sen160°cos200°
sen400°
a) -2
d) -1 /2
b) 2
e) 73/2
c) 1/2
Simplificar: (1 - 2sen2a)2 - 4sen2acos2a
a) cos4a
d) -cos2u
b) -cos4a
e) 0
c) cos2a
Simplificar:
1 - cosí 00
1 + cos1O0
a )ta n 250
d) cot59
b) cot250
e) sec50
c) tan59
Si sena = a e IIC; calcular: 72 sen2a
a) -4 /3
d) 4/3
b) -1/3
e) 72/3
c) 1/3

54. 5 6 | C o l e c c ió n E l Po s t u l a n t e
17. Simplificar: 2 ° otct
cot a - 1
a) cot2cx b) -cot2 a c) tan2a
d) -ta n 2 a e) 1
18. Hallar la expresión equivalente de:
2sen39cos30
a) sen129 b) sen69 c) sen90
d) sen180 e) sen39
19. Calcular: cos215° - sen215°
a) (3/2 b) 1/2 c) (2/2
d) (314 e) 1/4
20. Hallar tan40°
2 tan 10 b) 2 tan 20
1 - tan210 1 - tan220
c) 2 tan 40 d) 2 tan 80
1 - tan240 1 - tan280
2tan20
1 + tan220
e)
21. Sabiendo que:
p = 2cos2a - cos2a A q = 2sen2a + cos2a
calcular: p2 + q2
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
22. Simplificar: (/2 co sa + 1)(/2cosa - 1)
a) cos2a b) -cos2a c) -sen2a
d) sen2a e) 0
23. Simplificar: c o ta - tana
cot 2a
a) 1 b) -1 c) 0
d) 2 e) -2
24. Simplificar: cos40 - sen40
a) cos40 b) -1 c) 1
d) cos20 e) cos60
25. Simplificar: ^ ~~tan ®
1 + tan2©
a) cos29 b) sen20 c) sec20
d) csc20 e) cot20
26. Calcular: M, si: cota + tana = Mcsc2a
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
27. Si: sen0 + cos0 = m, calcular: sen20
a) 2m + 1 b) 2m - 1 c) 2m2 - 1
d) m2 - 1 e) m2 + 1
28. Simplificar:
(csc36° - cot36°)(1 - tan9°cot81°)
a) tan9° b) 2tan9° c) tan18°
d) 2tan18° e) tan36°
29. Simplificar: (csc2x + cot2x)tanx
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
30. Calcular: tan7°30’
a) (6 - (4 - (3 + (2
b) ( 6 - ( 4 + ( 3 - ( 2
c) / 6 + / 4 - / 3 + T 2
d) J6 + V4 + J 3 - / 2
e) (6 - (4 - (3 - (2
tn
Li
1. d 7. a 13. d 19. a 25.
N
a
2. b 8. b 14. a 20. b 26. b
> 3. a 9. c 15. a 21. b 27. d
<t 4. b 10. b 16. a 22. a 28. b
ü 5. b 11. c 17. c 23. d 29. a
6. b 12. b 18. b 24. d 30. a
J
[ " ejer c ic io s PROPUESTOS~2 l
1. Si: cosa = 2/3; 0° < a < 90°, hallar: s e n (^ )
a) (3016 b) (616 c) V6/12
d) (6 e) (615
2. Si: cos0 = 1 ^ < 0 < 2n, calcular: sen(|-)
a) (312 b) -(3 1 2 c) (313
d) -(3 1 3 e) -(31 6
3. Si: 25cos2x - 4 = 0; 180° < x <270°
calcular: ta n (-|)

55. T r ig o n o m e t r ía | 5 7
a) —17 b) -V 3 c) --17/3
d) -13/7 e ) - m
Calcular: R =
csc40 - cot40
cot70
a) 13 b) 1 c) -1
d) --Í3 e) -V 3 /3
X
O
0
CM
1
xU-
o
o
Reducir: E = -
ta n (-|) + cotx
a) 2 s e n (|) b) 2 c o s (|) c )2 ta n (¡
d) 2sen2( | ) e) 2cos2( | )
Si la siguiente igualdad es una identidad:
csc2x - cot2x
cscx + cotx
+ 2cotx = mcot(
n /
hallar: m + n
a) 1 b) 2 c) 3 d ) 4 e) 5
Si: csc80° + tan10° = a, calcular : cot50°
a) a b) 2a c) a-1
d) 2a~1 e) (a
Reducir:
n, _ csc6 - cot6 sen40
tan3‘ csc40 + cot40
a) 1 b) sen40° c) sen50°
d)cos80° e) sen80°
9. De la siguiente igualdad:
co t1 4°- nsec34° = tan14°- 2tan28°
hallar: n
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e ) 5
10. Reducir: M = 4sen350° - 3sen50°
a) 1/2 b) -1 /2 c) 1
d) -1 e) -Í312
11. Reducir: N = cos3x + cosx
cosx
a)cos2x b) 2cos2x c)cosx
d) 2cosx e) 1
12. Si: s e n j-|j = calcular: senx
a) 1 b) -23/27 c) 23/27
d) 1/9 e) -1 /9
13. Si: senx - cosx = 1/3, calcule: sen6x
a) 13/27 b) 23/27 c) 17/27
d) 22/27 e) 19/27
a) 1/2 b) 3/2 c) 7/2
d) 11/2 e) 15/2
15. Si: s e c (-|j = 3sen(-|), hallar: cos2x
a) 1/27 b) 1/9 c) 2/27
d) 22/27 e) 1/3
16. SI: cosx = -1 /5 ; 180° < x < 270°
( I )
a) J Ó J b) ÍÓ A c)
d) -/08 e) f f
17. Dado: 16cos20 = 9 ; — < 0 <2rt
2
hallar:
a) 1 b) 17 c) -1 7
d) -1 7 /7 e) -1 7 /14
18. Reducir: R - tan 10 + co t2 0
cot10 -c o t2 0
a) 1 b) 2 c) -1
d) - 2 e) 1/2
19. Simplificar: E = ta n (-|) + (1 - cosx)cotx
a) 1 b) senx c) tanx
d) cosx e) -1
20. Reducir: N = + cos4° )sec20°
sec45 /
a) 1 b ) -1 c)sen10°
d) co sí0 o e )-se n 1 0 °
21. Si se cumple: J 1 ~ ser|5Q l = cotX; (x; agudo)
1 1 + sen50
halle: sec(x -10°)

56. 5 8 | C o l e c c ió n El Po s t u l a n t e
a ) 2 b) (2 c ) 3
d) 4 e) 5/4
22. Calcular el valor de: E = ----------------------------
a) 1 b) 2 c) ¡2
d) 13 e) ¡6
23. Simplificar: R = csc20 + cost49 + csc40
a) cot9 b) csc9 c) cot29
d) csc29 e) 1
24. SI: seca = 4; hallar: cos3a
a) 1/11 b) -1/1 6 c ) -11/16
d ) -11/32 e) -1/3 2
m 1. b 6. c 11. b 16. c 21. a
W 2. c 7. c 12. c 17. d 22. a
< 3. c 8. c 13. d 18. a 23. a
J 4. b 9. d 14. d 19. b 24. c
ü 5. d 10. b 15. d 20. a
7

57. TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
PARA LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS SENOS O
COSENOS A PRODUCTO
senA - senB = 2cos
cosA + cosB = 2cos
, f A + B jr.nsif A - B
2 1 i 2 1
( A + B |
1sen / A - B
l 2 1 l 2 1
i A + B
|cns(
A - B
2 11 l 2 )
cosA - cosB = -2sen ( A + B )sen^ A B
Demostración:
Para comprobar la primera identidad, recordemos
que:
sen(a + p) = senacosp + cosasenp
sen(a - p) = senacosp - cosasenp
Sumando miembro a miembro tenemos:
sen(a + p) + sen(u - p) = 2senacosp ...(1)
Haciendo: a + p = A ; a - p = B
Obtenemos: a = A ± _ § : r = A ~ B
2 ' 2
Reemplazando en (1):
Se tiene: senA + senB = 2sen( A j~-B |cos( A “ B '
Las demás identidades pueden verificarse en for­
ma análoga.
Ejemplos:
sen40° + sen8° = 2sen/ ^ „+ - )cosí 4(~) ~ ^ l
= 2sen24°cos16°
sen100°- sen50°
= 2 co sf100 + 5 ° s e n (100 " 50
= 2cos75°sen25°
5 6
1 71
71
)cos( —
6 I
2 /
= 2 c o s ( 4 r í W o s ( K
60 ' 60 1
a , 5a / a 5a
2
• cos(f)" cos(y)=^2sen 2 2 2 )sen-^—2—
= -2 s e n |-y -J s e n (-a )
= 2 s e n |^ -js e n a
Propiedades:
Si: A + B + C = 180°, se cumple:
• senA + senB + senC = 4cos/-4'|cosí -i-"icos/ —
cosA + cosB + cosC =4sen( - ^ s e n í^ s e n í—) +1
> 2 / 2 / 1 2 1
• sen2A + sen2B + sen2C = 4senAsenBsenC
• cos2A + cos2B + cos2C = -4cosAcosBcosC -1
DE PRODUCTO DE DOS TERMINOS, SENO Y/O CO­
SENO A SUMA O DIFERENCIA
2senAcosB = sen(A + B) + sen(A - B)
2cosAsenB = sen(A + B) ~ sen(A - B)
2cosAcosB = cos(A + B) + cos(A - B)
2senAsenB = cos(A - B) - cos(A + B)
Ejemplos:
2sen49cos9 = sen(49 + 0) + sen(40 - (
= sen59 + sen36
2cos(a - -|)co s(a +
x
■“ + 4 )
cosía - —- a - —j
1 4 4 1
= cos2a + c o s í- —)
= cos2a + eos (-5-) = cos2a
Exprese cos30sen9 como una suma o una di­
ferencia.

58. 6 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Resolución:
Utilizando la primera identidad se tiene:
cos30sen2tí = 2cos3?sen29
2
= -I(2sen20cos30)
= ^[(sen(20 + 30) + sen(20 - 30)]
= -l[sen50 + sen(-0)]
cos30sen20 = i(se n 5 0 - senG)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el equivalente de: 2cos6xsenx
Resolución:
2cos6xsenx = sen(6x + x) - sen(6x -x )
= sen7x - sen5x
2. Si el ángulo A mide tt/ 13 rad, hallar el valor de:
cosAcos10A
A =
cos2A + cos4A
Resolución:
cosAcos 10A
„ / 4A + 2A / 4A - 2A
2 eos eos
2 /~ ~ 2
cosAcoslOA _ coslOA
2cos3AcosA 2cos3A
3it
A =
Dato: A = rc/13
/1 Ott
eos
13
- eos
13
131
2 eos
Hallar la expresión equivalente de:
senx + sen3x
Q =
Resolución:
sen2x + sen4x
Q =
2sen2xcosx _ sen2x
2sen3xcosx sen3x
4. Hallar el equivalente de:
A = senx + sen3x + sen5x + sen7x
Resolución:
A = (sen7x + senx) + (sen5x + sen3x)
A = 2sen4xcos3x + 2sen4xcosx
A = 2sen4x[cos3x + cosx]
2cos2xcosx
A = 4sen4xcos2xcosx
Hallar el equivalente de: 2sen(-|)cos2x
Resolución:
Como: 2senacosp = sen(a + p) + sen(a - p)
2sen(-^)cos2x = sení-^ + 2x) + sení-í- - 2x)
= s e n (y ) + s e n ( - y ) = s e n | y ) - s e n ( y
Hallar la suma de los senos de tres arcos en
progresión aritmética de razón —
Resolución:
2 n 9 t i
Sean: a , a, a + — los tres arcos en
3 3
progresión aritmética, entonces:
271
3
2tt
P = sen|a -
P = senl a - ;
+ sena + sen|a +
271
2R
+ sen a +
3
sena
2senacos
P = 2senacos
P = 2 s e n a (- — sena
P = -se n a + sena = 0
Hallar el equivalente de: S =
senx + seny
eos x + eos y
Resolución:
S =
, x + y / x - y
2sen —-— eos'
/ x + y / x - y
2cos —- — eos1
S = tan
2
x + y

59. T r ig o n o m e t r ía | 6 1
8. Hallar el equivalente de:
P = sen4x h----------
sen 2x
senx
cosx + tanxsenx
Resolución:
P = sen4x + -
P = sen4x
sen 2x
cosxsenx + -
senx
cosx + / senxSenx
sen 2x
cosxsenx-
P = Sen4x + . sen22x = sen4x + se" 22x
2senxcosx sen2x
P = sen4x + sen2x = 2sen( * 2x e o s ^ x 2x
2
P = 2sen3xcosx
9. Transformar en producto la siguiente expresión:
cos4x + cos8x + 2 - 4sen2x
Resolución:
M = cos8x + cos4x + 2(1 - 2sen2x)
M = 2cos
8x + 4x
eos
cos2x
8x - 4x
2cos2x
2 / 2
M = 2cos6xcos2x + 2cos2x
M = 2cos2x(cos6x + 1)
2cos23x
M = 4cos2xcos23x
10. Hallar el verdadero valor de la expresión si­
guiente, para a = 45°:
A _ cos2a
cosa - cos45
Resolución:
Observar que al reemplazar a = 45°, la expre­
sión A queda: 0/0 (Indeterminado)
Levantamos la indeterminación:
A _ cos2a _ /2cos2a
cosa — — ^2 cosa —1
■12
Diferencia de cuadrados en el numerador:
_ /2 (/2 c o s a + 1)(/2cosa - 1)
(/2cosa - 1)
A = /2(-/2 cosa + 1)
Reemplazamos a = 45°
A = /2 (/2 cos45 + 1)
A = /2 [/2 (-^ r) + i] =* A = 2^2
11. Verificándose las siguientes igualdades:
sen32°
cos32°
sen12°
cosí 2°
=0,738
1,826
calcular el valor de la tangente de 22° expre­
sando el resultado en fracción ordinaria.
Resolución:
sen32° + sen12° = 0,738
2sen22°cos10° =0,738 ...(1)
cos32° + cosí 3° = 1,826
2cos22°cos10° = 1,826 ...(2)
Dividiendo (1) a (2):
2sen22 cos10 = 0,738 = 738
2cos22 cos10 1,826 1826
Simplificando: tan22° =
12. En que tipo de triángulo se cumple:
sen2A + sen2B + sen2C = 2
Resolución:
En todo triángulo ABC se cumple:
• cos2A + cos2B + cos2C =
1 - 2cosAcosBcosC
sen2A + sen2B + sen2C =
2 + 2cosAcosBcosC
De la última relación:
2 = 2 + 2cosAcosBcosC => cosAcosBcosC = 0
De esta igualdad se deduce que alguno de los
tres factores es cero. Esto ocurre si al menos
uno de los ángulos mide 90°.
.-. se cumple en un triángulo rectángulo.
13. Simplificar:
senG + sen(k0) + sen(2k - 1)9
cos9 + cos(k0) + cos(2k - 1)0
Resolución:
sen(2k - 1)0 + sen0 + sen(k0)
cos(2k - 1)0 + cos0 + cos(k0)

60. 62 | C o l e c c ió n El P o s t u l a n t e
E =
E =
2sen(k9)cos(k - 1)0 + sen(k0)
2cos(k0)cos(k - 1)0 + cos(k9)
sen(k9)[2cos(k - 1)0 + 1]
cos(k0)[2cos(k - 1)0 + 1]
E =tan(k0)
14. Si: sena + senp = a
cosa + cosp = b
calcular: cos(a + p)
Resolución:
Sea: a + p = x
sena + senp = a
2sen(a "*~^)c o s (a „ = a
cosa + cosp = b
2 co sfa ^ 'ico sfa ) = b
2cos(-^-)cosí-— - ) = b
Dividiendo (1) a (2) se obtiene:
s e n ( f_ _ a
xx " b tan( f K
Nos piden calcular:
cos(a + p) = cosx :
1 - tan2
1 + tan
cos(a + P) =
1 + a f b2 + a2
k2
1. Calcular: A =
a) 1
d) /3 /3
[" e je rc ic io s PROPUESTOST ]
sen80 + sen40
(1)
■(2)
cos80 + cos40
b) 2 c) 13
e) 1/2
2. Si: sena + senp = a
cosa + cosp = b
hallar: tan
a + p
d)
( a - b )
b)
e)
c)
(a + b)
(a - b)
2ab
(a2
3. Calcular: (sen38° + cos68°)sec8°
a) 1b)2 c) 1/2
d) 1/4 e) - 1/2
4. Calcular: S = cos20° + cos100° + cos140°
c) -1a) 0
d) 1/2
Reducir: P
a) tan30
d)tan40
b) 1
e) -1 /2
sen59 + sen39 + sen9
cos 50 + cos 39 + cos0
b) tan50 c) tan20
e) tan80
6. Transformar a producto:
E = sena + sen3a + sen5a + sen7a
a) 4sen4asen2asena
b) 4cos4aeos2acosa
c) 4 sen4aC 0s2aC 0S a
d) 4sen4asen2acosa
e) 4cos4acos2asena
7. Calcular: A = cos220° + cos240° + cos280°
c) 2a) 1
d) 5/2
8. Simplificar: A =
b) 2/3
e) 3/2
1 - sen2x - sen2y
cos(x - y)
a) cos(x + y)
c) 0,5 cos(x + y)
e) cos2(x - y)
b) cos(x - y)
d) cos2(x + y)
9. Simplificar: 2(cos5x + cos3x)(sen3x-senx)
a) sen6x
d) sen9x
b) sen7x
e) seniOx
c) sen8x
10. Simplificar: (tan20 + tan0)(cos30 + cos0)
a) 2sen30 b) 2cos30 c) sen30
d) cos39 e) 1
11. SI: x + y = 30°, calcular:

61. T r ig o n o m e t r ía | 6 3
sen(x + 3y) + sen(3x + y)
sen2x + sen2y
a) 1
d) 2 /3
12. Simplificar: A =
a) 2sen(a + b)
c) sen(a - b)
e) 2cos(a - b)
c) /3
cos(a - 3b) - cos(3a - b)
b) 2
e )- 1
sen2a + sen2b
b) 2cos(a + b)
d) 2sen( a - b)
13. En un triángulo ABC, transformar a producto:
E = sen2A + sen2B - sen2C
a) 4senAsenBcosC
c) 4senAsenBsenC
e) 2senAsenBcosC
b) 4cosAcosBsenC
d)4cosAcosBcosC
14. En un triángulo ABC, transformar a producto:
K = senA + senB + senC
a) 4sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2)
b) 2sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2)
c) 2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
d) 4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
e) 4sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2)
15. Calcular: E = csc20° - cot40°
a) 1
d) - ( 3
16. Reducir: A =
b) 0
e) (3
sen40 - sen20
cos10
a) 1
d) -1 /2
17. Simplificar: A =
a) tanx
d) cot2x
18. Reducir: A :
a) í3
d) 1/2
b) 1/2
e) 2
eos 7x + eos 3x
sen7x - sen3x
b) cotx
e) tan4x
sen50 + cos50
cos5
b) (2
e) (212
c) -1
c) —1
c) tan2x
c) 1
19. Calcular: A = cos20° + cosí 00° + cos220°
c) 1/2a) 1
d) -1 /2
b) -1
e) 0
20. Reducir: A =
a) tanx
d) tan4x
21. Reducir: A =
a)senx
d)cos2x
sen2x + sen4x + sen6x
22.
eos 2x + eos 4x -
b) tan2x
e) tan5x
cos6x
c) tan3x
4senx cosxeos2x + sen6x
Simplificar: A =
si: 6x = n
a) 1
d) -1 /2
2sen5x
b) cosx
e) sen3x
sen7x + sen3x
senx + sen9x
b) -1
e) -3 /2
c) sen2x
c) 1/2
U1 1. c 6. c 11. c 16. a 21. b
y
>
<
2. a 7. e 12. d 17. d 22. b
3. a 8. a 13. b 18. b
j 4. a 9. c 14. d 19. e
U 5. a 10. a 15. e 20. d
J
rEJERCICIOS PROPUESTOS
Ú
1. Reducir: Q = sen4x - 2senxcos3x
a) senx
d) eos 2x
Reducir: M
a) senacosa
c) 2senacosa
e) sen (-2.)
b) cosx
e) sen3x
c) sen2x
sen3acosa sen4a
2
b) s e n ( |) c o s ( |)
d) sena
Reducir: R = 4sen2xcos2xcos3x - senx
c) sen5xa)senx
d) sen7x
b) sen3x
e) sen9x
Exprese como monomio:
P = cos20cos9-sen40sen6
a)sen0sen20
c) sen30cos20
e)sen0cos0
Reducir:
sen2xcosx
b)cos30sen20
d)cos30cos20
sen4xcosx + sen2xcos3x

62. 64 | C o l e c c ió n El P o s t u l a n t e
a) senx b)sen3x c) sen5x
d) 0 e) cosx
c o l sen9xcosx - sen6xcos4x
6. S im p lifica r: -----------
cos4xcos2x - cos7xcosx
a) sen5x b) tan5x c) cos5x
d) cost5x e) sec5x
7. Calcule el valor de:
H = 2cos80° + 4cos20°sen10°
a) 1/2 b) 2 c) 1/4
d) 1 e) 3/2
8. Reducir: (2sen5xcosx - sen6x)2 - cos24x
a) cos8x b) cos6x c) - cos6x
d) -cos8x e) cos4x
9. Halle x (ángulo agudo), si:
2sen3xcos5x = cos7x - 2senxcosx
a) 3o b) 6o c) 9o
d) 12° e) 15°
10. Halle el valor de: N = —sec80° - 2sen70°
2
a) 0 b) - 1 c) 1
d) -2 e) 2
11. Reducir:
M = cos(a + b)cos(a - b) + sen(b + c)sen(b - c)
+ cos(a + c)cos(a - c)
a) 0 b) 1 c)1/2
d) cosa e)cosb
12. Calcular el valor de a, si:
cos3atana + 2sena = sen[(a - 1)a]
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2(sen40 + sen20 )
13. Reducir: E = — —----------2 - sen30°
sec50
a) 0 b) 1/2 c) cos40°
d)cos50° e ) 2
14. Reducir:
Í4 (T - cos240°)(1 - sen210°) - cos40°
a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4
d) 1/5 e) 1
15. Calcular: E = 2sen50°cos20° - cos20°
a) 0,3 b) 0,4 c) 0,5
d) 0,6 e) 0,8
16. Reducir:
R = cos3xcos2x - sen4xsen3x - cos6xcosx
a) - 2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
,, sen49cos0 + sen29cos59
17. Simplificar: M = -----------------
eos (3
a) sen36 b) 2sen39 c) sen69
d) 2sen69 e) 1
18. Hallar el valor de:
^ _ sen50 sen38 + sen95 sen7
sen123
a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4
d) 2 e) V2/2
19. Factorizar:
R = cos8x - cos7xcosx - cos10xcos2x
a) 2sen3xsen9x b) -sen3xsen9x
c) sen3xsen9x d) -cos3xcos9x
e) cos3xcos9x
20. Simplificar: K = cos51 cos34 -s e n 2 1 s e n 4
eos 100 + cos 10
a) (212 b) (316 c) (614
d) (613 e) (214
21. Calcular:
L = 2[2sen39°cos9° - 2cos43°30'cos1°30']
a) (2 + 1 b) 1 - (2 c) 2 + (2
d) 2 - (2 e) ( 2 - 1
22. Calcular x, si: 2cos20°cos40° = x + cos20°
a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6
d) 0,8 e) 1
t—, j ■ r-> sen3xsenxcos2x - cosxcos3xsen2x
23. Reducir: K = -----------------
(senxcosxf
a) 1/4 b) 1/2 c) 1
d) 2e) 5
24. Si: x > 2, reducir:
B = 2seni|>cos[(x - 1)<t>] + sen[(x —2)4>]
a) senij) b) cosí)) c) seni|>
d) cos2<ji e) senij)

63. T r ig o n o m e t r ía | 6 5
Expresar como monomio
N = 2(cos4°cos3°- sen7°sen8°)
a) cos40senH ° b) cos11°cos4°
c) 2cos11° d) sen11°sen4°
e) 2cos11°cos4°
in 1. c 6. d 11. a 16. c 21. b
tu 2. a 7. d 12. d 17. c 22. b
< 3. d 8. d 13. c 18. e 23. d
J 4. d 9. b 14. b 19. d 24. e
ü 5. d 10. c 15. c 20. c 25. e

64. ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Una ecuación se llama trigonométrica si ella con­
tiene la incógnita x solo bajo los operadores trigo­
nométricos.
Ejemplos:
senx = cosx
' s e n ( f ) = I
tanx - cot2x = 0
tan2x = 3x - 1
cVlata/:-------------------------------------------------------
La ecuación del último ejemplo no se llama
trigonométrica, porque en esta la incógni­
ta x se encuentra no solo bajo el operador
tangente, sino también con otro operador no
; trigonométrico.
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL
Una ecuación trigonométrica se llama elemental,
básica o simple si tiene la siguiente estructura:
FT(kx) = a
Ejemplos:
• senx = -1 • cos2x = ■ • t a n | | j = - / 3
VALOR PRINCIPAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONO­
MÉTRICA ELEMENTAL
Se llama valor principal (VP) al menor ángulo po­
sitivo o mayor ángulo negativo que satisface una
ecuación trigonométrica elemental. Es decir:
Si: FT (kx) = a =? VP = ángulo
ángulo
Valor principal para senkx = a
La ecuación tendrá soluciones solamente cuando:
-1 < a < 1
• Si a es positivo entonces su VP es un ángulo
agudo.
Si a es negativo entonces su VP es el negati­
vo del ángulo agudo.
Si a es 1, entonces su VP es 90°.
Si a e s -1 , entonces su VP e s -90°.
Si a es 0, entonces su VP es 0°.
Ejemplos:
Calcular el VP de las siguientes ecuaciones:
1
1. senx = — senx = -1 => VP = 30°
30° 2
2. senx
3. sen4x =
1
2
¡2
senx . VP = -30 °
-30°
■Í2
, sen4x = ^ => VP = 45°
45° 2
4. sen4x = —y-=> sen4x = —^ => VP = -45 °
-45 °
5. sen2x = 1 sen2x = 1 => VP = 90°
90°
6. sen2x = -1 => sen2x = -1 =» VP = -9 0 °
-90 °
7. s e n (|) = 0 s e n (|) = 0 =, VP = 0°
8. sen3x = 2 => la ecuación no tiene soluciones
Observación: el valor principal no es la incógnita
x (V P V x ).
Valor principal para coskx = a
La ecuación tendrá soluciones solamente cuando:
-1 < a < 1
Si a es positivo, entonces su VP es un ángulo
agudo
Si a es negativo, entonces su VP es el suple­
mento del ángulo agudo.
Si a es 1, entonces su VP es 0°.
Si a es -1 , entonces su VP es 180°.
Si a es 0, entonces su VP es 90°.
Ejemplos:
Calcular el VP de las siguientes ecuaciones:
1. cosx
1
cosx = -
3. cos4x =
1
2
¡2
60°
120°
cos4x =
45°
¡2
■VP = 60°
. VP = 120°
> VP = 45°
4. cos4x = - - y - => cos4x = — VP = 135°
135°
cos2x = 1 cos2x = 1
0=
. VP = 0°

65. T r ig o n o m e t r ía | 6 7
sen2x
cosí —í = 0
cos2x
180°
-1 = VP = 180°
> c o s ( ¡ ) = 0
90°
■VP = 90°
Observación: el valor principal no es la incógnita
x (V P ^ x ).
Valor principal para tankx = a
La ecuación tendrá soluciones para cualquier valor
de a
Si a es positivo, entones su VP es un ángulo
agudo.
Si a es negativo, entonces su VP es el negati­
vo del ángulo agudo.
Si a es cero, entonces su VP es 0°.
Ejemplos:
Calcular el VP de las siguiente ecuaciones:
1. tanx = Í3 =» tanx = Í3 => VP = 60°
60°
2. tanx = —V3 => tanx = - / 3 => VP = -6 0 °
-6 0 °
3. tan3x = 1 =» tan3x = 1 => VP = 45°
45°
4. tan3x = -1 =» tan3x = -1 => VP = -4 5 °
-45 °
5. tanx = 0 => tanx = 0 => VP = 0°
t r
6. ta n (^ ) = 0 ^ t a n ( | ) = 0 => VP = 0°
Ó°
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRI­
CAS ELEMENTALES
Resolver una ecuación trigonométrica elemental
significa hallar todos los valores de la incógnita x
que satisfacen dicha ecuación. Es decir, que re­
ducen ia ecuación a una igualdad después de la
sustitución de ia incógnita.
Así, por ejemplo, la ecuación: sen2x = -
2
2x = 30°
30°
x = 15°
tiene por solución 15°, pero no es la única solución,
porque también satisfacen ios siguientes valores:
75°, 195°, 255°, 375°: 435°...
El motivo de estos resultados es que las funciones
trigonométricas son periódicas, a continuación ci­
taremos para las ecuaciones que involucran seno;
coseno y tangente a fin de hallar todas sus infinitas
soluciones.
Resolución de senkx = a
Se aplica la siguiente formula:
senkx = a => kx = n(180°) + (-1 )nx VP n e B
Denominándose conjunto solución o solución ge­
neral al resultado:
n(180°) + ( - 1)" x VP
_ n e TL
Ejemplos:
1. Resolver la ecuación y hallar las 4 primeras
soluciones positivas: sen2x = -l
Resolución:
Calculamos el valor principal: VP = 30°
Aplicamos la fórmula:
2x = n(180°) + (-1 )n x VP
2x = n(180°) + (-1 )" < 30°
n . n(180 ) + ( - 1)nx 30
Despejamos x: x = —------------- ---------------
Obtenemos el conjunto solución:
x = n(90°) + (-1 )n x 15°
Para calcular las 4 primeras soluciones posi­
tivas damos valores enteros positivas a n. En
el conjunto solución:
Para n = 0:x = 0(90°) + (-1 )° x 15°=»x = 15°
Para n = 1:x = 1(90°) + (-1 )1x 15°=>x = 75°
Para n = 2 :x =2(90°) + (-1 )2 x 15°=» x = 195°
Para n = 3:x =3(90°) + (-1 )3x 15°=» x = 255°
2. Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras
soluciones positivas en radianes:
r?
sen3x = - —
2
Resolución:
Calculamos el valor principal: VP = -45° = - ¿
Aplicamos la fórmula: 3x = n(180°) + (-1 )nx VP
Pasamos a radianes' 3x = n(n) + (-1 )n( - - | )

66. 6 8 | C o l e c c ió n E l Po s t u l a n t e
nn - ( - 1f
Despejamos x: x :
Obtenemos el conjunto solución:
x = f - ( - n f x ^
Para calcular las 3 primeras soluciones positi­
vas, damos valores enteros positivos a n en el
conjunto solución:
Para n = 0: x = 0( —) —(—1) ° ( ^ =
(no se toma)
Para n = 1: x = 1(-jM - (-1 )11 “ v = —
Para n = 2: x = 2 (~ ) - Í - 1 Y
1 2 '
2/JL)
'1 2 '
12
7n
12
Para n = 3: x = 3(
Resolución de coskx = a
Se aplica la siguiente fórmula:
coskx = a => kx = n(360°) + VP n g TL
Denominándose conjunto solución o solución ge­
neral al resultado:
n(360°)± VP
n e Z
Ejemplos:
1. Resolver la ecuación y hallar las 5 primeras
1
soluciones positivas: cos2x = —
Resolución:
Calculamos el valor principal: VP = 60° •
Aplicamos la fórmula: 2x = n(360°) + VP
n(360 )± 60
Despejamos x: x = ---------
Obtenemos el conjunto solución:
x = n(180°) ± 30°
Para calcular las 5 primeras soluciones, da­
mos valores enteros a n en el conjunto solu­
ción:
Para n = 0: x = 0(180°)+ 30° => x = ± 30°
x = 30°
Para n = 1: x = 1(180°) + 30°
=» x = 180° + 30° v x = 180° -3 0 °
x = 210° v x = 150°
cos3x
Para n = 2: x = 2(180°)+ 30°
=> x = 360° - 30° V x = 360° + 30°
x = 330° v x = 390°
Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras
soluciones positivas en radianes:
H
2
Resolución:
Calculamos el valor principal: VP = 135° = —
Aplicamos la fórmula: 3x = n(360°) ± VP
n ( 2 jt ) ± ^
Despejamos x: x = g-------
Obtenemos el conjunto solución:
* - " ( ¥ H
Para calcular las 3 primeras soluciones positi­
vas, damos valores enteros a n en el conjunto
solución:
Para n = 0: x = 0
x =
para n = 1:
2 l ± i
3 I 4
Tt
4
:1 Í1 * ) + -K
3
: 2 z l _ ü v x = ^ + í
3 4 3 4
= — v x = ^
12 12
Resolución de tankx = a
Se aplica la siguiente fórmula:
tankx = a = kx = n(180°) + VP n e TL
Denominándose conjunto solución o solución ge­
neral al resultado:
n(180°) + VP n e2Z
Ejemplos:
1. Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras
soluciones positivas: tan2x = /3
Resolución:
Calculamos el valor principal: VP = 60°
Aplicamos la fórmula: 2x = n(180°) + VP

67. T r ig o n o m e t r ía | 6 9
Despejamos x: x
n(180 ) + 60
Obtenemos el conjunto solución: x = n(90°) + 30°
Para calcular las 3 primeras soluciones positi­
vas, damos valores enteros positivos a n en el
conjunto solución:
Para n = 0:x = 0(90°) + 30° => x = 30°
Para n = 1:x = 1(90°) + 30° =»x = 120°
Para n = 2:x = 2(90") + 30° =a x = 210°
2. Resolver ¡aecuación y hallar las 3 primeras
soluciones positivas en radianes: tan3x = -1
Resolución:
Calculamos el valor principal: VP = -4 5 ° = - ~
Aplicamos la fórmula: 3x = n(180°) + VP
4 1
Pasamos a radianes: 3x = n(n) + ( - -
Despejamos x:
nn - —
4
Obtenemos el conjunto solución;
— ( D e ­
para calcular las 3 primeras soluciones positi­
vas, damos valores enteros positivos a n en el
conjunto solí
Para n = 0:
Para n = 1:
Para n = 2:
Para n = 3:
Resolución de cotkx = a, seckx = a, csckx = a
Para resolver ecuaciones trigonométricas elemen­
tales que involucran cot, sec y esc se inviertan y se
obtienen tan, cos y sen, respectivamente.
Ejemplos:
1. Resolver la ecuación: cot2x = (3
x = 0( n
71 71
3 ) ” 12
=» x —
12
(no se toma)
X — 1(' 71 71 x 71
3 ' 12 4
y — O / 71 71 771
X -
-3-1 ~ 1 2 12
y — a i ' 711
ti 1171
A — OI
13 ' 1 2 1 2
Resolución:
cot2x = ¡3 =
V3
tan2x = =
1
cot2x
VP = 30
_ 1 _
•13
2x = n(180°) + VP =r 2x —n(180°) + 30°
n(180 ) + 30
Resolver la ecuación: sec3x
Resolución:
1___ = 1
sec 3x 2
x = n(90°) + 15°
2
sec3x = 2
cos3x = — => VP = 60°
2
3x = n(360°) ± VP => 3x = n(360°) + 60°
n( 360°) ±60°
X = -2 L => x = n(120°) ± 20°
Resolver la ecuación: cscí V2
CSCI
Resolución:
1x ’ = f2
j2
2*
1
csc( 2)
VP = 45°
(2
n(180°) + (-1 )" x VP
| = n(180°) + (-1 )n x 45°
x = 2[n(180°) + (-1 )n x 45°]
x = n(360°) + (-1 )n x 90°
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRI­
CAS NO ELEMENTALES
Para resolver ecuaciones trigonométricas no ele­
mentales se reducen aplicando las Identidades
trigonométricas, identidades de transformación a
ecuaciones elementales para luego seguir el pro­
cedimiento ya conocido.
Ejemplos:
1. Resolver la ecuación y hallar la segunda solu­
ción positiva de: senx = cosx
Resolución:
senx
senx = cosx 1
cosx
=5 tanx = 1 =» VP = 45°
x = n(180°) + VP => x = n(180°) + 45°
Para n = 0: x = 0(180°) + 45° =>x = 45°
Para n = 1: x = 1(180°) +45°=»x = 225°

68. | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Resolver la ecuación y hallar la suma de las
dos primeras soluciones positivas de:
sen2x = cosx
Resolución:
sen2x = cosx => sen2x - cosx = 0
=> 2senxcosx - cosx = 0
=> cosx(2senx - 1) = 0
Igualando a cero cada factor, obtenemos 2
ecuaciones elementales, por lo tanto, dos
conjuntos soluciones:
cosx = 0 => VP = 90° v senx = -- => VP = 30°
x = n(360°) ± VP v x = n(180°) + (~1)n x VP
x = n(360°) ±90° v x = n(180°) + (-1 )" x 30°
El conjunto solución de la ecuación será la
unión:
x = n(360°) + 90° V x = n(180°) + (-1 )n x 30°
Para n = 0 en el primer conjunto tenemos
x = ±90° => x = 90°
Para n = 0 en el segundo conjunto tenemos:
x = 30°
La suma de las dos primeras soluciones posi­
tivas son: 30° + 90° = 120°
EJERCICIOS RESUELTOS
Cuál es el menor valor de senx que satisface
-i
la ecuación: cosx - y senx = 1
Resolución:
De la ecuación: 7cosx = 7 + senx
49cos2x = (7 + senx)2
49(1 - sen2x) = 49 + 14senx ±sen2x
50sen2x ± 14senx = 0
2senx(25senx ± 7) = 0 => 25senx + 7= 0
senx = - senx = “ 0,28
Resolver la ecuación indicando el menor valor
2 ¡8/2
positivos para x: — = J —
y cos2x Í 1 + /2
Resolución:
cos2x _ ¡2 + -Í2 _ !2 + (2
2 ~ i 16 ~ 4
2x = 2rm ±arccos( — ~t — I => 2x = 2rtn ±
x n it ± l6
El menor valor positivo de x se obtiene para:
n = ° ^ x = 4
Si: cos6x = -1/2 , hallar un valor de cos3x.
Resolución:
cos6x = -1 /2
=* 6x = n(360°) ± a rc c o s |-y
=* 6x = n(360°) ± 120°
=> x = n(60°) ± 20°
3 3x = n(180°) ±60°
=> cos3x = cos[n(180°) ±60°]
=> Si n = 0 => cos3x = cos(±60°) = y
Hallar el valor del ángulo positivo x más pe­
queño, diferente de cero, que satisface la
ecuación: cos24x = 1
Resolución:
Como piden el valor positivo más pequeño
(#0 ) entonces:
cos24x = eos2180° = 1
=> 4x = 180° => x = 45°
Hallar que ángulo agudo a satisface la ecua-
sena , 1 + cosa ,
cion: h ---------------= 4
1 ± cosa sena
Resolución:
sena _ 1 + cosa __ A
1 + cosa sena
sen2a +(1 + cosa)2
sena(1 + cosa)
sen2a ± 1 + 2 eos a + cos2a ^
sena(1 + cosa)
2(1 + cosa) -i
------------------------- 4 =3 sena = —
s e n a (1 ± co sa ) 2
El ángulo agudo que satisface esta ecuación
es: a = |
6
Hallar un valor de a para que se cumpla:
sen22a + cos2a + 1 + se^ — = 0

69. T r ig o n o m e t r ía | 7 1
Resolución:
sen22a + 1 + cos2a + sen4a = o
2
(2senacosa)2 + 2cos2a + 2sen2^ cos2a =0
4sen2acos2a + 2cos2a + sen2acos2a = 0
4sen2acos2a + 2cos2a + 2senacosacos2a = 0
2cosa[2sen2acosa + cosa + senacos2a] = 0
cosa = 0 => a = ti/2
□ EJERCICIOS PROPUESTOS
□
1. Resolver tan3x - 1 = 0, e Indicar la segunda
solución positiva.
a) ti/ 12 b) ?i/4 c) 5ji/12
d) 7rt/12 e) 3n/4
2. Resolver 2sen2x + 1 = 0, e Indicar la primera
solución positiva
a) 15°
d) 120°
b) 75°
e) 240°
c) 105°
3. Resolver: sen5x + sen3x = sen4x, e indicar el
número de soluciones para [G; ti]
a) 13 b) 11 c) 9
d) 7 e) 6
(1 + senx - cosx)2
4. Resolver: ------------------------------ = 1
a) 30°
d) 330°
5. Resolver:
b) 150° ' c) 210°
e) Hay 2 respuestas
1
+ -
1
sen2x + tan2x sec2x - tan2x
a) 60° b)120° c) 300°
d) 330° e) 360°
6. Resolver: 2senx - cscx = 1, e Indicar el nú­
mero de soluciones para x e [0; 2 re]
c) 3a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
7. Resolver: sen2x + /3cos2x = 2
a) 205° b) 195° c) 175°
d) 165° e) 155° .
Resolver:
(tan3x + tanx + tan4xtan3xtanx)tan2x + 3 = 0
a) n/4
d) ti/9
b) n/12
e) n/6
C) 7l/10
Resolver: sen9x + sen5x + 2sen x = 1
571
42
H 3TI 11 ti 13ti
. n_ K _K_ OK
1 4 ’ 2 ’ 42 ’ 42
C) ü, Tiíi ± _L±i
' 2 4 42 42
> _ti ti 5 jz _ n _
’ 2 ' 4 ’ 42 ’ 42
ht — — — ^ n
’ 4 ’ 4 ' 42’ 42
he E ^IL J L §11
' 4’ 4 ’ 42 ’ 42
10. Resolver: 2cos2x —sen3x = 2
a) 0
d) 330°
11. Resolver:
a) 30°, 30°
d) 75°, 15°
b) 180°
e) Todas
cosxcosy = 3/4
senxseny = 1/4
b) 0°, 60°
e) 30°, 60°
c) 210°
c) 45°, 15°
12. SI: 2cosxcosy = 1
tanx + tany = 2
indicar la diferencia de soluciones (x e y, agu­
dos).
a) 0
d) tt/3
b) 2ti
e) n/4
13. Resolver: sen6x + cos6x
cuarta solución positiva.
a) n/4 b) n/2
d) 271/5 e) 7ti/4
c) n/6
1/4, e Indicar la
c) 5tt/4
14. Resolver: 2sen + 3cosx = 2, e indicar la
quinta solución positiva.
a) 780°
d) 650°
b) 720°
e) 610°
c) 690°
15. Resolver: ¡3 senx + cosx = 1 y hallar la suma
de las dos primeras soluciones positivas.
a) 240° b) 360° c) 420°
d) 480° e) 500°
16. Resolver: tan(45° - x) = 2
a) 15°
d) 60°
b) 30°
e) 115°
3tanx
c) 45°

70. 7 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
17. Resolver: tan2xsen2x + cos2x = 2, e indicar
la menor solución positiva.
a) 15° b) 30“ c) 45°
d) 60° e) 90°
18. Resolver: 2cos2x + 1 = 0
a) 30° b) 90° c) 150°
d ) 210° e) 240°
19. Resolver: (1 - senx + cosx)2 = 2covx
a) nl2 b) 3n/2 c) 5^/2
d) ln/2 e) Todas
20. Resolver: 2cos2x = 3senx, e indicar las 3 pri­
meras soluciones positivas.
a) 30°, 150°, 210° b) 30°, 210°, 390°
c) 150°, 330°, 390° d) 30°, 240°, 330°
e) 30°, 150°, 390°
21. Resolver: 2versx = senxtanx y hallar la suma
de las 3 primeras soluciones.
a) 671 b) 57i c) 4ti
d) 3ti e) 2rt
22. Resolver: senx + cosx + ( 2 = 0
a) 115° b) 135° c) 225°
d) 240° e) 315°
23. Resolver: 2(senx + cosx) = secx, e indicar el
número soluciones para [0; 71].
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
24. Resolver: cos-3x •+ cos3x = 2, e indi-
1 + sen3x 1 - sen3x
car el número de soluciones para [0; 2ti]
a) 7 b) 6 c) 5
d) 4 e) 3
25. Resolver: 2senx sen3x + cos22x = 1, e indicar
la suma de las 5 primeras soluciones positivas
a) 371 b) 5jt c) 7k
d) 9tt e) 11ti
m 1. c 6. c 11. a 16. b 21. a
y 2. c 7. b 12. a 17. b 22. c
>
< 3. e 8. e 13. e 18. e 23. b
j 4. e 9. a 14. a 19. e 24. d
ü 5. d 10. e 15. d 20. e 25. b

71. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Función acotada. Se dice que una función f es
acotada, si 3M eIR, tal que |f(x)| < M; V x e Domf.
Ejemplo:
La función f(x) = cosx es acotada, ya que
|cosx| < 1, v x e IR, tal que M puede tomar cual­
quier valor mayor o igual que 1. Además del rango
de la función se observa.
C onjun to de
cotas inferiores
C onjun to de
cotas suferiores
Función par. Una función f es par si:
f(—x) = f(x); v x , - x e Domf
Ejemplos:
• y = f(x) = x2 - 1
=>f(-x) = (-X )2 - 1
f(—x) = X2 - 1
- f(—x) = f(x)
y = cosx
y = secx
Observación: el gráfico de una función par es si­
métrico al eje y.
Función impar. Una función f es impar si:
f(-x ) = -f(x); V x, - x e Domf
Ejemplos:
• y = f(x) = x5
=»f(-x) = ( -x ) 5
f(-x ) = - x 5
= *f(-x) — f(x)
• y = senx
• y = cotx
y = tanx
y = cscx
Observación: el gráfico de una función impar es
simétrico al origen de coordenadas.
Función creciente. Una función f es creciente en
un Intervalo I de su dominio, si para todo par de
números x, y x2 de dicho intervalo se cumple que:
X"! < x2 =» ffa ) < f(x 2)
Ejemplo:
La función y = x2 - 1, es creciente vx e (0; -o o )
Función decreciente. Una función f es decrecien­
te en un intervalo I de su dominio, si para todo par
de números x, y x2 de dicho intervalo se cumple
que:
x, < x 2 => f(x,) > f(x 2)
Ejemplo:
La función y = x2 - 1 , es decreciente: Vx e (0; -o o)
Función periódica. Una función f es periódica, si
existe un número real T A o, tal que para cualquier
x de su dominio se cumple:
F(x + T) = f(x); V x; x + T e Domf
Observación: el número T se denomina período
principal, si es positivo y mínimo entre todos los
periodos positivos.
Ejempio:
Sea: f(x) = senx =» f(x + T) = sen(x + T)
sen(x + T) = senx => sen(x + T) - senx = 0
s e n ( I) = 0 => í = k 7 i / k e Z => T = 2^k; keZZ+
Si k e Z +; T = 2k, 4k, 6tt,...
.-. el periodo principal de la función: y = senx es 2n
Estudio de las funciones trigonom étricas. Las
funciones trigonométricas son el conjunto no va­
ció de pares ordenados (x; y), tai que la primera
componente es un valor angular expresado en
radianes (número real) y la segunda componente
es un valor obtenido mediante una dependencia
funcional.
Función seno
f = {(x >y) e IR2 / y = senx; x e R ¡

72. 7 4 j C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Domf = K
Ranf = [-1 ; 1], es decir: -1 < senx < 1
Período de f: 2ti
Función coseno
f = {(x; y) e IR2 / y = cosx; x c E ¡
Domf = IR
Ranf = [-1 ; 1], es decir: -1 < cosx < 1
Período de f: 2n
Función tangente
f = {(x; y) g IR2 / y = tanx; x g IR - [(2n + 1)ji/2]; n g 2Z}
Domf = IR - {(2n + 1)nl2: n g TL)
Ranf = IR
Período de f: n
Función cotangente
f = {(x; y) g IR2 / y = cotx; x e IR - (nn); n e 22}
Domf = IR - {nn / n e TL)
Ranf = IR
Período de f: ti
Función secante
f = {(x; y)eIR2/y = secx; x g IR -{(2 n + 1)jt/2}; n eZ }
Domf = IR - {(2n + 1}n/2; n e Z }
Ranf = I R - (-1 ; 1}
Período de f: 2¡i
Función cosecante
f = {(x; y) g IR2 / y = cscx; x GIR - (nn); n e TL)
Domf = IR - {nn / n t TL}
Ranf = IR - <-1; 1)
Período de f: 2n
Desplazamiento vertical. Dada la gráfica de la
función y = f(x), para construir la gráfica de la fun­
ción y = f(x) + c es necesario desplazar la gráfica
de f a lo largo del eje de ordenadas:
Hacia arriba en c unidades si: c > 0
Hacia abajo en |c| unidades si: c < 0
Ejemplo:
= cosx (cosenoide)

73. T r ig o n o m e t r ía | 7 5
Desplazamiento horizontal. Dada la gráfica de la
función y = f(x), para construir ia gráfica de la fun­
ción y = f(x - c) es necesario desplazar a la gráfica
de f a lo largo del eje de abscisas.
A ia derecha si c > 0
A la izquierda si c < 0
Ejemplo:
Opuesto en una función. Dada la gráfica de la
función y = f(x), para construir ia gráfica de la
función y = -f(x ) es necesario reflejar en forma
simétrica a la gráfica de f c o r respecto al eje de
abscisas.
Ejemplo:
Valor absoluto de una función. Dada la gráfica
de la función y = f(x), para construir la gráfica de la
función y= |f(x)| es necesario dejar sin cambios los
tramos de la gráfica de f que están por encima del
eje x y reflejar en forma simétrica a ios tramos de la
gráfica de f que están por debajo del eje x.
Ejemplo:
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Función inyectlva o univalente. Una función es
inyectiva o univalente cuando todo elemento del
rango tiene un único elemento en el dominio al cual
está asociado: es decir, si:
f(X i) = f(x 2) =5 x, = x 2
Equivalentemente una función es univalente si:
xl7 Ex2 =, fíx ^ A fjX j)
Ejemplo:
Sea: f(x) = x2; x > 0
Aplicando la definición: f(x,) = f(x2)
xi 2 = x22 => x,2 - x22 = 0
=> (x-| + x2) (x1~ x 2) = 0
debido a: (x,+ x2) > 0 => ( x ^ x2) = 0 => x,= x2
.-. fe s univalente
Interpretación geométrica. Gráficamente, una
función univalente o Inyectiva está caracterizada
por la propiedad en la que cada recta horizontal
interseca al gráfico de la función, a lo más en un
punto.
Ejemplos:
Es univalente No es univalente
y y = 1 — cosx
a y y ,X
No es univalente
Función suryectiva. Una función f: A -» B es
suryectiva si el rango de f coincide con el conjunto
de llegada B, es decir:
V ye R a n f, 3 x e D o m f/y = f(x)
Ejemplo:
La función f: ^0; ^ -» ^0; ~ j : tal que f(x) = senx:
es suryectiva, pues v x e Domf
0 < x 2 => 0 < senx 7 —
3 2

74. 7 6 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
f(x) = senx e (0
V3
2
Ranf = (0; ~
Las funciones trigonométricas estudiadas (seno,
coseno, ...) dadas mediante una regla de corres­
pondencia y que no se especifica el conjunto de
llegada, está sobreentendido que el rango coin­
cide con el conjunto de llegada, es decir, ya son
suryectivas (o sobreyectivas), entonces para que
las funciones trigonométricas tengan función in­
versa, bastaría que sean funciones inyectivas o
univalentes.
Función inversa. SI una función f es biyectiva
(univalente y sobreyectlva), entonces existe su
función inversa y se denota por f* o f 1.
Para determinar ia inversa de una función se Inter­
cambia x por y e y por x. Así:
D o m f = Ranf R a n f = Domf
Ejemplo:
Hallar la función inversa de y = 2x -1 cuyo dominio
es [0; 3].
Resolución:
f(x) = y = 2x - 1; x e [0 , 3]
Despejando x se tiene: x =
Intercambiando variables: y
Graficando:
Y + 1
2
x + 1
Se observa: Domf = [0; 3] y Ranf = [-1 ;5]
También: D o m f = [-1 : 5] y R a n f = [0; 3]
Observación: Las gráficas de f y f* son simétricas
con respecto a la recta (y = x).
Estudio de las funciones trigonométricas inver­
sas. Las funciones trigonométricas por ser perió­
dicas, no son univalentes, pero restringiendo su
dominio (como se muestra en el cuadro adjunto)
se logra que sean univalentes, tal que podemos
obtener sus respectivas funciones inversas.
Principales restricciones
Función Dominio Rango
y = senx
r n. nj
l 2 ’ 2 J [-1 ; 1]
y = cosx [0; n] [-1 ; 1]
y = tanx
/ ti. n
2' 2/
IR
y = cotx (0; ti) IR
y = secx [0; . ] - { § } IR - (-1 ; 1)
y = cscx IR - (-1 ; 1)
Notación:
FT(9)' = N => 0 = arcFT(N) v 0 = FT~1 (N)
Se lee: 0 es un arco cuya función trigonométrica es N
Ejemplos:
• SI: senO = J - A - - | < 9 < ^ = > 0 = arcsenj-^j
V 0 = s e n - 1( l )
• SI: cos<(> = -| A 0 < ó < ti => ó = arcco s|-|j
v 4> = co s-1( | )
- S i: tan(3 = 10 A < P < | P =arctan(10)
v p = tan~1(10)
Función arco seno
f = {(x: y) eIR2 / y = arcsenx; -1 < x < 1}
Sea la función: y = senx; x e -|j
Despejando x: x = arcseny
Intercambiado variables: y = arcsenx
Además: Domf = R a n f e [-1 ; 1]
Ranf = D o m f e [ - | ; -|]
La función es creciente e impar.

75. T r ig o n o m e t r ía ¡ 7 7
Graficando f y f*
Función arco coseno
f = {(xi y) e IR2 / y = arccosx; -1 < x < 1}
Dominio: [-1 ; 1]; Rango: [0; ti]
Es una función decreciente.
Función arco tangente
f = {(xl y) g IR2 / y = arctanx; x £ IR}
Dominio: IR; Rango: ^
La función es creciente e impar.
Función arco cotangente
f = {(x; y) e IR2 / y = arccotx; x e IR}
Dominio: IR; Rango: (0; n)
y
71
y = arccotx
n / 2
0 x
La función es decreciente.
Función arco secante
f = {(x; y) e IR2 / y = arcsecx; x £ IR - (-1 ; 1}}
Dominio: ( - c o ; -1 ] u [1; + c o )
Rango: [0; u e ]
La función es creciente.
Función arco cosecante
f = {(xl y) e IR2 / y = arccscx; x g IR - (-1 ; 1}
Dominio: < -c o ; -1 ] u [1; +co>
Rango: [ - | ; 0) u (0; |]
La función es decreciente e impar.
PROPIEDADES PRINCIPALES
Propiedad 1
FT(FTI (N)) = N « N e Dom(FTI)
sen(arcsen(N)) = N » N e [-1 ; 1]
cos(arccos(N)) = N » N e [-1 ; 1]
tan(arctan(N)) = N <=» N e IR
cot(arccot(N)) = N » N g IR
sec(arcsec(N)) = N « N e (-o c; —1] u[1; + o o )
csc(arccsc(N)) = N » N g ( — do; —1] u [1; +co)
Ejemplos:
• tan(arctanlOO) = 100
sec(arcsec2) = 2
• cos(arccos3) = 3; absurdo ya que 3 <£[-1 ; 1]

76. Propiedad II
FTI (FT(9)) = 6 « 9 e Ran(FTI)
a r c s e n ( s e n 0 ) = 0 » 0 e i ]
a r c c o s ( c o s 9 ) = 0 « 0 e [0 ; ti]
a r c ta n ( ta n 0 ) = 0 » 0 e / -
a r c c o t( c o t6 ) = 0 « 0 e 0 ; n)
a rc s e c ( s e c O ) = 0 « 0 e [0 ; ti] - | - | |
a rc c s c ( c s c 0 ) = 0 « 0 e - | ] - {0 }
Ejemplos:
• a r c c o s [ c o s ( ! ) ] = !
• a r C C O t [ C O t (
a r c ta n ( ta n 2 ) = 2 ; a b s u r d o y a q u e : 2 ■£ i ; ^
Propiedad III
a r c s e n ( - x ) = - a r c s e n x ; x e [ - 1 ; 1]
a r c c o s ( - x ) = n - a rc c o s x ; x e [ - 1 ; 1]
a r c t a n ( - x ) = - a r c t a n x ; x e IR
a r c c o t ( - x ) = ti - a rc c o tx ; x e IR
a r c s e c ( - x ) = ti - a rc s e c x ; x e <-o c; - 1 ] u [1 ; + oo)
a r c c s c ( - x ) = - a r c c s c x ; x e {-c e ; - 1 ] u [1 ; + oc)
Ejemplos:
• , a r c s e n ( - - l ) = - a r c s e n ( - l j = |
/ ¡2 j ¡2 n 3n
á r c e o s i = j i - á rc e o s — = ti - — = —
2 I 2 I 4 4
a r c t a n ( - -Í3 ) = - a rc ta n -Í3 = —n /3
a r c s e c ( - 2 ) = ti - a rc s e c 2 = ti - ^ ^
a r c c o t ( - 2 ) = ti - a rc c o t2
Propiedad IV
7 8 | C o l e c c ió n E l P o s t u la n t e ---------------------------------------
arcsenx + arccosx
_ ti .
" 2 ’
V x e [--1; 1]
arctanx + arcotx = —■V
2 ’
X <=IR
arcsecx + arccscx
_ 71.
~ 2 ’
V x 6 - (-1; 1>
Ejemplos:
• a rcse n |-|j + a rcco s(-|j = i
arctan3 + arccot3 = ji/2
arcsec150= + arccsc150 = ti/2
arcsen2 + arccos2 = ti/2; es absurdo ya que
2<g[-1; 1]
Propiedad V
'rta n v = a rr.tani
11 - xy l
arctanx + arctany = arctan í-* —— ) + kn
Si: xy < 1 => k = 0
Si: xy > 1, x > 0 => k = 1
Si: xy > 1 , x < 0 =• k = -1
Ejemplos:
=arctanarctan (1 )
+ arctan/
,3 / ,21
arctan (
' h
+ arctan/
,31 >2 /
1 + 1
3 2
arctan2 + arctan4 = arctan
2 + 4
1 - 2 x 4
arctan2 + arctan4 = arctan (- ®
arctan2 + arctan4 = it - arctan(6/7)
arctan(-1)+arctan(-i3) = arctan
arctan(-1) + a rcta n (-/3 ) = arctan|-j l l l j - n
arctan(-1) + arctan(--/3) = arctan(2 + í3 ) - n
arctan(-1) + arctan(- /3 ) = ~ - a =
EJERCICIOS RESUELTOS
Calcular el valor de x.
x = arctan
,7 2 + 1
- a rc ta n /-L
J2 - 1/ ¡ 2 )
Resolución:
Como: arctanm - arctann = arctan
x = arctan
m - n
1 + m n/
/ V2 + 1
- arctan
12 - 1/ -¡2)

77. T r ig o n o m e tr ía | 7 9
x = arctan
i/2 + 1 1
n - 1 /2
1 +
V2 + 1/ 1
/2 - 1/ 12
x = arctan f-|] = 4
[ 3 J 4
2. Dada la ecuación:
arctan(x + 1) - arctan(x - 1) = arctan2
indicar la suma de las soluciones.
Resolución:
arctan(x + 1) - arctan (x - 1) = arctan2
x + 1 - (x - 1)
arctan
1 + (x + 1)(x —1)
1arctan2
= 2 => x = 1 s X = +1
la suma de las soluciones es cero.
Hallar x, si: á r c e o s = aresenx
Resolución:
Por dato: árceos) — j =
Entonces: a = aresenx
1
sena = x =5 x = —
3
También: a = árceos
Calcular: sec(arctanb)
Resolución:
Sea: F = sec(arctanb)
Sea: a = arctanb => tana = b
F = seca
De (1):
Vb2 + t
...(2)
En (2): F = Vb2 + 1
Si: arctan3a + a r c t a n = arctan3
hallar a :
Resolución:
Como: arctanm + arctann = arctan I
1 - mn
3a
arctan3a + arctan— = arctan3
arctan
3 a +
3a
1 - ( 3 a ;
3a
2 I
■arctan3
9a
2 - 9 a 2
3 =» 3a = 2 - 9 a 2
9 a 2 + 3a - 2 = 0
3 a - 2
3a
Luego. 3 a + 2 = 0 => a = - 2 /3
3 a - 1 = 0 =» a = 1/3
6. Hallar el valor o valores que verifican:
cos(arcsenx) + sen(arccosx) = 3/2
Resolución:
Como: aresenx + arccosx ¡ vx e [- 1 ; 1]
cos(arcsenx) + sen(arccosx) = 3/2
co s (ti/2 - arccosx) + sen(arccosx) = 3/2
sen(arccosx) + sen(arccosx) = 3/2
2sen(arccosx) = 3/2 => sen(arccosx) = 3/4
a
c o sa = Xsea: a = arccosx
=> sena = 3/4
sabemos: sen2a + cos2a = 1
7_
16
V7
+ L = AEncontrar el valor de k; si: R
R = sen[arccot(tan2x)]
L = sec(kx)sen[arccot(-tan3x)]
A =tan(kx)cos[arccot(tan2x)]
Resolución:
R = sen[arccot(tan2x)]
R = sen|arccot[cot(-| - 2 x )j|
R = sen(-| - 2x) = cos2x
L = seckxsen[arccot(-tan3x)]
L = seckxsen|arccot[cot(-| + 3x)
L = seckxsen(-|- + 3x)
(1)

78. 8 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
L = +seckxcos3x ...(2) a) 7i/6 b) jc/ 3 C) ti/2
A = tankxcos jarccot[cot(-| - 2 x )jj
d) k e) ji/8
A = tankxcos ( - 2 x) = tankxsen2x ...(3)
4. Calcular: P = sen(arctan[sen(-5-
) ] }
2 '
De (1) , (2) y (3): R + L = A
cos2x + seckxcos3x =tankxsen2x
a) -1 /3
d) V3/3
b) V8/3
e) 1/3
C) 72/3
cos2x c o s 3 x - senkxsen2x 5. Calcular: P = sec2(arctan ¡5 ) + cot2(arccsc5)
eos kx eos kx
b) 20cos2xcoskx - cos3x = senkxsen2x a) 15 C) 30
cos2xcoskx - sen2xsenkx = cos3x d) 24 e) 16
cos(2x + kx) = cos3x 6. Indicar verdadero (V) o falso (F):
2x + kx = 3x k = 1 I. sen a r c s e n d j u i
Hallar x, si: 2arccot2 + a rcco s|-|j = arccscx II. tan(arctan-/Ti) = -/Tí
Resolución:
/ O III. sec
arCSeC( l ) l = 5
arccscx = 2arccot2 + arccos| —j — (1)
5 / J 5
Sabemos que:
3 '
arccot2 = 26°30' A árceos^—j = 53°
Reemplazamos en (1):
arccscx = 2(26°30’) + 53°
arccscx = 106° =» x = csc106°
x = csc(180° - 106°) => x = csc74° => x =
25
24
[ " ejer c ic io s propuestos I
1. Calcularía = a rc s e n |^j +2arctan2 -arcse c2
a) jt/2
d ) - j t / 3
b) kI3
e) —ji/4
c) 0
2. Indicar verdadero (V) o falso (F):
' ¡2 - Í2 k
4
I. aresen
II. arctan(-1)
III. árceos
a) VVV
d) VFV
2
_ 7t
4
1 = - i
21 3
b) FFF
e) F W
c) VVF
3. Calcular:
a = arccos{tan(arcsec/2 - arccot2)}
a) VVV
d) VVF
b) FFF
e) FFV
3n
c) VFV
Reducir: P = cos| — - a re se e ^
a) 0,6
d) -0 ,í
b) -0 ,6
e) 0,5
c) 0,!
Calcular:
9 = arcsec(tan60°) + arccsc(2sen60°)
a) íi/4
d) 0
b) —jt/2
e) rt/6
Hallar x; si: arcsen(3x - 1) = arctan^-
a) 11/15
d) 2/15
b) 7/15
e) 1/15
c) tt/2
!)
c) 8/15
10. Calcular: P = ta n |a rcco s^-j - —
a) 3
d) -1 /3
b) 1/3
e )2
c) -3
11, Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. arcsen(-x) = -aresenx
II. arccos(-x) = -arccosx
III. arccot(-x) = -arccotx
a) VVV
d) VFF
b) FFF
e) VFV
c) VVF

79. T r ig o n o m e t r ía | 8 1
12. Calcular: 0 = a rc c o s |y j + a rc c o s |-y j
a) 0 b) ti c) 2n
d) ji/2 e) - ti
13. Calcular:
9 = arcsen(-1) + arccos(-1) + arctan(-1)
a) nl2 b) 2ti c)-ti/2
d) tie) 7i/4
14. Si: arcsenx + arcseny + arcsenz =
x, y, z e [ - 1 ; 1], calcular:
arccosx + arccosy + arccosz
a) 2ti b) n c) 7ti/4
d) 3rc/4 e) 5n/4
15. Indicar verdadero (V) o falso (F):
I. arcsen|sen|^2-jj =
II. a rcco s|co s|-^|J =
III. a rc ta n [ta n (|)] = -|
a) V W b) VVF c) FFF
d) F W e) FFV
16. Calcular: 0 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
a) 7i/4 b) -7i/4 c) 3n/4
d) tc/2 e) rt
1. b 5. c 9. c 13. e
2. c 6. d 10. b 14. e
3. b 7. b 11. d 15. c
4. d 8. c 12. b 16. a

80. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
TEOREMA DE LOS SENOS (LEY DE SENOS)
En todo triángulo, la longitud de los lados son pro­
porcionales a los senos de sus ángulos opuestos.
a
senA senB senC
Además el valor de dicha proporción es 2R, don­
de R es el radio de la circunferencia circunscrita al
triángulo. Entonces:
I a = 2RsenA I | b = 2RsenB c = 2RsenC
TEOREMA DE LOS COSENOS (LEY DE COSENOS)
El cuadrado de la longitud de un lado es igual a
la suma de los cuadrados de las longitudes de los
otros dos lados menos el doble del producto de
dichas longitudes multiplicado por el coseno del
ángulo que formen dichos lados.
c - a + b - 2abcosC
b - 2accosB
)e las expresiones anteriores podemos despejar:
cosA =
b2 + c2 - a2
2bc
Análogamente para los otros ángulos.
cosC =
a2 + b2 - c2
2ab
cosB
2ac
Ejemplos:
1. R esolvereltriánguloABC,si:A = 60°; B = 4 5 °
a = 4
Resolución:
De la ley de senos se tiene:
senA senB
, 4sen45°
b =
asenB
senA
4/6
3sen60°
Como: A + B = 105° => C = 75°
asenC
Asimismo: c -
senA
4sen75 2/6 + 6/2
sen60 3
2. Resolver el triángulo ABC, si: a = 2; b = 2 -/3 ;
C = 30°
Resolución:
De la ley de cosenos se tiene:
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
c2 = 22 + (2/3 f - 2(2)(2-/3 )cos30° c = 2
Luego el triángulo es isósceles.
A = 30° y B = 120°
TEOREMA DE TANGENTES (LEY DE TANGENTES)
Dado un triángulo ABC, se cumple:
tan
A - B t
a - b 2 I
a + b tan
A + B
2 /
De Igual forma para los otros lados:
tan
a - c
j A - C
'l 2
a + c , / A + C
tan — - —
tan /
B - C
b - c 2 1
b + c
tan B + C )
2 1
TEOREMA DE LAS PROYECCIONES (LEY DE PRO­
YECCIONES)
Dado un triángulo ABC, se cumple:
a = bcosC + ccosB
b = acosC + ccosA
c = acosB + bcosA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS SEMIÁNGU-
LOS DE UN TRIÁNGULO
En todo triángulo ABC, con respecto al ángulo A
se cumple:
sen( f H
( p - b ) í p - c )
be
c o s ( f ) = <
íp ( p - a )
be
tani t H
(P - b)(p - c)
p ( p - a )

81. T r ig o n o m e t r ía | 8 3
Donde: p = -a + ^ + c , (semiperímetro)
ELEMENTOS AUXILIARES DE UN TRIANGULO
1. Bisectriz
A. Bisectriz interior
A
2bc
b + c
Va: bisectriz interior relativa al lado a.
B. Bisectriz exterior
A /
Va =
2bc
s e n /A 'l
Ib - c | Sen( 2 )
C a B M
Va: bisectriz exterior relativa al lado a.
2. Mediana
4ma = b + c + 2bccosA
C a/2 M a/2 B
ma: mediana relativa a! lado a.
3. Inradio
Expresiones de perím etro; inradio y exradios
en térm inos del circunradio y los tres ángulos
del triángulo
p = 4Rcos
A
2
cos
B
2
eos c2
r = 4Rsen|
f )sen|
! )sen|
f )
ra = 4Rsen
f cos
( Icos
I f
rb = 4Rcos
( fsen
( Iicos
( f )
rc = 4Rcos
f cos
I sen
C
2
AREA DE UNA REGION TRIANGULAR (S)
Dado el triángulo ABC:
B
abe
4R
S = pr
Vp (P - a )(p - b)(p - c)
S = ra(p - a) = rb(p - b) = rc(p - c)
S = 2R senAsenBsenC s = irry^p
AREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
En término de sus diagonales y el ángulo compren­
dido entra estas.
d id 2
S = — sen6
2

82. 84 | C o l e c c ió n El P o s t u l a n t e
Donde:
d, y d2: diagonales del cuadrilátero ABCD
9: medida del ángulo formado por las diagonales.
S: área del cuadrilátero ABCD
EJERCICIOS RESUELTOS
1. En un triángulo ABC se conocen: B = 15°;
A - B = 90° y el radio de la circunferencia
circunscrita es igual a 3/5 m; calcular el lado
opuesto al ángulo A.
Resolución:
A - B = 90°, como B = 15° => A = 105°
De la ley de senos sabemos:
—5— = 2R; dato: R = §
senA 5
/ 3 6 + ^2)
a = 2 (¡)se n 1 0 5 ° = | x ^ —
3 (lé + i2 )
a = tt; m10
2. Hallar el valor de:
a(b2 + c2)cosA + b(c2 + a2) cosB + c(a2 + b2) cosC
en un triángulo cualquiera.
Resolución:
Sea:
F = a(b2+c2)cosA + b(c2+a2)cosB
+ c(a2+b2)cosC
F = (ab2cosA + ba2cosB) + (ac2cosA + ca2cosC)
+ (bc2cosB + cb2cosC)
F = ab(bcosA + acosB) + ac(ccosA + acosC)
+ bc(ccosB + bcosC) ...(1)
Por la ley de proyecciones:
=> F = abe + acb + bea F = 3abc
3. Los datos del triángulo ABC tienen longitudes
BC = 5; AC = 3 y AB = 6. Hallar el coseno del
ángulo del vértice A
Resolución:
cosa =
cosa =
32 + 62 - 52
2(3)(6)
20 5
2(3)(6)
6.
Las longitudes de los lados de un triángulo
son tres números enteros consecutivos y el
ángulo mayor es el doble del menor a; hallar
la relación del lado mayor al lado menor.
Uno de los lados de un triángulo es el doble
del otro y el ángulo comprendido mide 60°,
hallar los otros dos ángulos.
Resolución:
a 2a_____
senx sen(60° + x)
sen(60 + x ) 2a
senx
sen60 cosx
senx
a
| eos 60 s e n x . 2
V3
2
cotx ■
cotx 1 = 2
senx
(3
cot X = —
2 2
_3_
13
cotx = -Í3 => x = 30°
Luego los otros dos ángulos miden 30° y 90°.
Los lados de un triángulo tienen longitudes x,
ax, 2ax. Hallar el valor de a necesario para
que el ángulo opuesto al lado de longitud x
sea de 60°.
Resolución:
Aplicamos ley de cosenos:
x2 = (ax)2 + (2ax)2 - 2(ax)(2ax)cos60°
x2 = a2x2 + 4a2x2 - 4a2x2(1
1 = 3a2 a2 = 1
ñ .
3 2ax
7. Hallar el perímetro de un polígono regular de n
lados, Inscrito en una circunferencia de radio r.
Resolución:
Si el radio de la circunferencia es r, entonces
su lado (L) es Igual a:

83. T r ig o n o m e t r ía |
L = 2rsen(^r)
Donde: i
360 2ti
n
El perímetro (p) es igual a:
p = 2nrsen(-S.) => p = 2 n rs e n (i)
En un triángulo rectángulo ABC (A = 90°),
expresar sec2B + tan2B en términos de los
catetos b y c del triángulo.
Resolución:
A =
A =
1 + sen2B
cos2B
1 + 2senBcosB
cos2B - sen2B
-I + 2 /t> V c
A =
a /v a i a2 + 2bc
A =
c f _ _ b 2
2 2
a¿
b2 + c2 + 2bc
c - b
(c + b)2
A =
(c —b)(c + b) ( c - b ) ( c + b)
c + b
c - b
[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS' ]
Dado un triángulo ABC, simplificar:
E = acscA - bcscB
c) 1/2a) 0
d) -1
b) 1
e) -1 /2
2. Del gráfico, calcular x.
a)2asen6
b) 2acosG
c) asenO
d)acose
e) 4asen9
3. Del gráfico, calcular x
a) V77
b) ¡18
c) ¡19
d) ¡20
e) ¡21
4. Dado un triángulo ABC, se cumple:
a2 = b2
a) ¡2
d) 4 /2
9 2 / A
■c - —be; calcular: cot —
3 2
b) 2 /2
e) 5 /2
c) - 2 /2
5. Dado un triángulo ABC, si a - b =
sen(A + B)
calcular: E =
5; c = 2;
a) 0,1
d) 0,4
sen(B + C) - sen(A + C)
c) 0,3b) 0,2
e) 0,5
6. Calcular: cose
a) ¡5518
b) 2/9
c) 5/8
d) 3/8
e) 155/3
7. Dado un triángulo ABC, donde se cumple:
a _ b _ c
eos A cosB cosC
¿qué tipo de triángulo es?
a) Equilátero b) Rectángulo
c) Obtusángulo d) Escaleno
e) Rectángulo Isósceles
8. Dado un triángulo ABC, simplificar:
N _ senA + senB c - a
senB + senC b + c
a) 1 b) 1/2 c) 1/4
d) 2 e) 4
9. En la figura, calcular: sena
a) /5 /5
b) 2 /5 /5
c) /5 /1 0
d) 3 /5 /1 0
e) ¡5115

84. 8 6 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
10. En un triángulo un lado mide 20 m y los ángu­
los adyacentes miden 37° y 16°. Calcular el
perímetro.
a) 21 m
d ) 142 m
b) 22 m
e) 46 m
c) 40 m
11. Dado un triángulo ABC, donde a = 7; b = 8;
c = 9. Calcular la mediana relativa al lado AC.
a) 4
d) 2
b) 7
e) 6
c)
12. Dado un triángulo ABC, simplificar:
E = (a + b)2sen2
a) b2
d) ab
C
2
b) c2
e) ac
+ (a - b) cos:
2
c) a2
13. Se tiene un cuadrilátero inscriptible cuyos
lados miden 1, 2, 3, y 4. Calcular el coseno
formado por los lados menores.
a) -1 /7 b) -2 /7 c) -3 /7
d) -4 /7 e) 5/7
14. Dado un triángulo ABC, donde p: semiperíme-
/ R
tro. Hallar: eos ;
a)
c)
P ( P - b )
ab
P ( p - b )
be
p ( p - b )
p ( p - b )
P ( P - b )
abe
15. Dado un triángulo ABC, simplificar:
F = (tanA +tanB)(bsenC - csenB)
c) 1/2a) 1
d) 1/3
b) 2
e) 0
16.
20.
Dado un triángulo ABC cuyo perímetro es 24,
además el radio de la circunferencia circuns­
crita al triángulo es 5. Calcular:
E = senA+ senB + senC
a) 1,2
d) 2,6
b) 2,4
e) 1,4
c) 1,3
17. De la figura, calcular: cos9
a) 1/5
b) 1/4
c) 1/7
d) 1/3
e) 1/2
18. Dado un triángulo ABC, donde:
a2 + b2 + c2 = 10
calcular: E = bccosA + accosB ■
19.
a) 5
d) 20
b) 10
e) 25
abcosC
c) 15
Dado un triángulo ABC, reducir:
D _ senA + senB senC
a) 1
d) 1/3
b) 2
e) 0
c) 1/2
En un triángulo ABC, se cumple:
(a + b + c) (a + b - c) = ab
hallar: cosC
-1 /2
-4 /5
b) -2 /3
e) -1 /3
c) -3 /4
1. a 5. d 9. b 13. e 17. e
2. b 6. c 10. d 14. b 18. a
3. c 7. a 11. b 15. e 19. e
4. a 8. a 12. b 16. b 20. c