Practica guçia que permite interpretar la definición de las razones trigonométrica y su aplicación en la resolución de problemas utilizando trigonometría

1. • Trigonometría para solucionar
problemas
• Medir un lago
• Averiguar una altura
• Determinar una distancia

2. TRIGONOMETRÍA
INTRODUCCIÓN
DEFINICIÓN
APLICACIONES
VALOR DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ANGULOS ESPECIALES
RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS
PROBLEMAS
EJERCICIOS

3. TRIANGULOS SEMEJANTES
En la imagen puedes observar que los triángulos ABG,
ACF y ADE son semejantes,
Ya que todos ellos tienen un ángulo recto y comparten el
ángulo α. (AA)

4. TRIANGULOS SEMEJANTES
En la imagen puedes observar que los triángulos ABG,
ACF y ADE son semejantes,
Ya que todos ellos tienen un ángulo recto y comparten el
ángulo α. (AA)
Teniendo en cuenta esto, sabemos
que sus lados son respectivamente proporcionales
 Permutando los medios

5. A la razón constante entre la medida del cateto
opuesto al ángulo α y la medida de la hipotenusa la
llamaremos : seno de α
• En el ejemplo del alpinista tenemos que:
INICIO

6. Ejercicio:Teniendo en cuenta el valor del seno
calcular las alturas CF y DE
 Trabajando en el triángulo ACF
 Se sabe que la HIPOTRNUSA es
Tenemos que calcular CF que es
 Por lo tanto se tiene que usar la razón trigonométrica:
 ya que
Idem en el Triángulo ADE
AF=75m
Cateto opuesto de 
seno

7. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
INICIO
TANGENTE
La tangente del ángulo β es la razón entre
el Cateto opuesto y el cateto adyacente
𝑡𝑎𝑔𝛽 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
COSECANTE
La cosecante del ángulo β es la razón
entre la hipotenusa y el cateto opuesto
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛽 =
ℎ𝑖𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
SECANTE
La secante del ángulo β es la razón entre
la hipotenusa y el cateto adyacente
sec 𝛽 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
COTANGENTE
La cotangente del ángulo β es la razón
entre el Cateto adyacente y el cateto
opuesto
𝑡𝑎𝑔𝛽 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

8. RAZONES TRIGONOMATRICAS DEL ANGULO 45°
Partimos de un cuadrado de lado 1 al que se
traza la diagonal
Vamos a trabajar con un triángulo rectángulo con
ángulos de 45°
 Si los ángulos son iguales → Los CATETOS son
iguales
 Solo falta calcular la medida de la hipotenusa-
Para eso, aplicaremos el
TEOREMA DE PITAGORAS
 Teniendo en cuenta la definición obtendremos las
razone trigonométricas
SENO
COSENO
TANGENTE CA
CO
tag )45(

9. RAZONES TRIGONOMATRICAS DEL ANGULO 60°
•Trabajaremos con ABC triángulo equilátero
cuyos ángulos son de 60°
•Los lados del ABC miden 2cm cada uno
•Si se le traza la altura, quedan determinados
dos triángulos rectángulos
•Teniendo en cuenta los datos, del ABD
conocemos la medidas de
•La HIPOTENUSA H=
•Del CATETO ADYACENTE CA=
•Aplicando Teorema de Pitágoras calculamos
el CATETO OPUESTO
INICIO
2cm
1cm
•Cálculo de las Razones
trigonométrica

10. •Trabajaremos con ABC triángulo equilátero
cuyos ángulos son de 60°
•Los lados del ABC miden 2cm cada uno
•Si se le traza la altura, quedan determinados
dos triángulos rectángulos con un ángulo de
60º y otro de 30º
•Ahora trabajaremos con e ángulo de 30º
•La HIPOTENUSA H=
•Del CATETO ADYACENTE CA= cm
•CATETO OPUESTO
RAZONES TRIGONOMATRICAS DEL ANGULO 30°
INICIO
2cm
1cm
•Cálculo de las 6 Razones
trigonométrica
30ºC A = 𝟑
C O = 1
𝑠𝑒𝑛 30º =
1
2
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 30º =
2
1
= 2
cos 30º =
3
2
𝑡𝑎𝑛 30º =
1
3
=
3
3
𝑠𝑒𝑐 30º =
2
3
=
2 3
3
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 30º =
3
1
= 3

12. Resolución de triángulos
CA
CO
H
CO
CA
H

13. Resolución de triángulos
H
H
INICIO

15. PROBLEMA
INTERPRETACIÓN
87m
1,3m
altura
horizontal
48º
CO
H
CO
H
La altura = 1,3m + =
• El cordel de un cometa se encuentra tenso
• y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal.
• Encuentre la altura del cometa con respecto al
suelo,
• si el cordel mide 87 m.
• y el extremo de la cuerda se sostiene a
1,3 m. del suelo.
• RESOLUCION:
• Debemos determinar cual es la razón
trigonométrica que relaciona la y el
INICIO

16. Resolución problema
INTERPRETACIÓN
53º ángulo de depresión
x: Distancia al objeto
12m
53º
CO
CA
CACO tangente
La distancia a la que e encuentra el objeto es de
INICIO

17. Problema
• Un observador ubicado en la terraza de un edificio visualiza un
coche estacionado a 15m del edificio bajo un ángulo de depresión
de 55º y a una avioneta que esta alineada con el coche bajo un
ángulo de elevación de 82º Determinar a que altura se encuentra la
avioneta
Trabajamos en el OPA
Trabajamos en el OPC
O
A
P
C
RESPUESTA: La altura de la avioneta es de INICIO

18. PROBLEMA
• Un observador ubicado e 7m de un árbol, alcanza a ver la copa bajo
un ángulo de elevación de 55° Determina la altura del árbol si la del
observador es de 1,70m.
7m
55°
x Determinar la Razón
trigonométrica que relaciona el
cateto opuesto y cateto
adyacente
CA
CO
tag 
Tenemos que trabajar con un
triángulo rectángulo ¿Dónde
esta?
reemplazando
7
55
x
tag 
xtag 7.55 x
H la altura del árbol esta formada por dos segmentos x y la altura del
observador, entonces
H = ………….. + ……… H = …………..
INICIO

19. •Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de
tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la
pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la pared?
6m
1,5m
cos 
𝑪𝑨
𝑯
PROBLEMA
 R e s o l u c i ó n
 Se determinó un triángulo rectángulo ABC recto en A
 El objetivo es determinar el valor del ángulo agudo 
 Conocemos le valor de la Hipotenusa
 Valor del Cateto Adyacente
 Por lo tanto estos elementos se relacionan en la
definición del
A
B
C
H = 6m
CA = 1,5m
Coseno

cos 
𝟏,𝟓
𝟔
 0,25
  75º 31’ 25’’
  arc cos0,25
INICIO

20. •Los tripulantes de dos A B barcos avistan la parte superior de un faro
de 125m de altura, bajo ángulos de elevación de 53º y 33º
respectivamente- Determinar qué distancia separa a las embarcaciones
PROBLEMA

21. • Desde un punto A en la orilla
de un río se ve un árbol justo
enfrente. Si caminamos 100
metros río abajo, por la orilla
recta del río, llegamos a un
punto B desde el que se ve el
pino formando un ángulo de
30º con nuestra orilla. calcular
la anchura del río.
PROBLEMA

22. PROBLEMA

23. • Desde un globo aerostático ubicado a 3000m de altura un observador avista
un naufrago y una embarcación con ángulos de depresión de 25º y 40º
respectivamente. Determina a que distancia de la embarcación se encuentra
el naufrago.
PROBLEMA

24. Problema
• Una torre de trasmisión de señal para televisión se observa desde dos
puntos situados a 126m de distancia, uno al norte con un ángulo de 60º y el
otro al sur con un ángulo de 45 ¿Cuál es altura de la torre?

25. • Si a una escalera dándole una inclinación de
51º con el piso, se apoya sobre la pared a 3m
de altura. Si se cambia el ángulo a 70º a que
altura quedara apoyada la escalera
PROBLEMA

26. • Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol
forma un ángulo de 20º 30' sobre el horizonte, calcular la
altura del edificio y cuánto medirá la sombre unas horas
más tarde cuando el ángulo que forma el rayo de sol con el
suelo es de 18º
PROBLEMA

27. Problema
• Una persona de 1,6m ubicada 5m de un farol proyecta una sombra de 2m.
• ¿Cuánto mide el faro?

28. Problema
• Para acceder a una cabaña ubicada en una montaña se colocó una rampa de
250m con un ángulo elevación de 30º. Si el ángulo de elevación varía en 10º
se observa la parte más alta de a cabaña- Determinar al altura de la cabaña.

29. • Sobre una montaña está
instalada una torre de 25 m,
desde donde se observan dos
águilas alineadas con la base
de la torre.
• Una es observada con un
ángulo de 35º y la otra con un
ángulo de 40º.
• ¿A qué distancia se encuentra
un águila de la otra?
PROBLEMA

30. Problema

31. •La escalera extensible de
un camión de bomberos
tiene un largo máximo de
18m y el mayor ángulo de
elevación es de 70º . Si
esta ubicada a 2m del
suelo cual la altura que
puede alcanzar .
PROBLEMA

32. PROBLEMA

33. PROBLEMA

34. PROBLEMA 10

35. PROBLEMA

36. PROBLEMA

37. PROBLEMA

38. PROBLEMA

42. PROBLEMAS
•Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de
53 grados para el ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo.
¿Aproximadamente qué tan lejos está el objeto del punto en el suelo que está
directamente bajo el observador?
•. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal.
Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la cuerda
se sostiene a 1,3 m. del suelo.
• Un avión vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Un
minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la velocidad aproximada
del avión.
• Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la
misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.
• Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y
observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un
ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.
• Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de
la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40 grados y 50 grados,
respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros, determine el ancho del río.
•Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20 cm.
sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo que forman las
visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál es la altura del
cuadro?
• Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la
escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la
pared?