Narrativa de Problemas de Matemática

1. En principio, luego de haber leído el problema, me fui a googlear para saber o profundizar acerca del
contenido en cuestión: Expansión Decimal. Ello es debido a que ya hace muchos años que he egresado
de profesorado y este tipo de contenido no la he utilizado en mis clases.
Marco teórico:
Del sitio obtuve: http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-realesexpresionesalgebraicas/T1-1-numeros-reales-julioetall/node6.html
Expansión decimal de un número racional
Sea
y
.
Si para un número representado como se realiza la división de por
para dicho número la cual recibe el nombre de expansión decimal.
, se obtiene otra representación
Una vez en claro la consigna, empiezo a generar estrategias para obtener la anticipación de la expansión
decimal.
Aclaración: Para demostrar fehacientemente estas propiedades debo utilizar el Principio de Inducción
Completa (PIC), ya que estamos trabajando con el conjunto de los Naturales. Por ello, son solo hipótesis.
Estrategia 1: Aplicación de Análisis Matemático
Llego a que: Lim (1/2n)= 0
n-> ∞
Página 1 de 5

2. Lim (1/5m)=0
m-> ∞
Conclusión 1: Observo que solo llego a ver que a medida de los valores de m y n aumentan la expansión
decimal tiende a cero.
Estrategia 2: aplicación de propiedades de producto, cociente y potencia
1/(2n.5m)= 1/2n.1/5m
1/2n=
1/5m=
Conclusión 2: No llego a observar ninguna propiedad respecto a la expansión decimal.
Estrategia 3: Análisis por carácter de par o impar
1/(2n)=1/(2k) => Siempre termina en múltiplos de 2, es decir: 2m-n.10-m
1/(5m)= 1/5q ᴠ 1/(5m)= 1/10p => Los múltiplos de 5 terminan en 5 o 0.
Entonces los posibles resultados son:
Múltiplos de 5: 5m=5.q (cuando termina en 5) o 5m= 10.p (cuando termina en 0)
Múltiplos de 2: 2n= 2.k.
Múltiplos de 10: 10n= (5.2)n=5n.2n => Es múltiplo de 2 y de 5.
a) 1/(2n). 1/(5m) = 1/(2k). 1/5q = 1/(10.k.q) = 1/(10.r) = 1/(2.5.r)
b) 1/(2n). 1/(5m) = 1/(2k). 1/10p = 1/(20.k.p)= 1/(10.2.k.p) = 1/(2.5.s)
k.q=r , 2.k.p=s
c) 1/(2n)* 1/(5m) = 1/(2k)* 1/5q = 1/10.1/(k.q)
d) 1/(2n)* 1/(5m) = 1/(2k)* 1/10p = 1/(20.k.p)= 1/(10.2.k.p) = 1/10.1/2.1/(k.p)
Conclusión 3: La expansión decimal será:


1/(2n)=1/(2k) => La expresión decimal siempre termina en múltiplos de 2, es decir: 2m-n.10-m
No llego a comprender las propiedades de expansión decimal.
Estrategia 4: Análisis de valores en tabla
Aclaración: Para demostrar fehacientemente estas propiedades debo utilizar el Principio de Inducción
Completa (PIC), ya que estamos trabajando con el conjunto de los Naturales. Por ello, son solo hipótesis.
Tabla 1: donde m=n
Página 2 de 5

3. n=
1/2n=
5n/10n m=
1/5m=
2m/10m
1
1/2=0,5
5/10
1
1/5=0,2
2
1/4=0,25
5 /10
2
2 /10
2
2
1/5 =0,04
3
1/8=0,125
5 /10
3
3
3
1/5 = 0,008
4
1/16=0,0625
5 /10
4
4
4
1/5 =0,0016
5
1/32=0,03125
5 /10
5
5
5
1/5 = 0,032
6
1/64=0,015625
5 /10
2
2
6
1/5 =0,000064
7
1/128=0,0078125
5 /10
2
2
7
1/5 = 0,0000128
8
1/256=0,00390625
5 /10
2
2
8
1/5 =0,00000256
9
1/512=0,001953125
5 /10
2
2
9
1/5 = 0,000000512
10
1/1024=0,0009765625
5 /10
2
2
10
1/5 =0,0000001024
1/2n.1/5m
m=n
1
0,1
1/10
2
2
0,01
1/10
3
3
0,001
1/10
4
4
0,0001
1/10
5
2
1
5
0,00001
1/10
6
6
0,000001
1/10
7
7
0,0000001
1/10
8
8
0,00000001
1/10
9
9
0,000000001
1/10
10
10
0,0000000001
1/10
2 /10
3
2 /10
4
2 /10
5
2 /10
6
2 /10
7
2 /10
8
2 /10
9
2 /10
10
2 /10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Conclusión 4-a: m=n





El cociente 1/2n, siempre termina en potencia de cinco, o bien en 1/2n = 5n/10n.
El cociente 1/5m, siempre termina en potencia de base 2, más exactamente 1/5m =2m/10m.
El producto 1/2n.1/5m, si m=n, siempre termina en la unidad, es decir 1/10n.
El producto 1/2n.1/5m= (1/2n).(2m/10m)= 2m-n/10m.
El producto 1/2n.1/5m= 5n/10n. 2m/10m= 5n.2m/10n+m = 2m.(5n/10n+m)= 2m.(5n/5n+m.1/2n+m) = 2m.( 5-m.
Tabla 2: donde |m-n|=1
n
n
n=
P/I
1/2 =
1
Impar
1/2=2
2
Par
1/4=2
3
Impar
1/8=2
n
5 /10
n
-1
5 /10
-3
5 /10
m
m=
P/I
1/5 =
2
5/10
-2
m
Par
1/5 =2 .10-
2
m
1/2 .1/5 =
2
2
2.10 =2/10
1
1
5.10 =5/10
4
4
2.10 = 2/10
2 /10
2
2
2
2
1
Impar
1/5=5 .10
3
3
4
Par
1/5 =2 .10
2 /10
1
4
-1
2 /10
4
-4
2 /10
n
m
m≠n
m
1/(2 .5 )
=
n
m
1/2 .1/5
-m
-2
2
n<m
2.10
-2
2
n>m
5.10
-4
4
n<m
2.10
-n
-m
Página 3 de 5

4. -4
5 /10
-5
5 /10
-6
5 /10
4
4
3
Impar
1/5 = 2 .10
5
5
6
Par
1/5 = 2 .10
2
2
5
Impar
1/5 = 2 .10
2
2
8
Par
1/5 =2 .10
2
2
7
Impar
1/5 = 2 .10
2
2
10
Par
1/5 =2 .10
2
2
9
Impar
1/5 = 2 .10
4
Par
1/16=2
5
Impar
1/32=2
6
Par
1/64=2
7
Impar
1/128=2
-7
5 /10
8
Par
1/256=2
-8
5 /10
9
Impar
1/512=2
-9
5 /10
10
Par
1/1024=2
-10
5 /10
3
3
-3
2 /10
6
6
-6
2 /10
5
5
-5
2 /10
8
8
-8
2 /10
7
7
-7
10
10
9
9
-10
-9
3
3
5.10 =5/10
6
6
2.10 =2/10
5
5
5.10 =5/10
8
8
2.10 =2/10
2 /10
7
7
5.10 =5/10
10
10
2.10 =2/10
9
9
5.10 =5/10
2 /10
2 /10
-4
4
n>m
5.10
-6
6
n<m
2.10
-6
6
n>m
5.10
-8
8
n<m
2.10
-7
7
n>m
5.10
-10
10
n<m
2.10
-10
10
n>m
5.10
-n
-m
-n
-m
-n
-m
-n
Conclusión 4-b: |m-n|=1


Si n>m, entonces 1/2n.1/5m= 5.10-n
Si m>n, entonces 1/2n.1/5m= 2.10-m
Tabla 3: donde m≠n ˄ n>m
n
n=
P/I
1/2 =
5
Impar
(1/2)
5
4
Par
(1/2)
9
Impar
(1/2)
10
Par
(1/2)
n
n
m
m
m
m≠n
1/(2 .5 ) =
n
m
1/2 .1/5 =
3
-5
n>m
5n-m.10-n
3
-4
n>m
5n-m.10-n
5
-9
n>m
5n-m.10-n
5 .10
7
-8
n>m
5n-m.10-n
9
n>m
5n-m.10-n
9
n>m
5n-m.10-n
9
n>m
5n-m.10-n
7
n>m
5n-m.10-n
1/5 =
2 /10
55.10-5
2
Par
1/52
22.10-2
5 .10
4
54.10-4
1
Impar
1/5
21.10-1
5 .10
9
59.10-9
4
Par
1/54
24.10-4
5 .10
10
510.10-10
3
Impar
1/53
23.10-3
15 Impar (1/2)15
515.10-15
6
Par
1/56
26.10-6
5 .10
14
514.10-14
5
Impar
1/55
25.10-5
5 .10
17 Impar (1/2)17
517.10-17
8
Par
1/58
28.10-8
5 .10
14
514.10-14
7
Impar
1/57
27.10-7
5 .10
14
Par
(1/2)
(1/2)
m
m
P/I
Par
n
n
m=
14
5 /10
1/2 .1/5 =
Página 4 de 5

5. 20
Par
(1/2)
20
520.10-20
9
Impar
1/59
11
29.10-9
5 .10
n>m
5n-m.10-n
Conclusión 4-c: Cuando n>m => 1/(2n.5m) = 1/2n.1/5m = 5n-m.10-n
Tabla 3: donde m≠n ˄ m>n
n
n=
P/I
1/2 =
5
Impar
(1/2)
5
4
Par
(1/2)
9
Impar
(1/2)
10
Par
(1/2)
n
n
m
m
m
m≠n
1/(2 .5 ) =
n
m
1/2 .1/5 =
1
-6
m>n
2m-n.10-m
1
-5
m>n
2m-n.10-m
1
-10
m>n
2m-n.10-m
1
-11
m>n
2m-n.10-m
3
-18
m>n
2m-n.10-m
5
-19
m>n
2m-n.10-m
5
-22
m>n
2m-n.10-m
7
-21
m>n
2m-n.10-m
5
-25
m>n
2m-n.10-m
1/5 =
2 /10
55.10-5
6
Par
1/56
26.10-6
2 .10
4
54.10-4
5
Impar
1/55
25.10-5
2 .10
9
59.10-9
10
Par
1/510
210.10-10
2 .10
10
510.10-10
11
Impar
1/511
211.10-11
2 .10
15 Impar (1/2)15
515.10-15
18
Par
1/518
218.10-18
2 .10
14
514.10-14
19
Impar
1/519
219.10-19
2 .10
17 Impar (1/2)17
517.10-17
22
Par
1/522
222.10-22
2 .10
(1/2)
m
m
P/I
Par
n
n
m=
14
5 /10
1/2 .1/5 =
14
Par
(1/2)
14
514.10-14
21
Impar
1/521
221.10-21
2 .10
20
Par
(1/2)
20
520.10-20
25
Impar
1/525
225.10-25
2 .10
Conclusión 4-d: Cuando m>n => 1/(2n.5m) = 1/2n.1/5m = 2m-n.10-m
Aclaración: Para demostrar fehacientemente estas propiedades debo utilizar el Principio de Inducción
Completa (PIC), ya que estamos trabajando con el conjunto de los Naturales. Por ello, son solo hipótesis
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