COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y APLICACIONES

1. UPN, PASIÓN POR
TRANSFORMAR VIDAS
CURSO: MATEMATICA BASICA
TEMA: COMPOSICION DE FUNCIONES Y
APLICACIONES
Determinación de la regla de correspondencia.
Dominio de la función compuesta
Departamento de Ciencias

2. SERÁ LO MISMO…..
Colocar piña
en una pizza
Colocar pizza
en una piña

3. RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS
¿Qué es una función?
¿Qué es el dominio de una
función?
De igual forma, ¿Qué es el rango de
una función?
¿Crees que se podrá construir una función
compuesta usando dos funciones?
¿Qué se debe tener en cuenta para hallar la regla de
correspondencia de una composición de funciones?

4. LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
resuelve ejercicios y problemas de
contexto real relacionado a su
carrera profesional haciendo uso de
la composición de funciones, de
forma correcta.

5. CONTENIDOS
1. Composición de funciones.
2. Determinación de la regla de correspondencia de la
función
compuesta (f o g y g o f).
3. Dominio de la función compuesta
4. Aplicaciones de composición de funciones
5. Referencias bibliográficas
6. Metacognición

6. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
𝑫𝒐𝒎 𝒇 ∘ 𝒈 = 𝒙 ∕ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒈 𝒙 ∩ 𝒈 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎𝒇(𝒙)
La función compuesta de dos
funciones 𝑓 y 𝑔 , que lo
escribiremos𝑓 𝑜 𝑔, se define de la
siguiente forma:
(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙))
El dominio de 𝑓 𝑜 𝑔 es el conjunto de
todas las 𝑥 en el dominio de 𝑔, tales
que 𝑔(𝑥) esté en el dominio de 𝑓.

7. Sean las funciones:
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥2
− 4
Solución:
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 1
a) La composición de f con g es
como sigue:
𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥2
− 4)
𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑥2
− 4 + 2
𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑥2
− 2
𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 )
b) La composición de g con f es
como sigue:
𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥 + 2)
𝑔 𝑓 𝑥 = (𝑥 + 2)2
− 4
𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 4𝑥 + 4 − 4
𝑔 𝑓 2 = (2)2
+ 4(2)
c) La composición de g con f es como
sigue:
𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 4𝑥
𝑔 𝑓 2 = 4 + 8
𝑔 𝑓 2 = 12
𝑎) (𝑓𝑜𝑔) 𝑥 𝑏) (𝑔𝑜𝑓) 𝑥
𝑐) (𝑔𝑜𝑓) 2
Encuentre lo siguiente:

8. 𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 2
𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥
Solución:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 2
𝑔 𝑥 = 𝑥
𝑔 9 = 9
𝑔 9 = 3
𝑓 𝑔 9 = 𝑓 3
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 2
𝑓 3 =
1
3 − 2
𝑓 3 = 1
a) 𝑓𝑜𝑔 9 = 𝑓 𝑔 9
a) (fog)(9) b) (fog)(4)
c) (gof )(6) d) (gof )(1)
Evalúe donde sea posible:
Reemplazando en f(x):
Sean las funciones:
𝑔 𝑥 = 𝑥
𝑔 4 = 4 𝑔 4 = 2
𝑓 𝑔 4 = 𝑓 2
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 2
𝑓 2 =
1
2 − 2
𝑓 2 = 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
Reemplazando en f(x):
b) 𝑓𝑜𝑔 4 = 𝑓 𝑔 4
Esto no está definido. El valor de x = 4 no
pertenece al dominio de 𝑓𝑜𝑔 de modo que
𝑓𝑜𝑔 4 no puede determinarse.

9. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
𝑔 𝑥 = 𝑥
𝑔 1/4 = 1/4
𝑔 1/4 = 1/2
𝑔 𝑓 6 = 𝑔 1/4
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 2
𝑓 6 =
1
6 − 2
c) 𝑔𝑜𝑓 6 = 𝑔 𝑓 6
Reemplazando en g(x):
𝑓 6 =
1
4
𝑔 𝑥 = 𝑥
𝑔 −1 = −1
𝑔 −1 = 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
𝑔 𝑓 1 = 𝑔 −1
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 2
𝑓 1 =
1
1 − 2
d) 𝑔𝑜𝑓 1 = 𝑔 𝑓 1
Reemplazando en g(x):
𝑓 1 =
1
−1
𝑓 1 = −1
El cual no es un número real. No podemos
evaluar 𝑔𝑜𝑓 1 porque 1 no pertenece al
dominio de 𝑔𝑜𝑓.

10. ¡Recuerda, cada desafío es una oportunidad para aprender!

11. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 𝑦 𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 5
Sea:
Solución:
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
= 𝑓(3𝑥 + 5)
= (3𝑥 + 5)2−1
= 9𝑥2 + 30𝑥 + 25 − 1
Determine 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 y el dominio de 𝑓 ∘ 𝑔 Determine 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 y el dominio de 𝑔 ∘ 𝑓
Observación:
Cuando las funciones son polinomiales
el dominio de 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 es igual a ℝ
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 1 𝑦 𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 5
Sea:
Ejemplo 3: Ejemplo 4:
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 )
= 𝑔(𝑥2 − 1)
= 3(𝑥2 − 1) + 5
Solución:
Dominio de 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = ℝ
= 9𝑥2
+ 30𝑥 + 24
= 3𝑥2 + 2
= 3𝑥2
− 3 + 5
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥

12. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sea:
Solución:
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
= 𝑓( 𝑥)
= 𝑥 − 2
Determine 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 y el dominio de 𝑓 ∘ 𝑔
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2
𝑔 𝑥 = 𝑥 (𝑥 ≥ 0)
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 =
Hallando los dominios de las funciones:
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 = < −∞, +∞ >
𝐷𝑜𝑚 𝑔 = ሾ0, ۧ
+∞
ሾ0, ۧ
+∞
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
𝑥 ∈ ሾ0, ۧ
+∞  𝑔(𝑥) ∈ 𝑅
𝑥 ≥ 0  𝑥 ∈ 𝑅
𝑥 ≥ 0  𝑥 ≥ 0
𝑥 ≥ 0
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥

Ejemplo 5:

13. 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 3
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Si f y g están definidos por:
Solución:
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
= 𝑓(2𝑥 − 3)
2𝑥 − 3
Determine 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 y el dominio de 𝑓 ∘ 𝑔
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ሾ0, ۧ
+∞
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 3
2𝑥 − 3 ≥ 0
2𝑥 ≥ 3
𝑥 ≥
3
2 ሾ3/2 , ۧ
+∞
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 =
𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 𝑅 = < −∞, +∞ >
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑥/𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
(𝑥 ≥ 0)
𝑥 ∈ 𝑅  𝑔(𝑥) ∈ ሾ0, ۧ
+∞
 2𝑥 − 3 ∈ ሾ0, ۧ
+∞

𝑥 ∈ 𝑅
𝑥 ∈ 𝑅
Hallando los dominios de las funciones:
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 =
Ejemplo 6:


14. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 7:
Sean las funciones:
𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2
Hallar: Dom 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥
0 2
-2
x
y
f (x)
g (x)
2
x
(fog)(x)
y
Dom(g)= ℝ
Dom(fog) = [2, ∞[
Dom(f) = [0, ∞[
Solución
Hallemos el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 =
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
= 𝑓(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 =
Analizando gráficamente tenemos lo siguiente:
𝑥 ∈ 𝑅
𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓

 𝑥 − 2 ∈ ሾ0, ۧ
+∞
𝑥 − 2 ≥ 0
𝑥 ≥ 2
Dom(fog) = [2, ∞[

15. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 8
Dadas las funciones: y
Halle: fog y gof
{( 2,0),( 1, 4),(3,1),(5,2)}
= − − −
f {( 2, 1),(0,3),(1,4),(2,0),(4,5)}
g = − −
Solución:
Para hallar fog, debemos conocer previamente el rango de “g” y el dominio de “f”, así:
Ran(g)={–1, 0, 3, 4, 5} y Dom(f)={–2, –1, 3, 5},
entonces:
Buscamos los pares de “g” y “f” que tengan como segundas y primeras componentes a: –1, 3, 5,
respectivamente. Luego:
Por lo tanto, tenemos:
( ) ( ) { 1,3,5}
Ran g Dom f
 = −
( 2, 1) ( 1, 4) ( 2, 4)
(0,3) (3,1) (0,1)
(4,5) (5,2) (4,2)
− −   − −  → − − 
   → 
   → 
g f f g
g f f g
g f f g
{( 2, 4),(0,1),(4,2)}
f g = − −

16. Para hallar gof se analiza en forma similar
Para gof : Ran(f)={–4, 0, 1, 2,} y Dom(g)={–2, 0, 1, 2, 4}
entonces:
Luego:
Por lo tanto, tenemos:
( ) ( ) {0,1,2}
Ran f Dom g
 =
( 2,0) (0,3) ( 2,3)
(3,1) (1,4) (3,4)
(5,2) (2,0) (5,0)
f g g f
f g g f
f g g f
−    → − 
   → 
   → 
{( 2,3),(3,4),(5,0)}
g f = −
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas las funciones: y
Halle: fog y gof
{( 2,0),( 1, 4),(3,1),(5,2)}
= − − −
f
{( 2, 1),(0,3),(1,4),(2,0),(4,5)}
g = − −
Ejemplo 9
Solución:

17. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Solución:
De los datos tenemos :
f −1 = 6 → 𝑔 𝑓 −1 = 𝑔 6 = 8 → (−1; 8) ∈ 𝑔 ∘ 𝑓
g∘ 𝑓 = {(−1,8), (3,9), (5,8)}
Dados los conjuntos: 𝐴 = −1, 3, 5 ; 𝐵 = 6, 7 𝐶 = 8, 9 ; y las funciones 𝑓 𝑦 𝑔
definidas por: 𝑓 −1 = 6; 𝑓 3 = 7; 𝑓 5 = 6; 𝑔 6 = 8; 𝑔 7 = 9.
Calcule : 𝒈 ∘ 𝒇
f 3 = 7 → 𝑔 𝑓 3 = 𝑔 7 = 9 → (3; 9) ∈ 𝑔 ∘ 𝑓
f 5 = 6 → 𝑔 𝑓 5 = 𝑔 6 = 8 → (5; 8) ∈ 𝑔 ∘ 𝑓
𝑓 −1 = 6; 𝑓 3 = 7; 𝑓 5 = 6; 𝑔 6 = 8; 𝑔 7 = 9
Ejemplo 10

18. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Determina 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) y también el dominio de 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥), si las funciones son:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3; 𝑥 ∈ 3; 9
𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1; 𝑥 ∈ 3; ∞
Solución:
1° Hallemos el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓

𝑥 ∈ 3; ∞  2𝑥 − 1 ∈ 3; 9
𝑥 > 3  3 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 9
4 ≤ 2𝑥 ≤ 10
2 ≤ 𝑥 ≤ 5
Luego el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 3; 5
𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) = 𝑓 𝑔 𝑥
= 𝑓 2𝑥 − 1
𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) = 2𝑥 − 1 2 − 3
𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) = 4𝑥2
− 4𝑥 + 1 − 3
𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) = 4𝑥2 − 4𝑥 − 2

19. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sean las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥2 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3
a. Encuentra las funciones 𝑓 ∘ 𝑔 y 𝑔 ∘ 𝑓 y sus dominios.
b. Halla 𝑓 ∘ 𝑔 5 y 𝑔 ∘ 𝑓 7 .
Solución:
a. 1° Hallemos el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = ℝ∧ el 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∘ 𝑓 = ℝ
𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) = 𝑓 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 2 𝑥2 − 6𝑥 + 9
𝑔 ∘ 𝑓 (𝑥) = 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥2
= 𝑥2
− 3
𝑏. 𝑓 ∘ 𝑔 5 = 52
− 6 5 + 9 = 4
𝑔 ∘ 𝑓 7 = 72 − 3 = 46

20. PROBLEMA APLICATIVO DE
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
En una compañía de celulares el costo total de elaborar 𝑞
unidades durante un día de trabajo es 𝐶 𝑞 = 2𝑞 + 50
dólares. En un día típico de trabajo, durante las primeras 𝑡
horas se fabrican 𝑞 𝑡 = 30 𝑡 unidades. Exprese el costo de
fabricación total como una función de 𝑡 y determine el gasto
en la producción de celulares al final de la quinta hora.
Solución:
𝐶 ∘ 𝑞 (𝑡) = 𝐶 𝑞(𝑡) 𝐶 30𝑡 = 2(30𝑡) + 50 = 60𝑡 + 50
𝐶 ∘ 𝑞 (5) =60(5) + 50 = 350
Los gastos en la producción de celulares al final de la quinta hora
es $350

21. Problema sobre venta de escritorios
Solución:
Hallando el
El modelo matemático de
Resolviendo obtenemos:

22. Problemas sobre costos
a) Determine e interprete
b) Encuentre el costo de las unidades producidas en 4 horas.
c) Encuentre el tiempo que debe transcurrir a fin de que el
costo sea de S/15 000.

23. Problemas sobre costos
Solución:
a) Determine e interprete. c) Encuentre el tiempo que debe
transcurrir a fin de que el costo sea
de S/15 000.
Respuesta: Deben transcurrir 5
años aproximadamente para que
el costo sea de S/15 000.
b) Encuentre el costo de las unidades
producidas en 4 horas.
Rpta: La función resultante es el
costo en función del tiempo.

24. Problema sobre venta de zapatos
b)

25. Aplicación 1
Solución:
Por lo tanto:
y

26. Aplicación 2
Solución:
El nivel de monóxido será 338,5ppm

27. ¡Recuerda, cada desafío es una oportunidad para aprender!

28. METACOGNICIÓN
1. ¿Qué has aprendido en esta sesión?
2. ¿Cuáles son los errores que has cometido en el desarrollo de esta
sesión? ¿Cómo lo has enfrentado y superado?
3. ¿En qué aspectos de tu vida crees que corresponde aplicar esta
sesión de la composición de funciones?
4. La sesión de hoy día, ¿lo utilizarás en el futuro?

29. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• Arya, J. y Jardish,R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y
la economía (5.a ed.).
• Harshbarger, R. y Reynold, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la
administración, economía y ciencias sociales (7.a ed.).
• Hoffmann, L., Bradley, G., Sobecki, D., Price, M. y Sandoval, S. (2014).
Matemáticas aplicadas a la administración y negocios (11.a ed.).

30. GRACIAS