Material didáctico desarrollado para mostrar la Integración de Funciones Algebraicas

1. Universidad Politécnica
Territorial de Maracaibo
Dra. Inés K. Sánchez O., Ing MSc,Mgs
Matemática II
Programa Nacional
de Formación -PNF
Integrales Inmediatas
Indefinidas
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PROPIEDAD No. 5:   u)du
g(
u)du
f(
du
g(u)
f(u) 

 


¿Qué nos dice esta propiedad? Cuando en el integrando tengamos la presencia de la
sumatoria de varias funciones o términos junto con el
diferencial, entonces esta integral se convierte en la suma o
en la diferencia, según el caso, de integrales individuales
por cada función o término. Una vez individualizadas las
funciones o términos, se procederá a aplicar las propiedades
de integración pertinentes hasta obtener la función
primitiva.
 






 dm
x
4
m
5
2m 3
10
Solución:
Aplicando la propiedad 5:

 
 









 4xdm
dm
m
5
dm
2m
dm
4
m
5
2m 3
10
3
10
x
Simplemente, cada integral se resuelve por separado. Así:

 
 









 4xdm
dm
m
5
dm
2m
dm
4
m
5
2m 3
10
3
10
x
A B T
Resolviendo 
 dm
2m
A 10
Aplicando la propiedad 4: 
  dm
m
2
dm
2m 10
10
11

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Aplicando la propiedad 1: C
11
m
2
C
1)
(10
m
2
dm
m
2
11
1
10
10







Multiplicando fracciones: C
11
2m
C
11
m
2 11
11





Finalmente, la función primitiva es: 
  dm
2m
A 10
C
11
2m11

Resolviendo 
 dm
m
5
B 3
Se observa que la variable aparece en el denominador, se debe aplicar la propiedad de
potenciación (inversa). Así:
Propiedad de potenciación:
m
-
m
a
a
1
 ,
donde la potencia pasa al numerador con el signo negativo en el exponente
Aplicando la inversa en la integral: 


 dm
5m
dm
m
5 3
3
Aplicando la propiedad 3: 

 dm
m
5 3
Aplicando la propiedad 1: C
)
2
(
m
5
C
1)
3
(
m
5
2
1
3












Se aplica la inversa para que el
exponente quede positivo:
C
m
)
2
(
1
5 2





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Multiplicando fracciones: C
m
)
2
(
5
2



Dividiendo signos, se obtiene la función primitiva 
 dm
m
5
B 3
C
m
2
5
2



Resolviendo: T 4xdm
 
Aplicando la propiedad 3, porque 4x es una constante:
T 4xdm 4xm C
  

La función primitiva TOTAL es la sumatoria de cada respuesta, respetando tanto los
signo del planteamiento original como los signos de cada respuesta parcial. Así:









 dm
4
m
5
2m 3
10
x   C
4xm
m
2
5
11
2m
2
11
















Finalmente, 








 dm
4
m
5
2m 3
10
x   C
4xm
m
2
5
11
2m
2
11



dx
)
2x
(5x 2
7
4



12

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Solución:
Este caso es un poco diferente a los que ya hemos estudiado. Puedes observar en el
integrando aparece una suma de dos términos y esta suma está elevada al cuadrado. A
este tipo de expresión corresponde a uno de los casos conocidos como PRODUCTO
NOTABLE y para aplicar alguna propiedad de integración, en primer lugar se hace
necesario resolverlo.
Producto notable: (a – b)2 = (a)2 – 2∙(a)∙(b) + (b)2
Aplicando esta propiedad del producto notable y olvidándonos por un momento de la
integral, resulta
2
7
4
)
2x
(5x 
 =
2
7
7
4
2
4
)
(2x
)
(2x
)
(5x
2
)
(5x 





=
2
7
2
7
4
2
4
2
)
(x
(2)
)
(x
)
(x
2)
5
(2
)
(x
(5) 








=
2
7)
(
7)
(
4
2
(4)
x
4
x
20
x
25 









=
14
3
8
4x
20x
25x 



= 14
3
8
x
1
4
x
1
20
25x 

= 14
3
8
x
4
x
20
25x 

Nuevamente, se puede observar que no existen términos semejantes. Ahora procedemos
a sustituir este resultado en el integrando. Así:




dx
)
2x
(5x 2
7
4
dx
x
4
x
20
25x 14
3
8
 







Aplicando las propiedades de integración:

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



dx
)
2x
(5x 2
7
4
dx
x
4
dx
x
20
dx
25x 14
3
8


 

dx
x
1
4
dx
x
1
20
dx
x
25 14
3
8


 


Aplicando la inversa:
dx
x
4
dx
x
20
dx
x
25 14
-
3
-
8


 


Aplicando la propiedad 1 de integración:
C
1)
14
(
x
4
1)
3
(
x
20
1
8
x
25
1
14
1
3
1
8














C
13)
(
x
4
)
2
(
x
20
9
x
25
13
2
9








Multiplicando fracciones:
C
13)
(
4x
)
2
(
20x
9
25x 13
2
9








C
13)
(
4x
)
2
(
20x
9
25x 13
2
9








Dividiendo signos:
C
13
4x
2
20x
9
25x 13
2
9






Simplificando:
C
13
4x
10x
9
25x 13
2
9






Aplicando nuevamente la propiedad de la inversa para que el resultado no muestre
exponentes negativos:

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C
13x
4
x
10
9
25x
13
2
9




Finalmente,
dx
)
2x
(5x 2
7
4


 C
13x
4
x
10
9
25x
13
2
9



