Este documento trata sobre relaciones y funciones. Define una relación como una conexión entre objetos representada por pares ordenados. Explica que una función es una relación especial donde a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del contradominio. Clasifica las funciones como inyectivas, suprayectivas y biyectivas dependiendo de la correspondencia entre los conjuntos. También distingue entre funciones algebraicas y trascendentes.
Trigonometry is used to calculate unknown heights, distances, and angles using relationships between sides and angles of triangles. It was developed by ancient Greek mathematicians like Thales and Hipparchus to solve problems in astronomy and geography. Some key applications include using trigonometric ratios like tangent and cotangent along with known distances and angles of elevation/depression to determine the height of objects like towers, buildings, and mountains when direct measurement is not possible. The document provides historical context and examples to illustrate how trigonometric concepts have been applied to problems involving finding heights, distances, and other unknown measurements through the use of triangles and their properties.
Este documento presenta varias técnicas mnemotécnicas para ayudar a memorizar las relaciones e identidades trigonométricas a través de dibujos como el hexágono trigonométrico, la flor, la telaraña y el boxeador. Estas técnicas permiten recordar fácilmente las fórmulas mediante la visualización de las relaciones entre las funciones trigonométricas en los diferentes dibujos.
Distributive property of sets (class 11 mathematics project)KushagraAgrawal46
Kushagra Agrawal submitted a mathematics project to Kamal Soni Sir. The project discusses sets and set operations including intersections and unions of sets. It provides examples of intersections and unions of sets and uses Venn diagrams to prove the distributive law of sets. The project contains an index listing the topics covered on each slide and cites references used at the end.
El documento describe los pasos para resolver ecuaciones lineales, incluyendo quitar paréntesis y denominadores, agrupar términos, reducir términos semejantes y despejar la incógnita. También explica tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: reducción para igualar coeficientes, sustitución para despejar una incógnita y sustituirla, e igualación para despejar la misma variable en ambas ecuaciones.
En este documentos se describe como se relaciona la matemática con la programación de Scratch Mit. Además, se muestran las ventanas gráficas de usuario y los códigos de varias aplicaciones relacionadas con matemáticas.
LaTeX is a typesetting program that allows users to write documents and format them to be camera-ready. It is frequently used in scientific fields like mathematics, physics, and engineering where it is important to manipulate equations and graphics. LaTeX provides professional layouts and features for scientific documents like citations that are not available in programs like Microsoft Word. The document provides examples of basic LaTeX code for formatting text and includes information on LaTeX packages that can be used to add additional functionality.
The document discusses the radical plane, line, and center of spheres. The radical plane of two spheres is the plane perpendicular to the line joining their centers where the power of a point with respect to each sphere is equal. The radical planes of three spheres intersect in a radical line. The radical lines of four spheres intersect at the radical center point.
El documento introduce la geometría analítica y su relación con el álgebra. Explica los sistemas de coordenadas y cómo Descartes los utilizó para conectar la geometría y el álgebra. También cubre conceptos como la pendiente de una recta, ecuaciones de rectas, distancias y el software GeoGebra para graficar geometría. Finalmente, propone algunos problemas para practicar estos conceptos.
Trigonometry is used to calculate unknown heights, distances, and angles using relationships between sides and angles of triangles. It was developed by ancient Greek mathematicians like Thales and Hipparchus to solve problems in astronomy and geography. Some key applications include using trigonometric ratios like tangent and cotangent along with known distances and angles of elevation/depression to determine the height of objects like towers, buildings, and mountains when direct measurement is not possible. The document provides historical context and examples to illustrate how trigonometric concepts have been applied to problems involving finding heights, distances, and other unknown measurements through the use of triangles and their properties.
Este documento presenta varias técnicas mnemotécnicas para ayudar a memorizar las relaciones e identidades trigonométricas a través de dibujos como el hexágono trigonométrico, la flor, la telaraña y el boxeador. Estas técnicas permiten recordar fácilmente las fórmulas mediante la visualización de las relaciones entre las funciones trigonométricas en los diferentes dibujos.
Distributive property of sets (class 11 mathematics project)KushagraAgrawal46
Kushagra Agrawal submitted a mathematics project to Kamal Soni Sir. The project discusses sets and set operations including intersections and unions of sets. It provides examples of intersections and unions of sets and uses Venn diagrams to prove the distributive law of sets. The project contains an index listing the topics covered on each slide and cites references used at the end.
El documento describe los pasos para resolver ecuaciones lineales, incluyendo quitar paréntesis y denominadores, agrupar términos, reducir términos semejantes y despejar la incógnita. También explica tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: reducción para igualar coeficientes, sustitución para despejar una incógnita y sustituirla, e igualación para despejar la misma variable en ambas ecuaciones.
En este documentos se describe como se relaciona la matemática con la programación de Scratch Mit. Además, se muestran las ventanas gráficas de usuario y los códigos de varias aplicaciones relacionadas con matemáticas.
LaTeX is a typesetting program that allows users to write documents and format them to be camera-ready. It is frequently used in scientific fields like mathematics, physics, and engineering where it is important to manipulate equations and graphics. LaTeX provides professional layouts and features for scientific documents like citations that are not available in programs like Microsoft Word. The document provides examples of basic LaTeX code for formatting text and includes information on LaTeX packages that can be used to add additional functionality.
The document discusses the radical plane, line, and center of spheres. The radical plane of two spheres is the plane perpendicular to the line joining their centers where the power of a point with respect to each sphere is equal. The radical planes of three spheres intersect in a radical line. The radical lines of four spheres intersect at the radical center point.
El documento introduce la geometría analítica y su relación con el álgebra. Explica los sistemas de coordenadas y cómo Descartes los utilizó para conectar la geometría y el álgebra. También cubre conceptos como la pendiente de una recta, ecuaciones de rectas, distancias y el software GeoGebra para graficar geometría. Finalmente, propone algunos problemas para practicar estos conceptos.
Hola les dejo un ppt de trigonometria que esta muy bueno para pasárselo a sus alumnos en el aula, yo lo hice y dio resultado, les llama la atención porque es distinto a la manera en que siempre les enseñamos y también se les hace mas facil entender los dibujos.
Este documento presenta un glosario de términos matemáticos ordenados de la letra A a la L. Define conceptos básicos como adición, álgebra, ángulo, área, división, ecuación, figura, fracción, geometría, gráfica, jerarquía de operaciones, línea, logaritmo, máximo común divisor, mediana, mínimo común múltiplo, modelo matemático, monomio, multiplicación, número, polinomio, propiedad, entre otros. El glosario provee definiciones conc
This document discusses how to construct quadrilaterals given certain measurements. It provides examples of constructing quadrilaterals when given: 1) four sides and one diagonal, 2) two diagonals and three sides, 3) two adjacent sides and three angles, 4) three sides and two included angles, and 5) other special properties. Step-by-step instructions and diagrams are used to demonstrate constructing specific quadrilaterals based on given measurements.
El documento describe el movimiento oblicuo y cómo se analiza usando funciones cuadráticas. Este movimiento resulta de la combinación de un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y otro vertical uniformemente variado. La trayectoria describe una parábola cuya ecuación es una función cuadrática que puede dividirse en componentes horizontales y verticales.
B.tech i eg u1 basics of engineering graphicsRai University
Engineering graphics are used to describe objects through drawings and technical specifications. Descriptions using words alone can be inadequate, so graphics are needed to precisely convey shape, size, and features. Drawings can be created by hand using tools like pencils, templates, and rulers, or using computer-aided design software. Proper drawing standards must be followed to ensure consistency and understanding between readers. Elements of drawings include lines to represent visible or hidden features, center lines, and dimensions. Lettering is also an important element that must follow standardized rules.
This document defines and describes various types of sets and set operations. It defines sets such as the set of natural numbers N, integers Z, rational numbers Q, and real numbers R. It describes how sets can be defined using roster form or set-builder form. It also defines finite and infinite sets, empty sets, subsets, power sets, unions, intersections, complements, Cartesian products, Venn diagrams, and De Morgan's laws for set operations.
Este documento presenta información sobre dos teoremas geométricos importantes: el Teorema de Tales y el Teorema de Pitágoras. El Teorema de Tales establece que si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos de las transversales entre las paralelas son proporcionales. El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. El documento incluye ejemp
La función potencia se define como f(x) = a^n, donde a es un número real distinto de cero y n es un número natural. El dominio de ambas funciones potencia dadas como ejemplo es R, mientras que el recorrido de la primera función es R^+ y el de la segunda es R. Se investiga la traslación horizontal y vertical de la función potencia, incluyendo las fórmulas encontradas.
Para calcular la distancia entre un punto y una recta en el plano, se traza un segmento perpendicular desde el punto hasta la recta, cuya longitud es la distancia buscada. En coordenadas cartesianas, si se conocen las coordenadas del punto y la ecuación de la recta, la distancia se puede hallar usando una fórmula específica.
Este documento describe los conceptos básicos de las proyecciones, incluyendo los tipos de proyecciones (ortogonal, oblicua y perspectiva), los elementos de las proyecciones (centro de proyección, plano de proyección y línea de proyección) y las vistas principales de un objeto (frontal, superior y lateral). También explica cómo se representan las características de un objeto mediante diferentes tipos de líneas en las proyecciones.
Este documento explica las funciones trigonométricas como razones entre los lados de un triángulo rectángulo. Define las funciones seno, coseno y tangente en términos de los catetos opuestos y adyacentes a un ángulo, y cómo estos cambian si se considera un ángulo diferente. También introduce las funciones cotangente, secante y cosecante y cómo se calculan en términos de los lados del triángulo.
The document discusses isometric projections and oblique projections. Isometric projections show an object with all vertical lines remaining vertical but horizontal lines drawn at a 30 degree angle. Oblique projections show depth through lines drawn at 45 degree angles, with cavalier drawings showing full scale depth, cabinet drawings at half scale, and general oblique drawings using any reasonable scale between half and full.
Este documento lista las fórmulas para calcular el área y volumen de varias figuras geométricas comunes como cilindros, esferas, conos, cubos y prismas. También incluye fórmulas para poliedros regulares como el tetraedro, octaedro, cubo, dodecaedro e icosaedro.
Este documento define relaciones y funciones, y clasifica funciones de acuerdo a sus características. Explica que una relación es una conexión entre conjuntos de objetos, mientras que una función requiere que a cada elemento del dominio le corresponda exactamente un elemento del contradominio. Las funciones se pueden clasificar como inyectivas, suprayectivas o biyectivas dependiendo de la correspondencia entre sus conjuntos. También se clasifican como algebraicas o trascendentes según su regla de correspondencia, e impares o pares dependiendo de su simetría.
Este documento define relaciones y funciones. Explica que una relación conecta conjuntos de objetos y debe cumplir condiciones como el orden para ser una función. Las funciones mapean cada elemento de un conjunto a otro de forma unívoca y se clasifican como inyectivas, suprayectivas o biyectivas dependiendo de la correspondencia entre conjuntos. También describe funciones algebraicas y trascendentes según su regla de correspondencia.
Este documento describe las funciones y las relaciones. Define una función como una relación especial donde cada elemento del primer conjunto se corresponde con exactamente un elemento del segundo conjunto. Clasifica las funciones como inyectivas, suprayectivas y biyectivas dependiendo de las correspondencias entre los conjuntos. También clasifica las funciones como algebraicas, trascendentes, pares e impares.
Este documento describe las funciones y sus características. Define una función como una relación especial entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Clasifica las funciones como inyectivas, suprayectivas y biyectivas dependiendo de la correspondencia entre los elementos de los conjuntos. También clasifica las funciones según su regla de correspondencia como algebraicas, trascendentes, pares e impares.
El documento presenta los conceptos básicos de las funciones, incluyendo el reconocimiento de funciones en diagramas, tablas de valores y gráficos, la clasificación de funciones como sobreyectivas, inyectivas y biyectivas, y los elementos característicos de una función como el dominio, codominio e imagen. Se proveen ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
El documento presenta los conceptos básicos de las funciones, incluyendo el reconocimiento de funciones en diagramas, tablas de valores y gráficos cartesianos, así como la clasificación de funciones como sobreyectivas, inyectivas o biyectivas. También define los elementos característicos de una función como el dominio, codominio e imagen.
Este documento describe conceptos fundamentales de relaciones y funciones matemáticas. Define relaciones como correspondencias entre conjuntos donde cada elemento del dominio se asocia con cero o más elementos del rango, mientras que las funciones requieren una asociación única. Explica cómo representar gráficamente relaciones y funciones, y define propiedades como inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
El documento explica los conceptos de relación y función matemática. Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos donde cada elemento del primer conjunto se corresponde con cero, uno o más elementos del segundo conjunto. Una función es una relación especial donde cada elemento del primer conjunto solo se corresponde con un único elemento del segundo conjunto. El documento proporciona ejemplos y propiedades de relaciones y funciones como ser inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
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La función potencia se define como f(x) = a^n, donde a es un número real distinto de cero y n es un número natural. El dominio de ambas funciones potencia dadas como ejemplo es R, mientras que el recorrido de la primera función es R^+ y el de la segunda es R. Se investiga la traslación horizontal y vertical de la función potencia, incluyendo las fórmulas encontradas.
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Este documento describe los conceptos básicos de las proyecciones, incluyendo los tipos de proyecciones (ortogonal, oblicua y perspectiva), los elementos de las proyecciones (centro de proyección, plano de proyección y línea de proyección) y las vistas principales de un objeto (frontal, superior y lateral). También explica cómo se representan las características de un objeto mediante diferentes tipos de líneas en las proyecciones.
Este documento explica las funciones trigonométricas como razones entre los lados de un triángulo rectángulo. Define las funciones seno, coseno y tangente en términos de los catetos opuestos y adyacentes a un ángulo, y cómo estos cambian si se considera un ángulo diferente. También introduce las funciones cotangente, secante y cosecante y cómo se calculan en términos de los lados del triángulo.
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Este documento define relaciones y funciones. Explica que una relación conecta conjuntos de objetos y debe cumplir condiciones como el orden para ser una función. Las funciones mapean cada elemento de un conjunto a otro de forma unívoca y se clasifican como inyectivas, suprayectivas o biyectivas dependiendo de la correspondencia entre conjuntos. También describe funciones algebraicas y trascendentes según su regla de correspondencia.
Este documento describe las funciones y las relaciones. Define una función como una relación especial donde cada elemento del primer conjunto se corresponde con exactamente un elemento del segundo conjunto. Clasifica las funciones como inyectivas, suprayectivas y biyectivas dependiendo de las correspondencias entre los conjuntos. También clasifica las funciones como algebraicas, trascendentes, pares e impares.
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El documento presenta los conceptos básicos de las funciones, incluyendo el reconocimiento de funciones en diagramas, tablas de valores y gráficos, la clasificación de funciones como sobreyectivas, inyectivas y biyectivas, y los elementos característicos de una función como el dominio, codominio e imagen. Se proveen ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
El documento presenta los conceptos básicos de las funciones, incluyendo el reconocimiento de funciones en diagramas, tablas de valores y gráficos cartesianos, así como la clasificación de funciones como sobreyectivas, inyectivas o biyectivas. También define los elementos característicos de una función como el dominio, codominio e imagen.
Este documento describe conceptos fundamentales de relaciones y funciones matemáticas. Define relaciones como correspondencias entre conjuntos donde cada elemento del dominio se asocia con cero o más elementos del rango, mientras que las funciones requieren una asociación única. Explica cómo representar gráficamente relaciones y funciones, y define propiedades como inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
El documento explica los conceptos de relación y función matemática. Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos donde cada elemento del primer conjunto se corresponde con cero, uno o más elementos del segundo conjunto. Una función es una relación especial donde cada elemento del primer conjunto solo se corresponde con un único elemento del segundo conjunto. El documento proporciona ejemplos y propiedades de relaciones y funciones como ser inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
Una función es una relación entre dos conjuntos A y B donde cada elemento de A se asocia con un único elemento de B. Una función requiere que para cada valor de la variable independiente haya un solo valor de la variable dependiente. El documento explica los conceptos de dominio, codominio y rango para describir los elementos de una función.
Este documento presenta una guía sobre funciones matemáticas. Introduce la definición formal de función y explica conceptos clave como dominio, codominio y recorrido. Incluye ejemplos de relaciones que no son funciones y actividades para que los estudiantes practiquen la identificación de funciones. El objetivo es que los estudiantes incorporen el vocabulario y conceptos básicos sobre funciones a su conocimiento matemático.
Este documento presenta una guía de estudio sobre relaciones y funciones matemáticas. Explica conceptos clave como dominio, codominio, rango e inyectividad. También describe diferentes tipos de funciones como funciones constantes, identidad, lineales, cuadráticas y cúbicas. Para cada función, analiza sus propiedades algebraicas y geométricas, así como cómo representarlas gráficamente. El objetivo es resolver problemas teóricos y prácticos sobre relaciones y funciones polinomiales utilizando sus propiedades.
El documento habla sobre conceptos de relaciones y funciones como dominio, recorrido, funciones, relaciones de equivalencia, particiones de conjuntos, diagramas de Hasse y álgebra relacional. Explica que el dominio de una relación es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados, mientras que el recorrido es el conjunto de las segundas componentes. Una función requiere que cada elemento del dominio tenga una única imagen en el recorrido. También define relaciones de equivalencia y clases de equivalencia.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones, incluyendo: pares ordenados, producto cartesiano, dominio, codominio e imagen, clasificación de funciones (suprayectivas, inyectivas, biyectivas), composición de funciones, función inversa, álgebra de funciones, y tipos de funciones como constante, identidad, valor absoluto, lineal, cuadrática, polinomial, racional, exponencial, logarítmica y circulares.
Este documento resume conceptos clave sobre relaciones y funciones matemáticas. Explica que una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos que cumple con una condición dada. Las funciones son un tipo especial de relación donde a cada elemento del conjunto dominio le corresponde exactamente un elemento del conjunto rasgo. Las funciones se clasifican en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas dependiendo de las correspondencias entre los elementos de los conjuntos. También define los conceptos de grado y tipo de funciones polinómicas como lineales, cuadr
El documento describe diferentes tipos de relaciones funcionales entre conjuntos. Explica que una relación funcional asigna a cada elemento de un conjunto dominio un único elemento del conjunto rango. Se analizan ejemplos de relaciones funcionales inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. También se definen funciones reales inyectivas y sobreyectivas como f(x)=|x| y g(x)=2x.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones. Explica que una función es una correspondencia entre dos conjuntos donde cada elemento del primer conjunto se asigna a un único elemento del segundo conjunto. Luego describe formas de representar funciones como diagramas sagitales, cartesiano, fórmulas y tablas de valores. Finalmente, introduce conceptos como dominio, recorrido y diferentes tipos de funciones como funciones reales.
Este documento define relaciones y funciones matemáticas. Explica que una relación es un vínculo entre dos conjuntos, mientras que una función requiere que cada elemento del primer conjunto esté asociado a exactamente un elemento del segundo conjunto. Luego proporciona ejemplos de relaciones y funciones, y describe cómo representar funciones gráficamente y clasificarlas según su forma, continuidad y monotonía.
Este documento describe las funciones matemáticas. Define una función como una relación especial donde cada elemento del conjunto de partida tiene una única imagen en el conjunto de llegada. Explica conceptos como el dominio, recorrido, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. También cubre funciones crecientes, decrecientes, funciones inversas y composición de funciones.
Este documento define las relaciones y funciones matemáticas. Explica que una relación es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos que vincula elementos de un conjunto de partida con uno de llegada. Una función es una relación especial donde a cada elemento del dominio se le asigna exactamente un elemento del codominio. Proporciona ejemplos de relaciones y funciones para ilustrar estos conceptos.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
2. Relaciones y Funciones
Una relación es una conexión o
correspondencia entre objetos o sujetos
representada como un conjunto de
pares ordenados
La relación “es menor que”, existe entre los
números 2 y 5
Relación
Relación Cosas que se relacionan
Es un múltiplo de …
No es igual a …
Da más leche que …
Es congruente con …
Número enteros
Números
Vacas
Triángulos
1
2
3
4
3. Relaciones y Funciones
Una relación se define sobre
conjuntos de objetos o sujetos
La relación “es un múltiplo de …”, está
definida sobre un conjunto de números
Relación 1
El orden de los elementos es muy
importante y debe tenerse en cuenta
2
La relación “12 es un múltiplo de 3”, es cierta mientras que “3 es
un múltiplo de 12” es falsa
La relación “nació en el año … está definida
desde un conjunto de gente hacia un
conjunto de números
4. Relaciones y Funciones
Sean los conjuntos L; formado por las vocales
latinas, y G; formado por las vocales griegas
Ejemplo
, , , ,
L a e i o u
, , , , , ,
G
Estableceremos la relación de correspondencia de las
vocales latinas con las vocales griegas (transliteración),
R: LG.
( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )
R a e e i o o u
Representación con pares ordenados
7. Relaciones y Funciones
Algunas relaciones tienen una
característica que las hace especiales
Considera la relación “es hijo de …” definida
desde el conjunto H hacia el conjunto P
Funciones
Pedro
Arturo
H Aurora
Norma
Fátima
Enrique
Rogelio
G
Mario
Víctor
El diagrama
establece que Arturo
y Aurora son hijos de
Rogelio, que Pedro
es hijo de Enrique,
Norma es hija de
Mario y Fátima es
hija de Víctor.
8. Relaciones y Funciones
¿Qué sentido tendría la relación
marcada en la figura?
¿Fátima es hija de Mario y Víctor?
Biológicamente es imposible que una
persona tenga dos padres
Funciones
Pedro
Arturo
H Aurora
Norma
Fátima
Enrique
Rogelio
G
Mario
Víctor
Si una relación
excluye este tipo de
correspondencias
entre los elementos
de los conjuntos que
la definen, hablamos
de una FUNCIÓN
9. Relaciones y Funciones
Una función se define formalmente de
la siguiente manera:
Sea f: A B una relación, entonces decimos que f
es una función de A hacia B si y solo si para cada
xA hay un solo yB tal que x f y, que se
denota como y=f(x).
Funciones
i
Al conjunto B se le llama CONTRADOMINIO
ii
A la relación f se le conoce como REGLA de CORRESPONDENCIA
iv
A f(x) se le conoce como la Imagen de x, al conjunto de
imágenes se le conoce como Conjunto Imagen de la
función o Recorrido de la función
iii
Al conjunto A se le llama DOMINIO, Dom(f)=A
10. Relaciones y Funciones
Las funciones se clasifican:
Funciones
Por la relación entre el Dominio y el Contradominio
1
Inyectivas Suprayectivas Biyectivas
Por su regla de correspondencia
2
Algebraicas Trascendentes
Por su simetría
3
Pares Impares
11. Relaciones y Funciones
Función Inyectiva
x1,x2 si [x1≠ x2 ] [f(x1) ≠ f(x2)]
x1,x2 si [f(x1) = f(x2)] [x1= x2]
B
Si f: A B es una función, es inyectiva si se cumple alguna de
las siguientes condiciones
A
Establezcamos una relación entre el conjunto de carros de
los 5 profesores de matemáticas de la universidad y el
conjunto de lugares en el estacionamiento.
A cada carro le corresponde un lugar de estacionamiento
Ejemplo
12. Relaciones y Funciones
Función Inyectiva
En el estacionamiento de la universidad los profesores tienen un
lugar específico para estacionar su carro.
Ejemplo
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Lugar 6
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Es una función porque a cada carro le corresponde un solo lugar de
estacionamiento; a cada elemento del dominio le corresponde un solo
elemento del contradominio. Se evitan relaciones como las mostradas abajo
Lugar 1
Lugar 2
Carro 1
¿Esta
relación es
una función?
13. Relaciones y Funciones
Función Inyectiva Ejemplo
Es una función inyectiva porque si tomamos dos carros
diferentes, el lugar de estacionamiento que les corresponde es
diferente.
¿Esta
función es
inyectiva?
Lugar 2
Carro 2
Carro 3
En una función inyectiva NO se
permite este tipo de relaciones
14. Relaciones y Funciones
Función Suprayectiva
Im(f)= B, es decir, que el Conjunto Imagen de la
función sea exactamente igual al conjunto B
(contradominio)
yB existe xA tal que y=f(x)
Si f: A B es una función, es sobreyectiva si se cumple que:
A
Sea la función definida
del conjunto de carros
hacia el conjunto de
lugares de
estacionamiento.
Ejemplo
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Todos los elementos del contradominio SON
imágenes de algún o algunos elementos del
dominio.
Carro 6
¡Esta función NO es inyectiva!
15. Relaciones y Funciones
Función Suprayectiva
Esta función NO es suprayectiva porque hay un elemento del contradominio que
NO es imagen de algún elemento del dominio. El lugar 6 no está asignado a
ningún vehículo.
¿La función
del ejemplo
anterior es
suprayectiva?
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Lugar 6
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
16. Relaciones y Funciones
Función Biyectiva
Un elemento del contradominio NO puede ser imagen de
dos diferentes elementos del dominio
Si f: A B es una función, es biyectiva si es, al mismo tiempo,
inyectiva y suprayectiva, es decir,
A
Ejemplo
Todos los elementos del contradominio deben ser
imágenes de al menos un elemento del dominio
B
Sea la función definida
del conjunto de carros
hacia el conjunto de
lugares de
estacionamiento.
Todos los elementos del contradominio
SON imágenes de solo un elemento del
dominio. La función es inyectiva y
suprayectiva al mismo tiempo.
Lugar 1
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Lugar 6
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Carro 6
Lugar 2
17. Relaciones y Funciones
Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de
correspondencia un número determinado de
operaciones como suma, resta, multiplicación,
división, radicación y potencia.
A
Ejemplos
2
( ) 3 2
f x x x
Función cuadrática
B
1 2
1 2 1 0
( ) ...
n n
n n
P x a x a x a x a x a
C
Función Polinomial (entera) de grado “n”
( )
f x ax b
Función lineal
1 2
1 2 1 0
1 2
1 2 1 0
...
( )
( )
( ) ...
n n
n n
m m
m m
a x a x a x a x a
P x
r x
Q x b x b x b x b x b
D
Funciones Racionales
Función Racional No entera
18. Relaciones y Funciones
Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de
correspondencia un número determinado de
operaciones como suma, resta, multiplicación,
división, radicación y potencia.
A
Ejemplos
2
( )
f x x b
Las funciones
irracionales incluyen
radicales en la regla de
correspondencia
B
1
( )
2
x
f x
x
C
2
( ) 1
f x x x
2
( )
4
x
r x
x
D
Funciones Irracionales
1
( )
2
x
f x
x
E
19. Relaciones y Funciones
Funciones trascendentes Todas las funciones que NO son algebraicas
se conocen con el nombre de funciones
trascendentes o trascendentales
A
Ejemplos
( ) , 0
x
f x a a
Función Exponencial B Función logaritmo
( ) log , 0
a
f x x a
C
( ) sin( ), ( ) cos( ), ( ) tan( )
f x x f x x f x x
Funciones Trigonométricas (circulares)
( ) cot( ), ( ) sec( ), ( ) csc( )
f x x f x x f x x
D Funciones Hiperbólicas D Funciones trigonométricas
Inversas
20. Relaciones y Funciones
Una función es par cuando se cumple que:
Función Par
f(x)=f(-x)
Es decir, cuando las imágenes de valores opuestos coinciden.
La gráfica de una función Par es simétrica respecto al eje Y
Una función es impar cuando se cumple que:
Función Impar
f(-x)=-f(x)
Es decir, a valores opuestos corresponden imágenes opuestas.
La gráfica de una función Impar es simétrica respecto al origen de coordenadas
21. Relaciones y Funciones
Operaciones con
Funciones
Dadas las funciones f(x) y g(x) se definen la:
1 Suma: (f+g)(x) = f(x) + g(x)
2
3
5
Resta: (f-g)(x) = f(x) - g(x)
Composición: (fg)(x) = f(g(x))
División: (f/g)(x) = f(x) / g(x)
4
Multiplicación: (f*g)(x) = f(x) * g(x)