El documento habla sobre conceptos de relaciones y funciones como dominio, recorrido, funciones, relaciones de equivalencia, particiones de conjuntos, diagramas de Hasse y álgebra relacional. Explica que el dominio de una relación es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados, mientras que el recorrido es el conjunto de las segundas componentes. Una función requiere que cada elemento del dominio tenga una única imagen en el recorrido. También define relaciones de equivalencia y clases de equivalencia.

1. RELACIONES Y FUNCIONES RELACIÓN V/S FUNCIÓN CONCEPTOS

2. Relación v/s Función

3. Conceptos DOMINIO El dominio de una relación (o función) R es el conjunto de las primeras componentes (abscisas) de los pares ordenados de la relación. Es el conjunto de las preimágenes , es la parte que tomo del conjunto de partida . En símbolos:

4. Conceptos DOMINIO Ejemplos:

5. Conceptos DOMINIO ¿Cuál es el dominio de la relación? El elemento 3 no es parte del dominio pues no está asociado a ningún elemento, es decir, no pertenece a la relación.

6. Conceptos RECORRIDO/RANGO El recorrido de una relación (o función) R es el conjunto de las segundas componentes (ordenadas) de los pares ordenados de la relación. Es el conjunto de las imágenes , es la parte que tomo del conjunto de llegada . En símbolos:

7. Conceptos RECORRIDO/RANGO Ejemplos:

8. Conceptos RECORRIDO/RANGO ¿Cuál es el recorrido de la relación? El elemento “c” no es parte del recorrido pues no tiene asociado ningún elemento, es decir, no pertenece a la relación.

9. Definición FUNCIÓN Dada una relación F: A -> B , ésta es función si y sólo si cada elemento de A tiene imagen única en B. En símbolos:

10. Definición FUNCIÓN En un gráfico sagital, una relación es función si de TODOS los elementos del primer conjunto sale UNA SOLA flecha.

11. Definición FUNCIÓN En una gráfica...

12. Propiedades de las relaciones De entre las diversas propiedades que puede (o no) tener una relación binaria en , las más interesantes son las siguientes:

13. Hacemos notar que las propiedades anteriores son comprobables a partir de la matriz de la relación , siempre (por supuesto) que el conjunto sea finito. Para ello, necesitamos previamente un poco más de terminología. Así se denomina relación diagonal en , y se denota por , a la relación definida por

14. Obviamente, la matriz asociada a la relación diagonal es aquélla que tiene 1 en todas las posiciones de la diagonal y 0 en el resto, matriz que denominaremos identidad y representaremos por . De esta manera, se obtiene fácilmente el siguiente Teorema 4.1 Sea y sea la matriz asociada a . Entonces:

16. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

17. ¿Qué son las relaciones de equivalencia? Sea K un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida sobre K . Se dice que R es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades: Reflexividad: Todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Simetría: Si un elemento de K está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero.

18. Transitividad: Si un elemento de A está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Una relación de equivalencia R sobre un conjunto K puede denotarse con el par ordenado .

19. Clases de equivalencia La relación de equivalencia define subconjuntos disjuntos en K llamados clases de equivalencia de la siguiente manera: Dado un elemento , al conjunto dado por todos los elementos relacionados con a se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento a . Al elemento a se le llama representante de la clase . Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito. Finalmente, el conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente.

20. Una vez definida la estructura de un espacio vectorial, es interesante analizar los mapeos que pueden existir entre los elementos de varios espacios, en este caso, el uso de relaciones de equivalencia ayuda a hacer más clara la interacción entre dos espacios conectados por una función. Una función debe cumplir que para cada elemento ,x f(x) sea única; de este modo, para espacios vectoriales se requiere que las funciones cumplan con ser lineales, esto es: f (ax+b4)=af(x)+bf(y)

21. Partición de un conjunto A. Una partición de un conjunto A no vacío, es una colección de subconjuntos no vacíos A 1 , A 2 , ..., A n de A tal que: A i A j = 0, i ¹ j. A 1 + A 2 + ... + A n = A. Ejemplo . Sea, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. A 1 = {1, 2, 3, 4}, A 2 = {5, 6, 7}, A 3 = {4, 5, 7, 9}, A 4 = {8, 9, 10}, A 5 = {1,2,3,6,8,10}. Los conjuntos P 1 = {A 1 , A 2 , A 4 } y P 2 = {A 3 , A 5 } son particiones de A. El conjunto {A 1 , A 3 , A 4 } no es una parición de A puesto que 4 Î A 1 A 3 .

22. Toda partición de un conjunto no vacío A, define una relación de equivalencia en A. Demostración: Sea P = { A 1 , A 2 , ..., A n } una partición de A. Se define en A la siguiente relación: R = {(x, y) / x Î A i , y Î A i Ù A i Î P}. Veamos que R es una relación de equivalencia. R es reflexiva, como A ¹ 0, existe x Î A; ahora como P es una partición de A, x Î A i , A i Î p. R es simétrica puesto que sí x R y, x e y Î A i y por tanto y R x. R es transitiva. sí x R y Ù y R z, entonces, x Î A i Ù y Î A i de igual manera y Î A j Ù z Î A j . Luego, y Î A i A j , por definición de partición se sigue que: A i = A j . Por tanto, y Î A i Ù z Î A i , de donde x R z.

23. Según la identidad entre las muestras y las comparaciones . Igualación idéntica a la muestra: muestra y comparación tienen idénticas características físicas. Igualación diferente a la muestra. Igualación arbitraria a la muestra. Según la modalidad estimular . Los dos tipos más empleados en los análisis experimentales son auditiva–visual y visual–visual. Según la especificación temporal entre la presentación de la muestra y de las comparaciones . Igualación a la muestra simultánea. Igualación demorada a la muestra. Igualación de demora cero

24. Según otros criterios . Con el propósito de evitar que las respuestas estén controladas por la posición en lugar de por las características físicas distintivas de éstas, hay más posiciones que comparaciones. También son discriminaciones condicionales las operantes verbales en las que el participante selecciona uno entre varios estímulos presentes ante un estímulo más (selection-based operants, Michael, 1993). Señalar una palabra impresa ante el objeto a que se refiere la palabra es una discriminación condicional y que se llama en la literatura sobre conducta verbal "tacto basado en la selección". [...] seleccionar un objeto el estímulo verbal que se refiere ese objeto (seleccionar una manzana ante la palabra manzana) es una discriminación condicional a la que la literatura sobre conducta verbal refiere como "mando basado en la selección" (selection-based mand, Michael, 1993), "obediencia a mandos (mand compliance, Sundberg y Sunberg, 1990) e "identificación receptiva" (receptive identification, Hall Chase, 1991).

25. Es el momento de enunciar el fenómeno de las relaciones de equivalencia . Según Valero (1992), "Las relaciones de equivalencia suponen la aparición de un nuevo comportamiento discriminativo a partir del entrenamiento anterior de componentes separados. Se afirma que aparece equivalencia entre los nuevos estímulos que se relacionan por primera vez, sin que hayan estado juntos en las interacciones anteriores."

26. Se dice que los estímulos son miembros de una clase de equivalencia si muestran, sin haber sido directamente entrenadas, las propiedades de reflexividad , simetría y transitividad . Por ejemplo, se entrena a un sujeto para que dado el estímulo A elija el estímulo B, y dado el estímulo B elija el estímulo C, y aparecen (sin ser previamente entrenadas) la relación reflexiva (dado A elige A, dado B elige B, dado C elige C), simétrica (dado B elige A, dado C elige B), transitiva (dado A elige C) y simétrica de la transitiva (dado C elige A). Este fenómeno se denomina "formación de una clase de equivalencia de estímulos".

27. Diagrama de Hasse

28. Un diagrama de Hasse es una representación gráfica simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito. Esto se consigue eliminando información redundante. Para ello se dibuja una arista ascendente entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin haber otros elementos intermedios. En un diagrama de Hasse se elimina la necesidad de representar: Ciclos de un elemento, puesto que se entiende que una relación de orden parcial es reflexiva. Aristas que se deducen de la transitividad (matemática) de la relación.

29. Definición De dos miembros x e y de un conjunto parcialmente ordenado S que «y sigue a x» si x ≤ y y no hay elemento de S entre x e y. El orden parcial es entonces precisamente la clausura transitiva de la relación de seguir. El diagrama de Hasse de S se define como el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) tales que y sigue a x, es decir, el diagrama de Hasse se puede identificar con la relación de seguir.

30. Ejemplo Concretamente, uno representa a cada miembro de S como un punto negro en la página y dibuja una línea que vaya hacia arriba de x a y si y sigue a x. Por ejemplo, sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} (todos los divisores de 60). Este conjunto está ordenado parcialmente por la relación de divisibilidad. Su diagrama de Hasse puede ser representado como sigue:

31. Por ejemplo, en el diagrama de Hasse del poset de todos los divisores de un número n, ordenados parcialmente por divisibilidad, n mismo está en el tope del diagrama, el número 1 estaría en el fondo, y los divisores más pequeños (primos) seguirían al elemento inferior. Relación con los Grafos Un diagrama de Hasse puede verse también como un grafo al que se le quitan todos sus bucles y sus aristas que pueden deducirse con la propiedad transitiva y propiedad reflexiva.

32. La dificultad de encontrar un buen diagrama de Hasse Las relaciones "seguir a" queda definida de modo único a partir de la relación de orden inicial. Esto hace que las aristas del diagrama de Hasse y los puntos que conectan queden determinados también de forma única. Pero existe un problema adicional: encontrar una ubicación adecuada para los vértices que pueda reflejar alguna de las simetrías subyacentes. En este sentido, encontrar un buen diagrama es difícil. Se han propuesto varios algoritmos para dibujo de "buenos" diagramas, pero hoy en día su construcción sigue basándose en una fuerte intervención humana. De hecho, incluso un humano necesita bastante práctica para elaborarlos. Los siguientes ejemplos corresponden a diagramas de Hasse de una misma relación de orden:

33. Algebra Relacional

34. ¿ Que es? El álgebra relacional es un conjunto de operaciones que describen paso a paso como computar una respuesta sobre las relaciones, tal y como éstas son definidas en el modelo relacional. Denominada de tipo Procedimental, a diferencia del Cálculo relacional que es de tipo declarativo. Describe el aspecto de la manipulación de datos. Estas operaciones se usan como una representación intermedia de una consulta a una base de datos y, debido a sus propiedades algebraicas, sirven para obtener una versión más optimizada y eficiente de dicha consulta.

35. Tuplas Una relación es un tipo especial de conjunto. Las tuplas de una relación ("filas de una tabla" en el lenguaje usual de bases de datos). Unión compatible Una unión es compatible entre dos relaciones, si ellas poseen la misma aridad y el dominio de ellas son los mismos de izquierda a derecha. Aridad Número de atributos.

36. Operaciones Básicas Cada operador del algebra acepta una o dos relaciones y retorna una relación como resultado. σ y Π son operadores unarios, el resto de los operadores son binarios. Las operaciones básicas del álgebra relacional son: Selección (σ) Permite seleccionar un subconjunto de tuplas de una relación ( R ), todas aquellas que cumplan la(s) condición(es) P , esto es: Ejemplo: Selecciona todas tuplas que contengan Gómez como apellido en la relación Alumnos Una condición puede ser una combinación booleana, donde se pueden usar operadores como: , combinándolos con operadores .

37. Proyección (Π) Permite extraer columnas(atributos) de una relación, dando como resultado un subconjunto vertical de atributos de la relación, esto es: donde son atributos de la relación R . Ejemplo: Selecciona los atributos Apellido, Semestre y NumeroControl de la relación Alumnos, mostrados como un subconjunto de la relación Alumnos Producto cartesiano (x) El producto cartesiano de dos relaciones se escribe como: y entrega una relación, cuyo esquema corresponde a una combinación de todas las tuplas de R con cada una de las tuplas de S , y sus atributos corresponden a los de R seguidos por los de S . Ejemplo: Muestra una nueva relación, cuyo esquema contiene cada una de las tuplas de la relación Alumnos junto con las tuplas de la relación Maestros, mostrando primero las atributos de la relación Alumnos seguidos por las tuplas de la relación Maestros.

38. Unión (U) La operación retorna el conjunto de tuplas que están en R, o en S, o en ambas. R y S deben ser uniones compatibles. Diferencia (-) La diferencia de dos relaciones, R y S denotada por: entrega todas aquellas tuplas que están en R, pero no en S. R y S deben ser uniones compatibles. Estas operaciones son fundamentales en el sentido en que; 1.-Todas las demás operaciones pueden ser expresadas como una combinación de éstas. 2.-Ninguna de estas operaciones pueden ser omitidas sin que con ello se pierda información.

39. Operaciones No Básicas Intersección (∩) La intersección de dos relaciones se puede especificar en función de otros operadores básicos: R S = R − (R − S) La intersección, como en Teoría de conjuntos, corresponde al conjunto de todas las tuplas que estan en R y en S, siendo R y S uniones compatibles. Combinación (⊲⊳) (Join) Una combinación de dos relaciones es equivalente a: R ⊲⊳F S = σF (R × S) Esto es mucho más útil que el uso del operador básico producto cartesiano, pues especifica una regla para la combinación de los atributos.

40. División (/) Supongamos que tenemos dos relaciones A (x, y) y B (y) donde el dominio de y en A y B, es el mismo. El operador división A / B retorna todos los distintos valores de x tales que para todo valor y en B existe una tupla en A.

41. EQUIPO # 1 BIBIANO CANEL MARIA EUGENIA SANCHEZ SANTIAGO VIRIDIANA OLIVA TORRES PAULINA MARTINEZ MARTINEZ ARMANDO JESUS