Este documento introduce los números complejos, incluyendo su definición, operaciones aritméticas, propiedades como el conjugado, y una interpretación geométrica. Explica que los números complejos constan de una parte real y una imaginaria, y pueden representarse como puntos en un plano complejo.

1. NÚMEROS COMPLEJOS
Prof. Germán Urbina

2. INTRODUCCIÓN
 Al resolver, por fórmula cuadrática, una ecuación cuadrática 𝑎𝑥2
+
𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 algunas raíces no son reales sino complejas cuando el
discriminante 𝑏2 − 4𝑎𝑐 es negativo.
 Ejemplo: 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 no tienen soluciones reales, pero sí
complejas

3. DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
 Terminología:
 Para 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 :
 a es la parte real de z, se denota Re(z)=a
 b es la parte imaginaria de z , se denota Im(z)=b
 Ejemplo: 𝑧 = 4 − 9𝑖, Re z = 4, Im z = −9
 Número imaginario puro: Es una constante real que es múltiplo de la
unidad imaginaria

4. OPERACIONES ARITMÉTICAS Y PROPIEDADES
 Cero complejo: 𝑥 + 𝑖𝑦 = 0 si 𝑥 = 0 y 𝑦 = 0

5. CONJUGADO
 Propiedades del conjugado

6. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
 Ejemplo:
 a) z1 + 𝑧2
 b) z1 − 𝑧2
 c) z1𝑧2
 d)
z1
𝑧2
Nota: Para la
división se utiliza el
conjugado del
divisor

7. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
 Un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 se determina
únicamente por medio de un par ordenado
de números reales (x, y).
 x y y corresponden, respectivamente, a la
parte real y a la imaginaria del número
complejo.
 Ejemplo: el par ordenado (2, -3) corresponde
al número complejo 𝑧 = 2 − 3𝑖
 También, 𝑧 = 2 − 3𝑖, determina al par
ordenado (2, -3)
 Se puede asociar un número complejo 𝑧 =
𝑥 + 𝑖𝑦 con un punto (x, y) de un plano
coordenado
 Un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 puede verse
también como un vector cuyo punto inicial es
el origen y cuyo punto terminal es (x, y)
 Plano: Plano complejo o z
 Eje horizontal: Eje real
 Eje vertical: Eje imaginario

8. MODULO O VALOR ABSOLUTO
 Ejemplo: Si 𝑧 = 2 − 3𝑖, hallar 𝑧

9. DESIGUALDADES IMPORTANTES
 Desigualdad Triangular:
 Otra desigualdad:

10. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA (UN ADELANTO)
 Si 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 son números complejos con 𝑎𝑛 ≠ 0, entonces el
polinomio 𝑝 𝑧 = 𝑎𝑛𝑧𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝑧𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1𝑧 + 𝑎0 tiene n raíces
𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, … , 𝑧𝑛 ∈ ℂ. Y puede ser factorizado como
 𝑝 𝑧 = 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧1) 𝑧 − 𝑧2 … (𝑧 − 𝑧𝑛)
 En ℝ esto no es cierto, 𝑝 𝑥 = 𝑥2 + 1 no tiene raíces reales
 Pero en ℂ, se puede factorizar como 𝑝 𝑧 = 𝑧2
+ 1 = (𝑧 + 𝑖)(𝑧 − 𝑖)

11. TAREA
 Sección 15.1: 1,3,7,11,15,19, 27,29,33

12. G R A C I A S