Los números complejos surgen de la necesidad de resolver ecuaciones cúbicas y cuadráticas. Representan la suma de un número real y uno imaginario. Existen varias formas de representarlos como binómica, polar, exponencial y trigonométrica. Los números complejos forman un cuerpo y permiten resolver ecuaciones que de otro modo no tendrían solución en los reales.

1. Republica Bolivariana De Venezuela
IUP. Santiago Mariño
Sede Barcelona
Ing. En sistema
Alumna:
Oriannys Rodríguez
CI: 27838703
Profesor:
Pedro Beltrán

2. El tema de los números complejos es tan esencial para poder integrar la trigonometría ,
el algebra y la geometría, es muy poco estudiado en educación media. Para muchos
docentes, la finalidad de los números complejos esta en poder calcular las raíces enésimas
de la unidad. los números complejos, así como muchas técnicas matemáticas se utiliza en
todos los campos de las matemáticas.
Los números complejos o imaginarios nacen de la necesidad de resolver ecuaciones
cubicas generales como ax3 + bx2 + cx + d = 0 o cuadráticas como x 2 + 1 = 0.
Cardano es el primero en manipular √ −1 como si fuera un numero, y Euler propuso el
símbolo i para denotarlo. A principios del siglo XIX empieza a aceptarse su existencia y, de
hecho, su estudio ha dado lugar a toda una teoría de variable compleja, que ha encontrado
importantes aplicaciones asi como en áreas diversas de la ciencia y de la tecnología como
las comunicaciones, la aeronáutica y astronáutica, el diseño de circuitos, la acústica, la
sismología, la ingeniería biomédica, los sistemas de generación y distribución de energía, el
control de procesos químicos y el procesamiento de voz.

3. Los números complejos son aquellos que resultan de
la suma de un número real y un numero imaginario;
entendiéndose como número real, aquel que puede
expresarse de forma entera (s, 10, 300, etc.) o decimal
(2,24; 3,10; etc.), mientras que el imaginario es aquel
número cuyo cuadrado es negativo.
Los números complejos son muy utilizados en el
álgebra y en el análisis. hora bien, estos números que nos
ocupan forman un conjunto de cifras que resultan de
sumas entre un número real y otro imaginario. En tanto, un
número real será aquel que podrá expresarse a través de
un número entero, o en su defecto de uno decimal.
Mientras tanto el número imaginario será aquel cuyo
cuadrado resulta ser negativo.

5. Se llama operaciones elementales al
cambiar entre si dos filas de matrices, se
puede representar por Fi x Fj, siendo Fi y Fj
dos filas de matrices. Al multiplicar una fila
por un escalar distinto de cero, se presenta
por Fi x a Fj,
Suma a una fila otra fila, multiplicando por un
numero real. Se presenta Fi x Fi + a Fj.
Las operaciones elementales son
importante a que nos permite: escalonar una
matriz, reducir por filas una matriz, escalonar
y reducir por filas una matriz.

8. • Por ordenado
• Forma biónica
• Forma polar
• Forma exponencial
• Forma
trigonométrica

9. Por ordenado:
Se distingue un primer elemento
y un segundo elemento. El par
ordenado cuyo primer elemento es a
y cuyo segundo elemento es b se
denota como (a,b). Ejemplo:
Z= a+b
Forma Binómica
Un numero complejo en forma
binómica es a + bi. El numero a es la
parte real del numero complejo, el numero
b es la parte imaginaria del numero
complejo. Si b= 0 el numero complejo se
reduce a un numero real, a que a + oi = a.
Ejemplo: Z= a + bi

10. Forma polar
Un número complejo en forma polar
consta de dos componentes: módulo y
argumento.
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el
módulo del vector determinado por el
origen de coordenadas y su afijo. Se
designa por |z|.
Forma exponencial
Tambien conocida como Euler
es ampliamente usado en la rama
del Cálculo, y tiene un papel muy
importante en el crecimiento
exponencial y por lo tanto en
procesos de la naturaleza y de la
vida cotidiana.

11. La forma trigonométrica del
complejo z= a + bi z = a + bi es:
Cuando tenemos un complejo
escrito en forma trigonométrica, ya
lo tenemos casi en forma
binómica. Falta calcular el seno y
el coseno del argumento y
multiplicar por el módulo.

12. Canónico se usa con frecuencia en
matemática para indicar que algo es
natural, como debe ser e independiente
de elecciones arbitrarias, que es
absoluto y no relativo a un observador.
Decir de algo que es canónico es
decir que no es arbitrario, que todos
coincidimos en ello si lo miramos con
atención
Forma Canónica: (a,b) , a :parte
real y b es la parte imaginaria
NUMERO REAL (a,0).
IMAGINARIO PURO: (0,b). Un
complejo esta compuesto por una
parte real y una imaginaria.
Esto es numero complejo:
(a,0)+(0,b). Representación grafica:

13. Inversa quiere decir que discurre o va en dirección contraria.
función inversa o recíproca de una función f a una nueva función cuyo dominio es la imagen de
la función inicial, y su imagen es el dominio de la función inicial.
Es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple que si f (b) = a,
entonces g(a)=b.

14. un módulo es una de las estructuras algebraicas fundamentales usadas en algebra
abstracta. Un módulo sobre un anillo es una generalización de la noción de espacio
vectorial sobre un cuerpo, donde los correspondientes escalares son los elementos
un anillo (con identidad) arbitrario y donde está definida una multiplicación (a la izquierda y a
la derecha) entre elementos del anillo y elementos del módulo.

15. Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se
obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.
Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente
simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .
Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del
mismo una línea horizontal. Así se escribirá:

16. Propiedades de la conjugación.
1.El conjugado del conjugado de un número complejo es el propio número complejo: (z´)´ = z.
En efecto, sea z = a + b·i ==> z´ = a - b·i ==> (z´)´ = a - (- b·i) = a + b·i = z
2.El conjugado de la suma es la suma de los conjugados: (z1 + z2)´ = z1´ + z2´.
En efecto, sean z1 = a + b·i y z2 = c + d·i; es z1´ = a - b·i y z2´ = c - d·i, por tanto z1´ + z2´ = a - b·i + c - d·i = (a+c) - (b+d)·i = (z1 + z2)´.
3.El conjugado del opuesto es el opuesto del conjugado: (- z)´ = - z´.
En efecto, sea z = a + b·i ==> - z = - a - b·i ==> (- z)´ = - a + b·i = - (a - b·i) = - z´.
4.El conjugado del producto es el producto de los conjugados: (z1 · z2)´ = z1´ · z2´.
En efecto, sean z1 = a + b·i y z2 = c + d·i. Es z1 · z2 = (ac - bd) + (ad + bc)·i, de donde (z1 · z2)´ = (ac - bd) - (ad + bc)·i.
Por otra parte, z1´ · z2´ = (a - b·i) · (c - d·i) = [ac - (-b)(-d)] + [a(-d) + c(-b)]·i = (ac - bd) + (-ad - bc)·i = (ac - bd) - (ad + bc)·i = (z1 · z2)´.
5.El conjugado del inverso es el inverso del conjugado: 1/z´ = (1/z)´.
En efecto, sea z = a + b·i ==> z´ = a - b·i ==> 1/z´ = [a - (- b)·i]/(a2 + b2) = (a + b·i)/(a2 + b2). Por otra parte, 1/z = (a - b·i)/(a2 + b2) ==>
(1/z)´ = (a + b·i)/(a2 + b2) = 1/z´.
6.El conjugado del cociente es el cociente de los conjugados: (z1/z2)´ = z1´/z2´.
7.z es un número real <==> z = z´.
8.z es imaginario puro <==> z = -z´.

17. La desigualdad triangular o desigualdad de Minkowski es un teorema de geometría euclidiana
que establece: Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como
espacios vectoriales.
En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la
longitud del lado restante.
Este hecho es una consecuencia de otro teorema de la geometría plana clásica que afirma
que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.

18. La fórmula de De Moivre, nombrada así por Abraham Moivre afirma que para cualquier número
complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:
Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria)
con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

19. Raíces de un número complejo Para hallar las raíces de un número complejo se
aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan
han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo
entero de 360º. Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que
Ra = (R' a' ) n = ((R' )n )n a'
Aunque esto parece aportar una infinidad de
soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de
n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece
incrementado en un número entero de circunferencias.
Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, ..., n - 1,
lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da
un total de n raíces.

20. El conjunto de los números complejos es un cuerpo ya que se cumplen las propiedades de
clausura, asociatividad, conmutatividad , elemento neutro, elemento inverso, y distributividad
para la suma y la multiplicación.
Algo importante que acotar de los números complejos es que te proporciona herramientas
de trabajo para resolver ecuaciones que no tenían solución en el dominio de los números
reales, también te permite resolver ejercicios utilizando los símbolos ya estudiados para los
conjuntos numéricos.

21. K. Ribnikov (2012) desigualdad triangular
Disponible: https://www.ecured.cu/Desigualdad_triangular
Wikipedia (2019) teorema de moivre
Disponible: https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre
Un Profesor.com (2014) raíces de números complejos
Disponible:https://media.up.ltmcdn.com/es/ejercicios/5/9/3/solucion_raices_de_numeros_complejos_13
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Nidia Juliana Caceres García (2015) formas para representar un número complejo
disponible: https://prezi.com/nos0tnmylb2-/formas-para-representar-un-numero-complejo/
Julián Pérez Porto y Ana Gardey (2012) Números complejos
Disponible: https://definicion.de/numeros-complejos/
Laura (2012) definición de inversa
Disponible: https://matematica.laguia2000.com/general/funcion-inversa

22. Carolina Benítez (2013) definición de modulo
Disponible: https://sites.google.com/site/magromate/modulo-o-valor-bsoluto
matesfacil.com (2011) operaciones elementales
Disponible: https://www.matesfacil.com/matrices/matrices2.html