Semana 08

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Escuela profesional Ingeniería Mecánica
1

2
INDICE
INDICE........................................................................................... 2
I. PRESENTACIÓN ...................................................................... 3
II. OBJETIVOS........................................................................... 3
III. CONTENIDO.......................................................................... 3
IV. DESARROLLO DE CONTENIDO ............................................ 4
4.1 Método o regla del punto medio............................................. 5
4.2 Método o Regla del Trapecio ................................................. 8
4.3 Método o Regla de Simpson ................................................. 14
V. ACTIVIDADES ..................................................................... 18
VI. EVALUACIÓN...................................................................... 19
VII. BIBLIOGRAFÍA.................................................................... 20

3
I. PRESENTACIÓN
En esta guía se tratan los aspectos relacionados con la integral
definida, en cuanto a la forma de cómo evaluar integrales
definidas utilizando los métodos o reglas de aproximación
denominado integración numérica.
II.OBJETIVOS
Determinar el valor aproximado de una integral definida usando
la regla o método del punto medio.
Estimar el valor aproximado de una integral definida utilizando
la regla o el método del Trapecio.
Aproximar el valor de una integral definida usando la regla o
método de Simpson.
III. CONTENIDO
Integración numérica
Método o regla del punto medio.
Método o regla del Trapecio.
Método o regla de Simpson

4
IV. DESARROLLO DE CONTENIDO
Sabemos que para conseguir la solución de una integral
definida ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
𝒃
𝒂
debemos encontrar la primitiva de f, esto se
realiza en base al teorema fundamental del cálculo. Pero
existen ciertas funciones que son complicadas de encontrarle
su primitiva, o no existe una primitiva en términos de funciones
elementales, o en casos de experimentos obtenidos por
análisis, donde tenemos solamente datos y no una función que
exprese esos números. Lo anteriormente manifestado es una
dificultad para calcular integrales definidas, pero esto se puede
superar aproximando la integral mediante métodos numéricos,
llamados Integración Numérica, que serán presentados en esta
parte.
En esta parte presentaremos tres métodos para aproximar una
integral definida, estos son: la regla del punto medio, la regla
del trapecio y la regla de Simpson. Para cada caso vamos a
suponer que f es continua e integrable en [a, b].

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INTEGRACIÓN NUMÉRICA
¿Es posible encontrar 𝑰 = ∫ 𝒆𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝟏
𝟎
? ¿de 𝐼 = ∫ 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐
)𝒅𝒙
𝝅
𝟎
?
¿ de 𝑰 = ∫
𝟏
𝑳𝒏𝒙
𝒅𝒙
𝟓
𝟐
?. Después de observar y analizar, nos
damos cuenta que no es fácil encontrar una
antiderivada de estas tres funciones. De hecho, no
existen. Pero si lo que deseamos es calcular o
encontrar el valor de una integral definida, usaremos
un método denominado integración numérica para
aproximarla. Dentro de éstos métodos estudiaremos
el método del punto medio, el método del trapecio y el
método de Simpson.
4.1 Método o regla del punto medio
El método del punto medio tiene por finalidad, deducir
de forma simple y eficiente el método de los
rectángulos. Considerando un intervalo [a, b] y
dividimos por n intervalos de longitud igual a
𝒃 − 𝒂
𝒏
Frecuentemente escogemos el ponto muestral 𝒙𝒊
∗
como el extremo derecho del n-ésimo intervalo, ya que
es conveniente para el cálculo del limite. Por ende,
si el propósito es encontrar una aproximación para
una integral, es generalmente mejor escoger 𝒙𝒊
∗
como
el punto medio del intervalo, el cual denotamos por 𝒙
̅𝒊
Se analiza a continuación la aproximación resultante
al considerar como puntos de evaluación de la función
f(x), los puntos medios de cada uno de los
subintervalos en que queda dividido el intervalo [a,b]
para la aplicación del procedimiento de cálculo.

6
𝒙
̅𝟏 𝒙
̅𝟐 𝒙
̅𝟑 𝒙
̅𝟒 𝒙
̅𝒊 𝒙
̅𝒏
𝒂 𝒃
Si f es una función continua en el intervalo cerrado
[𝒂 , 𝒃] y 𝑷 = {𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . , 𝑥𝑛 = 𝑏} una partición
regular de [𝒂 , 𝒃] entonces
∫ 𝑓(𝑥) ≈
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥̅1)∆𝑥1 + 𝑓(𝑥̅2)∆𝑥2 + 𝑓(𝑥̅3)∆𝑥3 + ⋯ + 𝑓(𝑥̅𝑛)∆𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥) ≈ ∑ 𝑓(𝑥̅𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
)∆𝑥𝑖
donde
∆𝒙𝒊 =
𝒃 − 𝒂
𝒏
y 𝒙
̅𝒊 =
𝟏
𝟐
(𝒙𝒙−𝟏 + 𝒙𝒊) son los puntos medios de
[𝒙𝒊−𝟏 , 𝒙𝒊]
∫ 𝑓(𝑥) ≈
𝑏
𝑎
𝒃 − 𝒂
𝒏
[𝑓(𝑥̅1) + 𝑓(𝑥̅2) + 𝑓(𝑥̅3) + ⋯ + 𝑓(𝑥̅𝑛)]
Figura 01

7
Observación
Si M es un número real positivo talque |𝒇′′(𝒙)| ≤ 𝑴 ∀ 𝒙 ∈
[𝒂 , 𝒃] , entonces el error que se comete al usar la
regla del punto medio no es mayor que
𝑴( 𝒃− 𝒂 )𝟑
𝟐𝟒𝒏𝟐
Ejemplo
Utilizar la regla del punto medio para obtener el valor
aproximado de ∫
𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟏
con n = 10.
∆𝒙𝒊 =
𝟐 − 𝟏
𝟏𝟎
=
𝟏
𝟏𝟎
= 𝟎. 𝟏
𝑥0 = 1 , 𝑥1 = 1.1 , 𝑥2 = 1.2 , , 𝑥3 = 1.3 , , 𝑥4 = 1.4 , , 𝑥5 = 1.5
, 𝑥6 = 1.6 , , 𝑥7 = 1.7 , , 𝑥8 = 1.8 , , 𝑥9 = 1.9 , , 𝑥10 = 2
Los puntos medios de los subintervalos son
𝒙
̅𝟏 = 𝟏. 𝟎𝟓 , 𝒙
̅𝟐 = 𝟏. 𝟏𝟓 , 𝒙
̅𝟑 = 𝟏. 𝟐𝟓 , 𝒙
̅𝟒 = 𝟏. 𝟑𝟓 , 𝒙
̅𝟓 = 𝟏. 𝟒𝟓
𝒙
̅𝟔 = 𝟏. 𝟓𝟓 , 𝒙
̅𝟕 = 𝟏. 𝟔𝟓 , 𝒙
̅𝟖 = 𝟏. 𝟕𝟓 , 𝒙
̅𝟗 = 𝟏. 𝟖𝟓 , 𝒙
̅𝟏𝟎 = 𝟏. 𝟗𝟓
∫
𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟏
=
𝟏
𝟏𝟎
[
𝟏
𝟏.𝟎𝟓
+
𝟏
𝟏.𝟏𝟓
+
𝟏
𝟏.𝟐𝟓
+
𝟏
𝟏.𝟑𝟓
+
𝟏
𝟏.𝟒𝟓
+
𝟏
𝟏.𝟓𝟓
+
𝟏
𝟏.𝟔𝟓
+
𝟏
𝟏.𝟕𝟓
+
𝟏
𝟏.𝟖𝟓
+
𝟏
𝟏.𝟗𝟓
]
∫
𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟏
= 𝟎. 𝟏[𝟎. 𝟗𝟓𝟐 + 𝟎. 𝟖𝟔𝟗 + 𝟎. 𝟖 + 𝟎. 𝟕𝟒𝟎 + 𝟎. 𝟔𝟖𝟗 + 𝟎. 𝟔𝟒𝟓 + 𝟎. 𝟔𝟎𝟔 + 𝟎. 𝟓𝟕𝟏 + 𝟎. 𝟓𝟒𝟎 + 𝟎. 𝟓𝟏𝟑]
∫
𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟏
= 𝟎. 𝟏( 𝟔. 𝟗𝟐𝟓 ) = 𝟎. 𝟔𝟗𝟑
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 ≤
𝑴( 𝟏 )𝟑
𝟐𝟒(𝟏𝟎)𝟐
, 𝒇′(𝒙) = −
𝟏
𝒙𝟐
𝒇′′(𝒙) =
𝟐
𝒙𝟑
𝒇′′(𝟐) =
𝟐
𝟐𝟑
=
𝟏
𝟒
⟹ |𝒇′′(𝟐)| ≤
𝟏
𝟒
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 ≤
𝟎.𝟐𝟓( 𝟏 )𝟑
𝟐𝟒(𝟏𝟎)𝟐
=
𝟎.𝟐𝟓
𝟐𝟒𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟒𝟐

8
4.2 Método o Regla del Trapecio
La regla del trapecio es un método muy utilizado para estimar
el área bajo una curva. Sabemos que esta área es calculada a
través de la integración, de esa manera la regla del trapecio
establece una manera de aproximar integrales. Ella funciona
dividiendo el área sobre una curva en varios trapecios, puesto
que sabemos cómo calcular el área de un trapecio. Debido a la
forma como los trapecios siguen la curva, ellos dan
aproximación del valor del área mucho mejor que os
rectángulos vistos anteriormente, usados por Riemann.
Consideremos y = f (x) una función positiva y continua sobre el
intervalo [a, b]. Tomemos además una partición 𝑷 = {𝒂 =
𝒙𝟎, 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑, . . . , 𝒙𝒏 = 𝒃}.
Aproximamos f (x) por una poligonal, como lo muestra la figura,
y calculamos el área de cada trapecio, luego sumamos las
áreas y obtenemos una aproximación para el área entre la
curva y el eje x desde a hasta b.
Figura 02

9
Tomemos para ello una partición regular, es decir la longitud
de cada sub intervalo tienen la misma longitud
∆𝑥 =
𝑏 −𝑎
𝑛
El área del trapecio que tiene como base el subintervalo
[𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖] está dado por 𝐴𝑖 = [
𝑓(𝑥𝑖−1) + 𝑓(𝑥𝑖 )
2
] ∆𝑥 o equivalentemente
𝐴𝑖 = [
𝑦𝑖−1 + 𝑦𝑖
2
] ∆𝑥
Sumando todas las áreas de los trapecios formados se obtiene
𝐴 ≅ [
𝑦0 + 𝑦1
2
] ∆𝑥 + [
𝑦1 + 𝑦2
2
] ∆𝑥 + [
𝑦2+ 𝑦3
2
] ∆𝑥 + ⋯ + [
𝑦𝑛−1+ 𝑦𝑛
2
] ∆𝑥
𝐴 ≅
∆𝑥
2
[𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 + 2𝑦3 + ⋯ + 2𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛]
Teorema (Regla del trapecio). Sea f una función acotada sobre
el intervalo [a, b]. Podemos aproximar la integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
por
medio de
𝑇𝑛 ≅
∆𝑥
2
[𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 + 2𝑦3 + ⋯ + 2𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛]
donde 𝑷 = {𝒂 = 𝒙𝟎, 𝒙𝟏, 𝒙𝟐,𝒙𝟑. . . , 𝒙𝒏 = 𝒃} es una partición del
intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud
𝛥𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
, y donde 𝑦𝑖 = 𝑓 (𝑥𝑖).
Observación
Note que hemos enunciado el teorema sin imponer condiciones
a la función f, aunque al inicio del capítulo dijimos que f debía
ser positiva y continua sobre el intervalo. La positividad se
requiere, puesto que estamos pensando en áreas, pero una vez
obtenida la fórmula nos damos cuenta que no es necesaria. Lo
mismo pasa con la continuidad, pues si la función tiene una
discontinuidad de salto, digamos en x = d, se trabajan por
separado los intervalos [a, d] y [d, b]. Lo que sí es necesario es
que la función sea acotada, pues discontinuidades de tipo
infinito no se pueden manejar en estas sumas finitas.

10
Empezamos aplicando el método a una función cuya
antiderivada es conocida, por lo tanto, podemos comparar el
valor que obtenemos por medio de la regla del trapecio con el
valor exacto de la misma.
Ejemplos
1. Aproximar la siguiente integral ∫ 𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝟏
𝟎
usando la
regla del trapecio, con n = 4.
En este caso, tenemos que 𝜟𝒙 =
𝒃−𝒂
𝒏
=
𝟏−𝟎
𝟒
=
𝟏
𝟒
Los 𝒙𝒊 son 𝒙𝟎 = 𝟎, 𝒙𝟏 =
𝟏
𝟒
, 𝒙𝟐 =
𝟏
𝟐
, 𝒙𝟑 =
𝟑
𝟒
, 𝒙𝟒 = 1,
y los correspondientes 𝑦𝑖 son
𝒚𝟎 = 𝟎 , 𝒚𝟏 = (
𝟏
𝟒
)
𝟐
=
𝟏
𝟏𝟔
, 𝒚𝟐 = (
𝟏
𝟐
)
𝟐
=
𝟏
𝟒
,
𝒚𝟑 = (
𝟑
𝟒
)
𝟐
=
𝟗
𝟏𝟔
, 𝒚𝟒 = (𝟏)𝟐
= 𝟏
Figura 03

11
𝑇4 ≅
∆𝑥
2
[𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 + 2𝑦3 + 𝑦4]
𝑇4 ≅
1
4
2
[0 + 2 (
𝟏
𝟏𝟔
) + 2 (
𝟏
𝟒
) + 2 (
𝟗
𝟏𝟔
) + 1]
𝑇4 ≅
1
8
[0 + 2 (
𝟏
𝟏𝟔
) + 2 (
𝟏
𝟒
) + 2 (
𝟗
𝟏𝟔
) + 1] =
11
32
= 0.34375
¿Cuál es el valor real? Note que esta es una integral
muy sencilla que ya hemos hecho, precisamente, la
consideramos aquí porque conocemos su valor exacto,
que es 1 / 3.
Observe también que el valor de la aproximación nos
dio por encima del valor real, lo cual está acorde con lo
que muestra la gráfica. Podemos preguntarnos
entonces ¿cuál fue el error que se cometió?
El error absoluto es
𝑬𝒂𝒃𝒔 = |𝑻𝟒 − 𝑰 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂| = |𝟎. 𝟑𝟒𝟑𝟕𝟓 −
𝟏
𝟑
| = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟒𝟏𝟔,
El error relativo es
𝑬𝒓𝒆𝒍 =
|𝑻𝟒 − 𝑰𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 |
|𝑰𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 |
= 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓
esto quiere decir que el porcentaje de error al
aproximar con 𝑻𝟒 fue de3.125 %.
2) Aproximar la siguiente integral ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙
𝟐
𝟏
usando la
regla del trapecio, con n = 4 , n= 8 y n= 16.
En este caso, tenemos que 𝜟𝒙 =
𝒃−𝒂
𝒏
=
𝟏−𝟎
𝟒
=
𝟏
𝟒

12
Para n=4
𝜟𝒙 =
𝒃−𝒂
𝒏
=
𝟏−𝟎
𝟒
=
𝟏
𝟒
Los 𝒙𝒊 son 𝒙𝟎 = 𝟏, 𝒙𝟏 =
𝟓
𝟒
, 𝒙𝟐 =
𝟑
𝟐
, 𝒙𝟑 =
𝟕
𝟒
, 𝒙𝟒 = 2,
𝒚𝟎 = 𝟏 , 𝒚𝟏 =
𝟒
𝟓
, 𝒚𝟐 =
𝟐
𝟑
, 𝒚𝟑 =
𝟒
𝟕
, 𝒚𝟒 =
𝟏
𝟐
𝑇4 ≅
∆𝑥
2
[𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 + 2𝑦3 + 𝑦4]
𝑇4 ≅
1
4
2
[1 + 2 (
𝟒
𝟓
) + 2 (
𝟐
𝟑
) + 2 (
𝟒
𝟕
) +
1
2
]
𝑇4 ≅
1
8
[1 +
8
5
+
4
3
+
8
7
+
1
2
] = 0.697 023 81 …
Para n=8
𝜟𝒙 =
𝒃−𝒂
𝒏
=
𝟏−𝟎
𝟖
=
𝟏
𝟖
Los 𝒙𝒊 son 𝒙𝟎 = 𝟏, 𝒙𝟏 =
𝟗
𝟖
, 𝒙𝟐 =
𝟓
𝟒
, 𝒙𝟑 =
𝟏𝟏
𝟖
, 𝒙𝟒 =
3
2
,
𝒙𝟓 =
𝟏𝟑
𝟖
, 𝒙𝟔 =
𝟕
𝟒
, 𝒙𝟕 =
𝟏𝟓
𝟖
, 𝒙𝟖 = 2,
𝒚𝟎 = 𝟏 , 𝒚𝟏 =
𝟖
𝟗
, 𝒚𝟐 =
𝟒
𝟓
, 𝒚𝟑 =
𝟖
𝟏𝟏
, 𝒚𝟒 =
𝟐
𝟑
𝒚𝟓 =
𝟖
𝟏𝟑
, 𝒚𝟔 =
𝟒
𝟕
, 𝒚𝟕 =
𝟖
𝟏𝟓
, 𝒚𝟖 =
𝟏
𝟐
𝑇4 ≅
∆𝑥
2
[𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 + 2𝑦3 + 2𝑦4 + 2𝑦5 + 2𝑦6 + 2𝑦7 + 2𝑦8 + 𝑦9]
𝑇8 ≅
1
8
2
[1 + 2 (
𝟖
𝟗
) + 2 (
𝟒
𝟓
) + 2 (
𝟖
𝟏𝟏
) + 2 (
𝟐
𝟑
) + 2 (
𝟖
𝟏𝟑
) + 2 (
𝟒
𝟕
) + 2 (
𝟖
𝟏𝟓
) +
1
2
]
𝑇8 ≅
1
16
[1 +
16
9
+
8
5
+
16
11
+
4
3
+
16
13
+
8
7
+
16
15
+
1
2
] = 0.694 121 85 …
𝑇16 ≅ 0.69339120 …

13
Ahora bien, resulta que es posible acotar el error
cometido al aproximar la integral usando la regla del
trapecio. ¿Cuál es la finalidad de hacer esto?
Algunas veces no se sabe cuál es el número mínimo de
iteraciones que nos van a llevar a una buena respuesta,
en el sentido en que la diferencia con el valor verdadero
sea tan pequeña como se quiera. Más precisamente,
dado 𝜺 > 𝟎, se pretende encontrar n tal que
|𝑻𝒏 − 𝑰𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 | < 𝜺.
Error en la regla del trapecio. Si 𝒇′′
es continua y M es
una cota superior para los valores de | 𝒇′′
| en [a, b],
entonces el error 𝑬𝑻 en la aproximación por la regla del
trapecio, de la integral desde a hasta b de f (x) en n
pasos, satisface la desigualdad | 𝑬𝑻 | ≤
𝑴(𝒃 − 𝒂)𝟑
𝟏𝟐𝒏𝟐
Ejemplo
1. Suponga que se quiere aproximar la integral ∫ 𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝟏
𝟎
con un error menor a 0.001. ¿Cuál es el n adecuado?
Tenemos que 𝒇′′(𝒙) = 𝟐 , entonces M = 2 es cota para
| 𝒇′′
| en el intervalo [0, 1], y así | 𝑬𝑻 | ≤
𝟐(𝟏 −𝟎)𝟑
𝟏𝟐𝒏𝟐
=
𝟏
𝟔𝒏𝟐
|
Pero | 𝑬𝑻 | ≤ 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 entonces:
𝟏
𝟔𝒏𝟐
≤ 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 ⟺
𝟏
𝟔𝒏𝟐
≤
𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟎
⟺ 𝟔𝒏𝟐
≥ 𝟏𝟎𝟎𝟎
⟺ 𝒏𝟐
≥
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟔
⟺ 𝒏 ≥ 𝟏𝟐. 𝟗
es decir, necesitamos al menos n = 13 subintervalos
para lograr esa precisión.

14
x0 x1 x2
P1
P0
P2
y = f(x)
y0
y1
y2
4.3 Método o Regla de Simpson
La aproximación de la regla del trapecio de la integral
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
, resulta de aproximar el gráfico de f por
segmentos de línea recta a través de pares adyacentes
de puntos de datos en el gráfico. En resumen,
esperaríamos obtener mejores resultados si
aproximamos el gráfico por un método más general.
La regla de Simpson consiste en aproximar la función f
mediante un polinomio de grado dos 𝒇(𝒙) = 𝑨𝒙𝟐
+ 𝑩𝒙 +
𝑪. en [a, b], es decir determinaremos
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ≅ ∫ 𝑷𝟐(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
Si P0(x0, y0) , P1(x1, y1) P2(x2, y2) son puntos de una parábola tales
que x0< x1< x2, luego se sustituye las coordenadas de P0, P1, y P2
en 𝑦 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 .
Figura 04

15
-h 0 h
P1
P0
P2
y = f(x)
y0
y1
y2
Para generar la fórmula consideremos los puntos P0(-h, y0),
P1(0, y1) y P2(h, y2)
𝑨 = ∫ (𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄)𝒅𝒙 = 𝒂
𝒙𝟑
𝟑
+ 𝒃
𝒙𝟐
𝟐
+ 𝒄𝒙 |
−𝒉
𝒉
𝒉
−𝒉
𝐴 = (𝒂
𝒉𝟑
𝟑
+ 𝒃
𝒉𝟐
𝟐
+ 𝒄𝒉) − (𝒂
(−𝒉)𝟑
𝟑
+ 𝒃
(−𝒉)𝟐
𝟐
+ 𝒄(−𝒉))
𝐴 =
ℎ
3
(𝟐𝒂𝒉𝟐
+ 𝟔𝒄)
Puesto que los puntos P0(-h, y0), P1(0, y1) y P2(h, y2) pertenecen
al gráfico de f entonces se tiene
𝑦0 = 𝒇(−𝒉) = 𝒂𝒉𝟐
− 𝒃𝒉 + 𝒄 … … … … … … (𝟏)
𝑦1 = 𝒇(𝟎) = 𝒄 … … … … … … … … … … … … … … (𝟐)
𝑦2 = 𝒇(𝒉) = 𝒂𝒉𝟐
+ 𝒃𝒉 + 𝒄 … … … … … … … (𝟑)
𝑦0 = 𝒂𝒉𝟐
− 𝒃𝒉 + 𝒄 … … … … … … (𝟒)
Figura 05

16
4𝑦1 = 𝟒 𝒄 … … … … … … … … … … … … (𝟓)
𝑦2 = 𝒂𝒉𝟐
+ 𝒃𝒉 + 𝒄 … … … … … … … (𝟔)
Sumando 4,5 y 6
𝑦0 + 4𝑦1 + 𝑦2 = 2𝒂𝒉𝟐
+ 𝟔 𝒄 … … … . . (𝟕)
Luego reemplazando (𝟕) en 𝐴 =
ℎ
3
(𝟐𝒂𝒉𝟐
+ 𝟔𝒄) , obtenemos:
𝑨 =
𝒉
𝟑
(𝒚𝟎 + 𝟒𝒚𝟏 + 𝒚𝟐)
Si se trasladan horizontalmente los puntos P0, P1 y P2 ,
como se muestra en la figura 4 el área bajo la gráfica no cambia.
En consecuencia la fórmula del área es válida para cualesquier
punto P0, P1 y P2
Sea f una función continua en [𝒂 , 𝒃] , n un número par
y 𝑷 = {𝒂 = 𝒙𝟎, 𝒙𝟏, 𝒙𝟐,𝒙𝟑. . . , 𝒙𝒏 = 𝒃} una partición regular, entonces
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ≅
𝒃−𝒂
𝟑𝒏
𝒃
𝒂
[𝒇(𝒙𝟎) + 𝟒𝒇(𝒙𝟏) + 𝟐𝒇(𝒙𝟐) + 𝟒𝒇(𝒙𝟑) + ⋯ + 𝟐𝒇(𝒙𝒏−𝟐) + 𝟒𝒇(𝒙𝒏−𝟏) + 𝒇(𝒙𝒏)]
Observación
Si M es un número real positivo de tal manera que
|𝒇(𝟒)
(𝒙)| ≤ 𝑴 ∀ 𝒙 ∈ [𝒂 , 𝒃] , entonces el error que se comete
al usar la regla de Simpson no es mayor que
𝑴( 𝒃− 𝒂 )𝟓
𝟏𝟖𝟎𝒏𝟒

17
Ejemplo
Utilizando la regla de Simpson aproxime la integral
∫
𝒆𝒙
𝟏+𝒙
𝟒
𝟏
𝒅𝒙 con n = 6
Solución
𝑓(𝑥) =
𝒆𝒙
𝟏+𝒙
∆𝑥 =
4−1
𝑛
=
3
6
=
1
2
= 0.5
𝒙𝟎 = 𝟏, 𝒙𝟏 = 𝟏. 𝟓 , 𝒙𝟐 = 𝟐 , 𝒙𝟑 = 𝟐. 𝟓 , 𝒙𝟒 = 3,
𝒙𝟓 = 𝟑. 𝟓 , 𝒙𝟔 = 𝟒
𝒇(𝒙𝟎) = 𝒇(𝟏) = 𝟏. 𝟑𝟓𝟗𝟏𝟒
𝒇(𝒙𝟏) = 𝒇(𝟏. 𝟓) = 𝟏. 𝟕𝟗𝟐𝟔𝟖
𝒇(𝒙𝟐) = 𝒇(𝟐) = 𝟐. 𝟒𝟔𝟑𝟎𝟐
𝒇(𝒙𝟑) = 𝒇(𝟐. 𝟓) = 𝟑. 𝟒𝟖𝟎𝟕𝟏
𝒇(𝒙𝟒) = 𝒇(𝟑) = 𝟓. 𝟎𝟐𝟏𝟑𝟖
𝒇(𝒙𝟓) = 𝒇(𝟑. 𝟓) = 𝟕. 𝟑𝟓𝟖𝟗𝟖
𝒇(𝒙𝟔) = 𝒇(𝟒) = 𝟏𝟎. 𝟗𝟏𝟗𝟔
∫
𝒆𝒙
𝟏 + 𝒙
𝟒
𝟏
𝒅𝒙 ≅
𝟑
𝟑(𝟔)
[𝒇(𝒙𝟎) + 𝟒𝒇(𝒙𝟏) + 𝟐𝒇(𝒙𝟐) + 𝟒𝒇(𝒙𝟑) + 𝟐𝒇(𝒙𝟒) + 𝟒𝒇(𝒙𝟓)
+ 𝒇(𝒙𝟔)]
∫
𝒆𝒙
𝟏 + 𝒙
𝟒
𝟏
𝒅𝒙 ≅
𝟏
𝟔
[𝟏.𝟑𝟓𝟗𝟏𝟒 + 𝟒(𝟏.𝟕𝟗𝟐𝟔𝟖) + 𝟐(𝟐.𝟒𝟔𝟑𝟎𝟐) + 𝟒(𝟑.𝟒𝟖𝟎𝟕𝟏)
+ 𝟐(𝟓.𝟎𝟐𝟏𝟑𝟖) + 𝟒(𝟕.𝟑𝟓𝟖𝟗𝟖) + 𝟏𝟎.𝟗𝟏𝟗𝟔]
∫
𝒆𝒙
𝟏+𝒙
𝟒
𝟏
𝒅𝒙 ≅ 𝟏𝟐. 𝟗𝟔𝟐𝟖

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V. ACTIVIDADES
1. Utilizar el método del trapecio para estimar el valor de:
a) ∫
𝑥 𝑑𝑥
√ 2𝑥+3
7
3
para n=8 b) ∫
8 𝑑𝑥
𝑥4 + 4
2,5
1,6
para n=6
2. Use la regla de Simpson con n=6 para aproximar:
a) ∫ 𝑥 √1 + 𝑥2
3
0
𝑑𝑥 b) ∫
𝑥2
√10+ 𝑥2
3
3
0
𝑑𝑥
3. Encuentre la aproximación de 𝐼 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
con n = 4, usando:
a) El método del punto medio b) El método del trapecio
c) El método de Simpson
4. Estime el valor de 𝐼 = ∫ √2 + √𝑥 𝑑𝑥
4
0
con n = 4, usando:
5. Halle el valor aproximado de 𝐼 = ∫
𝐿𝑛𝑥
𝑥+1
𝑑𝑥
2
1
, con n=10 usando:
6. Aproxime el valor de 𝐼 = ∫
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
𝑑𝑥
5
1
con n = 8, usando:
(Los ejercicios del 1 al 6 redondee sus respuestas a cuatro
decimales)
7. ¿Qué tan grande debe ser n para garantizar que la
aproximación de la regla de Simpson a 𝐼 = ∫ 𝑒𝑥2
𝑑𝑥
1
0
sea exacta
hasta dentro de 0.00001?
8. Aplique la regla del trapecio para estimar el valor de la integral
𝐼 = ∫ 𝑒−𝑥2
1
0
𝑑𝑥 de forma que el error de la aproximación sea inferior
a 0.01

19
VI. EVALUACIÓN
Rubrica de evaluación Actividad 04
PRODUCTO Valoración alta Valoración media Valoración baja Puntaje
Entrega de la
actividad
Laentregafue
realizadaenelplazo
acordado
Laentregaserealizófuera
deplazoacordado
Eltrabajonoseentregó
dentrodelplazoacordado
02 01 00
Estructura del
producto
El documento
presenta una
excelente
estructura.
Contiene portada,
Introducción,
contenido de la
actividad
(ejercicios),
conclusiones y
referencias.
El documento
presenta una
estructura base, pero
carece de algunos
elementos del cuerpo
solicitado. En el
trabajo le falta alguno
de estos cinco
aspectos: portada,
Introducción,
contenido del trabajo
(ejercicios),
conclusiones y
referencias.
El grupo de trabajo no
tuvo en cuenta las
normas básicas para
la construcción de
informes. El trabajo
no contiene Portada,
Introducción,
Contenido del trabajo,
conclusiones y
referencias.
.
02 01 00
Desarrollo de los
problemas
1,2,3,4.,
El desarrollo
relacionado en la
actividad en la guía
es excelente, los
procedimientos son
claros y
adecuados.
Resuelve algunos
problemas
propuestos, los
procedimientos
presentan falencias
El trabajo no da
respuesta adecuada
de los problemas
1,2,3,4. planteados en
esta actividad
08 04 00
Desarrollo de los
problemas
5,6,7,8.
El desarrollo
relacionado en la
actividad de la guía
es excelente, los
procedimientos son
claros y
adecuados.
Resuelve algunos
problemas
propuestos, los
procedimientos
presentan falencias
El trabajo no da
respuesta adecuada
de los problemas
5,6,7,8. planteados
en esta actividad
08 04 00
Calificación final 20

20
VII. BIBLIOGRAFÍA
1. Larson, R. y Edwards, B. (2014) Cálculo de una sola variable. USA: Editorial
Brooks- cole
2. Mittac, M. y Toro, L. (2013.) Tópicos de cálculo Volumen II. Lima: Ed. Talleres
Gráfico de A.P.I.C.A
3. Venero, A. (2013) Análisis Matemático Vol. II. Lima: Editorial Talleres Gráficos
Top Job E.I.R.L
4. Espinoza R., E. (2012) Análisis Matemático Volumen II. Lima: Editorial.
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