Ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones de variables separadas y ecuaciones homogéneas.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO
COORDINACIÓN DE PREGRADO
María Villamizar

2. • Ecuaciones diferenciales de Primer Orden
• Ecuaciones de variables separadas.
• Ecuaciones homogéneas.

3. Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables
dependientes con respecto a una o más variables independientes
se denomina Ecuación Diferencial.
Si la función desconocida depende de una sola variable, como es el caso del
ejemplo anterior, se la llama Ecuación Diferencial Ordinaria.
Si la función desconocida depende de más de una variable se llama Ecuación
Diferencial Parcial o en Derivadas Parciales.
Ejemplo:

4. En este caso, estudiaremos las ecuaciones diferenciales de
primer orden. El orden de una Ecuación diferencial está
dado por la más alta derivada presente en la ecuación:
Ejemplo:
Una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden
Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más simples de
resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología,
economía, ingeniería, etc., conducen a problemas de valor inicial que
involucran ecuaciones de primer orden.
Durante muchos años los matemáticos se esforzaron por resolver tipos
específicos de ecuaciones diferenciales. Debido a esto existen hoy en día
muchas técnicas de solución, de las cuales estudiaremos 2: Ecuaciones de
Variables separadas y homogéneas.

5. .
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
en la forma: se llama ecuación diferencial en variables separadas.
que puede escribirse
Ejemplo:
Para una ecuación como ésta, separar variables significa que, por medio de operaciones
algebraicas válidas, se escriba en la forma:
Entonces tenemos:
Y ahora:
Del resultado anterior, se concluye que la ecuación diferencial
Es decir, se separan las variable de las ecuaciones de dos variables.
es una
ecuación diferencial de variables separadas.

6. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea si la función
es homogénea de orden cero, entonces el cambio de variable la reduce a una
ecuación diferencial en variables separadas
la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.
Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea, entonces
el cambio de variable
Demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos
Pero como es una función homogénea de grado cero tenemos que
de donde
la cual es separable, como se quería