Este documento describe ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables. Explica que estas ecuaciones pueden convertirse en dos ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el método de separación de variables. También cubre conceptos como soluciones de ecuaciones diferenciales parciales, principio de superposición, y ejemplos como la ecuación del calor unidimensional y la ecuación de onda unidimensional, incluyendo problemas de valores en la frontera.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES EN
DERIVADAS PARCIALES SEPARABLES
ECUACIONES LINEALES:
La forma general de una ecuación diferencial en
derivadas parciales lineal de segundo orden (EDP)
con dos variables independientes, x y y, es
en donde A, B, C, . . . , G son funciones de x e y.
Cuando G(x, y) = 0, la ecuación se llama homogénea;
en cualquier otro caso es no homogénea.
Ejemplo:
∂ 2u ∂ 2 u
La ecuación − 2 + 2 −u = 0 es homogénea, mientras
∂x ∂y
∂ 2u ∂u
que − 2+ = x2 es no homogénea.
∂x ∂y
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
PARCIAL:
Una solución de una ecuación en derivadas parciales
con dos variables independientes x e y, es una

2. función u(x,y) que posee todas las derivadas parciales
que indica la ecuación y que la satisface en alguna
región del plano xy.
SEPARACIÓN DE VARIABLES:
El método de separación de variables consiste en
buscar una solución particular en forma de un
producto de una función de x por una función de y,
como u ( x, y ) = X ( x)Y ( y ) ; esto posibilita convertir una
ecuación en derivadas parciales, lineal con dos
variables en dos ecuaciones diferenciales ordinarias.
Si u ( x, y ) = X ( x)Y ( y ) se tiene:
u ( x, y ) = X ( x )Y ( y )
 ∂u
 ∂x = X `( x)Y ( y )

 ∂u = X ( x)Y `( y )
 ∂y

⇒ 2
 ∂ u = X ``( x)Y ( y )
 ∂x 2
 2
 ∂ u = X ( x)Y ``( y )
 ∂y 2


3. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Si u1 , u2 , u3 ,..., uk son soluciones de una ecuación en
derivadas parciales lineal homogénea, entonces la
combinación lineal:
u = c1u1 + c2u2 + c3u3 + ... + ck uk / ci ∈ lR, i = 1, 2,..., k
también es una solución.
Si una ecuación diferencial parcial lineal homogénea
tiene un conjunto infinito de soluciones
u1 , u2 , u3 ,..., uk ,... , entonces se puede construir una
solución u, formando la serie infinita
+∞
u = ∑ cnun / ci ∈ lR, i = 1, 2,3,...
n =1
EJEMPLOS:
Determinar las soluciones producto de la siguiente
∂ 2u ∂u
ecuación diferencial =4 .
∂x 2 ∂y
Solución:
u ( x, y ) = X ( x)Y ( y )
∂ 2u ∂u
⇒ 2 = X ´´( x)Y ( y ) ∧ = X ( x)Y `( y )
∂x ∂y
⇒ X ´´( x)Y ( y ) = 4 X ( x )Y `( y )
X ´´( x) Y `( y )
⇒ =
4 X ( x) Y ( y )

4. Puesto que el lado izquierdo de la última expresión es
independiente de y e igual a una expresión que es
independiente de x, entonces ambas expresiones son
independientes de las dos variables; es decir, cada
miembro de la ecuación debe ser una constante.
X ´´( x) Y `( y )
CASO 1: = = λ2
4 X ( x) Y ( y )
X ´´( x) Y `( y )
= = λ2
4 X ( x) Y ( y )
⇒ X ´´( x ) = λ 2 4 X ( x ) ∧ Y `( y ) = λ 2Y ( y )
⇒ X ´´( x ) − λ 2 4 X ( x ) = 0 ∧ Y `( y ) − λ 2Y ( y ) = 0
Resolviendo estas ecuaciones diferenciales ordinarias tenemos:
λ2 y
X ( x) = c1 cosh(2λ x ) + c2 sen h(2λ x) ∧ Y ( y ) = c3e
Entonces una solución particular de la ecuación es:
2 2
u ( x, y ) = A1 cosh(2λ x)eλ y + A2 sen h(2λ x)e λ y

5. X ´´( x) Y `( y )
CASO 2: = = −λ 2
4 X ( x) Y ( y )
X ´´( x) Y `( y )
= = −λ 2
4 X ( x) Y ( y )
⇒ X ´´( x ) = −λ 2 4 X ( x ) ∧ Y `( y ) = −λ 2Y ( y )
⇒ X ´´( x ) + λ 2 4 X ( x ) = 0 ∧ Y `( y ) + λ 2Y ( y ) = 0
Resolviendo estas ecuaciones diferenciales ordinarias tenemos:
2
X ( x) = a1 cos(2λ x) + a2 sen(2λ x) ∧ Y ( y ) = a3e− λ y
Entonces una solución particular de la ecuación es:
2 2
u ( x, y ) = B1 cos(2λ x)e− λ y + B2 sen(2λ x)e− λ y
X ´´( x) Y `( y )
CASO 3: = =0
4 X ( x) Y ( y )
X ´´( x) Y `( y )
= =0
4 X ( x) Y ( y )
⇒ X ´´( x ) = 0 ∧ Y `( y ) = 0
Resolviendo estas ecuaciones diferenciales ordinarias tenemos:
X ( x) = b1 + b2 x ∧ Y ( y ) = b3
Entonces una solución particular de la ecuación es:
u ( x, y ) = C1 + C2 x

6. ECUACIONES CLÁSICAS Y PROBLEMAS DE
VALORES EN LA FRONTERA
ECUACIÒN EN UNA DIMENSIÒN DEL CALOR:
Sea una varilla delgada de longitud L y sección
transversal A, la cual coincide con el eje X en el
intervalo [0, L].
X
0 L
Suponer que:
1.El flujo de calor dentro de la varilla solo tiene la
dirección del eje X
2.La superficie lateral o curva de la varilla está
aislada, es decir, no escapa calor de esa superficie.
3.No se genera calor dentro de la varilla
4. La varilla es homogénea, es decir su densidad es
constante.
5.El calor específico y la conductividad térmica de
la varilla son constantes.

7. Bajo esas condiciones la ecuación que determina la
variación de temperatura u(x.t) en la varilla está dada
por:
∂ 2u ∂u
k 2 = , k>0
∂x ∂t
donde k se denomina difusividad térmica.
PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA:
Una varilla delgada de longitud L tiene una
temperatura inicial f(x) y sus extremos se mantienen a
una temperatura 0 en todo momento. De ahí que este
problema de valor en la frontera que determina la
temperatura de la varilla será:
∂ 2u ∂u
k 2 = , 0<x<L, t>0
∂x ∂t
u(0,t)=0 , u(L,t)=0, t>0
u(x,0)=f(x), 0<x<L

8. Solución:
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
∂ 2u ∂u
⇒ 2 = X ´´( x)T (t ) ∧ = X ( x)T `(t )
∂x ∂t
⇒ kX ´´( x)T (t ) = X ( x)T `(t )
X ´´( x) T `(t )
⇒ = = −λ 2
X ( x) kT (t )
⇒ X ´´( x) + λ 2 X ( x) = 0 ∧ T `(t ) + λ 2 kT (t ) = 0
Al determinar la solución de ambas ecuaciones
homogéneas, se tiene:
X ( x) = c1 cos ( λ x ) + c2 sen ( λ x ) ∧ T (t ) = c3e − k λ t
2
Puesto que:
u (0, t ) = 0 ⇒ X (0)T (t ) = 0 ⇒ X (0) = 0
u ( L, t ) = 0 ⇒ X ( L)T (t ) = 0 ⇒ X ( L) = 0
X (0) = 0 ⇒ c1 cos ( 0 ) + c2 sen ( 0 ) = 0 ⇒ c1 = 0 ⇒ X ( x ) = c2 sen ( λ x )
nπ
X ( L) = 0 ⇒ c2 sen ( λ L ) = 0 ⇒ sen ( λ L ) = 0 ⇒ λ L = nπ ⇒ λ =
L
2
 nπ 
 nπ  −k  t
⇒ X ( x ) = c2 sen  x  ∧ T (t ) = c3e  L 
, n ∈ lN
 L 
2
 nπ 
−k   t  nπ

⇒ un ( x, t ) = bn e  L 
x  , n ∈ lN
sen 
 L

+∞ 
 nπ  
2
 nπ 
−k  t
⇒ u ( x, t ) = ∑  bn e  L 
sen  x
  L 
n =1
 

9. Reemplazando la condición u ( x, 0) = f ( x), x ∈ ( 0, L ) , se
+∞
  nπ 
tiene que f ( x) = ∑  bn sen  x , siendo esta expresión
n =1   L 
el desarrollo de f en una serie de senos de mitad de
intervalo, donde
 nπ
L
2 
bn = ∫ f ( x ) sen  x  dx
L0  L 
2  
2
 nπ 
 nπ   −k L  t  nπ
+∞ L
⇒ u ( x, t ) = ∑   ∫ f ( x) sen  x  dx  e   sen  x
L n =1   0  L    L 
 

10. ECUACIÒN ONDA UNIDIMENSIONAL:
Sea una cuerda de longitud L que se encuentra tensa
entre dos puntos del eje X, estos pueden ser x=0 y
x=L.
X
0 L
Considerar que la cuerda tiene movimiento de manera
perpendicular al eje X de manera tal que u(x,t)
representará el desplazamiento vertical de cualquier
punto de la cuerda. Además se supone que:
1.La cuerda es perfectamente flexible
2.La cuerda es homogénea, es decir su densidad es
constante.
3.Los desplazamientos u(x,t) son pequeños en
comparación con la longitud de la cuerda.
4.La pendiente de la curva es pequeña en todos sus
puntos.
5.La tensiòn T actùa tangente a la cuerda y su
magnitud T es la misma en todos los puntos.
6.La tensión es grande en comparación con la
fuerza de gravedad.

11. 7.No hay otras fuerzas externas actuando sobre la
cuerda.
Bajo esas condiciones la ecuación unidimensional de
la cuerda está dada por:
∂ 2u ∂ 2u
a2 2 = 2
∂x ∂t
PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA:
El desplazamiento vertical de la cuerda vibratoria de
longitud L se determina a partir del siguiente modelo:
∂2u ∂2u
a 2
= 2 , t>0 ∧ 0<x<L
∂x 2
∂t
u(0,t)=0, u(L,t)=0, t>0
∂u
u(x,0)=f(x), = g( x )
∂t t =0

12. Solución:
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
∂ 2u ∂ 2u
⇒ 2 = X ´´( x)T (t ) ∧ 2 = X ( x)T ``(t )
∂x ∂t
⇒ a 2 X ´´( x)T (t ) = X ( x )T ``(t )
X ´´( x) T ``(t )
⇒ = 2 = −λ 2
X ( x) a T (t )
⇒ X ´´( x ) + λ 2 X ( x) = 0 ∧ T ``(t ) + λ 2 a 2T (t ) = 0
Al determinar la solución de ambas ecuaciones
homogéneas, se tiene:
X ( x ) = c1 cos ( λ x ) + c2 sen ( λ x ) ∧ T (t ) = c3 cos ( λ at ) + c4 sen ( λ at )
Puesto que:
u (0, t ) = 0 ⇒ X (0)T (t ) = 0 ⇒ X (0) = 0
u ( L, t ) = 0 ⇒ X ( L)T (t ) = 0 ⇒ X ( L) = 0
X (0) = 0 ⇒ c1 cos ( 0 ) + c2 sen ( 0 ) = 0 ⇒ c1 = 0 ⇒ X ( x) = c2 sen ( λ x )
nπ
X ( L) = 0 ⇒ c2 sen ( λ L ) = 0 ⇒ sen ( λ L ) = 0 ⇒ λ L = nπ ⇒ λ =
L
 nπ   nπ   nπ 
⇒ X ( x ) = c2 sen  x  ∧ T (t ) = c3 cos  at  + c4 sen  at  , n ∈ lN
 L   L   L 
  nπ a   nπ a    nπ 
⇒ un ( x, t ) =  an cos  t  + bn sen  t   sen  x  , n ∈ lN
  L   L   L 
+∞
  nπ a   nπ a    nπ 
⇒ u ( x, t ) = ∑  an cos  t  + bn sen  t   sen  x
n =1   L   L   L 
∂u +∞ nπ a   nπ a   nπ a    nπ 
⇒ =∑ − an sen  t  + bn cos  t   sen  x
∂t n =1 L    L   L   L 

13. Reemplazando las condiciones en t=0, tenemos:


u ( x, 0) = f ( x), x ∈ ( 0, L )

 +∞
  nπ  
1) ⇒ f ( x ) = ∑  an sen  x
 n =1   L  
 L
nπ 
⇒ an = ∫ f ( x) sen 
2
 x  dx

 L0  L 
 ∂u
 ∂t ( x, 0) = g ( x), x ∈ ( 0, L )

 +∞
 nπ a  nπ  
⇒ g ( x ) = ∑  bn sen  x
 n =1  L  L 
2) 
nπ a 2  nπ 
L
⇒ bn = ∫ g ( x) sen  x  dx
 L L0  L 

⇒ b = 2 g ( x) sen  nπ x  dx
L
nπ a ∫
 n  
 0  L 