CÁLCULO 3

Departamento de Ciencias
Juan Carlos Broncano Torres
¿Qué dirección debe tomar el esquiador si quiere bajar
la montaña rápidamente?
Curva Maravillosa: Braquistócrona
Un curva braquistócrona, o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es
recorrida en menor tiempo, por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero,
y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una
fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.

Comparación entre una trayectoria braquistócrona, y otras dos trayectorias
posibles.

Cicloide generada por una circunferencia.

En 1696 el matemático Johann
Bernoulli anunció a la comunidad
matemática la solución al problema de
la braquistocrona (curva que sigue el
descenso más rápido cuando existe
gravedad y que es objeto de estudio en
el cálculo de variaciones), mostrando
que la solución era una
cicloide. Leibniz, Newton, Jakob
Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital,
encontraron la solución del problema
enunciado por Bernoulli.
Logros de la sesión:
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a
la gestión e ingeniería a partir de la derivada parcial y direccional
usando el cálculo de la gradiente, e interpretando su resultado con
las propiedades físicas que el tiene.
DERIVADAS PARCIALES
NOTACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Ejemplo
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
PLANO TANGENTE
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano
que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el
punto P.

ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE
Ejemplo
Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide
en el punto

RECTA NORMAL
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular
al plano tangente.
LA GRADIENTE
PROPIEDADES DE LA GRADIENTE

Ejemplo
Ejemplo
Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide
de dos mantos
en el punto
Solución
2
x2 y 2 1
Haciendo: F ( x, y, z ) z
tenemos que:
Fx
2x x 1
2

Fy
Fz

2y
2z z

y

2

4

6

Por tanto, la ecuación del plano tangente es:
Por otro lado, la ecuación de la recta normal es :
x 1 2t
y
2 4t
z

6

2t 6

x

2y

z 6

0
Ejemplo
Hallar el o los puntos de la esfera
en los cuales el plano
tangente es paralelo al plano
Solución
Sea
uno de estos puntos, entonces por estar en la esfera:
Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto
y el plano
paralelos, sus vectores normales son paralelos, es decir :
Entonces se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
De donde obtenemos que los puntos que buscamos son:
Ejemplo
¿En qué punto de la superficie
?

la recta normal es paralela al vector

Solución
Sea
el punto que buscamos. Si la recta normal es paralela al vector
entonces su vector director también es paralelo a
con lo cual, si :
entonces :
;

Evaluando en

esta sobre la superficie, por lo que satisface su ecuación :

Obtenemos el siguiente sistema:

Y así, el punto buscado es:
DERIVADA DIRECCIONAL
La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u
está dada por:
f ( x su1 , y su2 ) - f(x, y)
D f(x, y) lim
s 0
s
u
si el límite existe.
Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas
entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier
vector unitario u y se cumple:
D f(x, y) f x (x, y) u1
u

f y (x, y) u 2
BIBLIOGRAFÍA
#

CÓDIGO

AUTOR

TÍTULO

EDITORIAL

1

515.33
PURC

PURCELL,
EDWIN J.

Cálculo Diferencial E
Integral

Pearson
Educación

2

515
STEW/M
2002

STEWART,
JAMES

Cálculo
Multivariable

Cuarta edición,
Mexico 2001,
Edit. Thomson

Cálculo Aplicado Para
Administración,
Economía Y Ciencias
Sociales

Octava edición,
México
2007,.Mcgrawhill

3

515 HOFF/C HOFFMANN,
2006
LAURENCE D.
http://www.tecdigital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/SUPERIOR/derivadadireccional/node1.html

Sesión 03,Plano tangente, derivadas parciales y derivada direccional

  • 1.
    CÁLCULO 3 Departamento deCiencias Juan Carlos Broncano Torres
  • 2.
    ¿Qué dirección debetomar el esquiador si quiere bajar la montaña rápidamente?
  • 3.
    Curva Maravillosa: Braquistócrona Uncurva braquistócrona, o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo, por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. Comparación entre una trayectoria braquistócrona, y otras dos trayectorias posibles. Cicloide generada por una circunferencia. En 1696 el matemático Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la solución al problema de la braquistocrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), mostrando que la solución era una cicloide. Leibniz, Newton, Jakob Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital, encontraron la solución del problema enunciado por Bernoulli.
  • 4.
    Logros de lasesión: Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la gestión e ingeniería a partir de la derivada parcial y direccional usando el cálculo de la gradiente, e interpretando su resultado con las propiedades físicas que el tiene.
  • 5.
  • 6.
    NOTACIÓN DE LASDERIVADAS PARCIALES Ejemplo
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  • 8.
    PLANO TANGENTE Se llamaplano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P. ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE
  • 9.
    Ejemplo Hallar la ecuacióndel plano tangente al paraboloide en el punto RECTA NORMAL Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.
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  • 11.
    PROPIEDADES DE LAGRADIENTE Ejemplo
  • 12.
    Ejemplo Determine la ecuacióndel plano tangente y la recta normal al hiperboloide de dos mantos en el punto Solución 2 x2 y 2 1 Haciendo: F ( x, y, z ) z tenemos que: Fx 2x x 1 2 Fy Fz 2y 2z z y 2 4 6 Por tanto, la ecuación del plano tangente es: Por otro lado, la ecuación de la recta normal es : x 1 2t y 2 4t z 6 2t 6 x 2y z 6 0
  • 13.
    Ejemplo Hallar el olos puntos de la esfera en los cuales el plano tangente es paralelo al plano Solución Sea uno de estos puntos, entonces por estar en la esfera: Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto y el plano paralelos, sus vectores normales son paralelos, es decir : Entonces se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: De donde obtenemos que los puntos que buscamos son:
  • 14.
    Ejemplo ¿En qué puntode la superficie ? la recta normal es paralela al vector Solución Sea el punto que buscamos. Si la recta normal es paralela al vector entonces su vector director también es paralelo a con lo cual, si : entonces : ; Evaluando en esta sobre la superficie, por lo que satisface su ecuación : Obtenemos el siguiente sistema: Y así, el punto buscado es:
  • 15.
    DERIVADA DIRECCIONAL La derivadadireccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por: f ( x su1 , y su2 ) - f(x, y) D f(x, y) lim s 0 s u si el límite existe.
  • 16.
    Teorema: Si ftiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y se cumple: D f(x, y) f x (x, y) u1 u f y (x, y) u 2
  • 17.
    BIBLIOGRAFÍA # CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL 1 515.33 PURC PURCELL, EDWIN J. Cálculo DiferencialE Integral Pearson Educación 2 515 STEW/M 2002 STEWART, JAMES Cálculo Multivariable Cuarta edición, Mexico 2001, Edit. Thomson Cálculo Aplicado Para Administración, Economía Y Ciencias Sociales Octava edición, México 2007,.Mcgrawhill 3 515 HOFF/C HOFFMANN, 2006 LAURENCE D.
  • 18.