Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales y su aplicación al modelado de dinámica poblacional. Explica la ecuación logística que describe el crecimiento de poblaciones limitado por recursos, y presenta varios ejercicios resueltos que aplican este modelo a la propagación de enfermedades y rumores entre poblaciones.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES
Clase # 10
Orlando Raúl Pomalaza Romero
SESIÓN 1:
 DINÁMICA POBLACIONAL – ECUACIÓN LOGÍSTICA
SEMANA 4
APLICACIONES DE LAS EDO DE PRIMER ORDEN

2. Propósito de la Clase
Describe o modela
fenómenos físicos de
crecimiento logístico en
términos de ecuaciones
diferenciales y plantea
modelos que conducen
a ecuaciones
diferenciales

4. Ley de crecimiento logístico
Crecimiento logístico Aparece en diversos modelos de crecimiento de
poblaciones, propagación de enfermedades epidémicas y difusión en redes
sociales. Dicha función constituye un refinamiento del modelo exponencial para
el crecimiento de una magnitud. El estudio inicial de crecimiento es
aproximadamente exponencial; al cabo de un tiempo, aparece la competencia
entre algunos miembros de P por algún recurso crítico K ("cuello de botella") y
la tasa de crecimiento disminuye; finalmente, en la madurez, el crecimiento se
detiene.
Resolviendo se obtiene la Función logística
( )
dP
P a bP
dt
 

5. Ejemplo En una población de 1000 habitantes, uno de ellos tiene una enfermedad contagiosa. La
velocidad a la que se propaga la enfermedad es proporcional al producto de personas contagiadas por las no
contagiadas todavía. Escribe y resuelve la ecuación diferencial y determina el número de contagiados cinco
días después, si se observa que el número de contagiados al finalizar el primer día es 100.

7. Ejercicio N°1 Considere un colegio con 1000 estudiantes, donde y(t) es la población estudiantil que ha
escuchado un rumor en el tiempo t. Si la tasa a la cual se extiende el rumor es proporcional al
producto de la población que conoce el rumor por la población que todavía no lo ha escuchado, determina a qué
hora el 90% de los estudiantes ya conocerá el rumor, si a las 8:00 am, 80 estudiantes conocen el rumor y al medio
día la mitad del colegio ya lo sabe?

8. Ejercicio N°2 La población de conejos evoluciona de acuerdo con la ecuación logística:
t en años
Si inicialmente había 40 conejos y k = 1000, a) Calcular la población de conejos al cabo de 3 años. b) ¿Qué
ocurrirá con la población de conejos cuando transcurra mucho tiempo?
2
2
t
P tP P
k
  

9. Ejercicio N°3 Sabiendo que cierta población (P) evoluciona de acuerdo con el modelo
(a y b constantes positivos)
a) Obtenga la expresión P(t) que nos da la población en cualquier instante, si la población inicial era de 100
individuos (a = 0,2 y b = 104)
b) Si el tiempo se mide en meses, ¿Cuál será la población después de 4 y 6 meses?
c) ¿Cuál será la población a largo plazo?
2 1
1
dP
at P P
dt b
 
 
 
 

10. Ejercicio N°4 Cierta población se incrementa de acuerdo con la ED logística:
(t en meses)
a) Obtenga la expresión y(t) que nos da la población en cualquier instante, en los casos
i) y(0) = 10 ii) y(0) = 90
b) Calcula en ambos casos, ¿en qué tiempo la población alcanza los 40 individuos.
( )
( ) ( )
3
1
2 50
t
t t
y
y y
 
  
 
 

11. Ejercicio N°5 Cinco ratones de una población estable de 500 son infectados intencionalmente con una
enfermedad contagiosa para probar una teoría de difusión de epidemia que postula que la
tasa de cambio en la población infectada es proporcional al producto del número de ratones que tiene la enfermedad
con el número que está libre de ésta. Asumiendo que la teoría es correcta, ¿cuánto tiempo le tomará a la mitad de la
población adquirir la enfermedad?

12. Ejercicio N°6 Se sabe que la velocidad de propagación de una epidemia es proporcional al producto del
número de personas infectadas por el número de personas no infectadas.
En una población de 10 000 habitantes se detecta una enfermedad que afecta inicialmente a 50 personas. Al cabo
de tres días, se observa que son 250 las personas afectadas. Determinar el número de enfermos que habrá
pasados 12 días.

13. ¿Qué aprendimos hoy?
• Crecimiento Logístico

14. Referencias Bibliográficas
• Larson, R. y Edwards, B. (2016). Cálculo. México: Cengage Learning.
• Zill Dennis (2015). Ecuaciones Diferenciales. Trascendentes
Tempranas. México. Editorial Mc Graw Hill.
• Stewart James. (2008) Cálculo: Trascendentes Tempranas 6ta ed.
México. Cengage Learning