El documento habla sobre las series de Taylor. Explica que una serie de Taylor es una representación o aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un punto. También define las series de Maclaurin como casos particulares de las series de Taylor evaluadas en cero y analiza la convergencia de estas series para funciones elementales como seno y coseno.

1. UNIVERSIDAD CATOLICA DE
CUENCA

2. SERIES DE TAYLOR
 Una serie de Taylor es una representación o una
aproximación de una función como una suma de términos
calculados de los valores de sus derivadas en un mismo
punto.
 La serie de Taylor de una función real f (x) infinitamente
diferenciable, definida en un intervalo abierto (a - r, a +
r), es la serie de potencias

3. FORMA DE UNA
REPRESENTACION EN SERIE DE
POTENCIAS CONVERGENTE


4. DEFINICION DE LAS SERIES
DE MACLAURIN


5. CONVERGENCIA DE LAS
SERIES DE TAYLOR


6. ESTRATEGIAS PARA HALLAR
UNA SERIE DE TAYLOR


7. DESARROLLOS EN SERIE DE LAS
FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCION INTERVALO DE CONVERGENCIA

8.  Serie de Taylor y Maclaurin
EJEMPLO 1– Escriba la serie de Maclaurin de sen x y demuestre que
representa sen x para toda x.
SOLUCIÓN – Ordenamos nuestros cálculos en dos columnas:
f ( x) sen x f (0) 0
f ' ( x) cos x f ' (0) 1
f ' ' ( x) sen x f ' ' (0) 0
f ' ' ' ( x) cos x f ' ' ' (0) 1
(4)
f ( x) sen x f
(4)
(0) 0

9.  Serie de Taylor y Maclaurin
En vista de que las derivadas se repiten en ciclos de cuatro, podemos escribir la
serie de Maclaurin de esta manera:
f ' (0) f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3
f (0) x x x ...
1! 2! 3!
3 5 7 2n 1
x x x n x
x ... ( 1)
3! 5! 7! n 0 (2n 1)!
( n 1)
Ya que f ( n 1 ) ( x ) es sen x o cos x ,sabemos que f ( x) 1 para toda x.
De modo que podemos tomar M = 1 en la desigualdad de Taylor:
n 1
M n 1
x
Rn ( x ) x
(n 1)! (n 1)!

10.  Serie de Taylor y Maclaurin
Por la ecuación 10 el lado derecho de esta desigualdad se acerca a 0 cuando
n→∞, de manera que |Rn(x)|→ 0 por el teorema del emparedado, se sigue
que Rn(x)→ 0 cuando n→∞, de modo que sen x es igual a la suma de su
serie de Maclaurin, por el teorema 8.
Para referencias futuras enunciamos el resultado del ejemplo 4.
3 5 7
x x x
sen x x ...
3! 5! 7!
2n 1
n x
( 1) para toda x
n 0 (2n 1)!