Este documento presenta varios ejercicios sobre señales discretas. En el primer ejercicio, se define una señal x[n] y su repetición periódica y[n], y se calcula la energía y potencia de ambas señales. En el segundo ejercicio, se define otra señal x[n] y se piden varias tareas relacionadas con esta señal y sus versiones retrasadas y invertidas. Los ejercicios siguientes tratan sobre propiedades de sistemas de tiempo discreto y operaciones básicas con señales discretas como

1. Ejercicio 1
Definida una se˜al discreta x[n] como
n
0 para n ≤ 0 y n ≥ 4
x[n] =
(−1)n n para n = 1, 2, 3
y la repetici´n peri´dica y[n] como
o o
∞
y[n] = x[n + 7k]
k=−∞
Encuentre la energ´ y potencia de estas dos se˜ales.
ıa n
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2. Soluci´n
o
Para le energ´ de x[n], tenemos
ıa
∞
Ex = x2 [n]
n=−∞
= x2 [1] + x2 [2] + x2 [3] = 14
Para la potencia de x[n], tenemos
N
1
Px = l´
ım x2 [n]
N →∞ 2N + 1
n=−N
14
= l´
ım =0
N →∞ 2N + 1
La energ´ de y[n] es
ıa
Ey = l´
ım N ∗ Ex → ∞
N →∞
Para la potencia de y[n] como esta es peri´dica seria
o
N0 −1
1
Py = x2 [n]; donde N0 es el periodo
N0 n=0
1
= 14 = 2
7
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3. Ejercicio 2
Una se˜al discreta x[n] es definida como
n

1 + n , −3 ≤ n ≤ −1
 3
x[n] = 1, 0≤n≤3

0, de otra manera

1 Determine estos valores y bosqueje la se˜al x[n]
n
2 Dibuje las se˜ales que resultan si nosotros:
n
1 Primero x[n] se invierte la se˜al y el resultado se retrasa por cuatro
n
muestras.
2 Primero x[n] se retrasa cuatro muestras y luego se invierte el resultado.
3 Dibuje la se˜al x[−n + 4]
n
4 Compare los resultados de la partes (2) y (3) y deduzca las reglas para
obtener la se˜al x[−n + 4] de x[n]
n
5 ¿Puedes expresar la se˜al x[n] en t´rminos de las se˜ales δ[n] y u[n]?
n e n
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4. Soluci´n
o
1 2
1 x[n] = ..,0, 3 , 3 , 1, 1, 1, 1, 0, ...
↑
2 1
2 1 x[−n] = ..,0, 1, 1, 1, 1, 3 , 3 , 0, ...
↑
Despu´s de retardar la se˜ al invertida por 4 muestras, tenemos
e n
2 1
x[−n + 4] = ..,0, 0, 1, 1, 1, 1, 3 , 3 , 0, ...
↑
2 Si primero se retarda x[n] por cuatro muestras, se tiene
1 2
x[n − 4] = ... 0, 0, 3 , 3 , 1, 1, 1, 1, 0, ...
↑
Ahora, invertimos
2 1
x[−n − 4] = ..,0, 0, 1, 1, 1, 1, 3 , 3 , 0, 0, ...
↑
2 1
3 x[−n + 4] = ... 0, 1, 1, 1, 1, 3 , 3 , 0, ...
↑
4 Para obtener x[−n + k], primero se gira x[n] para obtener x[−n], luego si k > 0 se corre k
muestras a la derecha, o si k < 0 se corre k muestras a la izquierda.
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5. Ejercicio 3
Considere la siguiente se˜al, x[n] = δ[n] + 2δ[n − 1] + 3δ[n − 2]. Calcule su media
n
x[n] + x[n − 1]
m´vil y[n] =
o .
2
Elige las respuestas correctas
La salida para n ≥ 4 es siempre cero.
La salida en n = 3 no depende de la entrada en n = 1
y[n] = 0,5δ[n] + 1,5δ[n − 1] + 2,5δ[n − 2] + 1,5δ[n − 3]
Soluci´n
o
Las respuestas correctas son la primera y la tercera.
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6. Ejercicio 4
Un sistema de tiempo discreto puede ser
Est´tico o din´mico
a a variante con el tiempo
Lineal o no lineal Causal o no causal
Invariante con el tiempo o Estable o inestable
Examine los siguientes sistemas con respecto a las anteriores propiedades.
1 y[n] = cos(x[n]) 5 y[n] = x[n]u[n]
n+1
2 y[n] = x[k] 6 y[n] = x[n] + nx[n + 1]
k=−∞
3 y[n] = x[n]cos(ω0 n)
7 y[n] = x[−n]
4 y[n] = x[−n + 2] 8 y[n] = sgn(x[n])
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7. Soluci´n
o
1 Est´tico, no lineal, invariante , causal, estable.
a
2 Din´mico, lineal, invariante, no causal e inestable. Este ultimo es f´cil de probar. Para
a ´ a
una entrada acotada x[k] = u[k] , la salida es
n+1
0 n < −1
y[n] = u[k] =
k=−∞
n+2 n ≥ −1
Como y[n] → ∞ cuando n → ∞, el sistema es inestable.
3 Est´tico, lineal, variante, causal, estable.
a
4 Din´mico, lineal, invariante, no causal, estable.
a
5 Est´tico, lineal, invariante, causal, estable.
a
6 Est´tico, lineal, variante, no causal, inestable.
a
7 Din´mico, lineal, invariante, no causal, estable.
a
8 Est´tico, no lineal, invariante, causal, estable.
a
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8. Ejercicio 5
Para una se˜al de tiempo discreto x[n] como se muestra en la figura, bosquejar
n
cada una de las siguientes se˜ales.
n
1 x[n − 3]
2 x[2n]
3 x[−n]
4 x[−n + 2]
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9. Soluci´n
o
x[n − 3] 3 3 x[2n] 3
2 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 n -1 0 1 2 3 4 5 n
(a) (b)
3 3 x[−n] 3 3 x[−n + 2]
2 2
1 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 n
(c) (d)
Figura: (a) x[n − 3] (b) x[2n] (c) x[−n] (d) x[−n + 2]
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10. Ejercicio 6
Usando las se˜ales en tiempo discreto x1 [n] y x2 [n] tal como se muestran en
n
la figura, representar cada una de las siguientes se˜ales gr´ficamente y por una
n a
secuencia de n´meros.
u
1 y1 [n] = x1 [n] + x2 [n]
2 y2 [n] = 2x1 [n]
3 y3 [n] = x1 [n]x2 [n]
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11. Soluci´n
o
4
3 3
y1 [n]
2 2
6
y2 [n]
4 4 4
−2 −1 3
2
−4 −3 0 1 2 4 5 6 7 n
2 2 2 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 n
(a) (b)
y3 [n]
4
2
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 n
(c)
Figura: (a) y1 [n] (b) y2 [n] (c) y3 [n]
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