Este documento presenta varios ejercicios sobre señales discretas. En el primer ejercicio, se define una señal x[n] y su repetición periódica y[n], y se calcula la energía y potencia de ambas señales. En el segundo ejercicio, se define otra señal x[n] y se piden varias tareas relacionadas con esta señal y sus versiones retrasadas y invertidas. Los ejercicios siguientes tratan sobre propiedades de sistemas de tiempo discreto y operaciones básicas con señales discretas como
Este documento contiene ejercicios sobre señales discretas. En el primer ejercicio, se define una señal x[n] y su repetición periódica y[n], y se calcula la energía y potencia de ambas señales. En el segundo ejercicio, se define otra señal x[n] y se piden varias tareas relacionadas con esta señal y sus versiones retrasadas y invertidas. Los ejercicios 3, 4 y 5 contienen más preguntas sobre propiedades de sistemas de tiempo discreto y transformaciones de señales
Este documento contiene 6 ejercicios sobre señales discretas. Los ejercicios tratan temas como definir y graficar señales, calcular energía y potencia de señales, operaciones entre señales como suma, multiplicación y retraso, y propiedades de sistemas de tiempo discreto como linealidad, causalidad e invariancia en el tiempo.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. Explica cómo separar variables para convertir una ecuación diferencial en una integral y cómo reducir una ecuación homogénea mediante sustitución a una forma en variables separables. Luego, presenta ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos métodos.
El documento presenta un examen parcial de ecuaciones diferenciales que consta de 3 puntos. El primer punto pide determinar la solución general de una ecuación diferencial usando una sustitución. El segundo punto evalúa si un problema de valor inicial tiene solución única en ciertas regiones del plano. El tercer punto pide determinar familias de soluciones, soluciones particulares y diagramas de fase para una ecuación diferencial. El examen contiene instrucciones sobre su duración y material permitido.
Este documento presenta el método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con coeficientes homogéneos. Introduce el concepto de funciones homogéneas y cómo transformar una EDO con coeficientes homogéneos en una ecuación separable mediante el cambio de variable y=xv. El método consiste en sustituir esta relación en la EDO original para obtener una ecuación separable en x e v que puede resolverse mediante integración.
El documento presenta la constante de Euler-Mascheroni (γ), una constante matemática definida como el límite de una suma parcial. Explica que Euler estableció su existencia y significado, mientras que Mascheroni introdujo su símbolo. A pesar de que Mascheroni calculó γ incorrectamente, lleva sus nombres unidos por un guión. El documento también señala que se desconoce si γ es racional o irracional, y que resolver este problema abriría la puerta a la fama pero sería extremadamente difícil.
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida, incluyendo: (1) la definición de antiderivada y cómo se relaciona con la derivada de una función; (2) que existen múltiples antiderivadas que solo difieren por una constante; (3) reglas para calcular antiderivadas de funciones de potencias y sumas de funciones; (4) la interpretación geométrica de la integral indefinida como una familia de curvas; y (5) el método de sustitución para calcular integrales más complejas.
Este documento presenta los métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación de Bernoulli. Explica que para resolver ecuaciones lineales se utiliza el método de separación de variables o el factor integrante. También cubre la existencia y unicidad de soluciones y proporciona ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Este documento contiene ejercicios sobre señales discretas. En el primer ejercicio, se define una señal x[n] y su repetición periódica y[n], y se calcula la energía y potencia de ambas señales. En el segundo ejercicio, se define otra señal x[n] y se piden varias tareas relacionadas con esta señal y sus versiones retrasadas y invertidas. Los ejercicios 3, 4 y 5 contienen más preguntas sobre propiedades de sistemas de tiempo discreto y transformaciones de señales
Este documento contiene 6 ejercicios sobre señales discretas. Los ejercicios tratan temas como definir y graficar señales, calcular energía y potencia de señales, operaciones entre señales como suma, multiplicación y retraso, y propiedades de sistemas de tiempo discreto como linealidad, causalidad e invariancia en el tiempo.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. Explica cómo separar variables para convertir una ecuación diferencial en una integral y cómo reducir una ecuación homogénea mediante sustitución a una forma en variables separables. Luego, presenta ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos métodos.
El documento presenta un examen parcial de ecuaciones diferenciales que consta de 3 puntos. El primer punto pide determinar la solución general de una ecuación diferencial usando una sustitución. El segundo punto evalúa si un problema de valor inicial tiene solución única en ciertas regiones del plano. El tercer punto pide determinar familias de soluciones, soluciones particulares y diagramas de fase para una ecuación diferencial. El examen contiene instrucciones sobre su duración y material permitido.
Este documento presenta el método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con coeficientes homogéneos. Introduce el concepto de funciones homogéneas y cómo transformar una EDO con coeficientes homogéneos en una ecuación separable mediante el cambio de variable y=xv. El método consiste en sustituir esta relación en la EDO original para obtener una ecuación separable en x e v que puede resolverse mediante integración.
El documento presenta la constante de Euler-Mascheroni (γ), una constante matemática definida como el límite de una suma parcial. Explica que Euler estableció su existencia y significado, mientras que Mascheroni introdujo su símbolo. A pesar de que Mascheroni calculó γ incorrectamente, lleva sus nombres unidos por un guión. El documento también señala que se desconoce si γ es racional o irracional, y que resolver este problema abriría la puerta a la fama pero sería extremadamente difícil.
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida, incluyendo: (1) la definición de antiderivada y cómo se relaciona con la derivada de una función; (2) que existen múltiples antiderivadas que solo difieren por una constante; (3) reglas para calcular antiderivadas de funciones de potencias y sumas de funciones; (4) la interpretación geométrica de la integral indefinida como una familia de curvas; y (5) el método de sustitución para calcular integrales más complejas.
Este documento presenta los métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación de Bernoulli. Explica que para resolver ecuaciones lineales se utiliza el método de separación de variables o el factor integrante. También cubre la existencia y unicidad de soluciones y proporciona ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Este documento presenta un quiz de cálculo vectorial con 5 preguntas. Cada pregunta contiene 1 o 2 partes y vale 1 punto. Se pide resolver las preguntas y sustentar las respuestas con procesos matemáticos para obtener la máxima puntuación. Se da una hora y media para completar el quiz.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
Este documento describe el método de Crank-Nicholson para resolver la ecuación de difusión. El método discretiza el espacio en elementos finitos y el tiempo en pasos discretos. Se aproxima la solución mediante funciones lineales por elementos. Esto conduce a un sistema de ecuaciones matriciales que relaciona los valores de la solución en los nodos en cada paso de tiempo. El método proporciona una aproximación numérica estable y precisa de la solución de la ecuación de difusión.
Este documento presenta fórmulas básicas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones constantes, identidad, potencias, suma, producto, cociente, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas e inversas. Proporciona reglas para derivar funciones compuestas y funciones que involucran más de una variable.
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas utilizando el método clásico y el software Derive 6.10. Introduce el concepto de ecuaciones diferenciales homogéneas y explica cómo transformarlas en ecuaciones de variable separable. Luego resuelve un ejemplo a mano y con Derive. Finalmente, propone cuatro problemas adicionales para resolver con Derive.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre el espacio vectorial RN. Introduce RN como un espacio vectorial sobre R, define el producto escalar euclídeo y la norma euclídea, y establece propiedades como la desigualdad de Cauchy-Schwarz. También cubre nociones métricas como distancia euclídea y conceptos topológicos como conjunto cerrado y convergencia de sucesiones.
Este documento presenta fórmulas para calcular derivadas de varios tipos de funciones, incluidas funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Proporciona reglas como que la derivada de una constante es cero, la derivada de x es 1, y la derivada de una suma o producto es la suma o producto de las derivadas individuales. También presenta derivadas para funciones sen, cos, tan, cot, sec y csc, así como sus inversas. Finalmente, presenta derivadas para funciones exponenciales y log
Este documento describe ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable. Explica cómo separar las variables en una ecuación diferencial de primer orden y primer grado, y cómo integrarla para obtener la solución primitiva. Resuelve un ejemplo numérico y muestra cómo usar el software Derive 6.10 para hallar la solución de una ecuación diferencial de variable separable.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones pueden ser homogéneas u no homogéneas. Luego, describe el método para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas constantes, el cual involucra hallar las raíces de la ecuación auxiliar asociada. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
Este documento presenta las reglas para calcular derivadas de operaciones con funciones derivables. Explica que la derivada de una suma es la suma de las derivadas individuales, la derivada de un producto por una constante es esa constante multiplicada por la derivada, y la derivada de un producto es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda. También presenta la regla de la cadena para derivar composiciones de funciones y una tabla con ejemplos comunes de funciones y sus derivadas respectivas.
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. Incluye fórmulas para calcular el área bajo curvas, entre límites y el volumen de figuras geométricas cuando giran alrededor de ejes.
2. Se proporcionan ejercicios resueltos de calcular áreas limitadas por funciones y rectas, y volúmenes de prismas, cilindros y otros sólidos.
3. El documento muestra cómo aplicar la integral definida para
Este documento presenta varios métodos de integración como el cambio de variable, integración por partes, integrales de funciones trigonométricas y fracciones parciales. Explica cada método a través de ejemplos y cómo reducir integrales desconocidas a integrales conocidas aplicando estas técnicas.
Este documento presenta las reglas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo: derivadas de constantes, potencias, funciones compuestas, sumas y diferencias, productos, cocientes, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También introduce la regla de la cadena para derivar funciones compuestas. El documento concluye con ejemplos de aplicación de estas reglas.
Este documento describe la teoría y aplicaciones de la proyección isométrica y las coordenadas homogéneas en álgebra lineal para gráficos de computadora. Se explica cómo proyectar objetos tridimensionales en un plano bidimensional, y cómo esto se puede usar para dibujar figuras como un cubo unidad. También incluye ejemplos de cómo calcular proyecciones y matrices de proyección para diferentes figuras geométricas.
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEAJorge Paz
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas utilizando el método clásico y el software Derive 6.10. Introduce el concepto de ecuaciones diferenciales homogéneas y cómo transformarlas en ecuaciones de variable separable. Luego, muestra un ejemplo resolviendo la ecuación (y - x^2y^2)dx = xdy con valores iniciales y(3)=1. Finalmente, propone cuatro problemas adicionales para resolver con Derive.
Este documento presenta varios criterios para determinar la convergencia o divergencia de series infinitas, incluyendo el criterio de la integral, el criterio del cociente, el criterio de las P-series y el criterio de la raíz. También discute la convergencia absoluta de series alternantes. Proporciona definiciones de cada criterio y ejemplos para aplicarlos. Al final, asigna ejercicios para que los estudiantes practiquen los diferentes métodos.
El documento describe cómo probar que el conjunto de los números naturales es numerable. Primero, se divide el conjunto de los números naturales en subconjuntos infinitos y disjuntos mediante una descomposición recursiva. Luego, se define una función que mapea cada subconjunto a un número natural, mostrando que existe una correspondencia biunívoca entre los números naturales y los subconjuntos, lo que demuestra que el conjunto original es numerable.
El documento explica la suma de Riemann, un método para calcular el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subdivisiones y sumando el área de los rectángulos formados. Define una partición del intervalo [a,b] y la suma de Riemann como la suma de las áreas de los rectángulos formados al evaluar la función en cada subintervalo. Proporciona un ejemplo para calcular la suma de Riemann de la función f(x)=x^2+2 en el intervalo [1,3].
Este documento presenta 13 ejercicios sobre series numéricas. Los ejercicios incluyen calcular términos, determinar convergencia, aproximar sumas, y estudiar tipos de convergencia. Se pide graficar funciones, calcular áreas, y estimar errores. Los ejercicios involucran sumas parciales, series alternadas, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y más.
Este documento presenta un quiz de cálculo vectorial con 5 preguntas. Cada pregunta contiene 1 o 2 partes y vale 1 punto. Se pide resolver las preguntas y sustentar las respuestas con procesos matemáticos para obtener la máxima puntuación. Se da una hora y media para completar el quiz.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
Este documento describe el método de Crank-Nicholson para resolver la ecuación de difusión. El método discretiza el espacio en elementos finitos y el tiempo en pasos discretos. Se aproxima la solución mediante funciones lineales por elementos. Esto conduce a un sistema de ecuaciones matriciales que relaciona los valores de la solución en los nodos en cada paso de tiempo. El método proporciona una aproximación numérica estable y precisa de la solución de la ecuación de difusión.
Este documento presenta fórmulas básicas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones constantes, identidad, potencias, suma, producto, cociente, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas e inversas. Proporciona reglas para derivar funciones compuestas y funciones que involucran más de una variable.
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas utilizando el método clásico y el software Derive 6.10. Introduce el concepto de ecuaciones diferenciales homogéneas y explica cómo transformarlas en ecuaciones de variable separable. Luego resuelve un ejemplo a mano y con Derive. Finalmente, propone cuatro problemas adicionales para resolver con Derive.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre el espacio vectorial RN. Introduce RN como un espacio vectorial sobre R, define el producto escalar euclídeo y la norma euclídea, y establece propiedades como la desigualdad de Cauchy-Schwarz. También cubre nociones métricas como distancia euclídea y conceptos topológicos como conjunto cerrado y convergencia de sucesiones.
Este documento presenta fórmulas para calcular derivadas de varios tipos de funciones, incluidas funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Proporciona reglas como que la derivada de una constante es cero, la derivada de x es 1, y la derivada de una suma o producto es la suma o producto de las derivadas individuales. También presenta derivadas para funciones sen, cos, tan, cot, sec y csc, así como sus inversas. Finalmente, presenta derivadas para funciones exponenciales y log
Este documento describe ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable. Explica cómo separar las variables en una ecuación diferencial de primer orden y primer grado, y cómo integrarla para obtener la solución primitiva. Resuelve un ejemplo numérico y muestra cómo usar el software Derive 6.10 para hallar la solución de una ecuación diferencial de variable separable.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones pueden ser homogéneas u no homogéneas. Luego, describe el método para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas constantes, el cual involucra hallar las raíces de la ecuación auxiliar asociada. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
Este documento presenta las reglas para calcular derivadas de operaciones con funciones derivables. Explica que la derivada de una suma es la suma de las derivadas individuales, la derivada de un producto por una constante es esa constante multiplicada por la derivada, y la derivada de un producto es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda. También presenta la regla de la cadena para derivar composiciones de funciones y una tabla con ejemplos comunes de funciones y sus derivadas respectivas.
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. Incluye fórmulas para calcular el área bajo curvas, entre límites y el volumen de figuras geométricas cuando giran alrededor de ejes.
2. Se proporcionan ejercicios resueltos de calcular áreas limitadas por funciones y rectas, y volúmenes de prismas, cilindros y otros sólidos.
3. El documento muestra cómo aplicar la integral definida para
Este documento presenta varios métodos de integración como el cambio de variable, integración por partes, integrales de funciones trigonométricas y fracciones parciales. Explica cada método a través de ejemplos y cómo reducir integrales desconocidas a integrales conocidas aplicando estas técnicas.
Este documento presenta las reglas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo: derivadas de constantes, potencias, funciones compuestas, sumas y diferencias, productos, cocientes, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También introduce la regla de la cadena para derivar funciones compuestas. El documento concluye con ejemplos de aplicación de estas reglas.
Este documento describe la teoría y aplicaciones de la proyección isométrica y las coordenadas homogéneas en álgebra lineal para gráficos de computadora. Se explica cómo proyectar objetos tridimensionales en un plano bidimensional, y cómo esto se puede usar para dibujar figuras como un cubo unidad. También incluye ejemplos de cómo calcular proyecciones y matrices de proyección para diferentes figuras geométricas.
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEAJorge Paz
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas utilizando el método clásico y el software Derive 6.10. Introduce el concepto de ecuaciones diferenciales homogéneas y cómo transformarlas en ecuaciones de variable separable. Luego, muestra un ejemplo resolviendo la ecuación (y - x^2y^2)dx = xdy con valores iniciales y(3)=1. Finalmente, propone cuatro problemas adicionales para resolver con Derive.
Este documento presenta varios criterios para determinar la convergencia o divergencia de series infinitas, incluyendo el criterio de la integral, el criterio del cociente, el criterio de las P-series y el criterio de la raíz. También discute la convergencia absoluta de series alternantes. Proporciona definiciones de cada criterio y ejemplos para aplicarlos. Al final, asigna ejercicios para que los estudiantes practiquen los diferentes métodos.
El documento describe cómo probar que el conjunto de los números naturales es numerable. Primero, se divide el conjunto de los números naturales en subconjuntos infinitos y disjuntos mediante una descomposición recursiva. Luego, se define una función que mapea cada subconjunto a un número natural, mostrando que existe una correspondencia biunívoca entre los números naturales y los subconjuntos, lo que demuestra que el conjunto original es numerable.
El documento explica la suma de Riemann, un método para calcular el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subdivisiones y sumando el área de los rectángulos formados. Define una partición del intervalo [a,b] y la suma de Riemann como la suma de las áreas de los rectángulos formados al evaluar la función en cada subintervalo. Proporciona un ejemplo para calcular la suma de Riemann de la función f(x)=x^2+2 en el intervalo [1,3].
Este documento presenta 13 ejercicios sobre series numéricas. Los ejercicios incluyen calcular términos, determinar convergencia, aproximar sumas, y estudiar tipos de convergencia. Se pide graficar funciones, calcular áreas, y estimar errores. Los ejercicios involucran sumas parciales, series alternadas, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y más.
Este documento explica la transformada discreta de Fourier (DFT), que permite representar señales de tiempo discreto como combinaciones lineales de exponenciales complejas. Describe cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier para señales periódicas y aperiódicas. También analiza ejemplos como ondas cuadradas y senos, y cómo reconstruir parcialmente las señales originales a partir de un número limitado de términos de la serie.
Este documento presenta 10 ejercicios de señales y sistemas. Los ejercicios cubren temas como la relación entrada-salida de sistemas, la periodicidad de señales, series de potencias, y convolución de señales.
Este documento presenta información sobre sucesiones, incluyendo definiciones, ejemplos y ejercicios resueltos y propuestos. Se define una sucesión como una función de los naturales a los reales y se dan ejemplos de sucesiones definidas por su término n-ésimo o de forma recursiva. También se explican conceptos como el término k-ésimo de una sucesión, el término anterior y siguiente. Finalmente, se incluyen ejercicios sobre sucesiones para que el lector practique.
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Comienza con una aproximación inicial y mejora sucesivamente la aproximación a través de iteraciones. Cada iteración consiste en n subiteraciones que actualizan una variable cada vez manteniendo fijas las demás. El proceso continúa hasta que las sucesivas aproximaciones difieran en menos de un epsilon.
Este documento presenta la solución a un examen de Análisis Real. Contiene 8 problemas relacionados con la convergencia de series, cálculo de valores de series, desarrollo en series de potencias de funciones y conceptos básicos sobre conjuntos como la clausura y compacidad. Las soluciones incluyen demostraciones y cálculos con series numéricas y de potencias.
Este documento discute cómo determinar los valores de z para que un polinomio P(x) sea divisible por (x-1)2. Explica que P(x) será divisible por (x-1)2 si x=1 es una raíz de multiplicidad 2. Luego, al despejar la ecuación resultante W(1)=0 para determinar z, concluye que z debe ser igual a n/(n-2) para que P(x) sea divisible por (x-1)2 cuando n es mayor que 2.
Este documento demuestra que un número l es punto de adherencia de una sucesión xn si y solo si existe una subsucesión xnj que converge a l. La demostración muestra que si l es punto de adherencia, entonces existe una subsucesión convergente a l, y viceversa, si existe una subsucesión convergente, entonces l es punto de adherencia.
Este documento presenta cuatro demostraciones por inducción matemática. La primera demuestra que la suma de los cuadrados de los primeros n enteros es igual a n(n+1)(2n+1)/6. La segunda prueba que n2+n es un número par para cualquier entero n. La tercera demuestra que los números de la forma 5n3+7n son divisibles entre 6. Y la cuarta prueba que (1+a)n es mayor o igual a 1+na si a>-1.
1. Se resuelve el límite de la función f(x) = 9 - 3x cuando x se acerca a 5, obteniendo como resultado -6.
2. Se resuelve el límite de la función f(x) = (2x^2 - x - 1)/(x - 1) cuando x se acerca a 1, obteniendo como resultado 3.
3. Se evalúa el límite de la función f(x) = x^n cuando h se acerca a 0, obteniendo como resultado n·2^(n-1).
Este documento presenta 11 ejercicios de aritmética resueltos. 1) Relaciona sumas con sus valores y ejemplifica propiedades de los operadores matemáticos. 2) Completa espacios en blanco sobre reglas para resolver ejercicios. 3) Demuestra una igualdad matemática. Los problemas restantes involucran ecuaciones, sumatorias y operaciones.
Este documento presenta 11 ejercicios de aritmética resueltos. 1) Relaciona sumas con sus valores y ejemplifica propiedades de los operadores matemáticos. 2) Completa espacios en blanco sobre reglas para resolver ejercicios. 3) Demuestra una igualdad matemática. Los problemas restantes involucran ecuaciones, sumatorias y operaciones.
Este documento presenta 11 problemas de cálculo de límites de sucesiones. Introduce conceptos clave como sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes, y diferentes criterios para determinar la convergencia como la media aritmética, geométrica y el criterio de Stolz-Cesàro. Luego resuelve cada uno de los 11 problemas propuestos aplicando técnicas como multiplicar y dividir por el conjugado, comparar grados y usar fórmulas como la de Newton y Stirling.
Este documento presenta una propuesta para una solución de series e integrales. Contiene ejemplos de series convergentes y divergentes, incluyendo series geométricas, telescópicas y otras. También incluye ejercicios resueltos sobre la convergencia de series y cálculo de límites, y una demostración de que si una serie es convergente, entonces la serie recíproca es divergente.
Este documento presenta 14 ejercicios de análisis combinatorio y potenciación. Los ejercicios involucran el cálculo de factoriales, sumas y diferencias de factoriales, y ecuaciones con factoriales. Se pide determinar valores numéricos o letras en función de las operaciones con factoriales planteadas en cada ejercicio.
Este documento presenta notas sobre series numéricas para un curso de análisis matemático. Introduce conceptos como series, términos generales, sumas parciales y convergencia de series. También cubre series geométricas y criterios para determinar la convergencia de series con términos no negativos, incluyendo la prueba de la integral y estimación de sumas.
El documento presenta 4 ejercicios que involucran el teorema de Parseval para señales de energía, la representación de funciones mediante polinomios de Legendre, la ortogonalidad de polinomios de Legendre, y la aproximación de señales usando funciones Walsh.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre análisis, transmisión y filtrado de señales. Los ejercicios incluyen determinar series de Fourier para diferentes funciones, aproximar funciones mediante series de Fourier finitas, y verificar propiedades de la transformada de Fourier como la convolución en el tiempo y el teorema de Parseval. El objetivo es que los estudiantes practiquen conceptos clave relacionados con la representación de señales y las transformadas de Fourier.
El documento presenta 4 ejercicios relacionados con el análisis de señales y la representación de funciones mediante series de funciones ortogonales. El ejercicio 1 pide demostrar un teorema sobre la energía de señales. El ejercicio 2 implica representar una función rectangular usando polinomios de Legendre. El ejercicio 3 verifica la ortogonalidad de polinomios de Legendre y representa una señal con ellos. El ejercicio 4 trata sobre funciones Walsh, su ortogonalidad y aproximación de una señal con ellas
1) La constante A debe ser 3 para que las señales φ1(t) y φ2(t) sean ortogonales.
2) El error cuadrático medio Ek en una aproximación de Fourier se reduce a medida que aumenta k.
3) La serie de Fourier de la función f(t)=1 para -π<t<0 y f(t)=0 para 0<t<π es 1/2 - ∞(−1)nsen(2n-1)t/(2n-1)2.
Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con señales y sistemas. 1) Clasifica diferentes señales como señales de energía, potencia u otras. 2) Demuestra que la potencia media normalizada de una señal periódica es igual a la potencia media sobre un período. 3) Representa una señal y su derivada usando escalones unitarios. 4) Bosqueja transformaciones de señales en tiempo continuo como cambios en el eje del tiempo. 5) Igual que el problema 4 pero para señales discretas. 6)
Este documento presenta 12 ejercicios relacionados con el muestreo y reconstrucción de señales. Los ejercicios cubren temas como la frecuencia de Nyquist, frecuencia de muestreo, aliasing y cuantificación de señales. Se proveen soluciones detalladas a cada ejercicio que involucran cálculos matemáticos para determinar frecuencias clave y representaciones gráficas de señales muestreadas.
1) La frecuencia de Nyquist de una señal ECG continua con frecuencias útiles hasta 100Hz es de 200Hz.
2) Al muestrear la señal ECG a una tasa de 250 muestras/segundo, la frecuencia máxima que puede representarse de forma unívoca es de 125Hz.
3) El documento contiene ejercicios relacionados con el muestreo y reconstrucción de señales, incluyendo el cálculo de frecuencias de muestreo, solapamiento, Nyquist y representación de señales discretas result
Este documento presenta tres ejercicios relacionados con el muestreo de señales continuas en el tiempo. El primer ejercicio pregunta sobre el rango de frecuencias de muestreo necesario para reconstruir exactamente una señal continua. El segundo y tercer ejercicio analizan qué ocurre cuando se muestrean señales con diferentes frecuencias dadas una frecuencia de muestreo de 8 kHz.
Este documento contiene dos ejercicios sobre muestreo de señales. El Ejercicio 7 trata sobre el muestreo de una señal senoidal y demuestra que la señal muestreada es periódica si la relación entre la frecuencia de muestreo y la frecuencia fundamental es un número racional. El Ejercicio 8 trata sobre el rango de frecuencias de muestreo necesario para reconstruir una señal que contiene frecuencias hasta 10 kHz, y examina qué ocurre al muestrear una señal con frecuencias de
La relación entre las variables de frecuencia o probabilidad y las variables continuas se estudia a través de la densidad de probabilidad, la cual describe la probabilidad de que una variable aleatoria tome valores en un intervalo determinado. La densidad de probabilidad cumple ciertas propiedades como ser no negativa y que su integral sobre todo el dominio sea igual a 1.
Este documento presenta la solución a 6 ejercicios relacionados con señales continuas y discretas. En el primer ejercicio, se muestra que el periodo fundamental de una señal depende del máximo común divisor de k y N. En el segundo, se calculan los periodos fundamentales para N=7 y N=16. El tercer ejercicio involucra dibujar y muestrear una señal analógica sinusoidal, determinar su frecuencia discreta y periodo.
Este documento presenta cuatro ejercicios de señales. El primero clasifica cuatro señales según sus características. El segundo determina si cuatro señales son periódicas y encuentra su período fundamental.
Este documento presenta 6 ejercicios de señales y sistemas. El primer ejercicio clasifica señales según sus dimensiones, canales, tiempo continuo/discreto y si son analógicas o digitales. El segundo determina si ondas senoidales son periódicas y encuentra sus períodos fundamentales. El tercero analiza el período fundamental de señales discretas. El cuarto grafica y analiza una señal analógica muestreada.
Un documento presenta dos tipos de señales, digital y análoga, y pide identificar cuál es cuál entre dos opciones marcadas (a) y (b). No se proporciona más información sobre las señales.
1. Ejercicio 1
Definida una se˜al discreta x[n] como
n
0 para n ≤ 0 y n ≥ 4
x[n] =
(−1)n n para n = 1, 2, 3
y la repetici´n peri´dica y[n] como
o o
∞
y[n] = x[n + 7k]
k=−∞
Encuentre la energ´ y potencia de estas dos se˜ales.
ıa n
Jorge A. Rodr´
ıguez Ejercicios Para el Primer Parcial Cap´
ıtulo 2
2. Soluci´n
o
Para le energ´ de x[n], tenemos
ıa
∞
Ex = x2 [n]
n=−∞
= x2 [1] + x2 [2] + x2 [3] = 14
Para la potencia de x[n], tenemos
N
1
Px = l´
ım x2 [n]
N →∞ 2N + 1
n=−N
14
= l´
ım =0
N →∞ 2N + 1
La energ´ de y[n] es
ıa
Ey = l´
ım N ∗ Ex → ∞
N →∞
Para la potencia de y[n] como esta es peri´dica seria
o
N0 −1
1
Py = x2 [n]; donde N0 es el periodo
N0 n=0
1
= 14 = 2
7
Jorge A. Rodr´
ıguez Ejercicios Para el Primer Parcial Cap´
ıtulo 2
3. Ejercicio 2
Una se˜al discreta x[n] es definida como
n
1 + n , −3 ≤ n ≤ −1
3
x[n] = 1, 0≤n≤3
0, de otra manera
1 Determine estos valores y bosqueje la se˜al x[n]
n
2 Dibuje las se˜ales que resultan si nosotros:
n
1 Primero x[n] se invierte la se˜al y el resultado se retrasa por cuatro
n
muestras.
2 Primero x[n] se retrasa cuatro muestras y luego se invierte el resultado.
3 Dibuje la se˜al x[−n + 4]
n
4 Compare los resultados de la partes (2) y (3) y deduzca las reglas para
obtener la se˜al x[−n + 4] de x[n]
n
5 ¿Puedes expresar la se˜al x[n] en t´rminos de las se˜ales δ[n] y u[n]?
n e n
Jorge A. Rodr´
ıguez Ejercicios Para el Primer Parcial Cap´
ıtulo 2
4. Soluci´n
o
1 2
1 x[n] = ..,0, 3 , 3 , 1, 1, 1, 1, 0, ...
↑
2 1
2 1 x[−n] = ..,0, 1, 1, 1, 1, 3 , 3 , 0, ...
↑
Despu´s de retardar la se˜ al invertida por 4 muestras, tenemos
e n
2 1
x[−n + 4] = ..,0, 0, 1, 1, 1, 1, 3 , 3 , 0, ...
↑
2 Si primero se retarda x[n] por cuatro muestras, se tiene
1 2
x[n − 4] = ... 0, 0, 3 , 3 , 1, 1, 1, 1, 0, ...
↑
Ahora, invertimos
2 1
x[−n − 4] = ..,0, 0, 1, 1, 1, 1, 3 , 3 , 0, 0, ...
↑
2 1
3 x[−n + 4] = ... 0, 1, 1, 1, 1, 3 , 3 , 0, ...
↑
4 Para obtener x[−n + k], primero se gira x[n] para obtener x[−n], luego si k > 0 se corre k
muestras a la derecha, o si k < 0 se corre k muestras a la izquierda.
Jorge A. Rodr´
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5. Ejercicio 3
Considere la siguiente se˜al, x[n] = δ[n] + 2δ[n − 1] + 3δ[n − 2]. Calcule su media
n
x[n] + x[n − 1]
m´vil y[n] =
o .
2
Elige las respuestas correctas
La salida para n ≥ 4 es siempre cero.
La salida en n = 3 no depende de la entrada en n = 1
y[n] = 0,5δ[n] + 1,5δ[n − 1] + 2,5δ[n − 2] + 1,5δ[n − 3]
Soluci´n
o
Las respuestas correctas son la primera y la tercera.
Jorge A. Rodr´
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6. Ejercicio 4
Un sistema de tiempo discreto puede ser
Est´tico o din´mico
a a variante con el tiempo
Lineal o no lineal Causal o no causal
Invariante con el tiempo o Estable o inestable
Examine los siguientes sistemas con respecto a las anteriores propiedades.
1 y[n] = cos(x[n]) 5 y[n] = x[n]u[n]
n+1
2 y[n] = x[k] 6 y[n] = x[n] + nx[n + 1]
k=−∞
3 y[n] = x[n]cos(ω0 n)
7 y[n] = x[−n]
4 y[n] = x[−n + 2] 8 y[n] = sgn(x[n])
Jorge A. Rodr´
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7. Soluci´n
o
1 Est´tico, no lineal, invariante , causal, estable.
a
2 Din´mico, lineal, invariante, no causal e inestable. Este ultimo es f´cil de probar. Para
a ´ a
una entrada acotada x[k] = u[k] , la salida es
n+1
0 n < −1
y[n] = u[k] =
k=−∞
n+2 n ≥ −1
Como y[n] → ∞ cuando n → ∞, el sistema es inestable.
3 Est´tico, lineal, variante, causal, estable.
a
4 Din´mico, lineal, invariante, no causal, estable.
a
5 Est´tico, lineal, invariante, causal, estable.
a
6 Est´tico, lineal, variante, no causal, inestable.
a
7 Din´mico, lineal, invariante, no causal, estable.
a
8 Est´tico, no lineal, invariante, causal, estable.
a
Jorge A. Rodr´
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8. Ejercicio 5
Para una se˜al de tiempo discreto x[n] como se muestra en la figura, bosquejar
n
cada una de las siguientes se˜ales.
n
1 x[n − 3]
2 x[2n]
3 x[−n]
4 x[−n + 2]
Jorge A. Rodr´
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9. Soluci´n
o
x[n − 3] 3 3 x[2n] 3
2 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 n -1 0 1 2 3 4 5 n
(a) (b)
3 3 x[−n] 3 3 x[−n + 2]
2 2
1 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 n
(c) (d)
Figura: (a) x[n − 3] (b) x[2n] (c) x[−n] (d) x[−n + 2]
Jorge A. Rodr´
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10. Ejercicio 6
Usando las se˜ales en tiempo discreto x1 [n] y x2 [n] tal como se muestran en
n
la figura, representar cada una de las siguientes se˜ales gr´ficamente y por una
n a
secuencia de n´meros.
u
1 y1 [n] = x1 [n] + x2 [n]
2 y2 [n] = 2x1 [n]
3 y3 [n] = x1 [n]x2 [n]
Jorge A. Rodr´
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