El documento presenta la resolución de un problema que involucra hallar la serie de Maclaurin de la función f(x)=xex e integrar término a término entre 0 y 1. Se obtiene la serie de Maclaurin como una suma de potencias de x. Al integrar término a término se llega a la expresión 2/(1-n2)!.

1. Problema: Hallar la serie de Maclaurin de f (x)  xex . Integrar esta serie término a término en el
intervalo cerrado [0,1] y probar que
2
1
1
(n 2)!n


 
Solución:
La siguiente es la fórmula de la serie de Maclaurin para una función f(x):
2
n
n x x
( ) ( ) (0) '(0) ''(0) ... (0) ...
f x f xf f f
     
n
2! !
Para el ejercicio, () x f x xe  . Por lo tanto se tendrán los siguientes datos:
f x xe
f e
f x e xe f
f x e e xe e xe f
f e e xe e xe f
( )
(0) 0 0
'( ) '(0) 1
''( ) 2 ''(0) 2

 0

   
      
      
(3) (3)
2 3 (0) 3
( ) ( )
...
( ) (0)
...
x
x x
x x x x x
x x x x x
n x x n
f x  ne  xe  f 
n
Así, la serie de Maclaurin queda:
2
x x
( )
f x f xf f f
( )  (0)  '(0)  ''(0)  ...  (0) 
...
3
2
2! !
     
... ...
2! ( 1)!
n
n
n
n
x x
x x
n

Ahora, se procede a encontrar
1
 f (x)dx mediante la siguiente integral:
0

2. 1 3
2
0
1 1 1 1 1
n
x x
x x dx
n n
    
n

2 3 4 1 2 3 4 1
 
x x x x x x x x
           
n n n n
   
0 0 0 0 0

      
n n n n
2
( ... ...)
2! ( 1)!
( ... ...) ... ...
2 3 2!(4) ( 1)!( 1) 2 3 2!(4) ( 1)!( 1)
1 1 1 1 1
... ...
2 3 2!(4) (  1)!(  1) ( 
2)!


Además, se tiene que
1 1
( ) x f x dx xe dx   la cual se resolverá por el método de integración por
0 0
partes:
En efecto, sean ux y x dv e dx  .
Entonces, du dx  y x ve . Y se considera la siguiente integral:
( 1) x x x x xe udv uv vdu xe e dx x e K             ; donde K¡
De esto se deduce que:
1
1
 xe x dx  (( x  1) e x )  (1  1) e  (  1) e 0

1 0
0
Y, por lo tanto,
2
1
1
(n 2)!n


 