Sesión de Aprendizaje - Sesion 08 - Esfuerzo Cortante - Teoria (v2).pdf

RESISTENCIA DE MATERIALES
2023-01-28
Profesor: MBA Ing. Carlo A. Salas Peña
carlo.salas@upn.pe
Sesión 08: Esfuerzo Cortante en Vigas

Pregunta de Interés
¿QUÉ CARACTERÍSTICAS Y
PROPIEDADES PRESENTAN
LOS ESFUERZOS CORTANTES
EN VIGAS?

LOGRO DE LA SESIÓN
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante
estará en la capacidad de proporcionar los conceptos,
procedimientos y técnicas para el análisis de los efectos
causados por las fuerzas cortantes en vigas.

AGENDA
1. Comportamiento Inelástico en Flexión.
2. Fuerza Cortante.
3. Esfuerzos Cortantes.
4. Flujo de Corte.
5. Centro de Corte.

Conceptos y Definiciones
Comportamiento Inelástico en Flexión
Ya que el momento aplicado hace que el material ceda
(comportamiento no elástico), debemos realizar un
análisis plástico a fin de determinar la distribución del
esfuerzo. Para la flexión de elementos rectos deben
cumplirse las siguientes 3 condiciones:
Primero: Las deformaciones normales siempre varían
linealmente desde cero en el eje neutro hasta un valor
máximo en el punto más alejado del eje neutro.

Segundo: Como sólo existe un momento interno
resultante que actúa sobre la sección transversal, la
fuerza resultante causada por la distribución del esfuerzo
debe ser igual a cero.
𝐹𝑅 = ෍ 𝐹
𝑥
Para la gráfica mostrada, tenemos que:
න 𝜎 = 𝑑𝐴 = 0
Nota: Esta ecuación nos permitirá obtener la ubicación del eje
neutro.
𝐴

Tercero: El momento resultante en la sección debe ser
equivalente al momento causado por la distribución del
esfuerzo alrededor del eje neutro.
𝑀𝑅 𝑧 = ෍ 𝑀𝑧
Para la gráfica mostrada, tenemos que:
𝑀 = න 𝑦(𝜎𝑑𝐴)
𝐴

Flexión Inelástica
Ahora, analicemos un material (por ejemplo acero) de
sección transversal definida (ver imagen) que presenta un
comportamiento elástico perfectamente plástico cuando el
esfuerzo en este alcanza un valor 𝜎𝑌.
Si el momento aplicado 𝑀 = 𝑀𝑌 se encuentra en el límite
elástico, entonces tenemos:
𝜎𝑦 =
6𝑀𝑦
𝑏ℎ2
Ordenando términos tenemos:
𝑀𝑦 =
1
6
𝑏ℎ2
𝜎𝑦

Cuando el momento 𝑀 > 𝑀𝑌 , este material cederá en sus
extremos superior e inferior, ocasionando una redistribución
de esfuerzos en su sección transversal (ver imagen) donde las
deformaciones 𝜖1, 𝜖2 𝑦 𝜖3 corresponden a los esfuerzos
𝜎1, 𝜎2 𝑦 𝜎3 . Asimismo, las fuerzas resultantes tiene los
siguientes valores:
𝑇1 = 𝐶1 =
1
2
𝑦𝑌 𝜎𝑌 𝑏
𝑇2 = 𝐶2 =
ℎ
2
− 𝑦𝑌 𝜎𝑌 𝑏

Vemos que el eje neutro pasa por el centroide de la
sección transversal. Asimismo, el momento 𝑀 puede
relacionarse con el esfuerzo de cedencia 𝜎𝑌 mediante:
𝑀 =
3
2
𝑀𝑌 1 −
4
3
𝑦𝑌
2
ℎ2
A medida que aumenta la magnitud de 𝑀, la distancia 𝑦𝑌
(ver imagen superior) se aproxima a cero y el material se
vuelve completamente plástico, lo cual nos dará como
resultado una distribución del esfuerzo similar a la
mostrada en la imagen inferior.

Calculando los momentos alrededor del eje neutro en la
imagen inferior, obtenemos que:
𝑀𝑝 = 1.5 𝑀𝑌
Donde 𝑀𝑃 es denominado como momento plástico para
una sección rectangular.
Nota: Debemos de tener en cuenta que el análisis para la obtención
de este momento depende de la geometría de la sección transversal.

Es conocido que las vigas usadas en construcciones de
acero son diseñadas para resistir un momento plástico.
Cuando se tiene esta situación, los códigos para una viga
suelen listar una característica de diseño llamada el
factor de forma, el cual se define como:
𝑘 =
𝑀𝑝
𝑀𝑌
Este valor de 𝑘, especifica la capacidad de momento adicional que
una viga puede soportar más allá de su momento elástico máximo.

Diseño de Vigas no Prismáticas a la Flexión
Como se ha visto en la sesión previa, los esfuerzos
normales máximos condicionan el diseño de una
viga. Es decir, el diseño de una viga no prismática
será optimo si el módulo elástico de sección 𝑆 de
cada sección transversal satisface:
𝑆 =
𝑀
𝜎𝑎𝑑𝑚
Nota: Una viga diseñada bajo este criterio es denominada como viga
de resistencia constante.

Fuerza Cortante en Cuerpos Rectos
Se debe tomar en cuenta que las vigas en general
soportará tanto una fuerza cortante como un
momento. Es decir, las cargas transversales no solo
provocan momentos flectores internos, sino también
se debe considerar el efecto de las fuerzas de cortantes
internas que crearán los esfuerzos cortantes
longitudinales correspondientes que actuarán a lo
largo de los planos longitudinales de la viga.
La fuerza cortante 𝑉 es el resultado de una
distribución del esfuerzo cortante transversal que
actúa sobre la sección transversal de la viga.

Fuerza Cortante en Cuerpos Rectos
Debido al esfuerzo cortante producido por la fuerza,
la sección transversal sufrirá una deformación.
Esta deformación es la causante de que las secciones
transversales no se mantengan perpendiculares al eje
neutro de la viga.

Formulación del Cortante
A diferencia de las fórmulas para esfuerzos por
carga axial y momento flector, la complejidad de
la distribución de esfuerzos cortantes hará que se
deduzca la fórmula de manera indirecta, para lo
cual consideraremos el equilibrio horizontal de
la viga mostrada.
Al tomar el equilibrio de una sección 𝑑𝑥 de la
viga, la distribución de esfuerzos en ella debido
al momento flector será lineal.

Al realizar el equilibrio de la parte sombreada de la
sección, observamos que deberá existir una fuerza
transversal que complete la condición de equilibrio.

De este modo, al realizar el equilibrio en la dirección
horizontal se tendrá que:
𝛴𝐹
𝑥 ← = න
𝑀 + 𝑑𝑀
𝐼
𝑦 𝑑𝐴′ − න
𝑀
𝐼
𝑦 𝑑𝐴′ − 𝜏 𝑡𝑑𝑥 = 0
𝑑𝑀
𝐼
න 𝑦 𝑑𝐴′ = 𝜏 𝑡𝑑𝑥
Despejando 𝜏 tenemos:
𝜏 =
1
𝐼𝑡
𝑑𝑀
𝑑𝑥
න 𝑦𝑑𝐴
+
𝐴′
𝐴′ 𝐴′
𝐴′

Donde:
ത
𝑦′
=
‫׬‬ 𝑦𝑑𝐴
‫׬‬ 𝑑𝐴
Siendo
𝑄 = න 𝑦 𝑑𝐴 = ത
𝑦′𝐴′
Vemos que 𝑄 = ത
𝑦′𝐴′, donde 𝐴′ es la porción del área de
la sección definida por el corte e ത
𝑦′ es la distancia al
centroide de 𝐴′ medida desde el eje neutro.

Recordando que
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉 y agrupando términos obtenemos la fórmula
para el esfuerzo cortante:
𝜏 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
donde:
𝜏 = Esfuerzo cortante en un punto de la sección transversal a una
distancia 𝑦′ del eje neutro.
𝑉 = Fuerza cortante interna.
𝑡 = Ancho de la sección transversal medido en el punto donde 𝜏 es
evaluado.
𝐼 = Momento de inercia de toda el área de la sección respecto al eje
neutro.

Formulación del Cortante - Limitaciones
• Si bien se ha deducido la fórmula para una sección
longitudinal de la viga, el esfuerzo en la cara transversal
tendrá que ser numéricamente igual debido al equilibrio del
cubo diferencial.
• Para efectos de cálculo se asumió que el esfuerzo estaba
uniformemente distribuido a lo largo del espesor 𝑡, lo cual es
una aproximación. La teoría de elasticidad nos provee una
mejor aproximación, en donde se muestra lo siguiente:

Formulación del Cortante - Limitaciones
• Asimismo, la fórmula deducida no presentará resultados
confiables si la frontera de las secciones no son planas.

Esfuerzos Cortantes en elementos de Sección Sólida
Para sección rectangular 𝜏 =
3
2
𝑉
𝐴
Para sección circular 𝜏 =
4
3
𝑉
𝐴

Flujo de Corte (Flujo Cortante)
Es una práctica usual de la Ingeniería el utilizar vigas compuestas
por diferentes materiales, las cuales estarán unidas por medio de
pernos, tornillos o soldadura.
Con el fin de determinar, por ejemplo, la cantidad de tornillos
que se requieren a lo largo de la viga, o cuanto espaciamiento
debe haber entre ellos, se empleará el concepto de flujo de corte,
el cual tiene un desarrollo de formulación similar a la del
esfuerzo cortante, la cual se representa por:
𝑞 =
𝑉𝑄
𝐼

Flujo de Corte (Flujo Cortante)
donde:
𝑞 = Es el flujo cortante, medido como una fuerza por unidad de longitud a
lo largo de la viga.
𝑉 = Fuerza cortante interna resultante.
𝑄 = ത
𝑦′
𝑥𝐴′
, el cual es el múltiplo del área de la sección transversal del
segmento que se conecta a la viga en la unión donde debe calcularse el flujo
cortante y la distancia desde el eje neutro hasta el centroide de dicha área.
𝐼 = Momento de inercia de toda el área de la sección respecto al eje neutro.

Esfuerzos Cortantes en Elementos de Pared Delgada
Sea una viga en forma de 𝐼 de pared delgada como se
aprecia en la imagen. Si ℎ1 =
𝑑
2
− 𝑡
Al analizar una de las alas (ala superior) mediante un corte
horizontal tenemos que:
Cuando 𝑦 =
𝑑
2
→ 𝜏 = 0
Cuando 𝑦 = ℎ1 → 𝜏 =
𝑉
8𝐼
𝑑
2
2
− ℎ1
2
Al analizar el alma mediante otro corte horizontal tenemos:

Esfuerzos Cortantes en Elementos de Pared Delgada
Si 𝑦 =
𝑑
2
→ 𝜏𝑚𝑖𝑛 =
𝑉
8𝐼𝑡
𝑑
2
2
− ℎ1
2
Si 𝑦 = 0 → 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑉
8𝐼𝑡
𝑏
𝑑
2
2
− 𝑏ℎ1
2
+ 𝑡ℎ1
2
Comparando resultados podemos apreciar que los esfuerzos
cortantes verticales en el alma son bastante mayores que los
esfuerzos verticales en las alas. Por lo tanto, puede asumirse
entonces que la fuerza cortante 𝑉 es tomada básicamente
por el alma y que el esfuerzo promedio en esta es
aproximadamente:
𝜏 =
𝑉
𝐴𝐴𝑙𝑚𝑎

Centro de Corte para Elementos de Pared Delgada

En la imagen mostrada, la fuerza 𝑃 se aplica a lo largo del
eje vertical asimétrico que pasa por el centroide 𝐶 de la
sección transversal. Observamos que el canal no sólo se
dobla hacia abajo, sino que también se tuerce.
De la distribución del flujo cortante a lo largo de las alas
y el alma del canal, la fuerzas resultantes de estas generan
momentos.

Si los momentos de estas fuerzas se suman respecto al
punto 𝐴, se observa que el momento de torsión creado
por las fuerzas del ala es el responsable de la torsión de la
viga.
Para evitar esta torsión, es necesario aplicar 𝑃 en un
punto "𝑂" situado a una distancia excéntrica "𝑒" del alma
del canal. Por lo tanto, se requiere que 𝛴𝑀𝐴 = 𝐹𝑓. 𝑑 = 𝑃. 𝑒
por lo que tenemos que:
𝑒 =
𝐹𝑓. 𝑑
𝑃

De lo descrito, 𝐹𝑓 puede evaluarse en términos de 𝑃 (= 𝑉) y las
dimensiones de las alas y el alma por lo que es posible expresar a
"𝑒" como una función de la geometría de la sección transversal.
Asimismo, el punto "𝑂" es denominado como centro cortante o
centro de flexión, por lo que cuando 𝑃 se aplica en este, la viga se
dobla sin torcerse.
Es necesario indicar que el centro cortante siempre se encontrará
sobre un eje de simetría del área de la sección transversal. Por
supuesto que, si una viga tiene una sección transversal con dos
ejes de simetría, el centro cortante coincidirá con la intersección
de estos, la cual, es el centroide.

CONCLUSIONES

REVISIÓN DEL
MATERIAL DE CLASE

Beer, F., Johnston, R. y Dewolf, J. (2013). Mecánica de materiales (6a
ed.). México: Mc Graw Hill.
Gere, J. (2012). Mecánica de materiales (7ª ed.). México: Editorial
Cengage Learning Editores.
Bibliografía

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