Se presenta una pequeña investigación del comportamiento de la flexión en vigas, mas que nada sus formulas

1. FLEXION EN VIGAS
MECANICA DE MATERIALES

2. INTRODUCCION
 Las vigas son elementos estructurales que soportan cargas aplicadas
en varios puntos a lo largo del elemento y son comúnmente
elementos prismáticos largos y rectos. Las vigas de acero y de
aluminio juegan un papel importante tanto en la ingeniería
estructural como en la mecánica. Las vigas de madera se emplean,
sobre todo, en la construcción residencial.
 Las vigas han de diseñarse para que sean seguras. Cuando se aplican
cargas perpendiculares al eje mayor de una viga, se producen
momentos flexionantes en su interior. Tales cargas transversales sólo
causan flexión y corte en la viga. Cuando las cargas no se encuentran
en ángulo recto con la viga, también producen cargas axiales en ella.
En ocasiones dos o más vigas se conectan por bisagras para formar
una estructura continua única.

3.  La carga transversal de una viga puede
consistir en cargas concentradas P1,
P2,..., expresadas en newtons, libras o
sus múltiplos, kilonewtons y kips
(figura a), en una carga distribuida w,
expresada en N/m, kN/m, lb/ft o
kips/ft (figura b), o una combinación
de ambas.
 Cuando la carga w por unidad de
longitud tiene un valor constante a lo
largo de parte de la viga (como entre
las figuras a y b ), se dice que la carga
está uniformemente distribuida en
dicha parte de la viga.

4. CLASIFICACIÓN DE LAS VIGAS
 Las vigas se clasifican de acuerdo con la manera en la que se encuentran apoyadas. A continuación
se presentan varios tipos de vigas utilizadas con frecuencia. La distancia L mostrada en distintas
partes de la figura se denomina el claro. Las reacciones en los soportes de las vigas en las partes a,
b y c pueden determinarse empleando métodos estáticos. Tales vigas se conocen como
estáticamente determinadas. Por otra parte, las reacciones en los apoyos de las vigas d, e y f no
pueden determinarse únicamente por métodos estáticos. Las propiedades de las vigas con
respecto a su resistencia a las deformaciones debe tomarse en cuenta. Tales vigas se denominan
estáticamente indeterminadas.

5. FORMULA DE LA FLEXIÓN
 Existen casos cuando una viga esta sometida a momentos flexionantes , el material
sobre el eje centroidal estará a compresión con el esfuerzo de comprensión máximo en
la cara superior. El material bajo el eje centroidal estará a tensión con el esfuerzo de
tensión máximo en la cara inferior. A lo largo del mismo eje centroidal, la deformación y
el esfuerzo son cero debido a la flexión. A esto se le conoce como eje neutro.
 En el diseño o análisis de vigas, lo que se pretende por lo general es determinar los
esfuerzos máximos de tensión y compresión. Estos esfuerzos máximos dependen de la
distancia del eje neutro (eje centroidal) a las caras superior e inferior y se designa como
c.
 El esfuerzo causado por flexión también es proporcional a la magnitud del momento
flexionante aplicado a la sección de interés. La forma y las dimensiones de la sección
transversal de una viga establecen su capacidad de soportar el momento flexionante
aplicado. Mas adelante se probara que el esfuerzo flexionante es inversamente
proporcional al momento de inercia de la sección transversal con respecto a su eje
centroidal horizontal. A continuación se enuncia:
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑐
𝐼
Donde:
σmáx.= esfuerzo máximo en las fibras externas de la viga.
M = momento flexionante en la sección de interés.
C = distancia del eje controidal de la viga a las vigas externas.
I = momento de inercia de la sección transversal con respecto a su eje centroidal.

6.  Con el fin de aplicar la formula de la flexión, se sugiere el siguiente procedimiento:
Momento interno:
 Seccione el elemento en el punto donde debe determinarse el esfuerzo flexionante o normal y
obtenga el momento interno M en la sección. Es necesario conocer el eje centroidal o neutro
para la sección transversal, dado que M debe calcularse respecto a ese eje.
 Si debe determinarse el esfuerzo flexionante máximo absoluto, entonces dibuje el diagrama del
momento a fin de determinar el momento máximo en el elemento.
Propiedades de la sección:
 Determine el momento de inercia del área de la sección transversal respecto al eje neutro.
Esfuerzo normal:
 Especifique la distancia y medida en forma perpendicular al eje neutro y al punto donde debe
determinarse el esfuerzo normal, después aplique la formula del esfuerzo flexionante máximo. Al
sustituir los datos, asegúrese de que las unidades sean consistentes.
 El esfuerzo actúa en una dirección de tal forma que la fuerza creada en el punto contribuye con un
momento respecto al eje neutro, el cual tiene la misma dirección que el momento interno M, de
esta manera puede trazarse la distribución del esfuerzo que actúa sobre toda la sección
transversal, o bien puede aislarse un elemento de volumen del material a fin de utilizarlo en la
representación grafica del esfuerzo normal

7. VIGAS COMPUESTOS
 Las vigas fabricadas con dos o mas materiales diferentes se conocen como vigas
compuestas.
 Los ingenieros diseñan las vigas de esta forma con el propósito de desarrollar un
medio mas eficiente para soportar las cargas. La aplicación de la formula de la
flexión requiere que el material sea homogéneo, por lo que si se desea emplear
dicha formula para calcular el esfuerzo flexionante, la sección transversal de la
viga debe transformarse en un solo material.
 El factor de transformación “n” es una relación entre los módulos de los
diferentes materiales que componen la viga. Usado como un multiplicador, este
factor convierte la anchura de la sección transversal de la viga compuesta en el de
una viga fabricada de un solo material de modo que esta tenga la misma
resistencia que la viga compuesta. Así, el material rígido será reemplazado por una
mayor cantidad de los materiales mas blandos y viceversa. Su formula consiste es:
𝑛 =
𝐸1
𝐸2

8. VIGAS DE CONCRETO REFORZADO
 Todas las vigas sometidas a flexión pura deben resistir tanto
esfuerzo de tensión como de compresión. Si embargo, el
concreto es muy susceptible al agrietamiento cuando se
encuentra en tensión, y por lo tanto no resulta adecuado por
si mismo para resistir un momento flexionante. Para evitar
este inconveniente, los ingenieros colocan varillas de acero
de refuerzo dentro de una viga de concreto en una ubicación
donde el concreto se encuentra en tensión. Se requiere que
las varillas tengan algo cubierto de concreto para
protegerlas de la corrosión o perdida de resistencia en caso
de incendio. Los códigos utilizados para el diseño real de
concreto reforzado suponen que la capacidad del concreto
no soportara ninguna carga de tensión, ya que su posible
agrietamiento es impredecible. Como resultado, se asume
que la distribución de esfuerzo normales que actúan sobre
el área de la sección transversal de una viga de concreto
reforzado es similar.

9. VIGAS CURVAS
 La formula de la flexión es aplicable para un elemento recto, ya que su
deformación varia linealmente desde su eje neutro. Sin embargo, si el
elemento es curvo, esta suposición se vuelve inexacta. Para el análisis de
una viga curva, los elementos no son delgados, sino que tienen una curva
cerrada y sus dimensiones transversales son grandes en comparación
con su radio de curvatura. El análisis siguiente la sección transversal es
constante y tiene un eje de simetría perpendicular al momento aplicado
M. Además el material es homogéneo e isotrópico y se comporta de
forma elástica lineal cuando se le aplica la carga

10.  Si se aísla un segmento diferencial de la
viga, el esfuerzo tiende a deformar el
material de manera que cada sección
girara un ángulo, que es la misma para
cualquier franja en particular, se tiene
que 𝜖 =
𝑘(𝑅−𝑟)
𝑟
.
 A diferencia del caso de vigas rectas,
aquí se puede ver que la deformación
normal es una función no lineal de r, y
por lo tanto varia de forma hiperbólica.
Si el material sigue siendo elástico lineal,
entonces 𝜎 = 𝐸𝜖, sustituyendo:
𝜎 = 𝐸𝑘(
𝑅 − 𝑟
𝑟
)

11.  Para obtener la ubicación R del eje neutro,
se requiere que la fuerza interna resultante
causada por la distribución del esfuerzo que
actúa sobre la sección transversal sea igual
a 0; es decir:
𝑅 =
𝐴
𝐴
𝑑𝐴
𝑟
 Donde:
 R= la ubicación del eje neutro, especificado
desde el centro de curvatura o’ del
elemento.
 A= área de la sección transversal del
elemento.
 r= la posición arbitraria del elemento del
área dA sobre la sección transversal,
especificado desde el centro de curvatura o’
del elemento.
 A continuacion se presenta un ejercicio:

12. LA BARRA CURVA TIENE LA SECCIÓN TRANSVERSAL QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA. SI SE SOMETE A
LOS MOMENTOS DE FLEXIÓN DE 4KN.M, DETERMINE EL ESFUERZO MÁXIMO NORMAL DESARROLLADO
EN LA BARRA
 Momento interno: cada sección de la barra esta sometida al mismo momento
resultante interno de 4 KN.m. como este momento tiende a disminuir el radio de
curvatura de la barra, es negativo. Así, M= -4KN.m
 Propiedades de la sección: aquí se considerara que la sección transversal esta
compuesta por un rectángulo y un triangulo. El area total de la sección transversal es:
Σ𝐴 = 0.05 𝑚 2
+
1
2
0.05𝑚 0.03𝑚 = 3.250 × 10−3
𝑚2
La ubicación del centroide se determina con referencia al centro de curvatura, es decir el
punto o’.
𝑟 =
𝑟𝐴
𝐴
=
0.225𝑚 0.05𝑚 0.05𝑚 + (0.260𝑚)
1
2
(0.050𝑚)(0.030𝑚)
3.250 × 10−3 𝑚2
= 0.23308 m

13.  Es posible encontrar 𝐴
𝑑𝐴
𝑟
,
para el rectángulo:
𝐴
𝑑𝐴
𝑟
= 0.05𝑚(ln
0.250𝑚
0.200𝑚
) = 0.011157𝑚
y para el triangulo:
𝐴
𝑑𝐴
𝑟
=
(0.05𝑚)(0.280𝑚)
(0.280𝑚−0.250𝑚)
(ln
0.280𝑚
0.250𝑚
) − 0.050𝑚 = 0.0028867𝑚
asi, la ubicación del eje neutro se determina a partir de:
𝑅 =
𝐴
𝐴
𝑑𝐴
𝑟
=
3.250 × 10−3 𝑚2
0.011157𝑚 + 0.0028867𝑚
= 0.023142𝑚
observe que R<r tal como se esperaba. Además, los cálculos se realizaron con una
precisión suficiente de modo que 𝑟 − 𝑅 = 0.23308𝑚 − 0.23142𝑚 =
0.00166𝑚 es ahora con una precisión de tres cifras significativas.

14.  Esfuerzo normal: el esfuerzo normal máximo
se produce en A o bien en B. al aplicar la
formula de la viga curva para calcular el
esfuerzo normal en 𝐵, 𝑟𝐵 = 0.200 𝑚, se tiene:
𝜎𝐵 =
𝑀(𝑅 − 𝑟𝐵)
𝐴𝑟𝐵( 𝑟 − 𝑅)
=
(−4𝑘𝑁. 𝑚)(0.23142𝑚 − 0.200𝑚)
3.250 × 10−3 𝑚2(0.200𝑚)(0.00166𝑚)
= −116𝑀𝑃𝑎
 En el punto 𝐴, 𝑟𝐴 = 0.280 𝑀, y el esfuerzo
normal es:
𝜎𝐴 =
𝑀(𝑅 − 𝑟𝐴)
𝐴𝑟𝐴( 𝑟 − 𝑅)
=
−4𝐾𝑁. 𝑚 (0.23142𝑚 − 0.280𝑚)
3.250 × 10−3 𝑚2(0.280𝑚)(0.00166𝑚)
= 129𝑀𝑃𝑎