Operaciones inversas, teoremas fundamentales de álgebra, Aplicaciones de la factorización.

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GALILEO: Aprendiendo a Pensar

4. Factorización
Clase 12

5. Planeación de clase
Bloque Tema Grado Fecha
Contenido
Competencias que
favorecen
Eje temático Aprendizajes esperados
Actividad
Estrategia Didáctica
de la enseñanza
Tiempo
asignado
Estándares curriculares
Apertura
Desarrollo
Cierre
Evaluación
II
Factorización de ecuaciones de la
forma. a𝑥2
+ bx = 0
a𝑥2 = 𝑏𝑥
a𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Factorización Tercero 26 de noviembre de 2013
• Resolver problemas de manera
autónoma
• Comunicar información
matemática
• Validar procedimientos y
Resultados
• Manejar técnicas eficientemente
Sentido Numérico y Pensamiento
Algebraico.
• Patrones y Ecuaciones.
Según las consignas:
9.2.1
Práctica de Matemáticas
-Factorización de Polinomios de
Manera Gráfica
-Aplicaciones de la factorización
-Operaciones Inversas
-Teorema Fundamental de la Aritmética
y Teorema Fundamental del Álgebra
5 min
40 min
5 min
Por evidencias
Resuelve problemas que
involucran el uso de
ecuaciones lineales o
cuadráticas

6. Factorización12.
Tema 2: Teorema Fundamental del
Álgebra
Tema 3: Aplicaciones de la
Factorización
Tema 4: Práctica de Matemáticas
Tema 1: Operaciones Inversas

7. Apertura
-Operaciones Inversas
-Teorema Fundamental de la
Aritmética
y Teorema Fundamental del
Álgebra

8. • Todo nuestro mundo está
rodeado de aspectos que
son inversos entre sí.
• En Matemáticas, existen
diversas operaciones que
son inversas entre sí.
• Dos de estas operaciones
son el producto de
expresiones algebraicas y la
factorización.
Operaciones Inversas
𝑥 𝑥 + 1 = 𝑥2
+ 𝑥
𝑥2
− 2𝑥 = 𝑥 𝑥 − 2
𝑥2
− 𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 𝑥 − 1

9. Recordemos que un número
primo es aquel cuyos únicos
divisores son 1 o el mismo.
Los números que no son
primos se llaman números
compuestos.
Todos los números
compuestos pueden
expresarse como el producto
de números primos.
Se dice que los números
primos son elementos
irreducibles, pues no pueden
expresarse como el producto
de otros números.
1 2 3
10 11 12
19 20 21
4 5 6
13 14 15
22 23 24
7 8 9
16 17 18
25 26 27
28 29 30
37 38 39
46 47 48
31 32 33
40 41 42
49 50 51
34 35 36
43 44 45
52 53 54
55 56 57
64 65 66
73 74 75
58 59 60
67 68 69
76 77 78
61 62 63
70 71 72
79 80 …
2013 = 3 ∗ 11 ∗ 61
Teorema Fundamental de la Aritmética
y Teorema Fundamental del Álgebra

10. Similarmente a la
aritmética, en el álgebra
existen polinomios que
pueden expresarse como
el producto de otros más.
También existen
polinomios que resultan
ser irreducibles.
El teorema fundamental
del álgebra asegura que
todo polinomio de grado
𝑛 puede factorizarse en
polinomios lineales o
cuadráticos irreducibles.
Teorema Fundamental de la Aritmética
y Teorema Fundamental del Álgebra
110 = 11 ∗ 1011 ∗ 2 ∗ 5
𝑥3
− 𝑥2
− 6𝑥 = 𝑥 𝑥2
− 𝑥 − 6𝑥 𝑥 + 2 𝑥 − 3
17 = 1 ∗ 17
𝑥2
+ 1 = 1 𝑥2
+ 1

11. Desarrollo
-Factorización de Polinomios de
Manera Gráfica
-Aplicaciones de la factorización

12. x2
x
x
1
x
Binomio al cuadrado
+ + = x2 + 2x + 1
x + 1
(x + 1)(x + 1)A=
=
x2 + 2x + 1
1
+
x
Binomio al cuadrado Trinomio cuadrado perfecto

13. Binomio con término común
2x2 + 3x + 1
x2 x2 1xx
x
2x + 1
1
+
x
=
(2x + 1)
(x + 1)
x
x

14. Factorización
2x2 + 7x + 3
1
x2
x2
1 1
x x x
x x x
x
= (2x + 1)(x + 3)

15. Factorización
4x2 + 8x + 4
1 1
x x
x x
x
= (2x + 2)(2x + 2)
x2 x2
x2 x2
x
x
x 1 1

16. Factorización
4x2 + 8x + 3
1
x2 x2
x2 x2
1
1
xx x x
x x x x
x
x
2x + 3
1
+
2x
=
(2x + 3)
(2x + 1)

17. Binomios conjugados
a2 - b²
a2
b²
a
a b
b
a-b
b
a-ba - b
a + b
=
(a – b)
(a + b)

18. Situación
• El plano de la construcción
marca un acceso para los
vehículos de 3 metros de
ancho que rodea 2 lados del
terreno.
• Se quiere construir
un restaurante de
comida rápida , para
lo cual se va a
comprar un terreno
de forma cuadrada
de 450 m²de
superficie.
• ¿Cuánto medirá por lado el terreno que
quedará para edificar el restaurante?

19. Binomios al cuadrado
(x+3) ( x+3 ) = x²+6x+9
• Al multiplicar los binomios
• (x+3) (x+3 ) obtenemos un
trinomio cuadrado perfecto
x²+6x+9 , que se representa
gráficamente por una parábola y su
interpretación nos puede ser de
mucha ayuda para resolver
problemas de manera rápida.
• Para encontrar el área podemos
graficar x² simultáneamente con el
binomio al cuadrado.
450 m²
Área del
restaurante

20. Situación
• Si el plano de la
construcción marcara un
acceso para 2 vehículos de
5.5 metros de ancho.
• ¿Qué área quedará para
edificar el restaurante?.
• Si el área del restaurante requiriera un terreno de 350 m² ¿qué extensión de
terreno se necesitaría en total ?

21. Situación
• En un centro comercial
se instaló un exhibidor
para refrescos con
motivo de las fiestas
patrias. El exhibidor es
de forma cuadrada y
tiene una superficie
frontal de 3.24 mts ².
• Para promocionar un
nuevo producto se
requiere un espacio
cuadrado de .9 m por
lado .
• ¿Cuánto deberá medir un nuevo exhibidor para que se pueda acomodar toda esta
mercancía?
3.24 mts ²
0.9 mts
0.9 mts

22. Binomios conjugados
(x+0.9) ( x-0.9) = x^2 - 0.81
• Al multiplicar (x+0.9) ( x-0.9)
obtenemos como resultado una
diferencia de cuadrados, que
gráficamente se representa por una
parábola
• La diferencia de cuadrados no sólo
nos permite obtener la resta de
áreas sino también la suma de ellas,
como lo veremos en la solución de
este problema.
x-0.9
x+0.9
x^2 - 0.81

23. Multiplicación de binomios
(x-1) ( x+2 ) = x2+x-2
• La multiplicación de estos
binomios da como resultado un
trinomio x2+x-2
• En el caso de la multiplicación,
las mismas raíces de los factores
son las raíces del producto .
x-1
X+2
x^2+x-2
raices

24. Multiplicación de binomios
(x-1) ( x+2 ) (x+1)²
• Si agregamos a la multiplicación otro
binomio (x+1)², las raíces de este
también son las raíces del producto
resultante, pero no sólo eso sino que
también la forma de sus graficas.
x-1
X+2
x^2+x-2
x-1

25. Cierre
-Práctica de Matemáticas

26. Práctica de Matemáticas
Mostrar el método gráfico
de factorización en el salón
de clases.
Además, responder lo
siguiente:
1. ¿Puede factorizarse la
expresión
−0.3𝑥2 + 1.4𝑥 − 2.6?
2. ¿Cuántos factores
posee la expresión 𝑥3 +
2𝑥 − 3𝑥2
− 6?
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27. Presentar una planeación de clase sobre el tema Factorización,
donde se muestre una aplicación práctica y su resolución con el
Laboratorio de Álgebra.
Secuencia didáctica Aplicación Evidencias
Tarea