El documento habla sobre funciones. Define una función como una regla que asocia cada elemento de un conjunto A a un único elemento de un conjunto B. Explica operaciones básicas como suma, multiplicación y división de funciones. También define el dominio como el conjunto de primeros elementos de la correspondencia y el rango como el conjunto de segundos elementos. Finalmente, muestra un ejemplo gráfico de una función y su dominio y rango.

1. ALGEBRA
FUNCIONES
DEMETRIO CCESA RAYME

2. Funciones
Definición de función:
Una función f es una regla que asocia a cada elemento x de un conjunto de
números reales A, un único número real y en un conjunto B.
Notación:
f : A  B
La expresión indica que f es una función, que toma valores del conjunto A y
los transforma en valores de un conjunto B.

3. Operaciones con Funciones
Las operaciones básicas entre las funciones anteriormente definen nuevas
funciones que conoceremos como función suma, función multiplicación y función
división o cociente.
Función Suma: (fg)(x)f(x)g(x)
Función Multiplicación:
(f.g)(x)f(x).g(x)
Función División:
(f/g)(x)f(x)/g(x)

4. Dominio y Rango de una Función
Dominio de una función f: Dom(f)
El dominio de una función f, denominado también preimagen, es el
conjunto de los primeros elementos (x) de la correspondencia que
pertenecen al conjunto de partida.
Dom(f) = {x / (x; y) Є f}
Rango de una función f: Ran(f)
El rango de una función f, denominado también imagen o recorrido, es el
conjunto de los segundos elementos (y) de la correspondencia que
pertenece al conjunto de llegada.
Ran(f) = {y / (x; y) Є f}

5. Gráfica de una función
Gráficamente una función se reconoce cuando toda recta vertical corta a la
gráfica de dicha función a lo más en un punto.
Graficamos la función: y = f(x) = x + 3 en [-1;2]
-1 0 1 2
5
4
3
2
1
Dom(f)= [-1; 2]
Ran(f)= [2; 5]

6. Funciones con Radicales
Dominio de la función.
conjunto de valores numéricos que la función puede procesar. En general,
estos valores corresponden a la variable x.
Ejemplo:
La función definida por medio de:
Tiene como Dominio al conjunto de números reales mayores o iguales a 2,
es decir, el intervalo
f (x)  x 2
2,
x – 2  0 Sii x  2

7. B) ℝ C)
E) ℝ - 1/ 3
1. Hallar el dominio de la función:
f (x) 
3x1
x2
Por T
anto x ℝ - 2 = Dom(f)
A) ℝ - 3
D) ℝ - 2/3
ℝ - 2
Solución
En toda Función Racional el denominador debe ser diferente de
cero.
Restricción x -2≠ 0 entonces x ≠ 2
Rpta. C

8. 2. Hallar la suma de los valores enteros del dominio de la
función:
Solución
En todo Radical de índice par el Radicando debe ser
positivo.
6 – x  0 ; x – 2  
6  x ; x 2
Suma: 3+4+5+6=18
f (x) 
6 x
x 2
C) 18
A) 14
D) 20
B) 16
E) 22
Rpta. C

9. 3. Hallar el dominio de la función:
f (x)  1 1x A) 1,1
D) 1,
B) 1, 2 C) 0,1
E) ,1
Solución
En todo Radical de índice par el Radicando debe ser positivo.
1  x  0
1-
1  1  x
1 - x  0
1  x
Elevando al cuadrado:
1  1 – x
x  0
1  x
1  x
Por Tanto x 0,1 Rpta. C
є

10. 4. Hallar el dominio de la función:
x3
7x2
14x 8
f (x)
x2
6x 8
Solución
En toda Función Racional el denominador debe ser diferente de cero.
Restricción si x2 + 6x + 8 ≠ 0
(x + 4) (x + 2) ≠ 0
x ≠ – 4 ; x ≠ – 2
Por Tanto x
B) ℝ - − 2: − 4 C) ℝ - − 4
D) ℝ E) ℝ - 4
A) ℝ- 1/4
ℝ - −2: −4
Rpta. B
є

11. A)
D) E)
Solución
5. Hallar el dominio de la función:
4
x2
3x23
X 2
f (x)
3x2
x2
2
3
, B)2,   C) ℝ
3
 2 ,2 3
, 2
2,
x2 – 3x + 2  0
3x2 – x – 2  0 ; (3x + 2) (x – 1)  0
; (x – 2) (x – 1)  0
X pertenece <-;1]  [2; >
X pertenece <-;-2/3>   1; >
Interceptando ambas Soluciones:
Por tanto X 3
, 2
2,
Rpta. E
є

12. D)
6. Hallar el dominio de la función:
x 1  6
4 x 1
g(x) 
(2x 6)3
A) 1,3 B) 3, 4 C) 1, 4
3, 5 E) 1,3 3,4
Solución
En todo Radical de índice par el Radicando debe ser positivo.
x – 1  0 4 – x  
y
Restricción , x ≠ 3
x  1 4  x
y
Por Tanto x 1,3 3, 4
Rpta. E
є

13. A) 6
D) 5
B) - 6 C) - 5
E) 0
7. Hallar la suma de los valores enteros del dominio de la
función:
g(x)  8
21 x2
4
; (x – 4) (x + 1)  0
<-;-1]  [4; >
; (x – 2) (x + 2)  0
<-;-2]  [2; >
; 0  x2 – 25
Solución
x2 – 3x – 4  0
X
x2 – 4  0
X
21 – x2 + 4  0
X <-5; 5>
Interceptando las tres soluciones:
c.s. <-5;-2]  [4; 5>
Suma: – 4 – 3 – 2 + 4 = – 5
x2
 3x 4
Rpta. C
є
є
є

14. f (x) 
x  4
 x 
x  2 5  x
A)0,5 B)0,52
-
8. Halle el dominio de la función:
C) ℝ - 2
D) 0,5 2E), 5 2
Solución
En todo Radical de índice par el Radicando debe ser positivo.
x  0 ; 5 – x  
Restricción , x ≠ 2 ; x ≠ 5
x  0 ; 5  x
Por tanto x 0,5 2
2021
Rpta. E
є

15. 9. Halle el rango de la función:
5x1
f (x) 
Solución
2x 3
)
A) ℝ - 2/3 B) ℝ - 2/5 C ℝ - 5/2
D) ℝ E) ℝ - 2
Siendo y= f(x) tenemos:
y
5x1
2x3
2xy3y 5x1
2xy5x3y1
x 
3y 1
2y 5
En toda Función Racional el denominador debe ser diferente de cero.
Restricción si 2y - 5≠ 0 entonces y ≠ 5/2
Por Tanto y ℝ - 5/2
Rpta. C
є

16. D)
B)
E)
10. Hallar el rango de la siguiente función:
f (x)  4 x2
; x  1,2 A) 0, 5 0 , 2 C) 0, 2
0 , 3 
 1, 3 

Solución
Siendo y = f(x) tenemos:
y 4x2
Tabulando valores:
3
entonces
entonces 3
entonces y =
y = 2
t y =
Si X = – 1
Si X = 0
Si X = 1
Si X = 2 entonces y = 0
Por Tanto y 0, 2
abierto
cerrado
cerrado
abierto
Rpta. C
є

17. A)
D) )
Solución
Hallar el rango de:
=
11.
,1
ℝ - 1
Siendo y= f(x) tenemos:
x2
f (x) 
x 2
x2
y 
x2
discriminante positiva b2– 4ac 
xy - 2y = x2
x2 - xy + 2y =0
y2 – 4(1)(2y)  0
y (y-8)  0
y <-∞;0)U(8; +∞ >
B) C)
E <-∞;0)U(8; +∞ >
2
)
(
2


x
x
x
f
Rpta. E
є

18. C) 1
A) 2
D) 5
B) 7
E) 8
12. Si el rango de
x2
indicar el valor de m n
x2
y 
x2
1
Solución
Haciendo yx2 +y= x2
y= x2 - yx2
y= x2 (1- y)
x2 = y/(1-y)
Todo número elevado al cuadrado es positivo
Por Tanto y [0, 1> m + n = 0 + 1 = 1
P(x) 
x2
1
,
m n


Es
Rpta. C
є

19. B)
D)
A)
C)
E)
13. Determine el rango de la función:
x  5;4]
f(x)=x2 + 4x + 7
Solución
Tabulando valores:
Si X = 4 entonces y = 39 cerrado
Por Tanto y [3;39]
Si X = – 5 entonces y = 12 abierto
Si X = – 4 entonces y = 7 cerrado
Si X = – 3 entonces y = 4 cerrado
Si X = – 2 entonces y = 3 cerrado
Si X = – 1 entonces y = 4 cerrado
Si X = 0
………..
entonces y = 7 cerrado
Rpta. C
є

20. C) -41
A) -31
D) 24
B) 14
E) -58
14. El máximo valor de la función:
Es 5
f(x) = - x2 + 12x + m
Calcular “m”
Solución
Haciendo y= f(x) tenemos y  (x2
12x)  m
y(x2
12x3636)m
y  (x2
12 x  36)  36m
y  (x  6)2
 36m
y (36m) (x 6)2
El máximo valor de la función = 36+m 36+m = 5 luego m = – 31
Rpta. A

21. C) 15
A) 14
D) -50
B) 19
E) 20
15. El valor mínimo de la función:
Es 2
f(x) = 3x2 + 24x - n
Hallar “n”
Solución
Haciendo y= f(x) tenemos: y  3(x2
 8x)  n
y3(x2
8x1616)n
y  3(x2
8x 16) 48n
y  3(x  4)2
 48n
y(48n)3(x4)2
El valor mínimo de la función = – 48 – n – 48 – n = 2 luego n = – 50
Rpta. D

22. MISCELANEA

23. A)
D) )
Solución
Hallar el rango de:
,1
ℝ - 1
Siendo y= f(x) tenemos:
x2
f (x) 
x 2
x2
y 
x2
discriminante positiva b2– 4ac 
xy - 2y = x2
x2 - xy + 2y =0
y2 – 4(1)(2y)  0
y (y-8)  0
y <-∞;0)U(8; +∞ >
B) C)
E <-∞;0)U(8; +∞ >
2
)
(
2


x
x
x
f
1.
Rpta. C
є

24. Determine los valores de a y b de modo que el conjunto:
2.
F =
Sea una función, el valor de uno de ellos es:
2a2 − b = 5
b− a2 = 4
a2 = 9
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
Solución
a = 3
b = 13
Rpta. A

25. Determine el dominio de la función F, donde:
3. F(x) =
A) B) C) D) E)
<1;2> <1;
Solución 2 + x – x2  0
– ( x2 – x – 2 )  0
–(x – 2)(x + 1) 0

x
(x – 2)(x + 1)<=0
є
Rpta. E

26. Si f es una función definida por:
Solución
Haciendo
yx2 + y=2x +1
yx2 – 2x +y – 1=0
1
1
2
2



x
x
y
1
1
2
)
( 2



x
x
x
f
4.
A) 0 B) 1 C) -1 D) 2 E) -2
x є ℝ, determine la suma de valores enteros del Ran (f)
(– 2)2 – 4(y)(y –1) 0

4 4(y)(y –1)
1 (y)(y –1)


Valores enteros del Ran (f) = 0 +1 = 1 Rpta. B

27. Determine el mínimo valor de la función :
Solución
Haciendo:
5.
A) B) 4 C) 7 D) 1 E) 9
( 1 )2 – 4(1)(1 – y2) 0

y  0
2
( ) 1
f x x x
  
y2 = x2 + x + 1
y2 = x2 + x + 1
x2 + x + 1 – y2 = 0
1 – 4 + 4y2  0
4y2  3
y2  3/4
y 
3
4
3
4 Rpta. A