Este documento resume los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de una función, y que las primitivas difieren entre sí en una constante arbitraria. También presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, como integrales inmediatas, integración por partes, sustitución y descomposición de fracciones para integrales racionales.

1. Integrales indefinidas. Teoremas
2º Bachillerato

2. Esquema

3. Primitiva de una función
La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I
si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I.
x4
Ejemplo: la función F(x) = 4 es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x3.
x4
También la función G(x) = + 2 es una primitiva de f . Ambas en
4
cualquier intervalo de la recta real.

4. Integral indefinida
Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de to-
das las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe f(x) dx, y se lee «in-
tegral de f(x)»
Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son
de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser
cualquier número real.
Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex es G(x) = ex + C, donde C es una cons-
tante. Se expresa de la siguiente manera: ex dx = ex + C

5. Las primitivas se diferencian en una constante
Integrando Derivando

6. Propiedades de la integral indefinida
Propiedades de la derivada Propiedades de la integral indefinida
I (kf )' (x) = k f '(x) con k R I k f(x) dx = k f(x) dx con k R
La derivada de una constante por una Las constantes pueden salir y entrar fuera del
función es el producto de la constante signo de la integral indefinida.
por la derivada de la función.
II [ f(x) g(x)] dx = f(x) dx
II (f g) ' (x) = f ' (x) g ' (x) g(x) dx
La derivada de una suma (resta) de dos La integral indefinida de una suma (resta) de
funciones es la suma (resta) de las deri- dos funciones es la suma (resta) de las inte-
vadas de cada una de ellas. grales indefinidas.

7. Integrales inmediatas
Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona
primitivas e integrales indefinidas.
a xa+1
1.- x dx = a+1 + C, si a -1, a R
1
2.- dx = ln x + C
x
3.- ex dx = ex + C
ax
4.- ∫ax = ln a + C, si a>0, a 1
5.- sen x dx = – cos x + C
6.- cos x dx = sen x + C
1
7.- dx arcsen x C
1 x2
1
8.- 1 x 2 dx arctg x C

8. Integrales inmediatas para funciones compuestas
r xr+1
x dx = r + 1 + C, para cualquier constante r – 1
r+1
Tipo general f '(x) [f(x)]r dx = [f(x)] + C para r -1
r+1
Ejemplo:
1 4
cos 2x sen3 2x dx = 2 cos 2x sen3 2x dx = 1 sen 2x = 1 sen4 2x +C
2 2 4 8

9. Integrales inmediatas para funciones compuestas
1
x dx = ln | x | + C
f '(x)
Tipo general dx = ln |f(x)| + C
f (x)
Ejemplo:
–1 – 3 sen 3x 1
tg 3x dx = 3 dx = – ln |cos 3x | + C
cos 3x 3

10. Integrales inmediatas para funciones compuestas
ax
ax dx = + C, para cualquier a > 0
ln a
Para a = e se obtiene ex dx = ex + C
af(x)
Tipo general f '(x) af(x) dx = + C, para a > 0
ln a
Ejemplo:
2 x3 1 2 x31 x3
x e dx = 3 3x e dx = e + C
3

11. Integrales inmediatas para funciones compuestas
sen x dx = – cos x + C
Tipo general f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C
Ejemplo:
e3x sen (e3x + 5) dx = 1 3 e3x sen (e3x + 5) dx = –
1
cos (e3x + 5) + C
3 3

12. Integrales inmediatas para funciones compuestas
cos x dx = sen x + C
Tipo general f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C
Ejemplo:
1 1
e7x cos (e7x + 5) dx = 7 e7x cos (e7x + 5) dx = sen (e7x + 5) + C
7 7

13. Integrales inmediatas para funciones compuestas
1
dx arcsen( x) C
2
1 x
Tipo g '(x)
dx = arcsen g(x) + C
general 1 - [g(x)]2
Ejemplo:
e3x e3x 1 3e3x 1 3x
dx = dx = 3x 2 dx = 3 arcsen e + C
1 – e6x 1 – (e3x)2 3 1 – (e )

14. Integrales inmediatas para funciones compuestas
1
1 + x2 dx = arctg x + C
Tipo f ( x)
2
dx arctg( x) C
general 1 f ( x)
Ejemplo:
1 1 1 2 1
2 dx = dx = dx = arctg 2x C
1 + 2x 1 + ( 2x)2 2 1 + ( 2x)2
2

15. Integración por partes
Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene:
f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) – g(x)f '(x) dx
Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene
poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx:
u dv = uv – v du
Consejos 1. Llamar g a una función de la que sea cómodo obtener g.
2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para
g , llamar entonces g a aquella que haga que ∫ f g se más cómoda
que ∫ f g .

16. Integración por partes: Ejemplos
2 x
x2 ex dx = x e – e 2x dx = x e – 2
2 x x
x ex dx =
u dv u dv
u = x2 du = 2x dx u=x du = dx
dv = ex . dx v = ex dv = ex . dx v = ex
= x2 ex – 2[xex – ex dx ] = ex (x2 – 2x + 2) + C
sen(ln x) . dx = x . sen (ln x) – cos (ln x) . dx =
u dv u dv
u = sen (L x) du = cos(L x) . (1/x) . dx u = cos (L x) du = – sen(L x) . (1/x) . dx
dv = dx v = x dv = dx v = x
= x . sen(ln x) – x cos(ln x) – sen(ln x) . dx . Despejando la integral buscada queda:
1
sen(ln x) . dx = x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C
2

17. Integración por sustitución o cambio de variable
Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene:
(F o g)'(x) = F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x)
Que con la notación de integrales se escribe:
f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C
Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx. Con esta sustitución se tiene
f(u) du = F(u) + C

18. Integración por sustitución: Ejemplos I
Para calcular una integral por cambio de variable:
• Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral
inmediata.
• Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial
mediante.
du = g'(x) dx
• Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio
poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.
1 1 1
x ln x
dx = u. eu . du = du = ln | u | + C = ln | ln x | + C
e u u
deshacer el cambio
Cambio ln x = u dx / x = du dx = x. du = et du
x = eu

19. Integración por sustitución: Ejemplos II
3 4 1 3 4 1 1 u1/2 1 4
x x + 2 dx =
4
4x x + 2 dx =4 u du = + C = 4 (x + 2)3 + C
41
+1
2
Cambio x4 + 2 = u 4x3 . dx = du
deshacer el cambio
3 . 1 1 t4 1
sen 2x cos 2x dx = 3.
t dt = +C = sen4 2x + C
2 2 4 8
Cambio sen 2x = t 2 cos 2x . dx = dt
deshacer el cambio

20. Integración de funciones racionales
P(x)
Pretendemos obtener dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
Q(x)
grad[P(x)] = m y grad[Q(x)] = n
Caso 1: m n. Veremos que este caso se puede convertir al Caso 2.
Como m n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x)
P(x) Q(x)
P(x) R(x)
R(x) C(x) P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) = C(x) +
Q(x) Q(x)
con grad[R(x)] < grad[Q(x)]
En donde la primera
P(x) R(x) integral es inmediata y la
Por tanto: dx = C(x) .dx + dx
Q(x) Q(x) segunda corresponde al
Caso 2
Caso 2: m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples.

21. Descomposición en fracciones simples I
P(x)
Pretendemos obtener Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = n
Paso 1. Factorización del polinomio Q(x)
• Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la
ecuación Q(x) = 0.
• Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene:
• Soluciones reales sencillas (por ejemplo x1).
• Soluciones reales múltiples (por ejemplo x2 con orden de multiplicidad 2).
• Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que
son necesariamente conjugadas).
• El caso soluciones complejas múltiples no se estudia.
Por ej. Si tiene una raíz simple una doble y dos complejas conjugadas, entonces dicho
polinomio se factoriza de la siguiente manera:
Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c)
tal que ao es el coeficiente del término de mayor grado.
P(x) 1 P(x)
dx = dx =
Q(x) ao (x – x1) (x – x2)2 . (x2 + bx + c)
.

22. Descomposición en fracciones simples II
Paso 2. Descomponer el integrando en fracciones simples
P(x) A B C Mx + N
= + (x – x )2 + x – x + x2 + bx + c
(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c) x – x1 2 2
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
Proceso de cálculo:
• Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una
identidad polinómica.
• Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes
indeterminados (en el ejemplo 5: x1, x2 y 3 valores más).
• Resolver el sistema.

23. Descomposición en fracciones simples: ejemplo
x2 + x + 1
Descomponer en fracciones simples: 5 4
x –x –x+1
Paso 1. Factorización del polinomio denominador
Por Ruffini obtenemos: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)
Paso 2. Descomponer en fracciones simples
x2 + x + 1 A B C Mx + N
= + + + 2
x5 – x4 – x + 1 x + 1 (x – 1)2 x–1 x +1
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
x2 + x + 1= A(x–1)2(x2+1) + B(x+1)(x2 +1) + C(x–1)(x+1)(x2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)2
x=1 B=3/4
x=–1 A=1/8
x=0 – C + N = 1/8 Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4
x=2 5C+2M+N = –13/8
x=–2 5C+6M–3N = 3/8

24. Integrales racionales con denominador de grado 2
Mx + N Sea D el discriminante del
Estudio de la integral dx denominador: D = b2 – 4ac
ax2 + bx + c
Si la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá ser
resuelta como inmediata tipo neperiano.
En caso contrario:
• Si D 0 la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples.
• Si D < 0 la integral es tipo neperiano + arco tangente.
Pasos para su obtención:
M 0
Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador.
Paso 2: como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras
dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente.
M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente).
Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado
(cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan
los números fraccionarios.
Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado
(sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e
integramos como inmediata tipo arco tangente

25. Integración de funciones trigonométricas: fórmulas
Fórmulas trigonométricas fundamentales
Fórmula fundamental de la
sen2px + cos2px = 1
trigonometría.
sen 2px = 2 sen px . cos px Seno y coseno del ángulo
cos 2px = cos2px – sen2px doble.
1 + cos 2px
cos2px =
2 Fórmulas de reducción de
1 – cos 2px grado.
sen2px =
2
1 1
sen a . cos b = sen (a + b) + sen (a – b)
2 2
Fórmulas de conversión de
1 1
cos a . cos b = cos (a + b) + cos (a – b) productos de senos y
2 2
cosenos en suma.
1 1
sen a . sen b = – cos (a + b) + cos (a – b)
2 2
sen (– px) = – sen px Seno y coseno del ángulo
cos (– px) = cos px opuesto.
1 + tg2 px = sec2 px;
1 + ctg2 px = csc2 px

26. Integración de funciones trigonométricas: métodos
Forma Condiciones Método
Reducir el grado del integrando por medio de
n par las fórmulas de reducción de grado (3), según
n
(I) sen px dx convenga.
cosn px dx Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia
sustituyendo en el resto de la potencia la rela-
n impar
ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienen
integrales inmediatas tipo potencial.
m y n pares Reducir el grado del integrando aplicando las
fórmulas 3.
De la potencia de exponente impar se saca un
(II) senn px . cosn px dx
factor, sustituyendo en el resto de la potencia la
m ó n impares relación 1. Al desarrollar la potencia se obtie-
nen integrales inmediatas tipo potencial.
Caso particular  Si m = n Aplicar la relación (2a) para obtener:
1
senn px . cosn px dx = 2n senn 2px dx
que es del tipo (I).

27. Integración de funciones trigonométricas: métodos II
Forma Condiciones Método
(III)
sen px.cos qx.dx
p y q números
Convertir los productos en sumas mediante la
sen px.sen qx.dx reales cuales-
relaciones 4 según convenga.
quiera
cos px.cos qx..dx

28. Integración de funciones trigonométricas: ejemplos I
Tipo I. Exponente impar
sen5 3x.dx = (sen23x)2 sen 3x.dx = (1–cos23x)2 sen 3x.dx =
= sen3x.dx + cos43x sen 3x.dx –2 cos23x sen 3x.dx =
1 2 1
=– cos 3x + cos3 3x – cos5 3x+C
3 9 15
Tipo I. Exponente par
2x 2
4x 2 1 – cos 3
sen 3 dx = 2x 1 2x 2x
sen 3 dx = dx = 1 + cos2 – 2 cos dx =
2 4 3 3
1 1 2x 1 2x
=4 1.dx + 4 cos2 3 dx – 2 4 cos 3 dx =
4x
1 + cos
1 1 3 3 2x 3x 3 2x 3 4x
= x + dx – sen = – sen + sen + C
4 4 2 4 3 8 4 3 32 3

29. Integración de funciones trigonométricas: ejemplos II
Tipo II. Al menos un exponente impar
cos4 5x.sen3 5xdx = cos4 5x . sen25x .sen 5x . dx = cos4 5x . (1 – cos25x).sen 5x.dx =
= cos45x.sen 5x.dx – cos65x.sen 5x.dx =
–1 1
= cos5 5x + cos7 5x + C
25 35
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x)
Tipo II. Todos los exponentes pares
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x)
4 2 2 2 2 1 – cos 6x 2 1 + cos 6x
sen 3x .cos 3x.dx = (sen 3x) .cos 3x.dx = dx =
2 2
1
= (1 – cos 6x)(1 – cos26x) dx =
8
1 2 1 2 sen2 6x
= sen 6x dx – sen 6x .cos 6x.dx =
8 8
1 1 – cos 12x 1 sen36x
= dx – =
8 2 48 3
x 1 3 1
= – sen 6x – sen 12x + C
16 144 192

30. Integración de funciones trigonométricas: ejemplos III
Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento
Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas
en productos
sen 3x.cos 5x.dx = 1 sen 8x .dx + 1 sen( – 2x) .dx =
2 2
1 1 1 1
=– cos 8x + cos( – 2x) + C = – cos 8x + cos 2x + C
=
16 4 16 4

31. Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso
calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y
las abcisas x = a, x = b.
Área (Trapecio rectilíneo) = Área (Trapecio curvilíneo)
f(a) + f(b) . f(a) + f(b) . Error
= (b – a) (b – a)