1. El documento habla sobre funciones, definiendo una función como una regla que asocia elementos de un conjunto A con elementos únicos de un conjunto B. 2. Explica operaciones básicas entre funciones como suma, multiplicación y división que generan nuevas funciones. 3. Define el dominio de una función como el conjunto de los primeros elementos y el rango como el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia funcional.

1. ALGEBRA
FUNCIONES
DEMETRIO CCESARAYME

2. Funciones
Definición de Función:
Una Función f es una regla que asocia a cada elemento x de un conjunto
de números reales A, un único número real y en un conjunto B.
Notación:
f : A → B
La expresión indica que f es una Función, que toma valores del conjunto A
y los transforma en valores de un conjunto B.

3. Operaciones con Funciones
Las operaciones básicas entre las funciones anteriormente definen nuevas
funciones que conoceremos como función suma, función multiplicación y función
división o cociente.
Función Suma: (fg)(x)=f(x)g(x)
Función Multiplicación:
(f.g)(x)=f(x).g(x)
Función División:
(f/g)(x)=f(x)/g(x)

4. Dominio y Rango de una Función : f
Dominio de una Función f: Dom(f)
El dominio de una función f, denominado también preimagen, es el
conjunto de los primeros elementos (x) de la correspondencia que
pertenecen al conjunto de partida.
Dom(f) = {x / (x; y) Єf}
Rango de una Función f: Ran(f)
El rango de una función f, denominado también imagen o recorrido, es el
conjunto de los segundos elementos (y) de la correspondencia que
pertenece al conjunto de llegada.
Ran(f) = {y / (x; y) Єf}

5. Gráfica de una Función
Gráficamente una Función se reconoce cuando toda recta vertical corta a
la gráfica de dicha Función a lo más en un punto.
Graficamos la función: y = f(x) = x + 3 en [-1;2]
-1 0 1 2
5
4
3
2
1
Dom(f)= [-1; 2]
Ran(f)= [2; 5]

6. Funciones con Radicales
Dominio de la Función:
conjunto de valores numéricos que la función puede procesar. En general,
estos valores correspondena la variable x.
Ejemplo:
La función definida por medio de:
Tiene como Dominio al conjunto de números reales mayores o iguales a 2,
es decir, el intervalo
f (x) = x −2
2,)
x – 2  0 Sii x  2

7. B)ℝ C)
E) ℝ - 1/ 3
1. Hallar el dominio de la Función:
f (x) =
3x−1
x−2
A) ℝ - 3
D) ℝ - 2/3
ℝ - 2

8. B)ℝ C)
E) ℝ - 1/ 3
1. Hallar el dominio de la Función:
f (x) =
3x−1
x−2
Por T
anto x ℝ - 2 = Dom(f)
A) ℝ - 3
D) ℝ - 2/3
ℝ - 2
Solución
En toda Función Racional el denominador debe ser diferente de
cero.
Restricción x -2≠ 0 entonces x ≠ 2
Rpta. C

9. 2. Hallar la suma de los valores enteros del dominio de la
Función:
f (x) =
6 −x
x −2
C)18
A) 14
D)20
B)16
E) 22

10. 2. Hallar la suma de los valores enteros del dominio de la
Función:
Solución
En todo Radical de índice par el Radicando debe ser
positivo.
6 – x  0 ; x – 2  
6  x ; x  2
Suma: 3+4+5+6=18
f (x) =
6 −x
x −2
C)18
A) 14
D)20
B)16
E) 22
Rpta. C

11. 3. Hallar el dominio de la Función:
f (x) = 1− 1−x A) −1,1
D) 1,+
B) 1, 2 C) 0,1
E) −,1

12. 3. Hallar el dominio de la Función:
f (x) = 1− 1−x A) −1,1
D) 1,+
B) 1, 2 C) 0,1
E) −,1
Solución
En todo Radical de índice par el Radicando debe ser positivo.
1 − x  0
1-
1  1 − x
1 - x  0
1  x
Elevando al cuadrado:
1  1 –x
x  0
1  x
1  x
Por T
anto x 0,1 Rpta. C
є

13. 4. Hallar el dominio de la Función:
x3
+7x2
+14x +8
f (x) =
x2
+6x +8
B) ℝ - − 2:− 4 C) ℝ - − 4
D)ℝ E) ℝ - 4
A) ℝ- 1/4

14. 4. Hallar el dominio de la Función:
x3
+7x2
+14x +8
f (x) =
x2
+6x +8
Solución
En toda Función Racionalel denominador debe ser diferente de cero.
Restricciónsi x2 + 6x + 8 ≠ 0
(x + 4) (x + 2) ≠ 0
x ≠ – 4 ; x ≠ – 2
Por Tanto x
B) ℝ - − 2:− 4 C) ℝ - − 4
D)ℝ E) ℝ - 4
A) ℝ- 1/4
ℝ - −2: −4
Rpta. B
є

15. A)
D) E)
5. Hallar el dominio de la Función:
4
x2
−3x+2+3
X −2
f (x)=
3x2
−x−2
2
3
−,− B)2, +  C) ℝ
3
− 2 ,2 3
−,− 2 2,+

16. A)
D) E)
Solución
5. Hallar el dominio de la Función:
4
x2
−3x+2+3
X −2
f (x)=
3x2
−x−2
2
3
−,− B)2, +  C) ℝ
3
− 2 ,2 3
−,− 2 2,+
x2 – 3x + 2  0
3x2 – x – 2  0 ; (3x + 2) (x – 1)  0
; (x – 2) (x – 1)  0
X pertenece <-;1]  [2;>
X pertenece <-;-2/3>   1; >
Interceptando ambas Soluciones:
Por tanto X 3
−,− 2 2,+
Rpta. E
є

17. D)
6. Hallar el dominio de la Función:
x −1 + 6
4−x −1
g(x) =
(2x −6)3
A) 1,3 B) 3, 4 C) 1, 4
3, 5 E) 1,3 3,4

18. D)
6. Hallar el dominio de la Función:
x −1 + 6
4−x −1
g(x) =
(2x −6)3
A) 1,3 B) 3, 4 C) 1, 4
3, 5 E) 1,3 3,4
Solución
En todo Radical de índice par el Radicando debe ser positivo.
x – 1  0 4 – x  
y
Restricción, x ≠ 3
x  1 4  x
y
PorTanto x 1,3 3, 4
Rpta. E
є

19. A) 6
D)5
B) - 6 C) - 5
E) 0
7. Hallar la suma de los valores enteros del dominio de la
Función:
g(x) = 8
21− x2
−4
x2
− 3x −4

20. A) 6
D)5
B) - 6 C) - 5
E) 0
7. Hallar la suma de los valores enteros del dominio de la
Función:
g(x) = 8
21− x2
−4
; (x – 4) (x + 1)  0
<-;-1]  [4; >
; (x – 2) (x + 2)  0
<-;-2]  [2; >
; 0  x2 – 25
Solución
x2 – 3x – 4  0
X
x2 – 4  0
X
21 – x2 + 4  0
X <-5; 5>
Interceptando las tres soluciones:
c.s. <-5;-2]  [4; 5>
Suma: – 4 – 3 – 2 + 4 = – 5
x2
− 3x −4
Rpta. C
є
є
є

21. f (x) =
x − 4
+ x +
x − 2 5 − x
A)0,5 B)0,5−2
-
8. Halle el dominio de la Función:
C) ℝ - 2
D) 0,5 −2E), 5 −2
2021

22. f (x) =
x − 4
+ x +
x − 2 5 − x
A)0,5 B)0,5−2
-
8. Halle el dominio de la Función:
C) ℝ - 2
D) 0,5 −2E), 5 −2
Solución
En todo Radical de índice par el Radicando debe ser positivo.
x  0 ; 5 – x  
Restricción, x ≠ 2 ; x ≠ 5
x  0 ; 5  x
Por tanto x 0,5 −2
2021
Rpta. E
є

23. 9. Halle el rango de la Función:
5x+1
f (x) =
2x− 3
)
A) ℝ - 2/3 B) ℝ- 2/5 C ℝ - 5/2
D)ℝ E) ℝ - 2

24. 9. Halle el rango de la Función:
5x+1
f (x) =
Solución
2x− 3
)
A) ℝ - 2/3 B) ℝ- 2/5 C ℝ - 5/2
D)ℝ E) ℝ - 2
Siendo y= f(x) tenemos:
y=
5x+1
2x−3
2xy−3y=5x+1
2xy−5x=3y+1
x = 3y +1
2y −5
En toda Función Racionalel denominador debe ser diferente de cero.
Restricción si 2y - 5≠ 0 entonces y ≠ 5/2
Por Tanto y ℝ - 5/2
Rpta. C
є

25. D)
B)
E)
10. Hallar el rango de la siguiente Función:
f (x) = 4 −x2
; x  −1,2 A) 0, 5 0 , 2 C) 0, 2
0, 3 
 1, 3 


26. D)
B)
E)
10. Hallar el rango de la siguiente Función:
f (x) = 4 −x2
; x  −1,2 A) 0, 5 0 , 2 C) 0, 2
0, 3 
 1, 3 

Solución
Siendo y = f(x) tenemos:
y= 4−x2
Tabulandovalores:
3
entonces
entonces 3
entonces y =
y = 2
t y =
Si X = –1
Si X = 0
Si X = 1
Si X = 2 entonces y = 0
Por Tanto y 0, 2
abierto
cerrado
cerrado
abierto
Rpta. C
є

27. A)
D) )
Hallar el rango de:
=
11.
−,−1
ℝ - 1
B) C)
E <-∞;0)U(8; +∞ >
2
)
(
2
−
=
x
x
x
f

28. A)
D) )
Solución
Hallar el rango de:
=
11.
−,−1
ℝ - 1
Siendo y= f(x) tenemos:
x2
f (x)=
x−2
x2
y=
x−2
discriminante positiva b2– 4ac 
xy - 2y = x2
x2 - xy + 2y =0
y2 – 4(1)(2y) 0
y (y-8)  0
y <-∞;0)U(8; +∞ >
B) C)
E <-∞;0)U(8; +∞ >
2
)
(
2
−
=
x
x
x
f
Rpta. E
є

29. C)1
A) 2
D)5
B)7
E) 8
12. Si el rango de
x2
indicar el valor de m+ n
P(x) =
x2
+1
,
m n


Es

30. C)1
A) 2
D)5
B)7
E) 8
12. Si el rango de
x2
indicar el valor de m+ n
x2
y =
x2
+1
Solución
Haciendo yx2 +y= x2
y= x2 - yx2
y= x2 (1- y)
x2 = y/(1-y)
Todo número elevado al cuadrado es positivo
Por Tanto y [0, 1> m + n = 0 + 1 = 1
P(x) =
x2
+1
,
m n


Es
Rpta. C
є

31. B)
D)
A)
C)
E)
13. Determine el rango de la Función:
x  −5;4]
f(x)=x2 + 4x + 7

32. B)
D)
A)
C)
E)
13. Determine el rango de la Función:
x  −5;4]
f(x)=x2 + 4x + 7
Solución
Tabulando valores:
Si X = 4 entonces y = 39 cerrado
PorTanto y [3;39]
Si X = – 5 entonces y = 12 abierto
Si X = – 4 entonces y = 7 cerrado
Si X = – 3 entonces y = 4 cerrado
Si X = – 2 entonces y = 3 cerrado
Si X = – 1 entonces y = 4 cerrado
Si X = 0
………..
entonces y = 7 cerrado
Rpta. C
є

33. C) -41
A) -31
D) 24
B) 14
E) -58
14. El máximo valor de la Función:
Es 5
f(x) = - x2 + 12x + m

34. C) -41
A) -31
D) 24
B) 14
E) -58
14. El máximo valor de la Función:
Es 5
f(x) = - x2 + 12x + m
Calcular “m”
Solución
Haciendo y= f(x) tenemos y = −(x2
−12x) + m
y=−(x2
−12x+36−36)+m
y = −(x2
−12 x + 36) + 36 +m
y = −(x − 6)2
+ 36+m
y − (36 + m) =−(x −6)2
El máximo valor de la función = 36+m 36+m = 5 luego m = – 31
Rpta. A

35. C) 15
A) 14
D) -50
B) 19
E) 20
15. El valor mínimo de la Función:
Es 2
f(x) = 3x2 + 24x - n
Hallar “n”

36. C) 15
A) 14
D) -50
B) 19
E) 20
15. El valor mínimo de la Función:
Es 2
f(x) = 3x2 + 24x - n
Hallar “n”
Solución
Haciendo y= f(x) tenemos: y = 3(x2
+ 8x) − n
y=3(x2
+8x +16−16) −n
y = 3(x2
+8x +16) −48−n
y = 3(x + 4)2
− 48−n
y−(−48−n)=3(x+4)2
El valor mínimo de la función = – 48 – n – 48 – n = 2 luego n = – 50
Rpta. D

37. MISCELANEA

38. A)
D) )
Hallar el rango de:
−,−1
ℝ - 1
B) C)
E <-∞;0)U(8; +∞ >
2
)
(
2
−
=
x
x
x
f
1.

39. A)
D) )
Solución
Hallar el rango de:
−,−1
ℝ - 1
Siendo y= f(x) tenemos:
x2
f (x)=
x−2
x2
y=
x−2
discriminante positiva b2– 4ac 
xy - 2y = x2
x2 - xy + 2y =0
y2 – 4(1)(2y) 0
y (y-8)  0
y <-∞;0)U(8; +∞ >
B) C)
E <-∞;0)U(8; +∞ >
2
)
(
2
−
=
x
x
x
f
1.
Rpta. C
є

40. Determine los valores de a y b de modo que el conjunto:
2.
F =
Sea una Función, el valor de uno de ellos es:
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

41. Determine los valores de a y b de modo que el conjunto:
2.
F =
Sea una Función, el valor de uno de ellos es:
2a2 − b = 5
b− a2 = 4
a2 = 9
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
Solución
a = 3
b = 13
Rpta. A

42. Determine el dominio de la función F, donde:
3. F(x) =
A) B) C) D) E)
<1;2> <1;

43. Determine el dominio de la función F, donde:
3. F(x) =
A) B) C) D) E)
<1;2> <1;
Solución 2 + x – x2  0
– ( x2 – x – 2 )  0
–(x – 2)(x + 1) 0

x
(x – 2)(x + 1)<=0
є
Rpta. E

44. Si f es una Función definida por:
1
1
2
)
( 2
+
+
=
x
x
x
f
4.
A) 0 B) 1 C) -1 D) 2 E) -2
x є ℝ, determine la suma de valores enteros del Ran (f)

45. Si f es una Función definida por:
Solución
Haciendo
yx2 + y= 2x +1
yx2 – 2x +y – 1=0
1
1
2
2
+
+
=
x
x
y
1
1
2
)
( 2
+
+
=
x
x
x
f
4.
A) 0 B) 1 C) -1 D) 2 E) -2
x є ℝ, determine la suma de valores enteros del Ran (f)
(– 2)2– 4(y)(y –1) 0

4 4(y)(y –1)
1 (y)(y –1)


Valores enteros del Ran (f) = 0 +1 = 1 Rpta. B

46. Determine el mínimo valor de la Función :
5.
A) B) 4 C) 7 D) 1 E) 9
2
( ) 1
f x x x
= + +
3
4

47. Determine el mínimo valor de la Función :
Solución
Haciendo:
5.
A) B) 4 C) 7 D) 1 E) 9
( 1 )2 – 4(1)(1 – y2) 0

y  0
2
( ) 1
f x x x
= + +
y2 = x2 + x + 1
y2 = x2 + x + 1
x2 + x + 1 – y2 = 0
1 – 4 + 4y2  0
4y2  3
y2  3/4
y 
3
4
3
4 Rpta. A