Este documento presenta el método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica que el método simplex identifica algebraicamente los puntos de esquina de la región factible para encontrar la solución óptima. También describe los pasos del algoritmo simplex, incluido llevar el modelo a forma estándar, definir variables básicas y no básicas, y determinar nuevas soluciones básicas a través de operaciones de Gauss-Jordan. El objetivo es localizar de manera eficiente el punto óptimo mediante la iteración sistemática

1. PROGRAMACIÓN LINEAL
MÉTODO SIMPLEX

2. III-2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
F.O.
Max Xo = 5X1 + 4X2
6X1 + 4X2 ≤ 24 (1)
X1 + 2X2 ≤ 6 (2)
-X1 + X2 ≤ 1 (3)
X2 ≤ 2 (4)
X1 ≥ 0 (5)
X2 ≥ 0 (6)
1. INTRODUCCIÓN

3. III-3
• El método gráfico muestra que la solución óptima de PL
siempre está asociada con un punto de esquina de la
región factible.
ESTA ES LA IDEA CLAVE PARA EL DESARROLLO DEL
MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO
• Se requiere identificar algebraicamente los puntos de
esquina
1. INTRODUCCIÓN

4. III-4
• Todo modelo de PL para ser resuelto por el método
Simplex debe estar expresado en la forma estándar.
Convertir las inecuaciones en ecuaciones.
Utilizamos variables de holgura o excedencia S1, S2, etc.
• El algoritmo Simplex está diseñado para localizar de
manera eficiente el punto óptimo
• La base matemática del Simplex es la resolución de
ecuaciones lineales, a través de una tabla matricial
1. INTRODUCCIÓN

5. III-5
2. FORMA ESTANDARD
Sus propiedades son:
• Lados derechos siempre son positivos
Si el lado derecho es negativo debe multiplicarse toda la
restricción por (-1) invirtiendo el sentido de la desigualdad.
• Todas las restricciones son igualdades:
Para convertir inecuaciones en igualdad se considerará dos
casos:
i) Restricción del tipo <=
ii) Restricción del tipo >=

6. III-6
i) Restricción del tipo <=
X1 + 2X2 ≤ 6
X1 + 2X2 + S1 = 6
S1 = Variable de holgura, indica las unidades no
utilizadas del recurso correspondiente
2. FORMA ESTANDARD

7. III-7
ii) Restricción del tipo >=
3X1 + X2 ≥ 5
X1 + 2X2 - S2 = 5
S2 = Variable de excedencia, indica las unidades
utilizadas adicionales al mínimo establecido
2. FORMA ESTANDARD

8. III-8
3. DETERMINACIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS
m = Número de ecuaciones lineales
n = Número de incógnitas (variables de decisión)
X1 + X2 + 4X3 + 2X4 + 3X5 = 8
4X1 + 2X2 + 2X3 + X4 + 6X5 = 4
m = 2
n = 5

9. III-9
Dividimos las variables en dos series:
n – m = 3 (X3, X4, X5) A estas variables les asignamos
el valor cero, se conocen como variables NO BASICAS.
m = 2 (X1, X2) Sus valores se determinan resolviendo
las m ecuaciones resultantes
• Si producen una solución UNICA VARIABLES BÁSICAS
• Si todos son positivos SOLUCIÓN FACTIBLE
3. DETERMINACIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS

10. III-10
Caso 1
X3 = X4 = X5 = 0 Variables no Básicas
X1 + X2 = 8 X1= -6
4X1 + 2X2 = 4 X2= 14
• Solución única X1, X2 VARIABLES BÁSICAS
• X1 < 0 SOLUCIÓN NO FACTIBLE
3. DETERMINACIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS

11. III-11
Caso 2
X1 = X2 = X5 = 0 Variables No Básicas
4X3 + 2X4 = 8 Ecuac1 = Ecuac2
2X3 + X4 = 4 Infinidad de soluciones
• Infinidad de soluciones X3, X4 NO SON VARIABLES
BÁSICAS
3. DETERMINACIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS

12. III-12
Caso 3
X2 = X4 = X5 = 0 Variables no Básicos
X1 + 4X3 = 8 X1 = 0
4X1 + 2X3 = 4 X2 = 2
• Solución única X1, X3 VARIABLES BÁSICAS
• Como X1, X3 >0 SOLUCIÓN FACTIBLE
3. DETERMINACIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS

13. III-13
CONCLUSIONES
• Basándonos en este desarrollo podemos determinar la
solución óptima enumerando en forma exhaustiva todas
las soluciones básicas factibles.
ESTE PROCEDIMIENTO ES INEFICIENTE
• El algoritmo simplex está diseñado para localizar la
óptima concentrándose en un número seleccionado de
las soluciones básicas factibles del problema.
3. DETERMINACIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS

14. 3. DETERMINACIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS - Ejemplo

15. 3. DETERMINACIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS - Ejemplo

16. III-16
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
F.O
.
Max Xo = 5X1 + 4X2
6X1 + 4X2 ≤ 24 (1) MATERIA PRIMA 1
X1 + 2X2 ≤ 6 (2) MATERIA PRIMA 2
-X1 + X2 ≤ 1 (3) LIMITE DEMANDA
X2 ≤ 2 (4) LIMITE DEMANDA
X1 ≥ 0 (5)
X2 ≥ 0 (6)
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX

17. III-17
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX
• Empieza en una solución Básica Factible y después
trata de encontrar otra solución básica factible que
mejorará el valor del objetivo.
Solución BASICA FACTIBLE Solución BASICA FACTIBLE
Una variable cero (No básica)
debe convertirse en positivo
debe eliminarse una de las
variables básicas

18. III-18
a. Llevar el modelo a la forma estándar
b. Trasladar el modelo a una tabla
c. Definir la variable de entrada
d. Definir la variable de salida
e. Determinación nuevas soluciones básicas (G. Jordan)
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX

19. a. Llevar el modelo a la forma estándar
Max Xo = 5X1 + 4X2
6X1 + 4X2 ≤ 24 (1) MATERIA PRIMA 1
X1 + 2X2 ≤ 6 (2) MATERIA PRIMA 2
-X1 + X2 ≤ 1 (3) LIMITE DEMANDA
X2 ≤ 2 (4) LIMITE DEMANDA
6X1 + 4X2 + S1 = 24
X1 + 2X2 + S2 = 6
-X1 + X2 + S3 = 1
X2 +S4 = 2
m = 4
n = 6
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX

20. b. Trasladar el modelo a una tabla
MAX Xo -5X1 - 4X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 0
6X1 + 4X2 + S1 = 24
X1 + 2X2 + S2 = 6
-X1 + X2 + S3 = 1
X2 +S4 = 2
Para todo X >= 0
Para todo S >= 0
Solución Basica Factible X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo -5 -4 0 0 0 0 0
S1 6 4 1 0 0 0 24
S2 1 2 0 1 0 0 6
S3 -1 1 0 0 1 0 1
S4 0 1 0 0 0 1 2
VARIABLES
BASICAS
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX

21. III-21
4. PROCEDIM. ALG. SIMPLEX - RESULTADO ITERACIÓN 1 (PUNTO A)
Solución Basica Factible X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo -5 -4 0 0 0 0 0
S1 6 4 1 0 0 0 24
S2 1 2 0 1 0 0 6
S3 -1 1 0 0 1 0 1
S4 0 1 0 0 0 1 2
Valor de la función objetivo
Xo = 0
Variables no básicas (=0)
X1 = X2 = 0
Variables básicas (solución única positivos)
S1 = 24
S2 = 6
S3 = 1
S4 = 2
A
S1 = 24 unidades no utilizadas de la materia prima 1

22. MaxMax XoXo = 5X1 + 4X2= 5X1 + 4X2
X1 = X2 = 0X1 = X2 = 0
XoXo = 0= 0
(Punto A)(Punto A)
¿¿ESES ÓÓPTIMA ESTA SOLUCIPTIMA ESTA SOLUCIÓÓN?N?
¡NO!
A
4. PROCEDIM. ALG. SIMPLEX - RESULTADO ITERACIÓN 1 (PUNTO A)

23. ¿COMO MEJORAR LA
SOLUCIÓN?
INGRESAR UNA NUEVAINGRESAR UNA NUEVA
VARIABLE QUE MEJORE LAVARIABLE QUE MEJORE LA
F.OF.O..
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX

24. III-24
4. PROCEDIM. ALG. SIMPLEX - DEFINIR LA VARIABLE DE ENTRADA
Max Xo = 5X1 + 4X2
En la tabla Simplex: Xo - 5X1 - 4X2 = 0
INGRESAR X1 O X2?
X1!X1!
Conviene incrementar X1 ya que ofrece
un índice de incremento más alto (5 contra 4)

25. III-25
4. PROCEDIM. ALG. SIMPLEX - ¿CÓMO DEFINIR EL PUNTO “B” ALGEBRAICAMENTE?
A B
(1)
(1) 6X1 + 4X2 = 24 X1 = 24 /6 = 4
(6) X2 = 0
(2) 1X1 + 2X2 = 6 X1 = 6 / 1 = 6
(6) X2 = 0
(6)
(2)
1) LAS INTERSECCIONES
SON LAS RAZONES:
LADO DERECHO/COEF DE X1
2) LA RAZÓN NO NEGATIVA
MÍNIMA
PUNTO B EN DOS PASOS:
PUNTO B =4

26. III-26
¿HASTA CUANTO INCREMENTAR X1?
A
B
Hasta 4 (sin salir de
la región factible).
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX

27. III-27
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX - DEFINIR LA VARIABLE DE SALIDA
Solución Basica Factible X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN RAZON
Xo -5 -4 0 0 0 0 0
S1 6 4 1 0 0 0 24 24 / 6 4
S2 1 2 0 1 0 0 6 6 / 1 6
S3 -1 1 0 0 1 0 1 1 / -1 -1
S4 0 1 0 0 0 1 2 2 / 0 Infinito
PUNTO B EN DOS PASOS:
1) LAS INTERSECCIONES SON
LAS RAZONES:
LADO DERECHO / COEF DE X1
2) LA RAZÓN NO NEGATIVA
MÍNIMA

28. III-28
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX - DETERMINACIÒN NUEVAS SOLUCIONES BÁSICAS
• El cálculo de la nueva solución básica (X1, S2, S3, S4)
se basa en las operaciones de Gauss Jordan
Solución Basica Factible X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo -5 -4 0 0 0 0 0
S1 6 4 1 0 0 0 24
S2 1 2 0 1 0 0 6
S3 -1 1 0 0 1 0 1
S4 0 1 0 0 0 1 2
0
1
0
0
0
X1
S1

29. III-29
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX - RENGLÓN PIVOTE
Nuevo Renglón Pivote = Renglón Pivote Actual / Elemento Pivote
Nuevo Renglón Pivote = Renglón Pivote Actual / 6
Solución Basica Factible X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo -5 -4 0 0 0 0 0
S1 6 4 1 0 0 0 24
S2 1 2 0 1 0 0 6
S3 -1 1 0 0 1 0 1
S4 0 1 0 0 0 1 2
0
1
0
0
0
X1
S1
Solución Basica Factible X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo -5 -4 0 0 0 0 0
S1 6/6 4/6 1/6 0/6 0/6 0'6 24/6
S2 1 2 0 1 0 0 6
S3 -1 1 0 0 1 0 1
S4 0 1 0 0 0 1 2
X1

30. 4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX - OTROS RENGLONES – RENGLÓN S2
[Nuevo Renglón] = [Rengl. Actual] – (Coef. Columna Pivote)*[Nuevo Renglón Pivote]
X1 6/6 4/6 1/6 0/6 0/6 0/6 24/6
Xo -5 -4 0 0 0 0 0
¿¿CCóómo llevar a 0, mediante operaciones con renglones?mo llevar a 0, mediante operaciones con renglones?
Xo' 0
Solución Basica Factible X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo -5 -4 0 0 0 0 0
X1 6/6 4/6 1/6 0/6 0/6 0/6 24/6
S2 1 2 0 1 0 0 6
S3 -1 1 0 0 1 0 1
Xo 0 1 0 0 0 1 2

31. III-31
[Nuevo Renglón] = [Rengl. Actual] – (Coef. Columna Pivote)*[Nuevo Renglón Pivote]
[S2]’ = [S2] – (1)* [X1]
Solución Basica Factible S1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo -5 -4 0 0 0 0 0
X1 6/6 4/6 1/6 0/6 0/6 0'6 24/6
S2 1 2 0 1 0 0 6
S3 -1 1 0 0 1 0 1
S4 0 1 0 0 0 1 2
Solución Basica Factible S1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo -5 -4 0 0 0 0 0
X1 6/6 4/6 1/6 0/6 0/6 0/6 24/6
S2' 1-1*1 2-1*(4/6) 0-1*(1/6) 1-1*(0/6) 0-1*(0/6) 0-1*(0/6) 6-1*(24/6)
S3 -1 1 0 0 1 0 1
S4 0 1 0 0 0 1 2
S2 1 2 0 1 0 0 6
X1 6/6 4/6 1/6 0/6 0/6 0/6 24/6
S2 1 2 0 1 0 0 6
(1)* X1 (1)*6/6 (1)*4/6 (1)*1/6 (1)*0/6 (1)*0/6 (1)*0/6 (1)*24/6
S2' 1-1*1 2-1*(4/6) 0-1*(1/6) 1-1*(0/6) 0-1*(0/6) 0-1*(0/6) 6-1*(24/6)
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX - OTROS RENGLONES – RENGLÓN S2

32. III-32
Solución Basica Factible S1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo -5 -4 0 0 0 0 0
X1 6/6 4/6 1/6 0/6 0/6 0/6 24/6
S2 0 4/3 -1/6 1 0 0 2
S3 -1 1 0 0 1 0 1
S4 0 1 0 0 0 1 2
[Nuevo Renglón] = [Rengl. Actual] – (Coef. Columna Pivote)*[Nuevo Renglón Pivote]
[S3]’ = [S3] – (1)* [X1]
S3 -1 1 0 0 1 0 1
(-1)* X1 (-1)*6/6 (-1)*4/6 (-1)*1/6 (-1)*0/6 (-1)*0/6 (-1)*0/6 (-1)*24/6
S3' -1- (-1)*6/6 1-(-1)*4/6 0-(-1)*1/6 0-(-1)*0/6 1-(-1)*0/6 0-(-1)*0/6 1-(-1)*24/6
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX - OTROS RENGLONES – RENGLÓN S3

33. 4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX - OTROS RENGLONES – RENGLÓN S4 y Xo
[Nuevo Renglón] = [Rengl. Actual] – (Coef. Columna Pivote)*[Nuevo Renglón Pivote]
Solución Basica Factible S1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo 0 -2/3 5/6 0 0 0 20
X1 6/6 2/3 1/6 0 0 0 4
S2 0 4/3 -1/6 1 0 0 2
S3 0 5/3 1/6 0 1 0 5
S4 0 1 0 0 0 1 2

34. 4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX - RESULTADO ITERACIÓN 2 (PUNTO B)
Valor de la función objetivo
Xo = 20
Variables no básicas
X2 = 0
S1 = 0
Variables básicas
X1 = 4
S2 = 2
S3 = 5
S4 = 2
A B
Solución Basica Factible X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo 0 -2/3 5/6 0 0 0 20
X1 1 2/3 1/6 0 0 0 4
S2 0 4/3 -1/6 1 0 0 2
S3 0 5/3 1/6 0 1 0 5
S4 0 1 0 0 0 1 2

35. III-35
MaxMax XoXo = 5X1 + 4X2= 5X1 + 4X2
MaxMax XoXo = 5(4) + 4(0) = 20= 5(4) + 4(0) = 20
X1 = 4X1 = 4
X2 = 0X2 = 0
¿¿ESES ÓÓPTIMA ESTA SOLUCIPTIMA ESTA SOLUCIÓÓN?N?
¡NO!
A B
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX

36. En la tabla Simplex: Xo = (2/3)X2 - (5/6)S1 + 20
INGRESAR X2 O S1?
X2!
Conviene incrementar X2 ya que ofrece
un índice de incremento más alto (2/3 contra - 5/6)
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX – ITERACION 3

37. III-37
Solución Basica Factible X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo 0 -2/3 5/6 0 0 0 20
X1 1 2/3 1/6 0 0 0 4
S2 0 4/3 -1/6 1 0 0 2
S3 0 5/3 1/6 0 1 0 5
S4 0 1 0 0 0 1 2
COEFICIENTE MAS NEGATIVO
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX – ITERACION 3

38. III-38
¿HASTA CUANTO INCREMENTAR X2?
A
B
Hasta 1.5 (sin salir de la
región factible)
C
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX – ITERACION 3

39. III-39
Solución Basica Factible X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN RAZON
Xo 0 -2/3 5/6 0 0 0 20
X1 1 2/3 1/6 0 0 0 4 4 / (2/3) 6
S2 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 2 / (4/3) 3/2
S3 0 5/3 1/6 0 1 0 5 5 / (5/3) 3
S4 0 1 0 0 0 1 2 2 / (1) 2
PUNTO B EN DOS PASOS:
1) LAS INTERSECCIONES
SON LAS RAZONES:
LADO DERECHO/COEF DE X2
2) LA RAZÓN NO NEGATIVA
MÍNIMA
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX – ITERACION 3

40. III-40
Solución Basica Factible X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo 0 -2/3 5/6 0 0 0 20
X1 1 2/3 1/6 0 0 0 4
S2 0 4/3 -1/6 1 0 0 2
S3 0 5/3 1/6 0 1 0 5
S4 0 1 0 0 0 1 2
• El cálculo de la nueva solución básica (X1, X2, S3, S4)
se basa en las operaciones de Gauss Jordan
0
0
1
0
0
X2
S2
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX – ITERACION 3

41. III-41
Nuevo Renglón Pivote = Renglón Pivote Actual / Elemento Pivote
[Nuevo Renglón] = [Rengl. Actual] – (Coef. Columna Pivote)*[Nuevo Renglón Pivote]
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX – ITERACION 3

42. Valor de la función objetivo
Xo = 21
Variables no básicas
S1 = 0
S2 = 0
Variables básicas
X1 = 3
X2 = 3/2
S3 = 5/2
S4 = 1/2
A B
Solución Basica Factible S1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Xo 0 0 3/4 3/4 0 0 21
X1 1 0 1/4 1/4 0 0 3
S2 0 1 -1/8 -1/8 0 0 3/2
S3 0 0 3/8 3/8 1 0 5/2
S4 0 0 1/8 1/8 0 1 1/2
C
B
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX – ITERACION 3

43. III-43
MaxMax XoXo = 5X1 + 4X2= 5X1 + 4X2
MaxMax XoXo = 5(3) + 4(3/2) = 21= 5(3) + 4(3/2) = 21
X1 = 3X1 = 3
X2 = 3/2X2 = 3/2
¿¿ESES ÓÓPTIMA ESTA SOLUCIPTIMA ESTA SOLUCIÓÓN?N?
¡SI!
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX – ITERACION 3

44. III-44
En la tabla Simplex: Xo = -(3/4)S1 - (1/2)S2 + 21
INGRESAR S1 O S2?
NINGUNO!
No conviene ya que ambos ofrecen índices negativos,
por tanto fin de las iteraciones
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX – ITERACION 3

45. III-45
VARIABLE DE ENTRADA
Condición de optimabilidad
MAX = Variable no básica con el coeficiente MAYOR NEGATIVO.
Los empates se rompen arbitrariamente.
MIN = Variable no básica con el coeficiente MAYOR POSITIVO.
Los empates se rompen arbitrariamente.
VARIABLE DE SALIDA
Condición de factibilidad
MAX = MIN = Variable básica con la RAZÓN POSITIVA MENOR.
Los empates se rompen arbitrariamente.
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX – CONCLUSIONES

46. III-46
1. Llevar el modelo a la forma estándar
2. Trasladar el modelo a una tabla
3. Definir la variable de entrada
4. Definir la variable de salida
5. Determinación nuevas soluciones básicas (G. Jordan)
4. PROCEDIMIENTO ALGORITMO SIMPLEX – CONCLUSIONES