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Soluciones enteras en un problema de programación lineal
1. Soluciones enteras en un problema de programación lineal.- Supongamos que tenemos el siguiente problema. 3X1 + 7X2 <= 18 9X1 + 8X2 <= 25 Z = 3X1 + 4X2 Maximizar La solución es X1=0,7949 X2=2,2308 Z=11,3077 X1=0,7949 X2=2,2308 Z=11,3077
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3. Trabajaremos primero con X1<=0 y para ello agregaremos una ecuación que así lo diga quedando el problema 3X1 + 7X2 <= 18 9X1 + 8X2 <= 25 X1 <= 0 Z = 3X1 + 4X2 Maximizar Esto da como resultado lo siguiente: X1=0 X1=0,7949 X2=2,5714 X2=2,2308 Z=10,2857 Z=11,3077 X1=1 X2=2 Z=11 X1<=0 X1>=1
4. Vemos que luego sacamos el X1<=0 y lo cambiamos por X1>=1 y de ahí ya surgió el resultado entero que maximiza el funcional
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9. Hay otra manera de hacer lo mismo pero a partir de la última tabla del primer simplex, despejando el valor de X1 , haciéndolo <= a 0 y agregando esa ecuación al problema inicial del simplex. Se actúa de la misma manera pero haciendo X1 >= a 1. X1-0,2051 X3+0,1795 X4 = 0,7949 X1=0,7949+0,2051 X3-0,1795 X4<=0 -0,2051 X3+0,1795 X4 >= 0,7949 -2051 X3+1795 X4 >= 7949
10. Resolver de la misma manera el siguiente ejercicio: 12X1+4X2+5X3<=36 9X1+7X2+12X3<=15 16X1+12X2+9X3<=17 Z=7X1+8X2+9X3 Maximizar X1=0 X2=.8519 X3=.7531 Z=13.5926 X1=0 X2=.8519 X3=.7531 Z=13.5926 X1=1 X2=0 X3=.1111 Z=8 NO POSIBLE X1=1,0625 X2=0 X3=0 Z=7,4375 X1=0.333 X2=0 X3=1 Z=11.333 X1=0 X2=0 X3=1 Z=9 X2<=0 X2>=1 X3>=1 X3<=0 X1<=0 X1>=0 X1=0.333 X2=0 X3=1 Z=11.333 X1=0.333 X2=0 X3=1 Z=11.333
11. Algoritmo de corte.- 2X1+5X2<=17 3X1+2X2<=10 Z=2X1+X2 Maximizar Al resolver nos da X1=3,333 X2=0 Z=6,6667
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13. Para tratar de que X1 que vale 10/3 pase a tomar un valor entero, se toma su fila y se opera así: X1+2/3X2+1/3X4=10/3 Escribimos cada coeficiente como la suma de un entero y una fracción positiva entre 0 y 1. x1+(0+2/3)X2+(0+1/3)X4=3+1/3 Separamos los enteros de los fraccionarios X1-3=1/3-2/3X2-1/3X4 Para que la parte izquierda sea entera la derecha debe ser menor que 0. Luego 1/3-2/3X2-1/3X4<=0 por tanto 2x2+X4>=1 Con las ecuaciones del cuadro anterior más esta última tenemos: 11/3X2+X3-2/3X4=31/3 X1+2/3X2+1/3X4=10/3 2X2+4>=1 Z=2X1+X2+0X3+0X4 Maximizar Que da como resultado X1=3, X2=1/2, X3=17/2, X4=X5=0
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16. PROGRAMACIÓN LINEAL BINARIA.- Propongamos el siguiente problema: Se puede hacer una fábrica en A y otra en B. También se podrá construir un almacén pero debe estar en la misma ciudad en que esté la fábrica. A deja un valor actual neto de 9 millones y se debe gastar 6 millones. B deja 5 millones y se gasta 3 millones. C(almacén en A) deja 6 millones y cuesta 5 millones. D(almacén en B) deja 4 millones y cuesta 2 millones.El gasto total debe ser menor a 10 millones. Si se construye A, X1=1, si no se construye x1=0 Si se construye B, X2=1, si no se construye x2=0 Si se construye C, X3=1, si no se construye x3=0 Si se construye D, X4=1, si no se construye x4=0 La compañía quiere construir solamente un almacén nuevo o ninguno. Para ello se usa la restricción X3+X4<=1 La compañía consideraría la construcción de un almacén en una ciudad sólo si la nueva fábrica va a estar ahí.Eso queda expresado por las ecuaciones X3-X1<=0 ; X4-X2<=0 Entonces el modelo completo de programación binaria queda expresado así:
17. Maximizar Z= 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4 Sujeto a: 6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 <= 10 X3 + X4 <= 1 -X1 + X3 <= 0 -X2 +X4 <= 0 Xj <=1 Xj >=0 Xj es entero para j= 1, 2, 3, 4 A continuación va la solución como si el problema no fuera entero binario.
18. Esta es la resolución del problema sin tener en cuenta su calidad de binario