Tema 3: Métodos de Solución para Modelos de Programación Lineal

1. TEMA 3.
Métodos de Solución para
Modelos de Programación Lineal
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
AREA DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE GERENCIA
UNIDAD CURRICULAR: INVESTIGACION DE OPERACIONES
DOCENTE: ING. ROSA AMAYA

2. Los métodos a utilizar para resolver Modelos de
Programación Lineal (MPL) son:
El Método Grafico
El Método Simplex
V.B. X1 X2 h1 h2 A1 VALOR RAZON
Z -202 -99 0 100 0 -600
h1 1 -1 1 0 0 1 1
A1 2 1 0 -1 1 6 3
Z 0 -301 202 100 0 -398
X1 1 -1 1 0 0 1 X
A1 0 3 -2 -1 1 4 1,33
Z 0 0 1,33 -0,33 100,33 3,33
X1 1 0 0,33 -0,33 0,33 2,33 X
X2 0 1 -0,67 -0,33 0,33 1,33 X

3. METODO GRAFICO
Es un método para resolver MPL con solo dos (2) variables de decisión, para
modelos con tres (3) o mas variables es impráctico o imposible.
Definición
• Es un método sencillo y fácil de manejar.
• Es útil para ilustrar muchos de los elementos importantes de un
MPL.
• Sirve como base para el Método Simplex.
Características

4. METODOLOGIA PARA LA APLICACIÓN DEL
METODO GRAFICO
• Trace un eje de coordenadas cartesianas.
• Grafique las desigualdades dadas por el problema.
• Identifique que lado satisface cada desigualdad.
• Encuentre el área de soluciones factibles.
• Identifique la solución optima usando la función objetivo

5. METODOLOGIA PARA LA APLICACIÓN DEL
METODO GRAFICO. Ejemplo
Max Z = 5x1 + 5x2
Sujeta a las Restricciones:
12x1 + 8x2 ≤ 96
6x1 + 12x2 ≤ 72
x1 ≥ 2
x1 , x2 ≥ 0
Condición de No Negatividad

6. METODOLOGIA PARA LA APLICACIÓN DEL
METODO GRAFICO
x1 ≥ 2
Convierta las desigualdades en igualdades y proceda a graficar:
6x1 + 12x2 ≤ 72 12x1 + 8x2 ≤ 96
x1 = 2 / x2 = 0 x1 = 0 / x2 = 6 x1= 0 / x2 = 12
x2 = 0 / x1 = 12 x2 = 0 / x1 = 8

7. METODOLOGIA PARA LA APLICACIÓN DEL
METODO GRAFICO
Encuentre la solución optima:
A
C
B
D
 METODO I: Grafique z y traslade paralelamente hacia el
lado de mejora.
Z = 20; 20 = 5x1 + 5x2
Z = 40; 40 = 5x1 = 5x2
METODO II: Evalúe cada punto extremo en la función
objetivo
Z = 20 Z = 40
Puntos x1 x2 Z
A 2 0 10
B 2 5 35
C 6 3 45
D 8 0 40

8. METODO SIMPLEX
Este método se basa en un proceso iterativo que comienza en un vértice
(normalmente el origen) y se va trasladando de vértice en vértice hasta
encontrar la solución optima (de haberla). Esta diseñado de tal forma que
con cada iteración se mejora el valor de la función objetivo.
Existen dos (2) variantes de este método:
Primal: se emplea cuando en la estandarización del modelo solo es
necesaria la introducción de variables de holgura.
Técnica de la M: se utiliza cuando en la estandarización del modelo se
deben emplear variables artificiales que permitan encontrar una solución
inicial para el problema.
Definición y características

9. METODOLOGIA PARA LA APLICACIÓN DEL
METODO SIMPLEX
FASE I: ENCONTRAR LA SOLUCION INICIAL BASICA FACTIBLE (SIBF)
Estandarice el modelo
La función objetivo puede ser de maximizar o minimizar.
Todos los valores del lado derecho de las restricciones son no negativos.
Todas las restricciones son igualdades.
Todas las variables son no negativas
Encuentre la solución inicial
En un modelo con M ecuaciones y N variables, se tiene que N ≥ M.
M determina el numero de Variables Básicas (VB)
N – M, se utiliza para encontrar el numero de Variables No Básicas (VNB)
Construya la tabla “0”
Las VB deben aparecer como renglones y en el primer renglón va Z.
En las columnas, todas las variables (VB + VNB), el valor del lado derecho y la razón.

10. METODOLOGIA PARA LA APLICACIÓN DEL
METODO SIMPLEX
FASE II: ENCUENTRE LA SOLUCION OPTIMA
Identifique la variable de entrada (VE)
Si es maximizar (minimizar) es la VNB con el coeficiente mas negativo (mas positivo)
en la ecuación objetivo.
Encuentre la variable de salida (VS)
VB con la menor razón (≥ 0)
Realice el cambio de base
Para la VE, aplicar:
Nueva Ecuación Pivote = Ecuación Pivote / Elemento Pivote
Para las demás variables y para Z, usar:
Nueva Fila = Vieja Fila – (coeficiente de la columna de entrada de la variable
correspondiente * Nueva Ecuación Pivote)
Aplique la Regla de Optimalidad, maximizar (minimizar) coeficientes en Z ≥ 0 (Z ≤ 0)

11. Ejemplo
Modelo:
Max Z = 5x1 + 2x2
Sujeta a las Restricciones:
12x1 + 8x2 ≤ 12
6x1 + 12x2 ≤ 72
x1, x2 ≥ 0
FASE I: ENCONTRAR SIBF
Estandarización
12x1 + 8x2 + h1 = 96
6x1 + 12x2 + h2 = 72
x1, x2, h1, h2 ≥ 0
M = 2 ecuaciones
N = 4 variables
Solución Inicial
M = Nro. de VB 2 VB
N – M = Nro. de VNB 2 VNB
VNB: VNB:
X1 = 0 h1 = 96
X2 = 0 h2 = 72
SIBF
Z – 5x1 – 2x2 + 0h1 + 0h2 = 0

12. Ejemplo
Construir tabla “0”
VB X1 X1 h1 h2 Valor
Z - 5 - 2 0 0 0
h1 12 8 1 0 96
h2 6 12 0 1 72
12x1 + 8x2 + h1 = 96
6x1 + 12x2 + h2 = 72
x1, x2, h1, h2 ≥ 0
Z – 5x1 – 2x2 + 0h1 + 0h2 = 0
Razon
-
96/12 = 8
72/6 = 12

13. Ejemplo
 Tabla “0”
VB X1 X1 h1 h2 Valor
Z 0 4/3 5/12 0 40
X1 1 2/3 1/12 0 8
h2 0 8 - 1/2 1 24
Solución:
X1 = 8 / X2 = 0
h1 = 0 / h2 = 24
Z = 40

14. TIPOS DE SOLUCIONES DE UN MPL
Múltiples Soluciones:
V.B. X1 X2 h1 h2 h3 h4 A1 A2 VALOR RAZON
Z -4000900 -2000900 10000 0 0 10000 0 0 -9000000
A1 400 100 -1 0 0 0 1 0 800 2
h2 100 100 0 1 0 0 0 0 500 5
h3 100 0 0 0 1 0 0 0 300 3
A2 0 100 0 0 0 -1 0 1 100 X
Z 0 -1000675 -2,25 0 0 10000 10002,25 0 -998200
X1 1 0,25 -0,0025 0 0 0 0,0025 0 2 8
h2 0 75 0,25 1 0 0 -0,25 0 300 4
h3 0 -25 0,25 0 1 0 -0,25 0 100 X
A2 0 100 0 0 0 -1 0 1 100 1
Z 0 0 -2,25 0 0 -6,75 10002,25 10006,75 2475
X1 1 0 -0,0025 0 0 0,0025 0,0025 -0,0025 1,75 700
h2 0 0 0,25 1 0 0,75 -0,25 -0,75 225 300
h3 0 0 0,25 0 1 -0,25 -0,25 0,25 125 X
X2 0 1 0 0 0 -0,01 0 0,01 1 X
Z 0 0 0 9 0 0 10000 10000 4500
X1 1 0 -0,0033 -0,0033 0 0 0,0033 0 1
h4 0 0 0,3333 1,3333 0 1 -0,3333 -1 300
h3 0 0 0,33 0,33 1 0 -0,33 0 200
X2 0 1 0,0033 0,0133 0 0 -0,0033 0 4

15. TIPOS DE SOLUCIONES DE UN MPL
Área no Acotada:
V.B. X1 X2 h1 h2 A1 VALOR RAZON
Z -202 -99 0 100 0 -600
h1 1 -1 1 0 0 1 1
A1 2 1 0 -1 1 6 3
Z 0 -301 202 100 0 -398
X1 1 -1 1 0 0 1 X
A1 0 3 -2 -1 1 4 1,33
Z 0 0 1,33 -0,33 100,33 3,33
X1 1 0 0,33 -0,33 0,33 2,33 X
X2 0 1 -0,67 -0,33 0,33 1,33 X

16. TIPOS DE SOLUCIONES DE UN MPL
Solución Infactible:
V.B. X1 X2 h1 h2 h3 h4 A1 A2 VALOR RAZON
Z -1003 -1002 0 0 1000 1000 0 0 -50000
h1 0,025 0,017 1 0 0 0 0 0 1 40
h2 0,02 0,02 0 1 0 0 0 0 1 50
A1 1 0 0 0 -1 0 1 0 30 30
A2 0 1 0 0 0 -1 0 1 20 X
Z 0 -1002 0 0 -3 1000 1003 0 -19910
h1 0 0,017 1 0 0,025 0 -0,025 0 0,25 14,71
h2 0 0,02 0 1 0,02 0 -0,02 0 0,4 20
X1 1 0 0 0 -1 0 1 0 30 X
A2 0 1 0 0 0 -1 0 1 20 20
Z 0 0 58937,64 0 1469,94 1000 -469,94 0 -5170,58
X2 0 1 58,824 0 1471 0 -1,471 0 14,706 X
h2 0 0 -1,176 1 -0,009 0 0,009 0 0,106 11,78
X1 1 0 0 0 -1 0 1 0 30 30
A2 0 0 -58,824 0 -1,471 -1 1,471 1 5,294 3,60
Z 0 0 40135,34 0 1000 680,44 0 319,56 -3478,8
X2 0 1 0 0 0 -1 0 1 20
h2 0 0 -0,8 1 0 0,0068 0 -0,0068 0,072
X1 1 0 40 0 0 0,68 0 -0,68 26,4
A1 0 0 -40 0 -1 -0,68 1 0,68 3,6

17. BIBLOGRAFIA RECOMENDADA