Este documento presenta la resolución de cuatro ejercicios utilizando el método simplex. El primer ejercicio resuelve un problema de maximización con dos variables de decisión. El segundo ejercicio aplica el método de las dos fases para resolver un problema con restricciones. Los ejercicios tres y cuatro proponen problemas adicionales para ser resueltos con simplex.

1. UPO
Universidad Peruana del Oriente
Docente: Ing. Elvis DEL ÁGUILA López
Curso: Teoría de Redes
Nov . 2013

2. Resolver el siguiente problema
mediante el método simplex.
Ejercicio 1 resuelto
F.O.:
S.A.:
1)
Max Z =100X1 + 200X2
4X1 + 2X2
<= 16 (Ecuación
8X1 +8X2
<= 16 (Ecuación
2)
2X2
<= 10 (Ecuación
3)
X1, X2 >= 0

3. SOLUCIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX
Primer paso: Convertir las inecuaciones en
ecuaciones (agregar las variables de holgura
necesarias)
F.O.:
Max Z = 100X1 + 200X2 + OS1 + OS2 + OS3 =
S.A.:
4X1 + 2X2
+ S1
(Ecuación 1)
8X1
+8X2
+ S2
(Ecuación 2)
2X2
+ S3
(Ecuación 3)
X1, X2 , OS1, OS2, OS3
0
= 16
=16
=10
>= 0

4. Segundo paso: Determinar las variables
básicas y las no básicas.
BASICAS
S1
S2
S3
NO
BASICAS
X1
X2

5. Tercer paso: Elaborar la tabla inicial
del Simplex.
VARIABLE
BASICA
VARIABLES
SOLUCION
S1
S2
X1
4
8
X2
2
8
S1
1
0
S2
0
1
S3
0
0
16
16
S3
Z
0
-100
1
-200
0
0
0
0
1
0
10
0
En la fila Z (color amarillo) se toma la variable mas alta de
valor negativo que en este caso seria -200

6. Cuarto paso: Elección de la columna
pivote (variable que entra).
El coeficiente de Z más negativo = Columna X2

7. Quinto paso: Elección de la fila pivote
(variable que sale).
 Razón = Solución / Coeficiente columna pivote
 Razón Menor = Fila perteneciente a S2
VARIABLE
BASICA
S1
X1
4
VARIABLES
X2 S1 S2
2
1
0
S3
0
16
2
S2
S3
8
0
8
1
8
10
Z
100 200
SOLUCION RAZON
0
0
1
0
0
1
16
10
0
0
0
0

8. Sexto paso: Elaborar la nueva tabla del
simplex.

9. 1
_
_
_
X
X
_
_
X
0
X
X
_
X
_
_
_
X
X
X
X
_
0
X
_
X
X
X
_
_
_
X
_
X
_
_
X
_
X

10. Variable
Básica x1
x2
1
s2
2
s3
-1
z
100
Variables
x2 s1 s2
1 0 1/8
0 1 -1/4
0 0 1/8
0 0 25
s3
0
1
0
0
Solución
2
12
8
400
Nota: No hay mas iteraciones debido a que no existe coeficientes de Z negativos en la nueva tabla
R/ El valor maximo se alcanza para un x2 =2, con un z=400

11. Ejercicio 2 resuelto
FASE 1: Se considera un problema auxiliar que
resulta de agregar tantas variables auxiliares a
las restricciones del problema, de modo de
obtener una solución básica factible. Resolver
por Simplex un problema que considera como
función objetivo la suma de las variables
auxiliares. Si el valor óptimo es cero, seguir a
la Fase II, en caso contrario, no existe solución
factible.

12. FASE 2: Resolver por Simplex el problema
original a partir de la solución básica factible
inicial hallada en la Fase I.
F:O
S:A
2X1 + X2
10X1 + 10X2 <= 9
10X1 + 5X2 >= 1
X1, X2 >= 0

13. PASO 1
Se debe agregar X3 como variable de holgura de la
restricción 1, X4 como variable de exceso de la
restricción 2 y X5 variable auxiliar para poder
comenzar la Fase 1. (Nótese que solo agregando X3
como variable de holgura a la restricción 1 y X4
como variable de exceso a las segunda restricción no
se obtiene una solución básica factible inicial, en
particular X4<0).

14. PASO 2
F.O
S.A
10X1 + 10X2 + X3
= 9
10X1 + 5X2
- X4 + X5 = 1
X1, X2, X3, X4, X5 >= 0
X5

15. PASO 3
La tabla inicial asociada a la Fase I queda en
consecuencia definida de la siguiente forma:
X1
X2
X3
X4
X5
10
10
1
0
0
9
10
5
0
-1
1
1
0
0
0
0
1
0

16. PASO 4
Luego, se debe hacer 0 el costo reducido de X5,
obteniendo la siguiente tabla inicial para hacer
el uso de Simplex:
X1
10
10
-10
X2
10
5
-5
X3
1
0
0
X4
0
-1
1
X5
0
1
0
9
1
-1

17. PASO 5
Se escoge X1 como variable que entra a la base al tener
el costo reducido más negativo. Posteriormente,
mediante el criterio del mínimo cociente se selecciona
la variable que sale de la base: Min {9/10; 1/10} =
1/10, X5 sale de la base:
X1
0
1
0
X2
5
1/2
0
X3
1
0
0
X4
X5
1
-1
8
-1/10 1/10 1/10
0
1
0
Se obtiene la solución óptima de la Fase I, con valor óptimo cero. Luego
iniciamos la Fase II del método tomando X1 y X3 como variables básicas
iniciales.

18. PASO 6
FASE 2: Resolver por Simplex el problema original
a partir de la solución básica factible inicial
hallada en la Fase I.
X1
0
1
-2
X2
5
1/2
-1
X3
1
0
0
X4
1
8
-1/10 1/10
0
0

19. PASO 7
Hacemos cero los costos reducidos de las
variables básicas:
X1
0
1
0
X2
5
1/2
0
X3
1
0
0
X4
1
-1/10
-1/5
8
1/10
1/5

20. PASO 8
X4 entra a la base. Por el criterio del mínimo cociente,
el pivote se encuentra en la fila 1, por tanto X3 sale de
la base:
X1
0
1
0
X2
5
1
1
X3
1
1/10
1/5
X4
1
0
0
8
9/10
9/5
EL VALOR MAXIMO SE ALCANZA PARA UN
: X1=9/10 X2=0 Con valor óptimo V(P) = 9/5.

21. Ejercicio propuestos 1
F.O Max
S.A
9u + 2v + 5z
4u + 3v + 6z <= 50
u + 2v - 3z >= 8
2u - 4v + z = 5
u,v >= 0
z e IR

22. Ejercicio propuestos 2
F.O
S.A
c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
...
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
xi >= 0, i = 1, 2, ..., n y m <= n

23. Ejercicio propuestos 3
F.O 3x1 + 2x2
S.A
2x1 + x2 <= 2
3x1 + 4x2 >= 12
x1,x2 >= 0

24. Ejercicio propuestos 4
F.A
S.A
2x1 + x2
x1 - x2 <= 10
2x1 <= 40
x1,x2 >= 0

25. MUCHAS GRACIAS