Diversos métodos de resolver ecuaciones de 2x2

1. Universidad Autónoma de Baja California
Facultad de Pedagogía e Innovación Educativa
Resolución de
sistemas de
ecuaciones lineales
(2x2)
Dirigido al nivel educativo de:
Preparatoria

2. 1
𝒚 =
𝟏𝟓 − 𝟐(𝟑)
𝟓
= 𝟏. 𝟖
𝒚 =
𝟏𝟓 − 𝟐(𝟎)
𝟓
= 𝟑
𝒚 =
𝟏𝟓 − 𝟐(−𝟑)
𝟓
= 𝟒. 𝟐
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales (2x2)
A continuación se presentan esquemas para la resolución de un sistema de ecuaciones a través
de los distintos métodos, proporcionando un ejemplo el cual se irá desarrollando paso a paso:
Método Gráfico (Sistema 2x2):
Este método consiste en representar las ecuaciones en un sistema de coordenadas y encontrar
los valores de las incógnitas por medio de la intersección de las rectas que se forman en el plano
cartesiano. Ejemplo:
𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟓
𝟒𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟖
Primeramente se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones en este caso escogimos la
incógnita y. (Nota: Cualquiera de las dos incógnitas puede ser despejada, se escoge la que más
convenga o se le facilite a cada persona)
𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟓 𝟒𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟖
𝟓𝒚 = 𝟏𝟓 − 𝟐𝒙 𝟒𝒚 = 𝟏𝟖 − 𝟒𝒙
𝒚 =
𝟏𝟓 − 𝟐𝒙
𝟓
𝒚 =
𝟏𝟖 − 𝟒𝒙
𝟒
Un segundo paso es comenzar a asignarle valores a x en las ecuaciones que obtuvimos
después de los despejes encontrando así los valores de y para comenzar a tabular los valores.
(Nota: En caso de haber despejado en el paso anterior la incógnita x, en este paso se le
proporcionarían los valores a y)
x y
3 1.5
2 2.5
1 3.5
0 4.5
-1 5.5
-2 6.5
-3 7.5
X Y
3 1.8
2 2.2
1 2.6
0 3
-1 3.4
-2 3.8
-3 4.2
𝒚 =
𝟏𝟖 − 𝟒(𝟑)
𝟒
= 𝟏. 𝟓
𝒚 =
𝟏𝟖 − 𝟒(𝟎)
𝟒
= 𝟒. 𝟓
𝒚 =
𝟏𝟖 − 𝟒(−𝟑)
𝟒
= 𝟕. 𝟓

3. 2
Por último se deben graficar
estos puntos en un plano
cartesiano para encontrar los
valores de las incógnitas que
buscamos en las 2 primeras
ecuaciones. La respuesta será
dada por la coordenada en la
cual las rectas resultantes se
cruzan. En este caso el valor de
x= 2.5 y el de y= 2
Determinantes (Sistema 2x2 )
3x+2y=180
2x+2y=150
Primeramente se localizan los valores de los coeficientes de las incógnitas x , y y los de los
términos independientes (TI) los cuales son los resultados de nuestras ecuaciones.
X Y TI
3 2 180
2 2 150
Continuamos buscando el determinante del sistema el cual obtenemos por medio de la
diferencia de los productos de los valores de X, Y (como se presenta en la formula)
X Y
3 2
2 2
∆s = x1y2-x2y1 =(3)(2)-(2)(2)= 6-4= 2
Después buscamos el determinante de x el cual obtenemos por medio de la diferencia de
los productos de los valores de Y y de los TI. Para esto sustituiremos los valores de x por
los de los TI.
TI Y
180 2
150 2
∆X= TI1y2-TI2y1= (180)(2) - (150)(2)=360-300= 60

4. 3
Después buscamos el determinante de Y el cual obtenemos por medio de la diferencia de
los productos de los valores de X y de los TI. Para esto sustituiremos los valores de Y por
los de los TI.
X TI
4 180
2 150
∆y= x1TI2-x2TI1= (4)(150)-(2)(180)=600-360= 240
Por último para obtener los valores de nuestras incógnitas dividimos el determinante de
cada incógnita sobre el determinante del sistema.
𝒙 =
∆𝐗
∆𝐬
=
𝟔𝟎
𝟒
= 𝟏𝟓
𝒚 =
∆𝐲
∆𝐬
=
𝟐𝟒𝟎
𝟒
= 𝟔𝟎
Método de Reducción (Sistema 2x2):
En este método se busca eliminar una incógnita de las ecuaciones por medio de una resta,
para de esta manera facilitar la búsqueda de la incógnita que nos queda por medio de un
sencillo despeje. Ejemplo:
2x+y=19
5x-5y=10
Primeramente se elige la incógnita que se quiere eliminar, para eso es necesario realizar
una resta. (Nota: dependiendo del caso se multiplica por un número que permita eliminar
alguna de las variables, en este se busca eliminar la y por lo que multiplicaremos toda la
primera ecuación por 5)
(5) (2x+y)=19(5) 10x+5y=95
5x-5y=10 5x-5y=10
10x+5x+5y-5y=105
15x=105
Se elimina y quedando la ecuación siguiente: 15x=105, la cual despejaremos para
encontrar el valor de x
15x=105
X=105/15 X= 7

5. 4
Una vez conociendo el valor de x podemos encontrar el valor de y sustituyéndolo en
cualquiera de las ecuaciones
5x-5y=10
5(7)-5y=10
35-5y=10
-5y=10-35
y=
−𝟐𝟓
−𝟓
y=5
Al tener los valores de x y y se sustituyen en ambas ecuaciones primarias para realizar
una comprobación
X=7 Y=5
2x+y=19 5x-5y=10
2(7)+5=19 5(7)-5(5)=10
14+5=19 35-25=10
Método de Igualación
Paso 1.- Observamos las ecuaciones
5x+2y=25
2x+3y=30
Paso 2.- Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones, en este caso elegiremos
y.
5x+2y=25 2x+3y=30
2𝐲 = 𝟐𝟓 − 𝟓𝐱 𝟑𝐲 = 𝟑𝟎 − 𝟐𝐱
𝐲 =
𝟐𝟓 − 𝟓𝐱
𝟐
𝐲 =
𝟑𝟎 − 𝟐𝐱
𝟑

6. 5
Paso 3.- Se igualan las ecuaciones resultantes. Se soluciona multiplicando de manera
cruzada los denominadores y realizando los despejes necesarios para encontrar el valor
de nuestra incógnita.
𝟑𝟎 − 𝟐𝐱
𝟑
=
𝟐𝟓 − 𝟓𝐱
𝟐
2(30-2x)=3(𝟐𝟓 − 𝟓𝐱)
60-4x=7𝟓 − 𝟏𝟓𝐱
15x-4x=7𝟓 − 𝟔𝟎
11x=15
X=15/11
Paso 4.- Obtenemos el valor de las incógnita que nos falta sustituyendo el valor obtenido
en alguna de las ecuaciones obtenidas en el paso 2.
𝐲 =
𝟐𝟓 − 𝟓𝐱
𝟐
𝐲 =
𝟐𝟓 − 𝟓(𝟏𝟓/𝟏𝟏)
𝟐
𝐲 =
𝟐𝟓 − 𝟔. 𝟖𝟏
𝟐
𝐲 =
𝟏𝟖. 𝟏𝟖
𝟐
𝐲 =9.09
Paso 5.- Sustituimos el valor de x y y en las ecuaciones que se nos brindaron primero
para comprobar si los valores obtenidos son los correctos.
X=15/11 Y=9.09
5x+2y=25 2x+3y=30
5(15/11)+2(9.09)=25 2(15/11)+3(9.09)=30
6.81+18.18=25 2.72+27.27=30
Nota: En este caso la igualdad queda aproximada debido a que no fueron utilizados todos
los decimales a la hora de realizar las operaciones

7. 6
Método de Sustitución
4x+2y= 20
6x+y= 30
Paso 1 Comenzamos eligiendo la incógnita que deseamos sustituir. (Escogeremos la
incógnita que nos facilite el proceso, puede ser cualquiera y también podemos elegir
despejar la ecuación que queramos en este caso elegiremos despejar y en la primer
ecuación)
4x+2y= 20
𝟐𝐲 = 𝟐𝟎 − 𝟒𝐱
𝐲 =
𝟐𝟎 − 𝟒𝐱
𝟐
Paso 2 En este paso debemos sustituir la ecuación que nos resultó en el despeje pasado,
dentro de la otra ecuación y comenzamos a realizar las operaciones y despejes debidos
para encontrar el valor de nuestra incógnita. (Nota: en este encontraremos el valor de x, en
caso de haber despejado x en el paso anterior, en este paso encontraríamos el valor de y)
6x+y= 30
6x+(
𝟐𝟎−𝟒𝐱
𝟐
)= 30
6x+10-2x= 30
4x+10=30
4x=30-10
4x=20
X=
𝟐𝟎
𝟒
X=5
Paso 3 Aquí sustituiremos el valor de la incógnita encontrada anteriormente en la ecuación
resultante en el paso 2, para así hallar el valor de la incógnita faltante.
𝐲 =
𝟐𝟎 − 𝟒𝐱
𝟐
𝐲 =
𝟐𝟎 − 𝟒(𝟓)
𝟐
𝐲 =
𝟐𝟎−𝟐𝟎
𝟐
=
𝟎
𝟐
y=0

8. 7
Paso 4: Sustituimos el valor de x y y en las ecuaciones que se nos brindaron primero para
comprobar si los valores obtenidos son los correctos.
X=5 Y=0
4x+2y= 20 6x+y= 30
4(5)+2(0)= 20 6(5)+0= 30
20=20 30=30
Más ejemplos:
Método de sustitución
4x+3y=25
2x-7y=-13
Paso 1
4x=25-3y
𝒙 =
𝟐𝟓−𝟑𝐲
𝟒
Paso 2
2(
𝟐𝟓−𝟑𝐲
𝟒
)-7y=-13
𝟓𝟎−𝟔𝐲
𝟒
-7y=-13
12.5-1.5y-7y=-13
-8.5y=-13-12.5
-8.5y=-25.5
Y=
−𝟐𝟓.𝟓
−𝟖.𝟓
Y=3
Paso 3
𝒙 =
𝟐𝟓−𝟑(𝟑)
𝟒
𝒙 =
𝟐𝟓−𝟗
𝟒
𝒙 =
𝟏𝟔
𝟒
x=4
Paso 4
4(4)+3(3)=25
16+9=25
2(4)-7(3)=-13
8-21=-13

9. 8
Método de igualación
5x-8y=2
x-y=1
Paso 1
x=
𝟐+𝟖𝒚
𝟓
x=1+y
Paso 2
𝟐+𝟖𝒚
𝟓
=1+y
2+8y=5(1+y)
2+8y=5+5y
8y-5y=5-2
3y=3
y=1
Paso 3
x=1+1
x=2
Paso 4
5x-8y=2
5(2)-8(1)=2
x-y=1
2-1=1
Método de reducción
x+3y=22 -2(x+3y)=(22)-2
2x-2y=12
Paso 1
-2x-6y=-44
2x-2y=12
-8y=-32
y=-32/-8
y=4
Paso 2
x+3(4)=22
x+12=22
x=22-12
x=10
Paso 3
x+3y=22
10+3(4)=22
10+12=22
2x-2y=12
2(10)-2(4)=12
20-8=12

10. 9
𝒚 =
−𝟏𝟐 − 𝟒(−𝟑)
−𝟒
= 𝟎
𝒚 =
−𝟏𝟐 − 𝟒(𝟎)
−𝟒
= 𝟑
𝒚 =
−𝟏𝟐 − 𝟒(𝟑)
−𝟒
= 𝟔
𝑦 =
−𝟏𝟓 − 𝟓(−𝟑)
−𝟓
= 𝟎
𝒚 =
−𝟏𝟓 − 𝟓(𝟎)
−𝟓
= −𝟑
𝒚 =
−𝟏𝟓 − 𝟓(𝟑)
−𝟓
= −𝟔
Método Gráfico
4x-4y=-12 Paso 2
5x+5y=-15
Paso 1
𝟒𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟏𝟐
−𝟒𝒚 = −𝟏𝟐 − 𝟒𝒙
𝒚 =
−𝟏𝟐 − 𝟒𝒙
−𝟒
𝟓𝒙 − 𝟓𝒚 = −𝟏𝟓
−𝟓𝒚 = −𝟏𝟓 − 𝟓𝒙
𝒚 =
−𝟏𝟓 − 𝟓𝒙
𝟓
Paso 3
X Y
3 6
2 5
1 4
0 3
-1 2
-2 1
-3 0
X Y
3 -6
2 -5
1 -4
0 -3
-1 -2
-2 -1
-3 0
X=-3 Y=0

11. 10
Método de Determinantes
3x+5y=33
2x+4y=24
Paso 1
X Y TI
3 5 33
2 4 24
Paso 2
X Y
3 5
2 4
∆s = x1y2-x2y1 =(3)(4)-(2)(5)= 12-10= 2
TI Y
33 5
24 4
X TI
3 33
2 24
∆X= TI1y2-TI2y1= (33)(4) - (24)(5)=132-120= 12
∆y= x1TI2-x2TI1= (3)(24)-(2)(33)=72-66= 6
Paso 3
𝐱 =
∆𝐗
∆𝐬
=
𝟏𝟐
𝟐
= 𝟔
𝐲 =
∆𝐲
∆𝐬
=
𝟔
𝟐
= 𝟑
Paso 4
3x+5y=33 2x+4y=24
3(6)+5(3)=33 2(6)+4(3)=24
18+15=33 12+12=24