Este documento describe los conceptos de vibración libre y forzada en sistemas de un grado de libertad. Explica que la vibración libre ocurre cuando un sistema se desplaza de su posición de equilibrio sin fuerzas externas, mientras que la vibración forzada es causada por fuerzas externas variables en el tiempo. También presenta ecuaciones para analizar vibraciones libres con y sin amortiguamiento.
1. El documento presenta varios problemas de cinemática que involucran conceptos como movimiento uniforme acelerado, desplazamiento, velocidad y aceleración. Se piden calcular distancias, tiempos, velocidades y aceleraciones en diferentes intervalos de tiempo.
2. Se grafican las curvas posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo para varios problemas.
3. Los problemas implican cálculos con ecuaciones como la posición final, velocidad final, aceleración media y aceleración instantánea.
1. El documento presenta varios problemas de cinemática que involucran conceptos como movimiento uniforme acelerado, desplazamiento, velocidad y aceleración. Se piden calcular distancias, tiempos, velocidades y aceleraciones en diferentes intervalos de tiempo.
2. Se grafican las curvas posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo para varios problemas.
3. Los problemas implican cálculos con ecuaciones como la posición final, velocidad final, aceleración media y aceleración instantánea.
Este documento describe el movimiento de un proyectil lanzado con un ángulo θ desde una altura h. Explica que la gravedad es la única fuerza que actúa, y resuelve las ecuaciones del movimiento para calcular la máxima altura alcanzada y la distancia horizontal recorrida. Estas ecuaciones muestran que la trayectoria forma una parábola, y se usan para derivar fórmulas para la máxima altura y distancia horizontal en términos de la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento.
Este documento trata sobre conceptos fundamentales de dinámica rotacional como energía cinética de rotación, inercia rotacional, momento de inercia, teorema de ejes paralelos, momento angular y su conservación. Incluye ejemplos y ejercicios para calcular el momento de inercia de diferentes cuerpos como partículas puntuales, barras y esferas.
Este documento presenta varios ejercicios de cinemática que involucran movimiento rectilíneo y composición de movimientos. Resuelve problemas sobre la velocidad media de un ciclista en subidas y bajadas, el tiempo que tarda un cuerpo lanzado verticalmente en caer, y encuentra ecuaciones para la posición y velocidad de objetos en movimiento rectilíneo uniforme y no uniforme.
Παιχνίδια (γλωσσικά και μαθηματικά), φύλλα εργασίας και προτάσεις για το νηπιαγωγείο με θέμα τον κλόουν (περισσότερες λεπτομέρειες θα δείτε στο blog "νηπιαγωγός για πάντα..." (http://nipiagogosgiapanta.blogspot.gr)
El documento presenta información sobre el número e. Explica que e aparece en muchas situaciones relacionadas con el crecimiento exponencial. Históricamente, el número fue introducido por John Napier en 1614 para facilitar cálculos matemáticos y astronómicos. Más tarde, Leonhard Euler estudió este número y lo denominó e. El documento también provee ejemplos de ecuaciones donde aparece e, como en el crecimiento de poblaciones bacterianas o la desintegración radiactiva. Finalmente, explica cómo calcular e usando una suces
El documento trata sobre el análisis de sistemas dinámicos. Incluye temas como la solución de ecuaciones lineales invariantes en el tiempo, variables de estado, ecuación característica y transformaciones de similitud. Explica conceptos como función escalón unitario, función impulso y función rampa, y analiza la respuesta en sistemas de primer, segundo y orden superior.
Presentación informe laboratorio sobre la carga de un condensadorGiselleRG1
Este documento describe una práctica de laboratorio para comprobar experimentalmente la ley de carga de un condensador y determinar el valor de una resistencia desconocida. Los estudiantes midieron la corriente de carga de condensadores de diferentes capacidades a través del tiempo y usaron las mediciones para graficar las curvas de carga y calcular valores de resistencia. El objetivo era verificar la teoría de carga de condensadores y medir el valor de una resistencia desconocida colocada en el circuito.
Este documento describe el movimiento de un proyectil lanzado con un ángulo θ desde una altura h. Explica que la gravedad es la única fuerza que actúa, y resuelve las ecuaciones del movimiento para calcular la máxima altura alcanzada y la distancia horizontal recorrida. Estas ecuaciones muestran que la trayectoria forma una parábola, y se usan para derivar fórmulas para la máxima altura y distancia horizontal en términos de la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento.
Este documento trata sobre conceptos fundamentales de dinámica rotacional como energía cinética de rotación, inercia rotacional, momento de inercia, teorema de ejes paralelos, momento angular y su conservación. Incluye ejemplos y ejercicios para calcular el momento de inercia de diferentes cuerpos como partículas puntuales, barras y esferas.
Este documento presenta varios ejercicios de cinemática que involucran movimiento rectilíneo y composición de movimientos. Resuelve problemas sobre la velocidad media de un ciclista en subidas y bajadas, el tiempo que tarda un cuerpo lanzado verticalmente en caer, y encuentra ecuaciones para la posición y velocidad de objetos en movimiento rectilíneo uniforme y no uniforme.
Παιχνίδια (γλωσσικά και μαθηματικά), φύλλα εργασίας και προτάσεις για το νηπιαγωγείο με θέμα τον κλόουν (περισσότερες λεπτομέρειες θα δείτε στο blog "νηπιαγωγός για πάντα..." (http://nipiagogosgiapanta.blogspot.gr)
El documento presenta información sobre el número e. Explica que e aparece en muchas situaciones relacionadas con el crecimiento exponencial. Históricamente, el número fue introducido por John Napier en 1614 para facilitar cálculos matemáticos y astronómicos. Más tarde, Leonhard Euler estudió este número y lo denominó e. El documento también provee ejemplos de ecuaciones donde aparece e, como en el crecimiento de poblaciones bacterianas o la desintegración radiactiva. Finalmente, explica cómo calcular e usando una suces
El documento trata sobre el análisis de sistemas dinámicos. Incluye temas como la solución de ecuaciones lineales invariantes en el tiempo, variables de estado, ecuación característica y transformaciones de similitud. Explica conceptos como función escalón unitario, función impulso y función rampa, y analiza la respuesta en sistemas de primer, segundo y orden superior.
Presentación informe laboratorio sobre la carga de un condensadorGiselleRG1
Este documento describe una práctica de laboratorio para comprobar experimentalmente la ley de carga de un condensador y determinar el valor de una resistencia desconocida. Los estudiantes midieron la corriente de carga de condensadores de diferentes capacidades a través del tiempo y usaron las mediciones para graficar las curvas de carga y calcular valores de resistencia. El objetivo era verificar la teoría de carga de condensadores y medir el valor de una resistencia desconocida colocada en el circuito.
Este documento describe el movimiento libre amortiguado de un sistema masa-resorte. Explica que la ecuación diferencial que rige este movimiento depende de un coeficiente de amortiguamiento. Luego, distingue tres casos posibles para este sistema dependiendo de si el amortiguamiento es sobrecrítico, crítico o subcrítico. Finalmente, presenta un problema de cálculo para un sistema críticamente amortiguado.
Las tres oraciones resumen lo siguiente:
1) El documento presenta las unidades básicas del Sistema Internacional de Medidas (SI) como el metro, kilogramo, segundo, etc.
2) Explica cómo derivar otras unidades a partir de las siete unidades fundamentales del SI mediante expresiones matemáticas.
3) Incluye ejemplos de conversiones entre unidades y cálculos con unidades derivadas como velocidad, aceleración y fuerza.
El documento describe la vibración libre de sistemas de un grado de libertad, tanto sin amortiguamiento como con amortiguamiento. La vibración libre no amortiguada sigue un movimiento armónico simple con una frecuencia y periodo natural determinados por la masa y rigidez del sistema. La vibración libre amortiguada hace que la amplitud decaiga exponencialmente y aumenta ligeramente el periodo. Se explican métodos para determinar la razón de amortiguamiento y los parámetros dinámicos de una estructura a través de prue
Este documento describe un prototipo para demostrar la primera ley de Newton en 2D. El prototipo consiste en una estructura de espuma con dos masas unidas por resortes y cuerdas. El documento explica el diseño, materiales, procedimiento de fabricación y uso del prototipo, y resuelve los cálculos para determinar parámetros como ángulos y distancias.
Este documento presenta una clase sobre ingeniería sísmica resistente. Explica los conceptos de vibración libre en sistemas sin amortiguamiento, incluyendo vibración en los modos 1 y 2. Luego calcula los modos de vibración, períodos y formas modales para un pórtico de dos pisos y un edificio simétrico de un piso, resolviendo las ecuaciones de movimiento.
Trabajo Final del equipo No. 1 del curso de Ecuaciones Diferenciales del semestre Enero-Julio del 2013 que impartí en el Instituto Tecnológico de la Laguna.
Este documento presenta una serie de problemas de regulación automática resueltos. Consta de cuatro capítulos que tratan herramientas matemáticas para modelado de sistemas, análisis de sistemas en lazo abierto y cerrado, problemas de diseño de reguladores, y análisis de sistemas y diseño de reguladores usando el método de espacio de estados. El apéndice incluye un índice de materias.
Este documento describe 4 actividades de laboratorio realizadas para estudiar las propiedades del movimiento de un péndulo simple. La primera actividad mide cómo varía el período con el ángulo de oscilación manteniendo constante la longitud y la masa. La segunda mide cómo el período es independiente de la masa variando ésta pero manteniendo constante el ángulo y la longitud. La tercera mide que el período es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud variando ésta pero manteniendo constante el ángulo y la mas
Este documento presenta los resultados de 4 actividades de laboratorio sobre el movimiento de un péndulo simple. La primera actividad muestra que el período varía poco con el ángulo de oscilación para ángulos pequeños. La segunda demuestra que el período es independiente de la masa. La tercera encuentra que el período es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud. La cuarta analiza cómo la velocidad aumenta con el ángulo de oscilación. En conjunto, las actividades verifican experimentalmente las leyes que rigen el movimiento
Este documento describe los controladores PID, incluyendo su estructura básica con acciones proporcional, integral y derivativa. Explica los métodos clásicos de Ziegler-Nichols para ajustar los parámetros de un controlador PID, incluyendo el método de oscilación y el método basado en la curva de reacción. También cubre modificaciones como el filtrado de la acción derivativa para evitar respuestas excesivas a ruido.
El documento describe el movimiento rectilíneo uniformemente variado (M.R.U.V.), que ocurre cuando un móvil se mueve en línea recta y los cambios en su velocidad son iguales en intervalos de tiempo iguales, resultando en distancias recorridas diferentes. En el M.R.U.V. la aceleración es constante. Se presentan las ecuaciones que relacionan distancia, velocidad, aceleración y tiempo para este tipo de movimiento.
Este documento describe un experimento para determinar la constante elástica de un resorte bajo oscilación amortiguada usando el método dinámico. Los estudiantes tomaron datos del desplazamiento, velocidad y aceleración del sistema resorte-masa usando sensores y software de registro. Analizaron los datos para hallar la amplitud, periodo, frecuencia angular, coeficiente de amortiguamiento y masa del sistema. También graficaron los datos de fuerza vs elongación para determinar la constante elástica del resorte.
1. El documento describe conceptos básicos de control como entrada, salida, planta, sistema de control, lazo abierto y cerrado. También describe modelos matemáticos para sistemas eléctricos, mecánicos, neumáticos e hidráulicos.
2. Se analiza la respuesta en el tiempo de sistemas de primer orden usando señales de entrada como escalón unitario. La respuesta escalón unitario de un sistema de primer orden es exponencial, alcanzando el 63.2% de su valor final en un tiempo igual al tiempo de resp
Este documento presenta varios ejemplos numéricos sobre dinámica de sistemas amortiguados de un grado de libertad. En el primer ejemplo, se determina el desplazamiento y la velocidad a los 1 segundos de un sistema con un peso de 3000 libras, una constante de resorte de 2000 lb/pulg y un amortiguamiento del 15% del crítico. En otros ejemplos, se calcula el coeficiente de amortiguamiento basado en la disminución de la amplitud de vibración entre ciclos y el porcentaje de amortiguamiento cr
El documento trata sobre oscilaciones armónicas simples. Explica conceptos como período, frecuencia, amplitud y ecuaciones de posición, velocidad y aceleración para el movimiento armónico simple. Luego presenta varios ejercicios resueltos sobre oscilaciones de partículas y masas colgadas de muelles que oscilan libremente.
El documento describe experimentos para estudiar el movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente variado mediante el uso de un riel de aire, fotosensores, electroimán y horquilla de hule. Se proponen cuatro tablas de medición para diferentes configuraciones y calcular variables como tiempo, velocidad y aceleración.
Este documento describe una serie de experimentos realizados para estudiar las leyes del movimiento pendular y cómo varían sus características como el período en función de factores como el ángulo de oscilación, la longitud y la masa. Se encontró que el período es independiente de la masa pero depende de la longitud y el ángulo de oscilación, siendo proporcional a la raíz cuadrada de la longitud e inversamente proporcional al ángulo de oscilación para ángulos pequeños. Los experimentos confirmaron las leyes que rigen el
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
La energía radiante es una forma de energía que
se transmite en forma de ondas
electromagnéticas esta energía se propaga a
través del vacío y de ciertos medios materiales y
es fundamental en una variedad naturales y
tecnológicos
1. Sistemas de 01 GDL
La vibración es un movimiento oscilatorio de un cuerpo o sistema de cuerpos
conectados, desplazados desde su posición de equilibrio, Pueden darse 2 tipos:
-Vibración libe: Ocurre cuando el movimiento se mantiene por fuerzas gravitacionales
o por fuerzas restauradoras elásticas, tales como el movimiento oscilatorio de un
péndulo o la vibración de una barra elástica.
-Vibración forzada: Es causada por una fuerza exterior con una variación en el tiempo
en su aplicación al sistema, todo sistema que posea masa y rigidez es capaz de vibrar.
La diferencia en una fuerza estática con una fuerza dinámica va depender de su
periodo fundamental de vibración, si la fuerza se aplica de una manera lenta y el
tiempo de aplicación es mayor al periodo de la estructura entonces seria una fuerza
estática, caso contrario es una fuerza dinámica
2. Sistemas de 01 GDL
Vibración libre de un grado de libertad:
Se dice que una estructura experimenta vibración libre cuando es perturbada de su posición de equilibrio
estático y después se deja vibrar sin ninguna excitación dinámica externa. Aunque el amortiguamiento en las
estructuras reales se debe a varios mecanismos de disipación de la energía que actúan de manera simultanea,
un enfoque matemáticamente practico consiste en idealizarlos mediante el amortiguamiento viscoso
equivalente.
Se conoce como 01 grado de libertad cuando la posición del sistema puede ser definida por una sola
coordenada.
ecuación de equilibrio:
= masa x aceleración
= amortiguamiento x velocidad
= rigidez x desplazamiento
Reservorio de tanque elevado
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. Sistemas de 01 GDL
Vibración libre sin amortiguamiento:
Para los sistemas sin amortiguamiento (c=0):
Definiendo la frecuencia natural, el periodo
Y la frecuencia como:
Partiendo el sistema inicial con t=0:
14. Sistemas de 01 GDL
Vibración libre con amortiguamiento:
Para los sistemas con amortiguamiento se especifica como:
Definiendo el amortiguamiento critico y la fracción de amortiguamiento critico como:
Partiendo el sistema inicial de t=0:
16. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 01:
Un sistema de 01GDL tiene las propiedades siguientes: m=0.2533 kip-s2/pulg, k=10kips/pulg. Determine las
respuestas en vibración libre sin amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s.
Datos:
Aplicando las formulas anteriores de vibración libre sin amortiguamiento en ecuación diferencial:
Desplazamiento
Velocidad
Aceleración
17. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 01:
Un sistema de 01GDL tiene las propiedades siguientes: m=0.2533 kip-s2/pulg, k=10kips/pulg. Determine las
respuestas en vibración libre sin amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s.
Datos:
T=2𝜋/wn T=2𝜋 ∗ 𝑚/𝑘 Wn=2𝜋/T
T= 2𝜋 ∗
0.2533
10
= 1.00 s Wn= 2𝜋/1.00 = 6.2832 rad/s
18. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 01:
Un sistema de 01GDL tiene las propiedades siguientes: m=0.2533 kip-s2/pulg, k=10kips/pulg. Determine las
respuestas en vibración libre sin amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s.
Datos: Aplicando la formula de desplazamiento para t=0s hasta t=5s
Para t=0 s tenemos:
u=
u= 0 cm
Para t=0.02 s tenemos:
u=
u= 0.79789 cm
20. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 01:
Un sistema de 01GDL tiene las propiedades siguientes: m=0.2533 kip-s2/pulg, k=10kips/pulg. Determine las
respuestas en vibración libre sin amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s.
Datos: Aplicando la formula de velocidad para t=0s hasta t=5s
Para t=0 s tenemos:
Ù=
Ù= 40 cm/s
Para t=0.02 s tenemos:
Ù =
Ù = 39.684 cm/s
22. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 01:
Un sistema de 01GDL tiene las propiedades siguientes: m=0.2533 kip-s2/pulg, k=10kips/pulg. Determine las
respuestas en vibración libre sin amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s.
Datos: Aplicando la formula de aceleración para t=0s hasta t=5s
Para t=0 s tenemos:
ü=
ü= 0 cm/s2
Para t=0.02 s tenemos:
ü =
ü = -31.50 cm/s2
24. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 02:
Un sistema de 01GDL tiene las propiedades siguientes: m=0.2533 kip-s2/pulg, k=10kips/pulg. Determine las
respuestas en vibración libre con amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s.
Datos:
aplicamos la formula para un t=0 hasta t=5 sucesivamente
Para t=0 s tenemos:
u=
u= 0 cm
25. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 02:
Un sistema de 01GDL tiene las propiedades siguientes: m=0.2533 kip-s2/pulg, k=10kips/pulg. Determine las
respuestas en vibración libre con amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s.
Datos:
aplicamos la formula para un t=0 hasta t=5 sucesivamente
Para t=0.02 s tenemos:
u=
u= 0.792904 cm
26. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 02:
Un sistema de 01GDL tiene las propiedades siguientes: m=0.2533 kip-s2/pulg, k=10kips/pulg. Determine las
respuestas en vibración libre con amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s.
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5
Desplazamiento Elastico en el Tiempo E=0.05
Series2
27. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 02:
Un sistema de 01GDL tiene las propiedades siguientes: m=0.2533 kip-s2/pulg, k=10kips/pulg. Determine las
respuestas en vibración libre con amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s.
Datos:
aplicamos la formula para un t=0 hasta t=5 sucesivamente
formula críticamente amortiguado
esta formula aplicaremos cuando
Para t=0 s tenemos: Para t=0.02 s tenemos:
u= u=
u= 0 cm u= 0.70557 cm
28. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 02:
Un sistema de 01GDL tiene las propiedades siguientes: m=0.2533 kip-s2/pulg, k=10kips/pulg. Determine las
respuestas en vibración libre con amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s.
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
0
0.12
0.24
0.36
0.48
0.6
0.72
0.84
0.96
1.08
1.2
1.32
1.44
1.56
1.68
1.8
1.92
2.04
2.16
2.28
2.4
2.52
2.64
2.76
2.88
3
3.12
3.24
3.36
3.48
3.6
3.72
3.84
3.96
4.08
4.2
4.32
4.44
4.56
4.68
4.8
4.92
Desplazamiento Elástico en el Tiempo E=1.0
Series2
29. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 03:
El sistema mostrado tiene una constante k=40lb/in y m=38.6 lb peso. Si el sistema esta en reposo cuando la
fuerza P(t)=10 cos 10t actúa, determine la ecuación que describe el movimiento.
A Y
k P(t)=10cos10t
Sol:
Movimiento = Y(t)=C1∗sen(wt)+C2∗cos(wt)+
𝑌𝑠𝑡
1−𝑟2*cos(ŵ)*t
gravedad = 386.22047244094 in/s 2
w=
𝑘
𝑚
=
40 𝑙𝑏
38.6 𝑙𝑏
∗ 386.22𝑖𝑛/𝑠2= 20 rad/s r=
ŵ
𝑤
=
10
20
= 0.50
Yst=
𝑃𝑜
𝑘
=
10 𝑙𝑏
40 𝑙𝑏/𝑖𝑛
= 0.25 𝑖𝑛
𝑌𝑠𝑡
1−𝑟2 =
0.25
1−𝑟2=0.33 in
m
30. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 03:
El sistema mostrado tiene una constante k=40lb/in y m=38.6 lb peso. Si el sistema esta en reposo cuando la fuerza
P(t)=10 cos 10t actúa, determine la ecuación que describe el movimiento.
A Y
k P(t)=10cos10t
Condiciones iniciales: Y(t)=0 Ỳ(t)=0 t=0
O=C1sen(20*0)+C2cos(20*0)+0.33cos(10*0) Ỳ(t)=wC1cos(wt)-wC2sen(wt)-ŵ
𝑌𝑠𝑡
1−𝑟2sen(ŵt)
O=0+C2(1)+0.33(1) O=wC1cos(20*0)-wC2sen(20*0)-ŵ
𝑌𝑠𝑡
1−𝑟2sen(10 ∗ 0)
C2= -0.33in O=20C1(1)-0-0 C1=0
Respuesta: Y(t)=-0.33cos(20t)+0.33cos(10t)
m
31. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 04:
Un sistema de 01 GDL tiene una Wn=5 rad/s y un factor de amortiguación 20%. Si las condiciones iniciales son
X(0)=0, X(0)=20 in/s, determine la frecuencia amortiguada y la expresión del movimiento t>0.
k
Sol:
Frecuencia amortiguada (fd) =
𝑊𝑑
2𝞹
𝑊𝑑=Wn* 1 − 𝞷2
Wd=5 1 − 0.202 = 4.90
𝑟𝑎𝑑
𝑠
Fd=
4.90
2𝞹
= 0.78 𝐻𝑧. frecuencia amortiguada
m
32. Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 04:
Un sistema de 01 GDL tiene una Wn=5 rad/s y un factor de amortiguación 20%. Si las condiciones iniciales son
X(0)=0, X(0)=20 in/s, determine la frecuencia amortiguada y la expresión del movimiento t>0.
k
Sol:
X(t)= 𝑒−5𝑊𝑛∗𝑡
(c1cos(Wd*t)+C2sen(Wd*t)
Cuando: t=0, x(0)=0 O=𝑒0
(c1cos(0)+C2sen(0)
C1=0
X(t)=𝑒−5𝑊𝑛∗𝑡
(-Wd*C1sen(Wd*t)+ Wd*C2cos(Wd*t) - 5𝑊𝑛 ∗ 𝑒−5𝑊𝑛∗𝑡
(C1cos (Wd*t)+ C2sen(Wd*t)
O=𝑒0
(0+Wd*C2*1 - 5𝑊𝑛 ∗ 𝑒0
(0*1+C2*0)
C2=
20
4.49
=4.08 in X(t)= 𝑒−𝑡
∗ (4.08𝑠𝑒𝑛( )
4.9𝑡 )
expresión del movimiento t>0
m
33. Ejercicios de 1 GDL
A.-Un sistema vibratorio que consta de un peso de W = 10 lb y un resorte con rigidez
k = 20 Ib/in está viscosamente amortiguado de modo que la relación de dos
amplitudes consecutivas es 1,00 a 0,85. Determinar:
1.La frecuencia natural del sistema no amortiguado.
2. El decremento logarítmico.
3. La relación de amortiguamiento.
4. El coeficiente de amortiguamiento.
5. La frecuencia natural amortiguada.
1. La frecuencia natural no amortiguada del sistema en radianes por
segundo es
o en ciclos por segundo
Solución:
34. 2. El decremento logarítmico viene dado por:
3. La relación de amortiguamiento es aproximadamente igual a:
4. El coeficiente de amortiguamiento es:
36. Solución:
B.- Una plataforma de peso W = 4000 Ib está sostenida por cuatro columnas
iguales que están sujetas tanto a la cimentación como a la plataforma.
Experimentalmente se ha determinado que una fuerza estática de F = 1000 Ib
aplicada horizontalmente a la plataforma produce un desplazamiento de ∆ = 0.10 in.
Se estima que el amortiguamiento en las estructuras es del orden del 5% del
amortiguamiento crítico. Determinar para esta estructura lo siguiente:
1.- Frecuencia natural no amortiguada.
2. Coeficiente de amortiguamiento absoluto
3. Decremento logarítmico.
4. El número de ciclos y el tiempo requerido para que la amplitud de movimiento se
reduzca de un valor inicial de 0,1 a 0,01 pulg.
1. El coeficiente de rigidez (fuerza por unidad de desplazamiento) se
calcula como y la frecuencia natural no
amortiguada
37. 2. El amortiguamiento crítico
es
y la amortiguación absoluta
3. Aproximadamente, el decremento logarítmico
es
38. y la relación de dos amplitudes
consecutivas
4. La relación entre la primera amplitud Uo y la amplitud Uk
después de k ciclos se pueden expresar como
Luego tomando el logaritmo natural, obtenemos
39. La frecuencia amortiguada ωD viene dada
por
y el periodo amortiguado TD , está dado por:
Entonces el tiempo para ocho ciclos
es
40. C.- Una máquina que pesa 1000 Ib está montada sobre resortes que tienen una rigidez
total k = 2000 Ib/in a una viga apoyada simple como se muestra en la figura (a).
Determine usando el modelo analítico que se muestra en la figura (b) la masa
equivalente mE, el resorte equivalente constante kE y el coeficiente de amortiguamiento
equivalente CE para el sistema que se supone tienen el 10% del amortiguamiento
crítico. Desprecie la masa de la viga.
(a) Sistema para el ejemplo
ilustrativo (b) Modelo analítico.
41. Solución:
La constante de resorte kb para una viga uniforme simple apoyada
se obtiene de la deflexión d resultante de una fuerza P aplicada en el
centro de la viga:
Por eso:
42. Luego se calcula la constante de resorte equivalente usando la
ecuación, para dos resortes en un serie:
La masa equivalente es:
El amortiguamiento crítico se calcula a partir de la ecuación
:
43. A continuación, se calcula el coeficiente de
amortiguamiento CE a partir de la ecuación: