Presentación- Tema 3-Parte b-2021.pdf

1
26/08/2021
Oscar A. López, IMME, FI, UCV
Ingeniería Sismorresistente
Tema 3, Parte b
Postgrado IMME- FI-UCV
K-λ1m ϕ1 = 0

2
.
Vibración Libre
•Sistemas sin amortiguamiento
•Desplazamiento inicial arbitrario u1(t=0) y u2(t=0)
AK. Chopra , Cap. 10
OA López- Clase Postgrado Ingeniería Sismorresistente

3
.
Vibración Libre
•Vibración en el modo 1
1
1 ̂
.
)
t
(
q
)
t
(
û 

4
.
Vibración Libre
•Vibración en el modo 2
2
2 ̂
.
)
t
(
q
)
t
(
û 

5
.
Cálculo de Modos de Vibración
• Cálculo de períodos de vibración
0
)
(
0
)
.
(



i
i
p
m
K
Det


λ1 2 …i ….N
i
i
i
i T




2
2


T1 T 2 …  Ti …  TN
1   2 …  i ….  N
0̂
ˆ
)
m
.
K
( i
i 
 

i
i
ˆ
.
)
t
(
q
)
t
(
û 


6
.
• Cálculo de las formas modales
0̂
ˆ
)
m
.
K
( i
i 
 
















Ni
i
2
i
1
i
.
ˆ




•Sistema de ecuaciones homogéneas
•(N-1) ecuaciones independientes con N incógnitas
• Normalización:
• Ni=1
• En programas:
1

i
t
i
ˆ
m
ˆ 
 i
i
t
i
i
ˆ
ˆ
m
ˆ
ˆ 



1

Cálculo de Modos de Vibración

7
.
Ortogonalidad de modos
• Ortogonalidad















Ni
i
2
i
1
i
.
ˆ




𝑖
𝑡
𝐾 𝑗
= 0
𝑖
𝑡
𝑀 𝑗
= 0

8
.
Pórtico de dos pisos
•m = 20 K /cm /s2 ( W = 19,62 t ) H = 300 cm
•Columnas de 30 x 30 cm2 en piso 2; E = 250 t/cm2
•Vigas rígidas
H
H

9
.
Matriz de masa:
𝑚 =
0,040
0,020
𝑡
𝑐𝑚 𝑠2
Matriz de rigidez
k = 24
EI
H3
= 15 t
cm
𝐾 =
3𝐾 −𝐾
−𝐾 𝐾
=
45 −15
−15 15
𝑡
𝑐𝑚

.
Frecuencias y períodos de vibración :
Det K − im = 0
i = i
2
i = Autovalore𝑠 i = Frecuencias
K − im i
= 0
Modos de vibración:
Solución del Sistema de ecuaciones homogéneas

11
.
Frecuencias y períodos de vibración :
1 = 19,36 seg-1
2 = 38,73 seg-1
T1 = 0,3245 seg T2 = 0,1622 seg
Modos de vibración :
𝜙1 =
1
2
1
𝑐𝑚 𝜙2 =
−1
1
𝑐𝑚

12
.
Ejemplo de edificio simétrico
Edificio de un piso:
L
L
2L
2L












u
u
u
û y
x
• W=300 t
• L= 6 m
• Ko=12,5 t/cm
OA López- Clase Postgrado Ingeniería Sismorresistente, 2017
ux
u
uy

13
.
Masas
Matriz de masa:
ux
u
uy











J
M
M
m 











u
u
u
û y
x











.cm
t.s
10
35
18
0
0
0
/cm
t.s
30581
0
0
0
0
/cm
t.s
30581
0
2
4
2
2
x
,
,
,
m
2 2
k
m
J = (Lx +Ly )
12

14
.
Rigideces











0
0
1
û
Kxx=6Ko Kyx=0 K x=0
Kxx
K x
Kyx
Cálculo de la matriz de rigidez

15
.
Rigideces











0
1
0
û
Kxy=0 Kyy= 5 Ko K y= = 0
Kxy
K y
Kyy

16
.
Rigideces











1
0
0
û
Kx =0 Ky = 0 K = 14 KoL2
Kx
K
Ky

17
.
Matriz de rigidez
Matriz de rigidez
K =
6 K0 0 0
0 5 K0 0
0 0 14K0L2
ux
u
uy

18
.
Modos y períodos de vibración











J
M
M
m












u
u
u
û y
x
K =
6 K0 0 0
0 24 K0 0
0 0 14K0L2
K-λ1m ϕ1 = 0
ux
u
uy

19
.
Autovalores y autovectores
• Cálculo de autovalores, frecuencias y períodos de vibración
1 = 6 K0 / M 1 = 15,61 s-1 T1 = 0,40 s
2 = 5 K0 / M 2 = 14,3 s-1 T2 = 0,44 s
3 = 8,4 K0 / M 3 = 18,5 s-1 T3 = 0,34 s
𝑑𝑒𝑡 𝐾 − λ m =
6 K0 − 𝜆. 𝑚 0 0
0 5 K0-𝜆.m 0
0 0 14K0 L2
-
5
3
mL2
. 𝜆
= 0
Numeración: Modo 1 es el de menor frecuencia
1 = 5 K0 / M 1 = 14,3 s-1 T1 = 0,44 s
2 = 6 K0 / M 2 = 15,61 s-1 T2 = 0,40 s
3 = 8,4 K0 / M 3 = 18,5 s-1 T3 = 0,34 s

20
.
• Cálculo de modos de vibración: K-λ1m ϕ1 = 0
k0 0 0
0 0 0
0 0 5,67k0 L2
𝜙𝑥1
𝜙𝑦1
𝜙𝜗1
=
0
0
0
x1 = 0 ; y1 = 1 cm ; 1 = 0
Modo 1: 1=5 k0/m
Modo 1
3
=
0
0
1
2
=
1
0
0
1
=
0
1
0

21
.
Ejemplo de Edificio con Torsión
2K0
2K0
2K0
20K0 K0 K0 K0 K0
Edificio de un piso:
L
L
2L
2L












u
u
u
û y
x
• W=300 t
• L= 6 m
• Ko=12,5 t/cm

22
.
Masas
Matriz de masa:
ux
u
uy











J
M
M
m












u
u
u
û y
x











.cm
t.s
10
35
18
0
0
0
/cm
t.s
30581
0
0
0
0
/cm
t.s
30581
0
2
4
2
2
x
,
,
,
m
2 2
k
m
J = (Lx +Ly )
12

23
.
Rigideces











0
0
1
û
Kxx=6Ko Kyx=0 K x=0
Kyx
2K0
2K0
2K0
20K0 K0 K0 K0 K0
Kxx
K x
Kyx

24
.
Rigideces











0
1
0
û
Kxy=0 Kyy=24 Ko K y= = -38KoL
Kyx
2K0
2K0
2K0
20K0 K0 K0 K0 K0
Kxy
K y
Kyy

25
.
Rigideces











1
0
0
û
Kx =0 Ky = -38KoL K = 90KoL2
Kyx
2K0
2K0
2K0
20K0 K0 K0 K0 K0
Kx
K
Ky

26
.
Matriz de rigidez
Matriz de rigidez
2K0
2K0
2K0
20K0 K0 K0 K0 K0
ux
u
uy
K =
6 K0 0 0
0 24 K0 -38𝐾0L
0 -38𝐾0L 90K0L2

27
.
Modos y períodos de vibración
ux
u
uy











J
M
M
m












u
u
u
û y
x
K =
6 K0 0 0
0 24 K0 -38𝐾0L
0 -38𝐾0L 90K0L2
K-λ1m ϕ1 = 0

28
.
Autovalores y autovectores
• Cálculo de autovalores, frecuencias y períodos de vibración
6 K0 – λ m = 0 → λ = 6 K0 / M = 245,2583
(5 ML2) λ 2 – ( 130 MK0L2) λ + 716 K0
2L2 = 0
3
1 = 5,964 K0 / M 1 = 15,61 s-1 T1 = 0,402 s
2 = 6 K0 / M 2 = 15,66 s-1 T2 = 0,401 s
3 = 72,036 K0 / M 3 = 54,26 s-1 T3 = 0,116 s
𝑑𝑒𝑡 𝐾 − λ m =
6 K0 − 𝜆. 𝑚 0 0
0 24 K0-𝜆.m -38K0 L
0 -38K0 L 90K0 L2
-
5
3
ML2
. 𝜆
= 0

29
.
1,4715 0 0
0 737,22 -931.951,21
0 -931.951,21 1.178.084,43x103
𝜙𝑥1
𝜙𝑦1
𝜙𝜗1
=
0
0
0
x1 = 0 ; y1 = 1 cm ; 1 = 7,9107 x 10-4
rad
1
4
0
ˆ 1
7,91*10


 
 

 
 
 

CM
CM’
1
1
TRASLACIÓN
PREDOMINANTE
Modo 1:
Modo 1

30
.
Modo 2:
0 0 0
0 18K0 -38K0L
0 -38K0L 80K0L2
ϕx2
ϕy2
ϕθ2
=
0
0
0
ϕ x2 = 1 cm ; ϕ y2 = 0 ; ϕ 2 = 0
1
2
1
ˆ 0
0

 
 

 
 
 
1
CM CM’
Modo 2

31
.
• Cálculo de modos de vibración:
Modo 3
K-λ3m ϕ3 = 0
Modo 3:
1
-825,45 0 0
0 -600,45 -285.000
0 -285.000 -135.270x 103
x3
y3
θ3
=
0
0
0
x3 = 0 ; y3 = 1 cm ; 3 = - 2,1068 x 10-3
rad
ROTACIÓN
PREDOMINANTE
CM
CM’













rad
x
,
cm
ˆ
3
3
10
1068
2
1
0


32
.
Ejemplo: Columna en voladizo
3 2
2
12 12
0
12 13
0
0 0
EI EI
L L
EI EI
K
L L
AE
L

 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
12
M
ML
m
M
 
 
 
 
 
 
 
  ˆ 0
K m
 
 
CM
2
3
1
• Modos de vibración; Sistema de 3 GDLd
OA López- Dinámica de Estructuras e Ingeniería Sísmica- Abril, 2013

33
.
12 12
0
3 2
2
12 13
det 0 0
2 12
0 0
EI EI
M
L L
EI EI ML
L
L
AE
M
L



 

 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
2 2 2 2
14 12
2 0
4
12
M L EI E I
M
L L
 
  
Columna en voladizo
Autovalores:

34
.
 
 
3
84 48 3 0,86156 /
1 3
3
84 48 3 167,138 /
2 3
3
EI
EI ML
ML
EI
EI ML
ML
AE
LM



  
  

3
0,928203 6,76919
1 1
3
3
12,928203 0,486
2 2
3
6, 283
3 3
 
 
 
EI ML
rad T seg
seg EI
ML
EI ML
rad T seg
seg EI
ML
AE LM
rad T seg
seg
LM AE



Columna en voladizo
Autovalores:

35
.
a) Modo 1
12 12
0,86156
3 3 2 0
11
2 0
12 21
13 0,86156
2 3 12
EI EI EI
M
L ML L
EI EI EI ML
L
L ML


 

 
   
  
   
 
 
 
 

 
 
0
31
 
11,138493 12
2 0
11
0
12 21
12,92822
L
EI L
L
L


 
    
  
   
   
 
 
 
1
11
0,9282
21
0
31
L






.1
0,9282/L
.
CM
Columna en voladizo

36
.
a) Modo 2
12,9282/L
.1
.
CM
12 12
167,1384
3 3 2 0
12
2 0
12 13 22
167,1384
2 3 12
EI EI EI
M
L ML L
EI EI EI ML
L
L ML


 

 
   
  
   
 
 
 
 

 
 
155,13844 12
2 0
12
0
12 22
0,928203
L
EI L
L
L



 
    
  
   
   
 

 
 
1
12
12,9282
22
0
32
L






Columna en voladizo

37
.
• Modos de vibración:
a) Modo 3
0
13
0
23
1
33






1
Columna en voladizo

38
.
Ejemplo: Modos verticales
• Modos de vibración horizontal y vertical; Sistema de 5 GDLd

39
.
Ejemplo
• Modos de vibración horizontal y vertical
• Pórtico de 2 pisos con 10 GDLd

40
.
Ejemplo
• Modos de vibración horizontal y vertical
• Pórtico de 2 pisos con 10 GDLd

41
.
Propiedades dinámicas: N GDLd
 Periodos y Modos de vibración:
; N GDLd N
Modos
N
T1  T2TN ; Ti=2i
, , 
Modo 1 Modo 2


  0
m
k i
2
i
ˆ
ˆ 
 

1
ˆ
2
ˆ
N
ˆ




u
u1







22
12
2
2
2
T



 ˆ
,
,







21
11
1
1
1
T



 ˆ
,
,
  ˆ ˆ

2
i i
k-ω m =0
Períodos y modos de vibración: i = 1 hasta N

42
.
Propiedades dinámicas
Modo 1 Modo 2
d:
ambién satisface la ortogonalidad
 
u1







22
12
2
2
2
T



 ˆ
,
,







21
11
1
1
1
T



 ˆ
,
,
0
m j
t
i


 ˆ
ˆ
0
k j
t
i


 ˆ
ˆ
0
c j
t
i


 ˆ
ˆ
j
i 
j
i 
j
i 
  ˆ ˆ

2
i i
k-ω m =0
 Períodos y modos de vibración:
i = 1 hasta N
 Ortogonalidad de modos:
 Amortiguamiento en cada modo: i
Fracción de amortiguamiento crítico en modo i

43
.
Participación de cada modo
t
i x
xi t
i i
ˆ
ˆ m b
ˆ ˆ
m

 
 
 Factores de participación, del modo i para sismos x, y, z:
i = 1 hasta N
t
i y
yi t
i i
ˆ
ˆ m b
ˆ ˆ
m

 
 
t
i z
zi t
i i
ˆ
ˆ m b
ˆ ˆ
m

 
 
• Dependen de la normalización del modo
• Tienen unidades

44
.
Masas participativas
t 2
i x
xi t
i i
ˆ
ˆ
( m b )
ˆ ˆ
m

 
 
 Masa participativa del modo i para sismos x, y, z:
i = 1 hasta N
t 2
i y
yi t
i i
ˆ
ˆ
( m b )
ˆ ˆ
m

 
 
t 2
i z
zi t
i i
ˆ
ˆ
( m b )
ˆ ˆ
m

 
 
• No dependen de la normalización del modo
• Tienen unidades de masa
N N N
xi yi zi
i 1 i 1 i 1
Masa total
  
     
  

45
.
Ejemplo: Edificio de 16 pisos
• Edificio de 16 pisos
moderadamente regular
• Modelo de 1 GDLd
por piso
Grases-López-Hernández, Ref. 17

46
.
Dimensiones de
Pórticos 1 y 4
Edificio de 16 pisos

47
.
Modos de vibración 1 GDLd/piso Dirección x

48
.
Modos de vibración 1 GDLd/piso Dirección y

49
.
Planta tipo
Edificio de 9 pisos
Grases-López-Hernández, Ref. 17

50
.
•Modelo de 3 GDLd/piso
•Tres primeros modos;
desplazamientos de las plantas
Edificio de 9 pisos

51
.
•Modos de vibración
•Tres primeros modos
Edificio de 9 pisos

52
.
•Modos de vibración
•Modos 5, 7 y 9
Edificio de 9 pisos

53
.
•Períodos (s)
•Factores de
Participación
• Masas
Participativas
Edificio de 9 pisos

54
.
• Organización del cálculo
• Ante varias componentes sísmicas
Método de Superposición Modal

55
.
Método de Superposición Modal

56
.
Respuesta de un edificio regular
Acelerograma de El Centro, 1940, N-S
Chopra 2012
• vigas rígidas
• m= 45,4 t/g k= 5,64 t/cm
• =5% en cada modo
masa
rigidez
de entrepiso

57
.
• Modos de vibración, normalizados tal que:
T1 = 2 s
βx1=88 %
T2 = 0,68 s
βx2=8,72 %
T3 = 0,43 s
βx3=2,42 %
T4 = 0,39 s
βx4=0,74 %
T3 = 0,30s
βx5=0,16 %
Chopra 2012
1

i
t
i
ˆ
m
ˆ 


58
.
• Respuesta dinámica; contribución de cada modo
Cortante en la base Cortante en el piso 5
Chopra 2012
RHA

59
.
Ejemplo: Edificio regular
Desplazamiento en el Piso 5 Momento de volcamiento

60
.
Respuesta de un edificio con apéndice
• Edificio igual al anterior, pero con un apéndice
• m5 = 0,01 m
• k5 = 0,012 k
Chopra 2012
βx1=48,6 % βx2=40,7 % βx3= 8,3 % βx4=1,9% βx5=0,4 %

61
.
Ejemplo: Edificio con apéndice
Cortante en la base Cortante en el piso 5

62
.
Análisis espectral (RSA)
b̂
i

1) Vector dirección del sismo:
2) Matrices:
3) Estimar amortiguamiento en cada modo:
4) Períodos y modos de vibración:
5) Factores de participación de cada modo:
Seleccionar número de modos: NM
βi  0,95 MT
k
,
m
i
i
ˆ
T 
i
i 

Organización del cálculo:
Para una componente sísmica dada por un espectro A

63
.
Análisis espectral
6. Respuesta máxima en el modo i
T
Ai = A (T = Ti y  = i)
Di = Ai (Ti / 2)2
Vector desplazamiento:
Desplazamiento en piso k:
Vector fuerza:
Fuerza en piso k:
Cortante en la base:
0
0.5
1
0 0.5 1 1.5
Período (s)
A(g)
Cualquier respuesta r: por estática en cada modo

.
Análisis espectral
7. Respuesta máxima probable:
Combinación de máximos modales: CCC
T
2
1
1 1
/
j
i
ij
N
i
N
j
)
r
r
(
r 

 
 2
2
2
2
2
3
2
1
4
1
1
8
)
a
(
a
)
a
(
a
)
a
( /
ij








2
1
2
1
12
2
2
2
1 2 /
)
r
r
r
r
(
r 



8. Combinación de respuestas a varias componentes sísmicas:
rx= respuesta máxima probable a sismo x
ry= respuesta máxima probable a sismo y

65
.
Análisis espectral
T
fy u
f
Inelástico
um
uy
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.5 1
Tn (s)
9. Con espectro reducido (R1):
R1
Desplazamientos totales:
Fuerzas y desplazamientos a nivel de cedencia: fy uy

66
.
Correlación de respuestas modales
2
2
2
2
2
3
2
1
4
1
1
8
)
a
(
a
)
a
(
a
)
a
( /
ij








j
i
a



Chopra 2012

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