Sistemas dinamicos

1. 3.-ANALISIS DE SISTEMAS DINAMICOS
3.1.- INTRODUCCION
3.2.-SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES INVARIANTES EN
FUNCION DEL TIEMPO.
3.2.1.- FUNCION ESCALON UNITARIO, FUNCION IMPULSO UNITARIO,
FUNCION RAMPA.
3.2.2.- RESPUESTA EN SISTEMAS DE PRIMER ORDEN.
3.2.3.- RESPUESTA EN SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.
3.2.4.- RESPUESTA EN SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR.
3.3.- VARIABLES DE ESTADO.
3.3.1.- MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS.
3.3.2.- ECUACION DE TRANSICIÓN DE ESTADOS.
3.3.3.- RELACION ENTRE LAS ECUACIONES DE ESTADO Y LAS
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA.
3.3.4.- DESCOMPOSICIONES DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA.
3.3.5.- ECUACIÓN CARACTERISTICA, VALORES Y VECTORES
CARACTERISTICOS.
3.3.6.- TRANSFORMACIONES DE SIMILITUD.

2. ANALISIS DE SISTEMAS DINAMICOS
Durante el estudio de un sistema dinámico resulta de gran importancia, siendo este
el fin en si mismo, llegar a la etapa de solución o definición a cerca de la
operatividad (funcionamiento en condiciones normales) del objeto de estudio. Por
tanto, es necesario, dominar algunas técnicas de solución que permitan conocer el
comportamiento o respuesta bajo la acción de varias entradas y con distintos
valores de los parámetros del sistema.
Observemos primero que la respuesta de un sistema, esta sujeto a la intervención
o no de una perturbación externa. Es decir, un sistema tendrá necesariamente dos
tipos de respuestas; en primer término se considera que se presenta la respuesta
natural, en ausencia de entradas externas y en segundo término tenemos la
respuesta forzada del estado de equilibrio bajo influencia de perturbaciones.
Que decimos entonces, que la respuesta global o total de un sistema dinámico
esta integrada por la suma de la respuesta natural y la forzada. Análogamente en
matemáticas, decimos que la solución general de un modelo, es la suma de la
solución homogénea y la solución particular; que satisfaga las condiciones
iniciales.
x (t) = xc (t) + xp (t) Solución General

3. ωω bJ −=
•
0=+
•
ωω bJ
ω(0) = ω0
Ec. 3.1
Al resolver la ecuación (3.1), podemos suponer que:
ω (t) = ω0 eλt
Ec (3.2)
La diferenciación de ambos lados de la Ec (3.2) con respecto a t tenemos:
000 =+ tt
ebeJ λλ
ωλω
Ahora sustituyendo en Ec 3.1 :
Puesto que ω0eλt
≠ 0, la ecuación anterior se simplifica a:
J λ + b = 0
que se conoce como ecuación característica del sistema, y despejando λ :
λ= - b/J
sustituyendo este valor en la ecuación (3.2) finalmente se tiene:
ω(t) = ω0 e-(b/J)t
Ec. (3.6)
La velocidad angular decrece exponencialmente
Respuesta Libre

4. ω
ω0
0.368ω0
ω0e-(b/j)t
0
tT
Curva de velocidad angular del sistema rotor.
Cuando la respuesta es de decrecimiento exponencial, es conveniente referir la
respuesta en términos de una constante de tiempo.
Una constante de tiempo es aquel valor de tiempo que hace al exponente igual a
-1.
En este sistema, la constante de tiempo T es igual a J/b, y cuando t = T, el valor
del factor exponencial es
e-T/T
= e-1
= 0.368
Es decir, cuando el tiempo t en segundos es igual a la constante de tiempo, el
factor exponencial se reduce aproximadamente a 37% de su valor inicial, como se
muestra en la figura anterior.

5. Funciones especiales de entrada:
Escalón.-
Se define como escalón unitario cuando
Us (t) = 0 en t ≤ 0
Us (t) = 1 en t > 0
es decir, su magnitud vale cero para todo valor del tiempo excepto
para t > 0. Observe que el escalón general de magnitud u0 se obtiene
al multiplicar el escalón unitario por u0.
U (t)
t
u0
ts = 0
cero
u (t) = u0 Us (t)
U (t)
t
u0
0
cero
u (t) = u0 Us (t- ts)
ts

6. Ejemplos de sistemas físicos cuya salida se aproxima a una función
escalón:
1.-Interruptor encendido/ apagado que físicamente esta conectado a una fuente de
voltaje. La salida es cero en tanto que el interruptor permanezca abierto. La salida
se convierte de manera instantánea en no cero y al cerrar el citado interruptor.
2.- Al sumergir un medidor de temperatura de mercurio en un medio cuya
temperatura es X+x b; siendo x la variación de temperatura entre el ambiente y el
medio.
3.- La apertura o cierre súbitos de una válvula es una entrada escalón aproximada.
4.- Aplicar el sistema de frenado a un elemento giratorio, en forma instantánea con
una fuerza constante.

7. Rampa.-
Una entrada rampa que comienza en cero es una línea recta con pendiente u0,
es decir,
u (t) = u0 t = u0 UR (t)
donde UR (t) es una rampa con pendiente =1, comenzando en cero.
t
u (t)
∫=
t
sR d)(Uu)t(u
0
0 ττ
1
u0
t >0
En términos de Laplace
f (t) =0 para t<0
=u0 t para t≥0
L [u0 t ] = u0 /s2

8. Función Impulso.
Esta es una versión de la función pulso, para visualizar esta función,
consideremos un pulso degenerado.
Consideremos un pulso de amplitud Tp y magnitud u que ocurre en t=ts. El área
bajo el pulso es A= uTp, una entrada impulso de fuerza (área) A que ocurre en
t=ts ; resultará del límite cuando el ancho del pulso se vuelva arbitrariamente
pequeño mientras el área permanece constante en A.
L [f (t) ] = A
La función impulso cuya área es la unidad se conoce como función impulso
unitario o función Delta de Dirac, la cual ocurre cuando t=t0, se indica por,
δ (t-t0) =0 para t ≠ t0
δ(t-t0) =∞ para t = t0
∫
∞
∞−
=− 10 dt)tt(δ

9. Ejemplo 3.1.-
Considere un modelo de rotor con velocidad constante y amortiguamiento
viscoso al cual se la aplica un par de frenado.
J= 40.8 kg.m2
b= 0.408 N.m.s
ω0=50 rad /s
Una frenada completa es igual a un momento de frenado de 800 N.M.
Obtenga el comportamiento de la velocidad angular bajo las siguientes
criterios:
a.- Se aplica de forma súbita ¼ del momento de frenado, se mantiene
durante 8 segundos y luego se suelta.
b.- El freno se aplica de forma gradual, aumentando linealmente desde
cero hasta el punto medio de un frenado completo durante un período de 8
segundos y luego se suelta.
SISTEMAS DINAMICOS DE PRIMER GRADO

10. c.- Se aplica un frenado completo durante sólo 2 segundos, y luego se suelta.
d.- El momento de frenado aumenta linealmente desde cero hasta la mitad de
un frenado completo en 4 s, y luego se suelta de manera lineal hasta cero,
durante otros 4 segundos.

11. Ejemplo 3.2.-
Imagine un termómetro de mercurio que presenta una temperatura uniforme Θ K
(ambiente) y que en t=0 se le sumerge en un medio (agua) cuya temperatura se
define como Θ + θb K, (θb es la diferencia entre la temperatura del agua caliente y
la del ambiente.)
La temperatura instantánea del termómetro es Θ + θ K, observemos que θ es el
cambio de temperatura en el termómetro que satisface la condición θ(0)= 0.
Deseamos encontrar la respuesta θ(t) cuando la temperatura del medio sea
constante o θb sea constante.
Consideremos el siguiente modelo matemático:
b
dt
d
RC θθ
θ
=+
Tomando la transformada de Laplace:
)()()0()( sssRCS bΘ=Θ+Θ−Θ

12. Análisis de respuesta transitoria en sistemas de segundo orden.-
Considerando un sistema resorte-masa- amortiguador, podemos observar los
casos en los que se puede presentar el amortiguamiento de este tipo de
sistemas.
ms2
+ b s + k = 0
m
mkbb
s
2
42
−±−
=
a) Subamortiguado: b2
< 4mk,
-Las raíces son complejas conjugadas.
-La respuesta es una senoide que decrece exponencialmente.
b) Críticamente amortiguado: b2
= 4mk, es decir el coeficiente b se
incrementa ligeramente.
-Las dos raíces de la ecuación son iguales
-b= 2 (m k)1/2
c) Subamortiguado: El valor de b aumenta más de manera que:
-se tienen raíces reales.

14. Para un sistema masa-resorte-amortiguador, determine la frecuencia
observada en la vibración y la amplitud cuatro ciclos después de que la masa
se desplaza 0.08m y se suelta sin velocidad inicial. Considere m= 10 kg, b= 20
Ns/m y K= 100 N/m

15. Determinación experimental del factor de amortiguamiento
relativo
Amplitud entre dos ondas consecutivas
Relación entre la primer onda y la n amplitud estabilidad:
El logaritmo de dos amplitudes sucesivas se llama decremento logarítmico,
así:

16. TIEMPO DE ASENTAMIENTO
Donde T es la constante
de tiempo

17. EXAMEN
1).- La masa m de 1 kg está vibrando inicialmente en el sistema mecanico mostrado. En t=0
golpeamos la masa con una fuerza impulsiva p(t) cuya magnitud es de 10N. Suponiendo que la
constante del resorte K es de 100 N/m y que x(0)= 0.1 m, (0)= 1 m/s, encuentre el desplazamientoẋ
como función del tiempo t. El desplazamiento x(t) se mide desde la posición de equilibrio en
ausencia de la fuerza de excitación.
Una vibración libre del sistema mecánico indica que la amplitud de la vibración decrece a 25% de su
valor en t=to después de cuatro ciclos consecutivos de movimiento. Determine el coeficiente de
fricción viscosa b del sistema si m=1kg y K= 500n/m.

18. Una vibración libre del sistema mecánico indica que la amplitud de la vibración decrece a 25% de su
valor en t=to después de cuatro ciclos consecutivos de movimiento. Determine el coeficiente de
fricción viscosa b del sistema si m=1kg y K= 500n/m.