El documento trata sobre oscilaciones armónicas simples. Explica conceptos como período, frecuencia, amplitud y ecuaciones de posición, velocidad y aceleración para el movimiento armónico simple. Luego presenta varios ejercicios resueltos sobre oscilaciones de partículas y masas colgadas de muelles que oscilan libremente.

1. TEMA 1
OSCILACIONES

2. MAGNITUDES DEL M.A.S.
PERIODO (T) FRECUENCIA (f)
AMPLITUD (A)

3. CINEMÁTICA DEL M.A.S.
PERIODO (T). Es el tiempo que tarda el
movimiento en repetirse. Se mide en s.
FRECUENCIA (f). Es el número de vibraciones
completas que la partícula realiza en uncompletas que la partícula realiza en un
segundo. Se mide en s-1 (Hz).
AMPLITUD (A). Es el valor máximo que puede
tomar la elongación.

4. CINEMÁTICA DEL M.A.S.
Ecuación de posición:
x: Elongaciónx: Elongación
A: Amplitud
(ωt + ϕ): Fase en cualquier instante.
Se mide en rad.
ϕ: Fase inicial o constante de fase
ω: Frecuencia angular

5. CINEMÁTICA DEL M.A.S.
Ecuación de posición:
La frecuencia angular (ω) se mide en rad/s. Su valor
depende de la rapidez con que suceden las oscilaciones.depende de la rapidez con que suceden las oscilaciones.

6. CINEMÁTICA DEL M.A.S.
Ecuación de posición:
Ecuación de velocidad:
Ecuación de aceleración:

7. EJERCICIO 1
Una partícula animada de M.A.S. inicia el movimiento en el
extremo (+) de su trayectoria y tarda 0,25 s en llegar al centro de
la misma. La distancia entre ambas posiciones es de 10 cm.
Calcula:
a) El período y la frecuencia del movimiento.a) El período y la frecuencia del movimiento.
b) El número de vibraciones que realiza en un minuto.
c) Las constantes del movimiento.
d) La posición de la partícula 0,5 s después de iniciado el
movimiento.

8. SOLUCIÓN EJERCICIO 1
a) T = 1 s
f = = 1 Hz
1
T
b)
N = = 60 vibraciones
t
T
A = 10 cm
c) A = 10 cm = 0,1 m
ω= 2π f = 2π rad/s
ϕ = π/2 rad
x(t) = 0,1 · sen (2π t + π/2) (en S.I.)
x(0,5 s) = 0,1 · sen (2π 0,5 + π/2) = - 0,1 md)

9. EJERCICIO 2
Una partícula se mueve con M.A.S. entre dos puntos distantes
entre sí 20,0 cm y realiza 4 vibraciones en un segundo. Si la
partícula en el instante t = 0 se encuentra en la posición x = A/2 y
se dirige hacia el extremo (+), calcula:
a) La ecuación del movimiento.a) La ecuación del movimiento.
b) En qué instante pasa por primera vez por la posición de
equilibrio.
c) En qué instante alcanzará por primera vez el valor máximo de
x.

10. SOLUCIÓN EJERCICIO 2
a) f = 4 Hz
ω = 2π f = 8π rad/s
xo = A/2 = A · sen ϕ; ϕ = π/6 rad
x(t) = 0,1·sen (8π t + π/6) (en S.I.)
b) 0 = 0,1·sen (8π t + π/6)
8π t + π/6 = π
8π t = 5π/6
A = 10 cm
20 cm
8π t = 5π/6
t = 5/48 s = 0,104 s
c) 0,1 = 0,1·sen (8π t + π/6)
8π t + π/6 = π/2
8π t = 2π/6
t = 2/48 s = 4,17·10-2 s

11. EJERCICIO 3
Un oscilador armónico vibra de forma que, para t = 0, se
encuentra a 4,0 cm de la posición de equilibrio con una velocidad
v0 = 87 cm/s. Si la frecuencia del movimiento es de 2,0 Hz, calcula:
a) La constante de fase y la amplitud del movimiento.
b) La elongación y la velocidad en el instante t = 0,5 s.b) La elongación y la velocidad en el instante t = 0,5 s.
c) El valor máximo de la velocidad.

12. SOLUCIÓN EJERCICIO 3
a) 0,04 = A · sen ϕ
0,87 = 4π · A · cos ϕ
x(t) = 0,08·sen (4π t + π/6) (en S.I.)
b) x(0,5 s) = 0,08·sen (4π·0,5+ π/6) = 0,04 m
v(t) = 0,32π·cos (4π t + π/6) (m/s)
0,04
0,87
1
· tg ϕ
4π
=
ϕ = π/6 rad
0,04 = A · sen π/6
A = 0,08 m
v(t) = 0,32π·cos (4π t + π/6) (m/s)
v (0,5 s) = 0,87 m/s
c) vmáx. = ± 0,32π = ± 1,0 m/s

13. EJERCICIO 4
Un oscilador tiene una amplitud de 15 cm y alcanza una velocidad
máxima de 8,0 m/s. ¿Cuánto vale la aceleración máxima? ¿Qué
velocidad y qué aceleración tiene el oscilador cuando se
encuentra a 5,0 cm de la posición de equilibrio?

14. SOLUCIÓN EJERCICIO 4
a) vmáx. = ω·A
8,0 = ω · 0,15; ω = 53,3 rad/s
amáx. = ± ω2·A = ± 426,1 m/s2
b) x(t) = A·sen (ωt)
0,05 = 0,15·sen(53,3·t)
t = 6,38·10-3 s
c) v(6,38·10-3 s) = ω·A·cos(ω·t) = 53,3·0,15·cos(53,3·6,38·10-3) = 7,54 m/s
a(6,38·10-3 s) = -ω2·A·sen(ω·t) = -53,32·0,15·sen(53,3·6,38·10-3) = -142,1 m/s2

15. EJERCICIO 5
La ecuación de un M.A.S. viene dada por x = 0,2 sen 20t en
unidades del SI.
a) Escribe la ecuación de la velocidad.
b) ¿Qué valor máximo alcanza la aceleración?
c) Expresa la ecuación anterior en función del coseno.c) Expresa la ecuación anterior en función del coseno.

16. SOLUCIÓN EJERCICIO 5
a) v = 20·0,2·cos 20t = 4·cos 20t (m/s)
a = -20·4·sen 20t = - 80·sen 20t (m/s2)
amáx. = ± 80 m/s2
b)
c) x = 0,2 · cos (20 t - π/2) (en m)
v = - 4 · sen (20 t – π/2) (m/s)
a = - 80 · cos (20 t – π/2) (m/s2) ; amáx. = ± 80 m/s2

17. DINÁMICA DEL M.A.S.
Todo sistema que se mueva de forma que su aceleración sea
proporcional y de sentido contrario a la posición recibe el
nombre de OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE.
El M.A.S. es acelerado (a > 0) cuando la partícula que vibra seEl M.A.S. es acelerado (a > 0) cuando la partícula que vibra se
dirige hacia la posición de equilibrio, y es retardado (a < 0)
cuando se dirige hacia los extremos.

18. DINÁMICA DEL M.A.S.
FUERZA RECUPERADORA (o fuerza restauradora):
k es la constante elástica o recuperadora. Se mide en N/m.

19. EJERCICIO 6
Una partícula de 5 g de masa efectúa un M.A.S. cuyo período es 1
s. Sabiendo que en el instante t = 0 su elongación es 0,70 cm y su
velocidad 4,39 cm/s, calcula:
a) La amplitud y la fase inicial.
b) La máxima aceleración de la partícula.b) La máxima aceleración de la partícula.
c) La constante elástica.
d) La fuerza recuperadora.
e) La fuerza recuperadora máxima.
f) La posición de la partícula cuando se mueve con una velocidad
de 6,00 cm/s.

20. SOLUCIÓN EJERCICIO 6
a) xo = A · sen ϕ
vo = ω·A·cos ϕ
x(t) = 1·10-2·sen (2π t + π/4) (en m)
b) v(t) = 2·10-2π · cos (2π t + π/4) (m/s)
a(t) = - 4·10-2π2 · sen (2π t + π/4) (m/s2)
xo
vo
1
· tg ϕ
ω
=
ϕ = π/4 rad
0,70·10-2 = A · sen π/4
A = 1·10-2 m
a(t) = - 4·10-2π2 · sen (2π t + π/4) (m/s2)
amáx. = ± 0,395 m/s2
c) k = ω2 · m = 0,197 N/m ≈ 0,2 N/m

21. SOLUCIÓN EJERCICIO 6
d) Frecup. = - 0,2 · x
Frecup.,máx. = ± 0,2 · A = ± 0,2 · 1·10-2 = ± 2·10-3 Ne)
f) v = 6,00·10-2 m/s = 2·10-2 · π · cos (2π t + π/4)
2π t + π/4 = 0,955 t = 2,7·10-2 s
x(2,7·10-2 s) = 8,16·10-3 m

22. ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO
Energía cinética:
Energía potencial:Energía potencial:
Energía mecánica:

23. ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO

24. MASA COLGADA DE UN RESORTE VERTICAL
En el equilibrio:

25. MASA COLGADA DE UN RESORTE VERTICAL
Para muelles rígidos o masas
pequeñas, las oscilaciones
son rápidas.
Para muelles blandos o para
masas grandes, las
oscilaciones son lentas.

26. EJERCICIO 7
Una masa de 1,0 kg cuelga de un resorte cuya constante elástica
es k = 100 N/m y puede oscilar libremente sin rozamiento.
Desplazamos la masa 10,0 cm de su posición de equilibrio y la
soltamos para que empiece a oscilar. Calcula:
a) La ecuación del movimiento de la masa.a) La ecuación del movimiento de la masa.
b) El período de oscilación.
c) La velocidad y la aceleración máximas.
d) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra 5,0 cm
por encima de la posición de equilibrio.

27. SOLUCIÓN EJERCICIO 7
a)
x(t) = 0,100·sen (10 t + π/2) (en S.I.)
2π
m
k
w = ω = 10 rad/s
2π
b)
v(t) = 1 · cos (10 t + π/2) (m/s)
vmáx. = ± 1 m/s
a(t) = - 10 · sen (10 t + π/2) (m/s2)
amáx. = ± 10 m/s2
c)
2π
T
ω =
2π
ω
T = = 0,2π = 0,628 s

28. EJERCICIO 8
De un resorte se ha colgado una masa de 5,0 kg y se produce un
alargamiento de 18 cm. Más tarde, el sistema se estira 7,5 cm y se
suelta. Calcula:
a) La constante elástica del muelle.
b) La amplitud del movimiento.b) La amplitud del movimiento.
c) El período del movimiento.
d) La energía potencial elástica del muelle en el instante en que
se deja en libertad la masa para que vibre.

29. SOLUCIÓN EJERCICIO 8
a) m · g = k · ∆y
b) A = 0,075 m
m · g
∆y
= = 272,2 N/mk
c) srad
m
k
w /38,7==
T = 0,85 s
d) 1
2
EP= ·k·x2 = 0,766 J

30. PÉNDULO SIMPLE
Período (T):

31. EJERCICIO 2 EvAU
Un objeto está unido a un muelle horizontal de constante elástica
2·104 N/m. Despreciando el rozamiento:
a) ¿Qué masa ha de tener el objeto si se desea que oscile con una
frecuencia de 50 Hz? ¿Depende el período de las oscilaciones
de la energía inicial con que se estire el muelle? Razone lade la energía inicial con que se estire el muelle? Razone la
respuesta.
b) ¿Cuál es la máxima fuerza que actúa sobre el objeto si la
amplitud de las oscilaciones es de 5 cm?

32. SOLUCIÓN EJERCICIO 2 EvAU
a)
ω = 2π · f = 100π rad/s
Emec = = =
k
ω2
= = 202,6 gm
1
2 ·k·A2 1
2 ·m·ω2·A2
1
2 · m · · A24π2
T2
b) Fmáx. = k · ∆x = 2·104 · 5·10-2 = 103 N

33. EJERCICIO 4 EvAU
La velocidad de una partícula que describe un movimiento
armónico simple alcanza un valor máximo de 40 cm/s. El período
de oscilación es de 2,5 s. Calcule:
a) La amplitud y la frecuencia angular del movimiento.
b) La distancia a la que se encuentra del punto de equilibriob) La distancia a la que se encuentra del punto de equilibrio
cuando su velocidad es de 10 cm/s.

34. SOLUCIÓN EJERCICIO 4 EvAU
a) vmáx. = ω · A = · A
b)
= 0,159 m ; ω = 2,51 rad/sA
2π
T
22
· xAwv −=
v2 = w2 · (A2 – x2)
0,102 = 2,512 · (0,1592 – x2) x = 0,154 m

35. EJERCICIO 6 EvAU
Un muelle de masa despreciable y de longitud 5 cm cuelga del
techo de una casa en un planeta diferente a la Tierra. Al colgar del
muelle una masa de 50 g, la longitud final del muelle es 5,25 cm.
Sabiendo que la constante elástica del muelle es 350 N/m.
a) Determine el valor de la aceleración de la gravedad en laa) Determine el valor de la aceleración de la gravedad en la
superficie del planeta.
b) El muelle se separa con respecto a su posición de equilibrio 0,5
cm hacia abajo y a continuación es liberado. Determine, la
ecuación que describe el movimiento de la masa que cuelga el
muelle.

36. SOLUCIÓN EJERCICIO 6 EvAU
a) m · g = k · ∆y
b)
k · ∆y
m
= = 17,5 m/s2g
srad
m
k
w /67,83==
x(t) = 5·10-3 · sen (83,67 t + π/2) (en S.I.)

37. EJERCICIO 7 EvAU
Un muelle de constante elástica k, masa despreciable y longitud
de reposo l0 = 15 cm, que está fijado a un techo por uno de sus
extremos, sufre un estiramiento de y0 = 2 cm al alcanzar la
posición de equilibrio cuando de él se cuelga una masa de 0,5 kg.
Posteriormente se estira el muelle hasta que su longitud es de 20
cm, se suelta y se deja oscilar el sistema libremente. Determine:cm, se suelta y se deja oscilar el sistema libremente. Determine:
a) La constante elástica, k, del muelle y la frecuencia angular
natural de oscilación, ω, del sistema masa-muelle.
b) La ecuación del movimiento que describe la masa y la mínima
longitud que llega a tener el muelle a lo largo del movimiento.

38. SOLUCIÓN EJERCICIO 7 EvAU
a) m · g = k · ∆y
m · g
∆y
= = 245 N/mk
srad
m
k
w /14,22==
b) x(t) = 3·10-2 · sen (22,14 t + π/2) (en S.I.)
lmín. = 17 cm

39. EJERCICIO 8 EvAU
Un objeto de masa 0,5 kg, unido a un muelle de constante
elástica 8 N/m, oscila horizontalmente sobre una superficie sin
rozamiento con un movimiento armónico simple de amplitud 10
cm.
a) Calcule los módulos de la aceleración y de la velocidad cuandoa) Calcule los módulos de la aceleración y de la velocidad cuando
el objeto se encuentra a 6 cm de la posición de equilibrio.
b) Si el objeto comienza el movimiento desde la posición de
equilibrio en sentido positivo, ¿qué tiempo mínimo habrá
transcurrido cuando alcance una elongación de 8 cm?

40. SOLUCIÓN EJERCICIO 8 EvAU
a)
srad
m
k
w /4==
smxAwv /32,006,01,0·4· 2222
=−=−=
a = ω2 · x = 42 · 0,06 = 0,96 m/s2
b)
a = ω2 · x = 42 · 0,06 = 0,96 m/s2
x(t) = 0,1·sen (4t) (en S.I.)
0,08 = 0,1 · sen (4t)
0,8 = sen (4t)
arc sen (0,8) = 0,92 = 4·t t = 0,23 s

41. EJERCICIO 9 EvAU
Un bloque de 2 kg de masa, que descansa sobre una superficie
horizontal, está unido a un extremo de un muelle de masa
despreciable y constante elástica 4,5 N/m. El otro extremo del
muelle se encuentra unido a la pared. Se comprime el muelle y el
bloque comienza a oscilar sobre la superficie. Si en el instante t =
0 el bloque se encuentra en el punto de equilibrio y su energía0 el bloque se encuentra en el punto de equilibrio y su energía
cinética es de 0,90·10-3 J, calcule, despreciando los efectos del
rozamiento:
a) La ecuación del movimiento x(t) si, en t = 0, la velocidad del
bloque es positiva.
b) Los puntos de la trayectoria en los que la energía cinética del
bloque es 0,30·10-3 J.

42. SOLUCIÓN EJERCICIO 9 EvAU
a)
EC = v = 3·10-2 m/s
1
2 ·m· v2
En el punto de equilibrio: v = w · A
3·10-2 = 1,5 · A A = 0,02 m
srad
k
w /5,1==
b) EC = · k · (A2 – x2) x = ± 1,63·10-2 m
srad
m
w /5,1==
x(t) = 0,02 · sen (1,5 t) (en S.I.)
1
2