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Sistemas de Numeración EDUANN
5 Número y Numeral Idea que se tiene de cantidad. Representación de un número por medio de símbolos. Número: Numeral: V
Un Sistema de Numeración,  es un conjunto de reglas y principios , que se emplean para representar correctamente los números. Entre estos principios tenemos: 1. Principio de Orden 2. Principio de la Base ¿ Qué es un Sistema de Numeración ? 3. Principio posicional
Toda cifra en un numeral, tiene un orden, por convención,  el orden se cuenta de derecha a izquierda . Ejemplo: 568 1. Principio de Orden 1er. Orden 2do. Orden 3er. Orden No confundir el  lugar  de una cifra, con el  orden  de una cifra,  el lugar se cuenta de izquierda a derecha . Observación:
Todo sistema de numeración, tiene una base,  que es un número entero mayor que la unidad , el cual nos indica la forma como debemos agrupar. Ejemplo: 2. Principio de la Base En el  Sistema Senario (Base 6),  debemos agrupar las unidades de 6 en 6, veamos: 2 3 (6) Grupos Unidades que sobran = 15
¿ Cómo se representa Veinte en el Sistema Quinario ( Base 5 ) ? 4 0 (5) Grupos Unidades que sobran = 20 En el sistema “Quinario”, debemos agrupar de 5 en 5.
Para representar un número  en un sistema diferente al decimal, se emplea el método de: “ Divisiones Sucesivas” ¿ Cómo representar un número en otra base ? Ejemplo: Representar 243 en el sistema heptal  ( Base 7 ) 243 7 34 5 7 4 6 Entonces: 243 = 465 (7)
La Base de un sistema de numeración también nos indica cuantas cifras pueden usarse en el sistema, veamos: 2 Binario 0; 1 3 Ternario 0; 1; 2 4 Cuaternario 0; 1; 2; 3 5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4 6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5 7 Heptal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 8 Octal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;  A 12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;  A ;  B A =  10 B =  11 Base Sistema Cifras que emplea
En un numeral toda cifra tiene un  ”valor posicional” , veamos un ejemplo: 457 3. Principio posicional: Unidades Decenas Centenas La suma de los valores posiciónales, nos da el número. Observación: = 7.1 =  7 = 5.10 =  50 = 4.100 =  400 400 + 50 + 7 =  457
Consiste en expresar un numeral como la suma de los  valores posiciónales  de sus cifras. Ejemplos: Descomposición Polinómica en el Sistema Decimal 4x2x 2ab (x+1)xyx 3ab ab = 4.1000 + x.100 + 2.10 + x.1 = 2.100 + a.10 + b.1 = (x+1).1000 + x.100 + y.10 + x.1 = 3.100 + a.10 + b.1 = a.10 + b.1
Descomposición polinómica de numerales representados en otros sistemas de numeración Ejemplo: 4357 = (9)  1  9  9 2    9 3   4.9  + 3  3.9  + 2  5.9 + 7.1
Mas ejemplos: 2143 = 2.5  + 1.5  + 4.5 + 3 (5) 3 2  124 = 1.6  + 2.6 + 4 (6) 2 54 = 5.8 + 4 (8) 346 = 3.8  + 4.8 + 6 (8) 2 23A5 = 2.11  + 3.11  +  10 .11 + 5 (11) 3 2
Ejemplos: Podemos emplear la Descomposición Polinómica para hallar el equivalente de un numeral en el Sistema Decimal 4521 = 4.7  + 5.7  + 2.7 + 1 (7) 3 2  = 4.343 + 5.49 + 14 + 1 =  1632 124 = 1.5  + 2.5 + 4 (5) 2 = 1.25 + 10 + 4 =  39 64 = 6.8 + 4 = (8) 52
Ejemplos: En algunos casos tendremos que descomponer numerales con valores incognitos 2x3y = 2.5  + x.5  + 3.5 + y (5) 3 2  = 2.125 + x.25 + 15 + y = 265 + 25x + y 352 = 3.n  + 5.n + 2 (n) 2  xyz = x.a  + y.a + z (a) 2  2abc = 2.x  + a.x  + b.x + c (x) 3 2
Se llama así a aquel numeral que leído de derecha a izquierda, se lee igual que de izquierda a derecha. Ejemplos: Algunos Conceptos Finales 44 ; 373 ; 4224 ; 56765 ; 876678 ; 1234321 Numeral Capicúa Literalmente los representamos: aa ; aba ; abba ; abcba ; abccba ; ……. Cifra Significativa Se llama así a toda  cifra que es diferente de cero , en el sistema decimal las cifras significativas son: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9
Practiquemos
Ejercicio 1: Si: ab + ba = 132 , hallar (a+b). Descomponemos polinomicamente: (10a + b) + (10b + a) = 132 11a + 11b = 132 a + b  = 12 Agrupamos los términos semejantes: Simplificamos: ……  Rpta.
Ejercicio 2: ¿Cuántos numerales de dos cifras son iguales a 4 veces la suma de sus cifras?. Si es numeral de dos cifras, entonces sera: ab 10a + b = 2a = b Por dato: ab = 4 ( a+b ) Descomponemos polinomicamente y multiplicamos: 6a = 1 2 2 4 ab = ab = 4a + 4b 3b  12 24 3 6 4 8 ab = ab = 36 48 Rpta:  Hay 4 numerales de dos cifras
Ejercicio 3: Hallar un numeral de tres cifras que empieza en 6, y que sea igual a 55 veces la suma de sus cifras. Si el numeral empieza en 6, entonces sera: 6ab 600 + 10a + b = 30 = 5a + 6b Por dato: …  2 Rptas. 6ab = 55 ( 6+a+b ) Descomponemos polinomicamente y multiplicamos: Agrupamos términos semejantes y simplificamos: 270 = 0 5 6 0 6ab = 6ab = 330 + 55a + 55b 45a + 54b 605 660
Ejercicio 4: Si a un numeral de dos cifras se le agrega dos ceros a la derecha, el numeral aumenta en 2871. Hallar el numeral. Si es un numeral de dos cifras: ab 100 ab – ab = Al agregarle dos ceros a la derecha, obtenemos: ab00 Pero: Por lo tanto aumentó: 99. ab = 2871 ab00  = Entonces: ab = 29 ……  Rpta. ab. 100 = 100.ab 99.ab
Ejercicio 5: Si:  abcd = 37.ab + 62.cd , hallar (a+b+c+d) abcd = ab00 + cd Reemplazando, tenemos: = 100.ab + cd 100.ab + cd  = 37.ab + 62.cd 63.ab = 61.cd ab  61 cd  63 = Entonces: ab = 61 cd = 63 y ……  Rpta. Luego: a+b+c+d = 6+1+6+3 = 16
Hallar el valor de “a”, en: 13a0 = 120 (4) Convertimos 120 al sistema cuaternario …  Rpta. 120 4 30 0 4 7 2 4 1 3 120 = 1320 (4) Reemplazando tenemos: 13a0  = (4) 1320 (4) a = 2 Ejercicio 6:
Hallar el valor de “a”, en: 2a2a = 1000 (7) Aplicamos descomposición polinómica 2.7  + a.7  + 2.7 + a 3 2  = 1000 686 + 49a + 14 + a  = 1000 700 + 50a  = 1000 50a  = 300 a  = 6 …  Rpta. Ejercicio 7: 2.343 + a.49 + 14 + a  = 1000
Si los numerales: n23  ; (m) Aplicamos:  BASE > CIFRA …  Rptas. p21  ; (n) n3m  y (6) 1211 (p) están correctamente escritos, hallar m, n y p. n23  (m) m > n   m > 3   y   p21  (n) n > p   n > 2   y   n3m  (6) 6 > n   6 > m   y   1211  (p) p > 2   Ordenando, tenemos: 6 > m > n > p > 2 5 3 4 Ejercicio 8:
Expresar en el sistema octal, el mayor número de tres cifras de base 6, dar la cifra de menor orden. 555 (6) El mayor numero de tres cifras de base 6 es: 215 8 26 7 8 3 2 = 215 = 327 (8) La cifra de menor orden es 7   …. Rpta. Ejercicio 9: Pasándolo a base 10: 555 = 5.6 + 5.6 + 5 (6) 2   = 180 + 30 + 5 = 215 Ahora al sistema octal (base 8): 555 (6)

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  • 2. 5 Número y Numeral Idea que se tiene de cantidad. Representación de un número por medio de símbolos. Número: Numeral: V
  • 3. Un Sistema de Numeración, es un conjunto de reglas y principios , que se emplean para representar correctamente los números. Entre estos principios tenemos: 1. Principio de Orden 2. Principio de la Base ¿ Qué es un Sistema de Numeración ? 3. Principio posicional
  • 4. Toda cifra en un numeral, tiene un orden, por convención, el orden se cuenta de derecha a izquierda . Ejemplo: 568 1. Principio de Orden 1er. Orden 2do. Orden 3er. Orden No confundir el lugar de una cifra, con el orden de una cifra, el lugar se cuenta de izquierda a derecha . Observación:
  • 5. Todo sistema de numeración, tiene una base, que es un número entero mayor que la unidad , el cual nos indica la forma como debemos agrupar. Ejemplo: 2. Principio de la Base En el Sistema Senario (Base 6), debemos agrupar las unidades de 6 en 6, veamos: 2 3 (6) Grupos Unidades que sobran = 15
  • 6. ¿ Cómo se representa Veinte en el Sistema Quinario ( Base 5 ) ? 4 0 (5) Grupos Unidades que sobran = 20 En el sistema “Quinario”, debemos agrupar de 5 en 5.
  • 7. Para representar un número en un sistema diferente al decimal, se emplea el método de: “ Divisiones Sucesivas” ¿ Cómo representar un número en otra base ? Ejemplo: Representar 243 en el sistema heptal ( Base 7 ) 243 7 34 5 7 4 6 Entonces: 243 = 465 (7)
  • 8. La Base de un sistema de numeración también nos indica cuantas cifras pueden usarse en el sistema, veamos: 2 Binario 0; 1 3 Ternario 0; 1; 2 4 Cuaternario 0; 1; 2; 3 5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4 6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5 7 Heptal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 8 Octal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A 12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A ; B A = 10 B = 11 Base Sistema Cifras que emplea
  • 9. En un numeral toda cifra tiene un ”valor posicional” , veamos un ejemplo: 457 3. Principio posicional: Unidades Decenas Centenas La suma de los valores posiciónales, nos da el número. Observación: = 7.1 = 7 = 5.10 = 50 = 4.100 = 400 400 + 50 + 7 = 457
  • 10. Consiste en expresar un numeral como la suma de los valores posiciónales de sus cifras. Ejemplos: Descomposición Polinómica en el Sistema Decimal 4x2x 2ab (x+1)xyx 3ab ab = 4.1000 + x.100 + 2.10 + x.1 = 2.100 + a.10 + b.1 = (x+1).1000 + x.100 + y.10 + x.1 = 3.100 + a.10 + b.1 = a.10 + b.1
  • 11. Descomposición polinómica de numerales representados en otros sistemas de numeración Ejemplo: 4357 = (9)  1  9  9 2  9 3 4.9 + 3 3.9 + 2 5.9 + 7.1
  • 12. Mas ejemplos: 2143 = 2.5 + 1.5 + 4.5 + 3 (5) 3 2 124 = 1.6 + 2.6 + 4 (6) 2 54 = 5.8 + 4 (8) 346 = 3.8 + 4.8 + 6 (8) 2 23A5 = 2.11 + 3.11 + 10 .11 + 5 (11) 3 2
  • 13. Ejemplos: Podemos emplear la Descomposición Polinómica para hallar el equivalente de un numeral en el Sistema Decimal 4521 = 4.7 + 5.7 + 2.7 + 1 (7) 3 2 = 4.343 + 5.49 + 14 + 1 = 1632 124 = 1.5 + 2.5 + 4 (5) 2 = 1.25 + 10 + 4 = 39 64 = 6.8 + 4 = (8) 52
  • 14. Ejemplos: En algunos casos tendremos que descomponer numerales con valores incognitos 2x3y = 2.5 + x.5 + 3.5 + y (5) 3 2 = 2.125 + x.25 + 15 + y = 265 + 25x + y 352 = 3.n + 5.n + 2 (n) 2 xyz = x.a + y.a + z (a) 2 2abc = 2.x + a.x + b.x + c (x) 3 2
  • 15. Se llama así a aquel numeral que leído de derecha a izquierda, se lee igual que de izquierda a derecha. Ejemplos: Algunos Conceptos Finales 44 ; 373 ; 4224 ; 56765 ; 876678 ; 1234321 Numeral Capicúa Literalmente los representamos: aa ; aba ; abba ; abcba ; abccba ; ……. Cifra Significativa Se llama así a toda cifra que es diferente de cero , en el sistema decimal las cifras significativas son: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9
  • 17. Ejercicio 1: Si: ab + ba = 132 , hallar (a+b). Descomponemos polinomicamente: (10a + b) + (10b + a) = 132 11a + 11b = 132 a + b = 12 Agrupamos los términos semejantes: Simplificamos: …… Rpta.
  • 18. Ejercicio 2: ¿Cuántos numerales de dos cifras son iguales a 4 veces la suma de sus cifras?. Si es numeral de dos cifras, entonces sera: ab 10a + b = 2a = b Por dato: ab = 4 ( a+b ) Descomponemos polinomicamente y multiplicamos: 6a = 1 2 2 4 ab = ab = 4a + 4b 3b 12 24 3 6 4 8 ab = ab = 36 48 Rpta: Hay 4 numerales de dos cifras
  • 19. Ejercicio 3: Hallar un numeral de tres cifras que empieza en 6, y que sea igual a 55 veces la suma de sus cifras. Si el numeral empieza en 6, entonces sera: 6ab 600 + 10a + b = 30 = 5a + 6b Por dato: … 2 Rptas. 6ab = 55 ( 6+a+b ) Descomponemos polinomicamente y multiplicamos: Agrupamos términos semejantes y simplificamos: 270 = 0 5 6 0 6ab = 6ab = 330 + 55a + 55b 45a + 54b 605 660
  • 20. Ejercicio 4: Si a un numeral de dos cifras se le agrega dos ceros a la derecha, el numeral aumenta en 2871. Hallar el numeral. Si es un numeral de dos cifras: ab 100 ab – ab = Al agregarle dos ceros a la derecha, obtenemos: ab00 Pero: Por lo tanto aumentó: 99. ab = 2871 ab00 = Entonces: ab = 29 …… Rpta. ab. 100 = 100.ab 99.ab
  • 21. Ejercicio 5: Si: abcd = 37.ab + 62.cd , hallar (a+b+c+d) abcd = ab00 + cd Reemplazando, tenemos: = 100.ab + cd 100.ab + cd = 37.ab + 62.cd 63.ab = 61.cd ab 61 cd 63 = Entonces: ab = 61 cd = 63 y …… Rpta. Luego: a+b+c+d = 6+1+6+3 = 16
  • 22. Hallar el valor de “a”, en: 13a0 = 120 (4) Convertimos 120 al sistema cuaternario … Rpta. 120 4 30 0 4 7 2 4 1 3 120 = 1320 (4) Reemplazando tenemos: 13a0 = (4) 1320 (4) a = 2 Ejercicio 6:
  • 23. Hallar el valor de “a”, en: 2a2a = 1000 (7) Aplicamos descomposición polinómica 2.7 + a.7 + 2.7 + a 3 2 = 1000 686 + 49a + 14 + a = 1000 700 + 50a = 1000 50a = 300 a = 6 … Rpta. Ejercicio 7: 2.343 + a.49 + 14 + a = 1000
  • 24. Si los numerales: n23 ; (m) Aplicamos: BASE > CIFRA … Rptas. p21 ; (n) n3m y (6) 1211 (p) están correctamente escritos, hallar m, n y p. n23 (m) m > n m > 3 y p21 (n) n > p n > 2 y n3m (6) 6 > n 6 > m y 1211 (p) p > 2 Ordenando, tenemos: 6 > m > n > p > 2 5 3 4 Ejercicio 8:
  • 25. Expresar en el sistema octal, el mayor número de tres cifras de base 6, dar la cifra de menor orden. 555 (6) El mayor numero de tres cifras de base 6 es: 215 8 26 7 8 3 2 = 215 = 327 (8) La cifra de menor orden es 7 …. Rpta. Ejercicio 9: Pasándolo a base 10: 555 = 5.6 + 5.6 + 5 (6) 2 = 180 + 30 + 5 = 215 Ahora al sistema octal (base 8): 555 (6)