Números Primos, ejercicios y problemas.

1. Prof. Jenner Huamán Callirgos

2. LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
En el desarrollo de la humanidad, el hombre tuvo la necesidad de
expresar el número, al inicio presumiblemente solo en un lenguaje
simbólico. Por medio de los dedos de las manos se podían representar
colecciones de hasta diez elementos, y usando los dedos de las manos y
pies podía remontarse hasta veinte. Cada pueblo en la antigüedad
definía su propio sistema de numeración.

3. El sistema de numeración más simple que usa la notación posicional
es el sistema de numeración binario. Este sistema usa solamente dos
dígitos (0; 1). El sistema binario se usa en computación para el
manejo de datos e información. Normalmente al dígito cero se le
asocia con apagado y al dígito 1 con encendido.
El hombre en su vida
cotidiana trabaja desde el
punto de vista numérico con
el sistema decimal.
Asimismo, la computadora
debido a su construcción, lo
hace desde el sistema
binario, utilizando una serie
de códigos que permiten su
perfecto funcionamiento.
¿La capacidad de la memoria RAM de
tu PC es una potencia de 2? ¿Será
una coincidencia o tendrá relación con
la base binaria?
Representación gráfica del número 100112
(número en base 2) y alegoría de la
presencia de los binarios en las redes
informáticas.

4. Es un conjunto de símbolos que mediante ciertas reglas pueden
representar todos los números naturales.
SISTEMA DE NUMERACIÓN
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Base
Nombre del
sistema
Cifra que se usan
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Binario
Ternario
Cuaternario
Quinario
Senario
Heptanario
Octanario
Nonario
Decimal
Undecimal
Duodecimal
0, 1
0, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4, 5
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………

5. OBSERVACIONES:
•Toda cifra que forma parte de un numeral es un entero positivo y menor
que su respectiva base.
( )n
abcd Entonces: a; b; c; d < n
•Un numeral no puede empezar con la cifra cero.
( )n
abcd Es decir “a” tiene que
ser diferente de cero.
•A mayor numeral aparente le corresponde menor base y a menor
numeral aparente le corresponde mayor base.
( ) ( )
: n m
Si abcd xyz=
Como
n < mabcd xyz> entonces

6. •El menor sistema de numeración que existe es el de base 2 (sistema
binario)
Es decir n 2≥
•Toda cifra mayor que nueve va encerrada entre paréntesis. Por
convención se utiliza:
Cifra Letra
10 <> A
11 <> B
12 <> C
. . .
. . .
. . .
•Todo número entre paréntesis representa una sola cifra excepto la base:
4 (12) 8 (13)
tiene 3 cifras y no 4
1 cifra
1 cifra
1 cifra

7. • En el sistema de base “n”, se pueden utilizar “n” cifras diferentes, las
cuales son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ….;(n-1)
REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NUMERAL
abc
)5(abcd
•Cuando se quiere representar un número y no se conocen las cifras
se utilizan letras del alfabeto y una barra encima de las cifras.
Ejemplo:
Un número de 3 cifras:
Un número de 4 cifras en base 5:

8. TRANSFORMACIÓN DE SIST. DE
NUMERACIÓN
De base 10 a una base
diferente de 10
Divisiones sucesivas
EJERCICIOS
De una base
diferente de 10 a
base 10
De una base
diferente de 10 a
otra diferente de 10
Descomposición
polinómica.
Por Ruffini
• Descom-posición
Polinómica
• Divisiones Sucesivas
QUE PUEDE SER
Por medio
de la
usando utilizando

9. De una base diferente de 10 a la base 10: Para este caso, se
utiliza:
a) Descomposición polinómica: Se expresa el número como el
valor relativo de sus cifras.
Ejemplo
Convertir el número 876(9) a base decimal.
Resolución
876(9) = 8 . 92 + 7 . 9 + 6 = 717

10. b) Por Ruffini: Se realiza el siguiente procedimiento:
Del ejemplo anterior:
Convertir el número 876(9) a base decimal.
Resolución
Se escribe el número a convertir con sus cifras separadas:
8 7 6
8
9
x 79
72
x
711
717
Número en el sistema
Decimal.
+ +

11. De base 10 a una base diferente de 10: Se utiliza el método de
divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado entre
la base “n” a la cual se desea convertir, si el cociente es mayor que
“n” se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que se
llegue a una división donde el cociente sea menor que “n”.
Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas las
divisiones, desde el último residuo hacia el primero y ese
será el número escrito en base “n”.

12. Ejemplo:
Convertir: 100 a base 3
Resolución
Luego:
100 = 10201(3)

13. De una base diferente de 10 a otra diferente de 10: Se utilizan en
este caso, los 2 métodos vistos anteriormente, es decir:
1ºLlevamos el número del sistema diferente de 10 a base 10
por descomposición polinómica o por Ruffini.
2ºLuego llevamos el número hallado en el sistema decimal a
la base que nos piden por divisiones sucesivas.
Ejemplo: Convertir: 543(6) a base 4

14. Resolución
543(6) = 5 . 62 + 4 . 6 + 3 = 207
El número en la base “n” dada (n ` 10) se convierte al sistema decimal:
El número convertido a base decimal se pasa a la base deseada
por divisiones sucesivas.
Luego :
543(6) = 207 = 3033(4)

15. Propiedad: Si un numeral que representa la misma cantidad de
unidades simples en dos sistemas de numeración diferentes, deberá
cumplirse que donde tenga mayor representación aparente le
corresponde una menor base y viceversa..
−+
=
+−
)Y()x( RATONPAVO
Entonces: x > y

16. Propiedades Importantes
Del Numeral de cifras Máximas:
𝑛𝑛 − 1)(𝑛𝑛 − 1)(𝑛𝑛 − 1). . . (𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑘𝑘
− 1
K cifras
De las bases sucesivas:
1𝑒𝑒1𝑑𝑑1𝑐𝑐1𝑏𝑏1𝑎𝑎(𝑛𝑛)
= 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 + 𝑒𝑒

17. Caso particular:

18. Aplicaciones
Hallar (J + H + C) si:
JHC
(3) = 23(4)
Resolución
1.

19. )7(
ana
)5(
aaaa
Al expresar 214 en base 7 se obtuvo
Calcule la suma de cifras al expresar en base n.
Resolución
2.

20. 2
""
.................   
igualescifrasn
xxxxx
13nnnN =
= 4095
a) 2 193 b) 2 196 c) 2 396
d) 2 186 e) 2 176
Hallar: expresado en base 10.
3.
Resolución

21. Convertir )3R(3)2R(1 ++
A) 234(R + 2) B) 563(R + 2)
C) 219(R + 2) D) 999(R + 2)
E) N.A.
a base (R + 2)4.
Resolución

22. 5. Se desea repartir S/. 1536 entre un cierto número de personas, de
tal modo que cada una pueda recibir S/. 1, S/. 5; S/. 25; S/. 125, ….,
etc. y que no más de cuatro personas reciban la misma cantidad de
dinero. Hallar el número de personas beneficiadas.
Resolución
Supongamos que los S/. 1536 se repartiera de la siguiente manera:
a personas reciben S/.1 (a<4)
b personas reciben S/. 5 (b<4)
c personas reciben S/. 25 (c<4)
d personas reciben S/. 125 (d<4)
.
.
.
Luego 1536 = a.1 + b.5 + c.25 + d.125 + …
Podemos darnos cuenta que los factores de a, b, c, d,…., son
potencias de 5 y lo podemos expresar así:
1536 = a.50 + b.51 + c.52 + d.53 + ….
Es la descomposición polinómica en base 5, donde a, b, c, d, …, son las
cifras, luego debe convertirse 1536 a base 5.

23. 2 + 2 + 1 + 2 + 1 = 8
1536 5
5
5
5
307
61
12
2
1
2
1
2
1536 = 22121(5)
Entonces:
1536 = 2.54 + 2.53 + 1.52 + 2.51 +1.50
Por tanto
2 personas reciben: S/. 625
2 personas reciben: S/. 125
1 persona reciba: S/. 25
2 personas recibe: S/. 5
1 persona recibe: S/. 1
Número de personas
favorecidas:

24. 1200x13 4
=Hallar el valor de “x” si se cumple:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

25. a
2
b
2
b
aba5 











=Si: Hallar: a + b
a) 4 b) 8 c) 2 d) 6 e) 10

26. )n()1n( 146abc =+Si:
)ed(dde +=
Hallar: a + b + c + e – d
A) 9 B) 11 C) 12 D) 10 E) 13

27. Calcule la suma de cifras de: E = 9 x 74 + 5 x 73 + 54 en el sistema
heptanario.
A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

28. Si los siguientes numerales están correctamente escritos:
( ) ( ) ( ) ( )p6m nn23q ; p21 ; n3m ; 1221
Hallar “m+n+p”.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

29. Hallar el valor de “n” sí: =
23n23 5323
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

30. Calcular “b” si: ( ) ( )+ =n64(b 1)3 bbb4
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

31. Si se cumple que: 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐, Calcule el valor de
a + b – c, sabiendo que a, b, c son positivos. (UNI-2014-I)
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Resolución