Este documento resume conceptos matemáticos como funciones cuadráticas, ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones mixtas, propiedades de las raíces, intervalos en la recta real, módulos y números complejos. Incluye ejemplos para ilustrar cada tema y fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas y encontrar ecuaciones a partir de tres puntos dados.

1. Alumno: uño Julian
Profesor/a: Isola Juliana
Temas:
Función Cuadrática
Ecuaciones Cuadráticas
Ecuaciones con 3 puntos
Sistema de dos ecuaciones mixtas
Propiedades de las raíces
Intervalos en la recta real – clasificación
Modulo: propiedades, ecuaciones e inecuaciones
Números complejos
Recuperación 1er trimestre de
matemática

2. Función Cuadrática
La función cuadrática es la función polinomica de segundo grado: f(x) = ax² +
bx + c. En el que siempre a, b y c son números reales y a≠0
Partes de una función:
f(x) = ax² + bx + c
La representación grafica de una función cuadrática es una parábola y para
graficarla se deben calcular los elementos de esta y luego representarla
• Raíces de la parábola: Son los puntos de intersección de la parábola con el eje
x ; cuando f(x) = 0.
• Vértice de la parábola
• Eje de simetría: Es la recta que tiene por ecuación x = xv.
• Ordenada al origen: Es el punto de intersección de la parábola con el eje y. Es
decir el valor de c.
Termino Cuadrático
Termino
Lineal
Termino
Independiente

3. Ecuación polinomica, canoníca y factorizada
La función cuadrática puede ser expresada de distintas
formas

4. Ejemplo Nro. 1:

5. Ejemplo Nro. 2:

6. Ecuaciones Cuadráticas
Las ecuaciones cuadráticas son aquellas ecuaciones de segundo grado y que su
forma general es: ax² + bx + c = 0. En el que a , b y c pertenecen a los reales y que
a tiene que ser distinto de cero.
Ecuaciones incompletas:
•Si b = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma ax² + c = 0
•Si c = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma ax² + bx = 0
Ecuaciones completas:
Si la ecuación es completa, o sea que ninguno de sus coeficientes es nulo; los
valores de x que la verifican se hallan aplicando la siguiente formula.

7. Casos para averiguar el numero de soluciones
• b2 − 4ac > 0 : La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos. Ejemplo:
• b2 − 4ac = 0 : La ecuación tiene una solución doble. Ejemplo:
• b2 − 4ac < 0 : La ecuación no tiene soluciones reales. Ejemplo:

8. Encontrando ecuaciones con 3 puntos
Ejemplo: (1;12), (-1;2) y (2;20) siempre partimos de
A. Reemplazamos los valores y resolvemos: B. Igualamos a c en las 3 ecuaciones:
x y
Punto 1= (1;12) 1) 12= a+ b + c 12 – a – b= c
Punto 2= (-1;2) 2) 2= a – b+ c 2 – a + b= c
Punto 3= (2;20) 3) 20= 4a+ 2b + c 20 – 4 a – 2b= c
C. Elegimos las dos primeras para igualarlas, luego las 2 ultimas y por ultimo reemplazamos
uno de los resultados de las ecuaciones en la otra y tendremos todas las letras
12 – a – b= 2 – a + b 2 – a + b = 20 – 4 a – 2b a + b = 2
12 – 2 = 2 – 2 + b – a + b +4 a + 2b = 20 – 2 a + 5 = 2
10 = 2b 3 a + b = 18 : 3 a = – 3
5 = b a + b = 6 : 3
a + b = 2 12 – a – b = c
D. se reemplaza las letras encontradas 12 + 3 – 5 = c
En una ecuación igualada a c en paso B. 10 = c
E. Una vez obtenidos los valores podemos obtener la parábola: y = – 3x² + 5x + 10

9. Sistema de dos ecuaciones mixtas
Los sistemas de ecuaciones formados por una ecuación de primer grado y otra de segundo
(heterogéneos) , o por dos ecuaciones de segundo grado (homogéneos), se denominan
sistemas mixtos.

10. ejemplo

11. Propiedades de las raíces
Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, y x1 y x2 sus soluciones, se cumple:
1. La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado, x1 + x2, es
demostración:
2. El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, x1 × x2, es
demostración:
El numerador es una suma por una diferencia. Su resultado es la diferencia de cuadrados:

12. Intervalo en la recta real - clasificación
Los intervalos intervalos en la recta real son subconjuntos de números reales, como
los números reales se grafican en la recta numérica, los intervalos son segmentos o
semirrectas de la recta real.
Clasificación:

13. Por ultimo módulos y números complejos
Pequeña definición de módulos: También llamado valor absoluto, se define como la distancia de un número
al 0(cero), simbólicamente su notación es lxl; su definición algebraica nos dice que:
lxl = x si ≥0
-x si < 0
Propiedades:
•El modulo de un numero real es igual al de su opuesto y, además, es negativo. |x|= |-x|≥ 0
•El modulo del producto de dos números reales es igual al producto de los módulos de esos números. |a. b| =
|a|. |b|
•El modulo de la suma de dos números reales es igual o menor que la suma de los módulos de esos números.
Esta propiedad se denomina desigualdad triangular .|a + b| ≤ |a| + |b|
•El modulo de la diferencia de dos números reales es igual o mayor que la diferencia de los módulos de esos dos
números. |a – b| ≥ |a| - |b|
Definición de números complejos: Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la
suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, es aquel que puede ser expresado por
un numero entero o decimal. Los números imaginarios surgen de la necesidad de calcular raíces cuadradas de
números negativos. La unidad imaginaria es el numero y se designa por la letra i.
ejemplo:

14. Modulo (ecuaciones e inecuaciones)
Ejemplo de una ecuación con modulo:
Propiedades de inecuaciones y ejemplos
ejemplo de propiedad numero 2