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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Evaluación 1
Control 3
28-11-22
SOLUCIÓN
MATEMÁTICAS 4º ESO ACADÉMICAS
1. Halla y expresa correctamente el dominio de las siguientes funciones:
𝐚. 𝑓(𝑥) = >
2𝑥 − 3
𝑥! − 9
𝐛. 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 1
4𝑥" − 3𝑥 − 1
𝐚. La función existe cuando el radicando no es negativo, es decir, para
3 − 2𝑥
𝑥! − 9
≥ 0
Estudiamos los cambios de signo de la fracción. Para ello, resolvemos las ecuaciones resultantes de igua-
lar el numerador y denominador a 0:
2𝑥 − 3 = 0 → 2𝑥 = 3 → 𝑥 =
3
2
𝑥!
− 9 → 𝑥!
= 9 → 𝑥 = ±√9 = ±3
Situamos sobre la recta real las tres raíces obtenidas y, al no haber raíces dobles, comprobamos si cumple
o no la inecuación un valor de uno de los intervalos:
𝑥 = 0 → ¿
−3
−9
≥ 0? → SÍ
Incluiremos como solución el valor 𝑥 = 3/2 que anula el numerador pero excluiremos los valores 𝑥 = 3
y 𝑥 = −3 que anulan el denominador, pues para estos valores la fracción no existe:
Dom 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∈ (−3, 3/2] ∪ (3, +∞)
𝐛. La función no existe para aquellos valores de 𝑥 que anulan el denominador:
4𝑥!
− 3𝑥 − 1 = 0 →
Luego 𝑥# = 1. Obtenemos las otras dos raíces resolviendo la ecuación 4𝑥!
+ 4𝑥 + 1 = 0:
𝑥 =
−4 ± √4! − 4 · 4
2 · 4
=
−4 ± √16 − 16
8
=
−4 ± √0
8
=
−4 ± 0
8
= −
4
8
= −
1
2
(raíz doble)
Dom 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∈ ℝ − g−
1
2
, 1h
4 0 −3 −1
1 4 4 1
4 4 1 0
2. Dada la gráfica de una función, se pide:
a. Dominio de la función.
b. Intervalos de crecimiento y de
decrecimiento.
c. Máximo y mínimo relativos.
d. Tasa de variación media en el
intervalo [−2, −1].
a. [−2, 1) ∪ [2, +∞)
𝐛. Creciente: (0, 1) ∪ (2, 3) ∪ (5, +∞) ; Decreciente: (−2, 0) ∪ (3, 5)
𝐜. Máximo: (3, 4) ; Mínimo: (0, 0)
𝐝. T. V. M =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
𝑓(−1) − 𝑓(2)
−1 − (−2)
=
1 − 4
1
= −3
3. Dada la función 𝑦 = | 2𝑥 − 200 |
a. Represéntala gráficamente.
b. Determina sus puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremo relativo.
a. Representamos la función lineal 𝑦 = 2𝑥 − 200 determi-
nando los puntos de corte con los ejes:
𝑥 𝑦
0 −200
100 0
La función 𝑦 = |2𝑥 − 200| será su simétrica respecto del
eje de abscisas.
𝐛. Cortes con los ejes: (100, 0) 𝑦 (0, 200)
Creciente: (100, +∞) Decreciente: (−∞, 100)
Mínimo: (100, 0)
4. Resuelve las siguientes ecuaciones:
𝐚. log"(1 − 𝑥) − log" 𝑥 = −2 𝐛.
3$%#
2
− 4 · 3$&#
=
9
2
𝐚. log"(1 − 𝑥) − log" 𝑥 = −2 → log"
1 − 𝑥
𝑥
= −2 → 3&!
=
1 − 𝑥
𝑥
→
1
9
=
1 − 𝑥
𝑥
→
𝑥 = 9 − 9𝑥 → 10𝑥 = 9 → 𝑥 =
9
10
𝐛.
3$%#
2
− 4 · 3$&#
=
9
2
→
3$
· 3
2
− 4 ·
3$
3
=
9
2
→ {3$
= 𝑡} →
3𝑡
2
−
4𝑡
3
=
9
2
→
9𝑡
6
−
8𝑡
9
=
27
6
→
𝑡 = 27 → Deshaciendo el cambio de variable → 3$
= 27 → 3$
= 3"
→ 𝑥 = 3
5. Obtén la ecuación general de las siguientes rectas:
a. Recta que pasa por el punto (1, 0) y es paralela a la recta de ecuación 6𝑥 − 2𝑦 = 5.
b. Recta cuya gráfica es:
a. Por ser paralela a la recta 6𝑥 − 2𝑦 = 5, tendrá la misma pendiente:
2𝑦 = 6𝑥 − 5 → 𝑦 =
6
2
𝑥 −
5
2
→ 𝑚 =
6
2
= 3
Sustituyendo las coordenadas del punto (1, 0) y la pendiente 𝑚 = 3 en la ecuación punto-pendiente
de la recta:
𝑦 − 𝑦' = 𝑚(𝑥 − 𝑥') → 𝑦 − 0 = 3(𝑥 − 1) → 𝑦 = 3𝑥 − 3 → 3𝑥 − 𝑦 = 3
b. Se obtiene la pendiente de la recta tomando, por ejemplo, los puntos (−2, 4) y (8, −2)
𝑚 =
𝑦# − 𝑦'
𝑥# − 𝑥'
=
−2 − 4
8 − (−2)
=
−6
10
= −
3
5
Sustituyendo las coordenadas del punto (−2,4) y la pendiente 𝑚 = −3/5 en la ecuación punto-pen-
diente de la recta:
𝑦 − 𝑦' = 𝑚(𝑥 − 𝑥') → 𝑦 − 4 = −
3
5
(𝑥 + 2) → 5(𝑦 − 4) = −3(𝑥 + 2) →
5𝑦 − 20 = −3𝑥 − 6 → 3𝑥 + 5𝑦 = 14

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  • 1. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Evaluación 1 Control 3 28-11-22 SOLUCIÓN MATEMÁTICAS 4º ESO ACADÉMICAS 1. Halla y expresa correctamente el dominio de las siguientes funciones: 𝐚. 𝑓(𝑥) = > 2𝑥 − 3 𝑥! − 9 𝐛. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 4𝑥" − 3𝑥 − 1 𝐚. La función existe cuando el radicando no es negativo, es decir, para 3 − 2𝑥 𝑥! − 9 ≥ 0 Estudiamos los cambios de signo de la fracción. Para ello, resolvemos las ecuaciones resultantes de igua- lar el numerador y denominador a 0: 2𝑥 − 3 = 0 → 2𝑥 = 3 → 𝑥 = 3 2 𝑥! − 9 → 𝑥! = 9 → 𝑥 = ±√9 = ±3 Situamos sobre la recta real las tres raíces obtenidas y, al no haber raíces dobles, comprobamos si cumple o no la inecuación un valor de uno de los intervalos: 𝑥 = 0 → ¿ −3 −9 ≥ 0? → SÍ Incluiremos como solución el valor 𝑥 = 3/2 que anula el numerador pero excluiremos los valores 𝑥 = 3 y 𝑥 = −3 que anulan el denominador, pues para estos valores la fracción no existe: Dom 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∈ (−3, 3/2] ∪ (3, +∞) 𝐛. La función no existe para aquellos valores de 𝑥 que anulan el denominador: 4𝑥! − 3𝑥 − 1 = 0 → Luego 𝑥# = 1. Obtenemos las otras dos raíces resolviendo la ecuación 4𝑥! + 4𝑥 + 1 = 0: 𝑥 = −4 ± √4! − 4 · 4 2 · 4 = −4 ± √16 − 16 8 = −4 ± √0 8 = −4 ± 0 8 = − 4 8 = − 1 2 (raíz doble) Dom 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∈ ℝ − g− 1 2 , 1h 4 0 −3 −1 1 4 4 1 4 4 1 0
  • 2. 2. Dada la gráfica de una función, se pide: a. Dominio de la función. b. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c. Máximo y mínimo relativos. d. Tasa de variación media en el intervalo [−2, −1]. a. [−2, 1) ∪ [2, +∞) 𝐛. Creciente: (0, 1) ∪ (2, 3) ∪ (5, +∞) ; Decreciente: (−2, 0) ∪ (3, 5) 𝐜. Máximo: (3, 4) ; Mínimo: (0, 0) 𝐝. T. V. M = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎 = 𝑓(−1) − 𝑓(2) −1 − (−2) = 1 − 4 1 = −3 3. Dada la función 𝑦 = | 2𝑥 − 200 | a. Represéntala gráficamente. b. Determina sus puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremo relativo. a. Representamos la función lineal 𝑦 = 2𝑥 − 200 determi- nando los puntos de corte con los ejes: 𝑥 𝑦 0 −200 100 0 La función 𝑦 = |2𝑥 − 200| será su simétrica respecto del eje de abscisas. 𝐛. Cortes con los ejes: (100, 0) 𝑦 (0, 200) Creciente: (100, +∞) Decreciente: (−∞, 100) Mínimo: (100, 0)
  • 3. 4. Resuelve las siguientes ecuaciones: 𝐚. log"(1 − 𝑥) − log" 𝑥 = −2 𝐛. 3$%# 2 − 4 · 3$&# = 9 2 𝐚. log"(1 − 𝑥) − log" 𝑥 = −2 → log" 1 − 𝑥 𝑥 = −2 → 3&! = 1 − 𝑥 𝑥 → 1 9 = 1 − 𝑥 𝑥 → 𝑥 = 9 − 9𝑥 → 10𝑥 = 9 → 𝑥 = 9 10 𝐛. 3$%# 2 − 4 · 3$&# = 9 2 → 3$ · 3 2 − 4 · 3$ 3 = 9 2 → {3$ = 𝑡} → 3𝑡 2 − 4𝑡 3 = 9 2 → 9𝑡 6 − 8𝑡 9 = 27 6 → 𝑡 = 27 → Deshaciendo el cambio de variable → 3$ = 27 → 3$ = 3" → 𝑥 = 3 5. Obtén la ecuación general de las siguientes rectas: a. Recta que pasa por el punto (1, 0) y es paralela a la recta de ecuación 6𝑥 − 2𝑦 = 5. b. Recta cuya gráfica es: a. Por ser paralela a la recta 6𝑥 − 2𝑦 = 5, tendrá la misma pendiente: 2𝑦 = 6𝑥 − 5 → 𝑦 = 6 2 𝑥 − 5 2 → 𝑚 = 6 2 = 3 Sustituyendo las coordenadas del punto (1, 0) y la pendiente 𝑚 = 3 en la ecuación punto-pendiente de la recta: 𝑦 − 𝑦' = 𝑚(𝑥 − 𝑥') → 𝑦 − 0 = 3(𝑥 − 1) → 𝑦 = 3𝑥 − 3 → 3𝑥 − 𝑦 = 3 b. Se obtiene la pendiente de la recta tomando, por ejemplo, los puntos (−2, 4) y (8, −2) 𝑚 = 𝑦# − 𝑦' 𝑥# − 𝑥' = −2 − 4 8 − (−2) = −6 10 = − 3 5 Sustituyendo las coordenadas del punto (−2,4) y la pendiente 𝑚 = −3/5 en la ecuación punto-pen- diente de la recta: 𝑦 − 𝑦' = 𝑚(𝑥 − 𝑥') → 𝑦 − 4 = − 3 5 (𝑥 + 2) → 5(𝑦 − 4) = −3(𝑥 + 2) → 5𝑦 − 20 = −3𝑥 − 6 → 3𝑥 + 5𝑦 = 14