Métodos numéricos- Problemario

MÉTODOS NUMÉRICOS II
PROBLEMARIO
17 DE MAYO DE 2017
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN
Mayoral Almaraz Brenda Salud

Solución de sistemas de ecuaciones no lineales
1

2
Contenido
Capítulo 1 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.......................................................................................3
1.1 Método del punto fijo.............................................................................................................................................3
1.2 Método de Newton.................................................................................................................................................8
1.3 Método de Newton Modificado. ..........................................................................................................................11
1.4 Método de cuasi Newton......................................................................................................................................16
Capítulo 2 Interpolación y aproximación polinomial............................................................................................................21
2.1 Interpolación polinomial......................................................................................................................................21
2.1.1 Fórmula de Lagrange.....................................................................................................................................21
2.1.2 Diferencias divididas .....................................................................................................................................24
2.1.3 Interpolación de Newton..............................................................................................................................28
2.1.4 Polinomio de Hermite...................................................................................................................................31
2.2 Teoría de la aproximación...........................................................................................................................................34
2.2.1 Spline Cúbico.................................................................................................................................................34
2.2.2 Mínimos cuadrados.......................................................................................................................................40
Capítulo 3 Diferenciación e integración numérica................................................................................................................48
3.1 Derivación numérica...................................................................................................................................................48
3.2 Reglas de Integración (Newton-Cotes) .......................................................................................................................55

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Capítulo 1 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.
En este capítulo se generalizan e integran los métodos para solución de ecuaciones algebraicas de la forma f(x) =
0.
Se considerarán los métodos de solución de sistemas de ecuaciones, Ax = b, para resolver un sistema de varias
ecuaciones con varias incógnitas cuya representación es:
Donde fi(x1, x2, …, xn) = 0 para i = 1, 2, …, n es una función (lineal o no) de las variables independientes x1, x2, …, xn.
1.1 Método del punto fijo.
Descripción:
En esta alternativa cada una de las ecuaciones se resuelve para una variable de tal manera que se
obtengan:
𝑥𝑖 = 𝑔𝑖(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛) para i = 1, 2,…, n.
Estas ecuaciones se tomarán como fórmulas recursivas para obtener una aproximación a partir de una
estimación previa, de la siguiente forma:
𝑥𝑖
(𝑘+1)
= 𝑔𝑖(𝑥1
𝑘
, 𝑥2
𝑘
, … , 𝑥 𝑛
𝑘
) para i = 1, 2,…, n.
Se pretende que al calcular nuevos valores, estos se aproximen a la raíz buscada.
Ejemplo:
Sea el siguiente sistema de ecuaciones
f1(x, y) = x2
-y-2=0
f2(x, y) =2xy-3=0
Antes de aplicar el método se deben tener las siguientes consideraciones:

4
Para encontrar los puntos en que coinciden ambas funciones se requiere generar una sucesión {(x(k)
, y(k)
)}
convergente a una de las soluciones. Para ello, se deben despejar las variables xi de las funciones fi y
agregar un “número adecuado” a estas.
En el sistema dado como ejemplo se agregará -4x a f1(x, y) y -5y a f2(x, y) :
x2
-y-2-4x=-4x
2xy-3-5y=-5y
Despejando se obtendrán las formas recursivas, x=g1(x,y) y y=g2(x,y) ,es importante resaltar que
la forma de despejar cada una de las variables afectará la convergencia :
x=g1(x,y)= -x2
+y+2+4x
4
y=g2(x,y)= -2xy+3+5y
5
El método de punto fijo genera una sucesión convergente a alguna de las soluciones del sistema si x0 está
suficientemente cercano al punto fijo y:
∑ |
∂𝑔𝑖
∂𝑥𝑗
|
𝑛
𝑗=1
≤ M < 1 para i = 1, 2, … , n,
Considerando el ejemplo:
∑ |
∂𝑔1
∂𝑥𝑗
|
𝑛
𝑗=1
= 0.5 + 0.25 = 0.75 = M < 1
∑ |
∂𝑔2
∂𝑥𝑗
|
𝑛
𝑗=1
= 0.036363636 + 0.6 = 0.564 = M < 1
Es posible observar que las formas recesivas obtenidas previamente cumplen la condición, sin embargo
es importante recalcar que esta es una condición suficiente pero no necesaria para asegurar la
convergencia, es decir, es posible que la sucesión sea divergente y si esta es convergente lo hará
linealmente.
En el punto anterior se hizo mención de que el vector inicial X0 tendrá que estar lo suficientemente cerca
del punto de intersección de las gráficas, para que el sistema converja en la solución esperada. Esto se
logrará auxiliándose de herramientas computacionales.

5
Graficando:
De acuerdo a la gráfica, se tomará X0= (1,1)
¿Cuándo parar?
La Norma espectral está definida como:
||𝑥 𝑘+1
− 𝑥 𝑘
||∞ = 𝑚á𝑥1≤𝑖≤𝑛|𝑥𝑖
𝑘+1
− 𝑥𝑖
𝑘
|
La cual proporciona una aproximación al error que tiene la solución del sistema, que podrá ser tan
pequeño como se desee. Así, dada una tolerancia del error las iteraciones terminarán cuando la norma
espectral sea menor o igual a la tolerancia.
Para el ejemplo dado, alcanzar una tolerancia mínima de 0.00005.
Otra opción para acelerar la convergencia consiste en emplear los desplazamientos sucesivos en lugar de
los simultáneos, es decir, utilizar :
x1
k+1
= g1(x1
k
, x2
k
)
x2
k+1
= g2(x1
k+1
, x2
k
)
En lugar de:
xi
k+1
= g1(x1
k
, x2
k
)

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Retomando el ejemplo:
a) Desplazamientos simultáneos:
k x y f1(x, y) f2(x, y) ERROR
0 1 1 -2 -1 0.5
1 1.5 1.2 -0.95 0.6 0.2375
2 1.7375 1.08 -0.06109375 0.753 0.1506
3 1.752773438 0.9294 0.142814723 0.258055266 0.051611053
4 1.717069757 0.877788947 0.070539602 0.014449707 0.017634901
5 1.699434856 0.874899005 0.013179825 -0.026332269 0.005266454
6 1.6961399 0.880165459 -0.003274899 -0.014232492 0.002846498
7 1.696958625 0.883011958 -0.003343384 -0.003130485 0.000835846
8 1.697794471 0.883638055 -0.00113199 0.000471607 0.000282998
9 1.698077468 0.883543733 -7.66454E-05 0.000651412 0.000130282
10 1.69809663 0.883413451 0.000118712 0.000242807 4.85615E-05
11 1.698066951 0.88336489
Los números resaltados con color verde son los valores de (x, y) del vector solución y el número
marcado con color amarillo es el error que este tiene, el cual cumple con ser menor o igual a la
tolerancia requerida.
b) Desplazamientos sucesivos:
0 1 1 -2 -1 0.5
1 1.5 1 -0.75 0 0.1875
2 1.6875 0.925 -0.07734375 0.121875 0.031529297
3 1.706835938 0.893470703 0.019818214 0.05001581 0.008232463
4 1.701881384 0.88523824 0.011162004 0.013140963 0.002790501
5 1.699090883 0.883598151 0.003311677 0.002627125 0.000827919
6 1.698262964 0.883365345 0.000731748 0.000373298 0.000182937
7 1.698080027 0.883355326 0.000120451 1.60697E-05 3.01127E-05
8 1.698049914 0.883362752
Dadas las iteraciones con desplazamientos sucesivos se obtiene el vector solución, marcado de
color verde, y el error del mismo, señalado de color amarillo.
Así los valores de (x,y) que satisfacen el sistema de ecuaciones dado son (1.698080027,
0.883355326)

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Observaciones:
o ¿Qué sucede si tomo valores iniciales que no son cercanos a la raíz?
Considerando X0= (5,4) en (1.1):
0 5 4 19 37 7.4
1 0.25 -3.4 1.4625 -4.7 0.94
2 -0.115625 -2.46 0.473369141 -2.431125 0.486225
3 -0.23396729 -1.973775 0.028515691 -2.076402443 0.415280489
4 -0.24109621 -1.55849451 -0.383378107 -2.248505767 0.449701153
5 -0.14525168 -1.10879336 -0.870108591 -2.677891802 0.53557836
6 0.072275467 -0.573215 -1.421561259 -3.082858763 0.616571753
7 0.427665782 0.043356755 -1.860458734 -2.962915599 0.59258312
8 0.892780465 0.635939875 -1.838882916 -1.864490605 0.459720729
9 1.352501194 1.008837996 -1.179578516 -0.271090812 0.294894629
10 1.647395823 1.063056158 -0.34914316 0.50254855 0.10050971
11 1.734681613 0.962546448 0.046573851 0.339423251 0.06788465
12 1.72303815 0.894661798 0.07419867 0.08307282 0.018549667
13 1.704488483 0.878047234 0.027233755 -0.006757204 0.006808439
14 1.697680044 0.879398675 0.002718858 -0.014124837 0.002824967
15 1.69700033 0.882223642 -0.002413523 -0.005732376 0.001146475
16 1.697603711 0.883370118 -0.001511759 -0.000775221 0.00037794
17 1.69798165 0.883525162 -0.000383477 0.000419025 9.58692E-05
18 1.69807752 0.883441357 2.59057E-05 0.000303816 6.07632E-05
19 1.698071043 0.883380594 6.4674E-05 8.60124E-05 1.72025E-05
20 1.698054875 0.883363391
Es posible apreciar que la tolerancia del error requerida se alcanza en la iteración 19, es decir se
tuvieron que realizarse cerca del doble de iteraciones para llegar a la solución del sistema con el
error solicitado.

8
1.2 Método de Newton
Preliminares:
Matriz jacobiana:
Sean fi(x1,x2, …, xn), con 1  i  n, funciones con n variables independientes. Su matriz jacobiana
J(x1,x2, …, xn), está dada por las derivadas parciales de cada una de las funciones con respecto a
cada una de las variables:
Definición:
En una función de varias variables, la diferencial es el instrumento que se usa para mostrar el efecto de
los cambios de las variables independientes en las variables dependientes. Supóngase que los valores de
las funciones fi(x1, x2, …, xn) se conocen en el punto (x1
0
, x2
0
, …, xn
0
) y se desean estimar sus valores en un
punto cercano (x1, x2, …, xn ). Si se denotan con fi los cambios diferenciales en las variables dependientes
y por xi los cambios diferenciales en las variables independientes, esto puede escribirse con notación
matricial de la siguiente manera:
Este método para resolver sistemas de ecuaciones no lineales consiste en linealizar y resolver
repetidamente.
Usando notación vectorial para escribir el sistema anterior se tiene:
F(X) = 0
Definiendo los vectores columna como
La extensión del método de Newton para sistemas no lineales queda definida como:

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Donde es la matriz jacobiana.
Ejemplo:
Sean:
𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
− 𝑥 + 2𝑦2
+ 𝑦𝑧 − 10 = 0
𝑓2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5𝑥 − 6𝑦 + 𝑧 = 0
𝑓3(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 − 𝑥2
− 𝑦2
= 0
Obtener 2 raíces del sistema con una tolerancia mínima de 0.00005.
Para calcular la Matriz Jacobiana se requiere conocer las derivadas parciales de cada fi respecto a cada una
de las variables:
𝜕𝑓1
𝜕𝑥
= 2𝑥 − 1
𝜕𝑓1
𝜕𝑦
= 4𝑦 + 𝑧
𝜕𝑓1
𝜕𝑧
= 𝑦
𝜕𝑓2
𝜕𝑥
= 5
𝜕𝑓2
𝜕𝑦
= −6
𝜕𝑓2
𝜕𝑧
= 1
𝜕𝑓3
𝜕𝑥
= −2𝑥
𝜕𝑓3
𝜕𝑦
= −2𝑦
𝜕𝑓3
𝜕𝑧
= 1
Al elegir los valores iniciales es recomendable graficar las funciones dadas, debido a que el método
convergerá cuadráticamente si estos están cercanos a la raíz.

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Como primer valor inicial se tomara el vector (1,1.5,3) y con la finalidad de visualizar que sucede en cada
iteración se recomienda ordenar los cálculos en tablas.
x[0]
Jacobiana Jacobiana Inversa fi(xi)
x 1 1 9 1.5 0.02816901 0.12676056 -0.16901408 -1
y 1.5 5 -6 1 0.0657277 -0.03755869 -0.06103286 -1
z 3 -2 -3 1 0.25352113 0.14084507 0.47887324 -0.25
x[1]
x 1.11267606 1.22535211 9.5657277 1.5129108 0.02567273 0.12208512 -0.16092567 0.01966651
y 1.5129108 5 -6 1 0.06236832 -0.03963852 -0.05471919 0
z 3.51408451 -2.22535211 -3.0258216 1 0.24584628 0.15174328 0.47631323 -0.01286258
x[2]
x 1.11010124 1.22020249 9.55929779 1.5109804 0.02575878 0.12217892 -0.16109993 1.1589E-05
y 1.5109804 5 -6 1 0.0624517 -0.03957082 -0.05479247 0
z 3.51537619 -2.22020249 -3.0219608 1 0.24591629 0.15168048 0.47674483 -1.0356E-05
Existen diversas maneras de visualizar que el vector obtenido converge a alguna de las raíces del sistema,
una de ellas es calcular la norma espectral (vista en el capítulo anterior) y la otra es determinar el valor
máximo en valor absoluto del vector f(xi), el resultado de dicha operación será el error que tiene el vector
al que corresponden las xi .
Asi en la iteración x[2]
el error es 1.1589E-05, mismo que cumple con ser menor a 0.00005.
Para encontrar la siguiente raíz del sistema se tomara como vector inicial (-4,0,15), ya que al igual que en
el método de Punto Fijo si se toman valores iniciales lejanos a la raíz este diverge o converge de manera
más lenta:
x[0]
x -4 -9 15 0 -0.06060606 -0.15151515 0.15151515 10
y 0 5 -6 1 0.03030303 -0.09090909 0.09090909 -5
z 15 8 0 1 0.48484848 1.21212121 -0.21212121 -1
x[1]
x -4 -9 13.3333333 -0.66666667 -0.10543131 -0.20447284 0.1341853 0.22222222
y -0.66666667 5 -6 1 0.04313099 -0.05271565 0.08146965 0
z 16 8 1.33333333 1 0.78594249 1.70607029 -0.18210863 -0.44444444
x[2]
x -3.91693291 -8.83386581 13.1842386 -0.6400426 -0.10786419 -0.20748128 0.1384436 0.00151295
y -0.6400426 5 -6 1 0.04198751 -0.0565963 0.0834701 0

11
z 15.7444089 7.83386581 1.2800852 1 0.79124603 1.69782857 -0.19139741 -0.00760898
x[3]
x -3.9157163 -8.8314326 13.1838715 -0.639471 -0.10787509 -0.2075077 0.13852471 6.1687E-07
y -0.639471 5 -6 1 0.04196229 -0.05666427 0.08349793 0
z 15.7417555 7.8314326 1.278942 1 0.79114915 1.6975529 -0.19163596 -1.8069E-06
Tomando el mismo criterio el error en la iteración x[3]
es 1.8069E-06 que de igual manera cumple con ser
menor que la tolerancia.
Observaciones:
Cabe recalcar que el valor inicial tomado en el cálculo de la segunda raíz es ligeramente más lejano a ella,
en comparación con la lejanía del vector inicial y la primera solución del sistema calculada. Esto trajo como
consecuencia que (-4,0,15) tuviera una convergencia más lenta.
1.3 Método de Newton Modificado.
Descripción:
Este método consiste en aplicar n (n=número de ecuaciones) veces el método de Newton univariable, una
para cada variable, por lo que, únicamente requiere la evolución de 2n funciones por paso.
Para obtener las aproximaciones al vector solución se requiere de un vector inicial 𝑥𝑖
0
que deberá estar
lo suficientemente cercano a la raíz buscada para que el método sea convergente a ella.
Así el cálculo de nuevos valores está dado por:
𝑥𝑖
𝑘+1
= 𝑥𝑖
𝑘
−
𝑓𝑖(𝑥1
𝑘
, 𝑥2
𝑘
, … , 𝑥 𝑛
𝑘
)
𝜕𝑓𝑖
𝑘
𝜕𝑥𝑖
𝑘
De manera similar al método de punto fijo, Newton modificado puede realizarse con desplazamientos
sucesivos y simultáneos. Sin embargo emplear desplazamientos sucesivos puede producir convergencia
para algunos arreglos y divergencia para otros.
Ejemplo:
Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
f1(x,y,z)=x2
+y2
+z2
-9=0
f2(x,y,z)=xyz-1=0
f3(x,y,z)=x+y-z2
=0
Encontrar su solución utilizando desplazamientos simultáneos y sucesivos con una tolerancia mínima de
0.0005, recuerde utilizar la norma espectral vista en el tema 1.1.

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Nota:
La principal desventaja de aplicar este método se encuentra en que no hay manera de saber cuándo el
vector inicial convergerá o no, es por ello que es recomendable graficar las ecuaciones proporcionadas
para proponer un valor inicial adecuado.
En el grafo es posible apreciar que existe una intersección cercana a (2.5, 0.5, 1.5) , por lo que
este punto será tomado como X0.
Como siguiente paso se procede a obtener los valores necesarios para aplicar la formula dada.
Así los valores de las derivadas parciales del ejemplo son:
𝜕𝑓1
𝜕𝑥
= 2𝑥
𝜕𝑓2
𝜕𝑦
= 𝑥𝑧
𝜕𝑓3
𝜕𝑧
= −2𝑧
Conociendo los datos suficientes es posible auxiliarse de una tabla de iteraciones, con el fin de mantener
un orden y visualizar mejor los resultados obtenidos:

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a) Desplazamientos simultáneos:
K (x , y, z) fi (x,y,z)
𝛛𝐟𝐢
𝛛𝐱𝐢 Error
0
2.5 -0.25 5
0.250.5 0.875 3.75
1.5 0.75 -3
1
2.55 0.636111111 5.1
0.1247276690.266666667 0.19 4.4625
1.75 -0.245833333 -3.5
2
2.425272331 -0.246237898 4.850544662
0.0512686020.224089636 -0.087085698 4.073880071
1.679761905 -0.17223809 -3.35952381
3
2.476037331 -0.156995028 4.952074662
0.031702880.245466234 -0.010228544 4.03221021
1.628493303 0.069513129 -3.256986605
4
2.507740211 0.072225503 5.015480421
0.0144005150.248002943 0.026077524 4.13736027
1.649836076 0.033784075 -3.299672153
5
2.493339695 0.031009712 4.98667939
0.0062672730.241700006 0.000427774 4.139130127
1.660074692 -0.020808282 -3.320149384
6
2.487121186 -0.020780282 4.974242372
0.0041775770.241596657 -0.006259928 4.11321947
1.653807419 -0.006361137 -3.307614838
7
2.491298763 -0.005602296 4.982597527
0.0017240260.243118561 0.000514851 4.115337163
1.65188424 0.005695783 -3.303768479
8
2.492423136 0.005639205 4.984846272
0.001131270.242993456 0.001495463 4.121491499
1.653608266 0.000996295 -3.307216532
9
2.491291866 0.000821459 4.982583733
0.0004517190.242630611 -0.000271789 4.120371321
1.653909515 -0.001494205 -3.307819029
10
2.491127
0.242696573
1.653457795
El vector solución que satisface el sistema de ecuaciones es (2.491291866, 0.242630611,
1.653909515) con un error de 0.000451719.

14
b) Desplazamientos sucesivos.
K (x , y, z) fi (x,y,z)
𝛛𝐟𝐢
𝛛𝐱𝐢 Error
0
2.5 -0.25 5
0.2385620920.5 0.9125 3.825
1.5 0.561437908 -3
1
2.55 0.417311302 5.1
0.0818257460.261437908 0.08867196 4.164170245
1.687145969 -0.138143388 -3.374291939
2
2.468174254 -0.140452552 4.936348509
0.0284527220.24014388 -0.013017701 4.109962324
1.646206006 0.029943994 -3.292412013
3
2.496626976 0.032367541 4.993253953
0.0064822540.243311233 0.002913985 4.121938692
1.655300856 -0.007271916 -3.310601713
4
2.490144722 -0.007568587 4.980289445
0.0015197080.242604288 -0.000717502 4.11898119
1.653104302 0.001689078 -3.306208605
5
2.491664431 0.001776199 4.983328861
0.0003564280.242778482 0.000165951 4.119664738
1.653615183 -0.000396972 -3.307230366
6
2.491308002
0.242738199
1.653495151
Al realizar las operaciones con desplazamientos sucesivos se obtiene un vector solución =
(2.491664431, 0.242778482, 1.653615183) que de acuerdo a los cálculos tiene un error de
0.000356428; analizar que se logró en la mitad de iteraciones realizadas con desplazamientos
simultáneos.
Observaciones:
 De igual manera que en el Método de punto fijo si se eligen valores iniciales lejanos a la solución
del sistema, este podrá divergir.
Sea 𝑥0 = (4, 5,1)
K (x , y, z) fi (x,y,z) Dfxi Error
0
4 33 8
4.755 19 4
1 8 -2
1
-0.125 16.078125 -0.25
64.31250.25 -1.15625 -0.625
5 -24.875 -10

15
2
64.1875 4119.907813 128.375
32.09275803-1.6 -259.03375 161.2710938
2.5125 56.27484375 -5.025
3
32.09474197 1209.077016 64.18948393
18.836060710.006200739 1.728735857 440.0662162
13.71147388 -155.9035733 -27.42294776
4
13.25868126 231.2145078 26.51736251
8.7193629340.002272385 -0.758176235 106.4184691
8.026323815 -51.16092034 -16.05264763
5
4.539318322 35.0238714 9.078636645
3.857833810.009396865 -0.7935799 21.96691106
4.839253275 -18.86965708 -9.678506551
6
0.681484512 -0.183673617 1.362969025
1.3190069470.045523014 -0.910355037 1.969222923
2.889607741 -7.622825371 -5.779215482
7
0.816244447 -5.609082558 1.632488895
3.4359085540.507814523 -0.348984738 1.281994177
1.570600794 -1.142727883 -3.141201588
8
4.252153001 11.1456592 8.504306003
1.4814992640.780034744 3.002793113 5.131557463
1.206813927 3.57578789 -2.413627855
9
2.941562907 6.917795487 5.883125815
1.1758707370.194872611 0.541021887 7.907842367
2.688313191 -4.090592297 -5.376626383
10
1.76569217
0.126456744
1.927502972
Después de realizar el mismo número de iteraciones que en el inciso a, se tiene un error de
1.175870737, que al ser muy “grande” indica que la sucesión obtenida diverge si se toma 𝑥0 = (4,
5,1)

16
1.4 Método de cuasi Newton
Definición:
El método de Newton tiene como principal desventaja el cálculo y evaluación de las derivadas parciales y
la inversión de la matriz jacobiana. Cuando no es práctico o posible obtener las derivadas parciales se
pueden usar las aproximaciones por diferencias finitas a dichas derivadas lo que generaliza el método de
la secante a los sistemas de ecuaciones no lineales, y se conoce como el método de Cuasi Newton o
Broyden.
Este método requiere n evaluaciones funcionales por iteración y también disminuye el número de cálculos
aritméticos a O(n2
). Ya que la matriz Jacobiana es remplazada por A (una matriz de aproximación que se
actualiza en cada iteración) que tiene la propiedad de:
El método de Broyden consiste en que a partir de una aproximación inicial X(0)
a la solución F(x) = 0, se
calcula la siguiente aproximación X(1)
por el método de Newton. No obstante para calcular X(2)
ya no se
hace con el método de Newton y se recurre al método de la secante utilizando A-1
, así:
Entre los componentes de x(2)
se encuentra el valor de A(k)
, que está dado por:
Donde:
Para la primera aplicación de la ecuación de A(k)
se requieren dos vectores iniciales X(0)
y X(1)
, este último
puede obtenerse de una aplicación del método de Newton cuya matriz jacobiana puede emplearse para
la primera iteración, de modo que:

17
Teorema de Sherman Morrison
El teorema de Sherman Morrison busca solucionar la dificultad de calcular la inversa de una matriz
deduciendo de la fórmula de A(k)
una ecuación general para calcular (A(k)
)-1
mediante sumas y
multiplicaciones de matrices. Así (A(k)
)-1
está dada por:
En general, una vez determinado X(i)
, se calcula X(i +1)
por medio de:
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Broyden iniciando con X(0)
= (1,1,1)t
para
obtener una raíz y con X(0)
= (3,1,1)t para obtener una segunda solución e iterar hasta obtener una
tolerancia en f(X) < 0.0005.
Con X(0)
= (1,1,1)
De no ser posible el cálculo de la jacobiana se puede dar el valor de X(1)
teniendo precaución de
que ambos valores iniciales estén cercanos a la raíz.
En el ejemplo se realizará la primera iteración con ayuda del método de Newton.
Sean:
𝜕𝑓1
𝜕𝑥
= 2𝑥 − 4
𝜕𝑓1
𝜕𝑦
= 2𝑦
𝜕𝑓1
𝜕𝑧
= 0
𝜕𝑓2
𝜕𝑥
= 2𝑥 − 1
𝜕𝑓2
𝜕𝑦
= −12
𝜕𝑓2
𝜕𝑧
= 0
𝜕𝑓3
𝜕𝑥
= 6𝑥 − 12
𝜕𝑓3
𝜕𝑦
= 2𝑦
𝜕𝑓3
𝜕𝑧
= −6𝑧

18
Entonces:
Para las siguientes iteraciones se utilizara Cuasi-Newton tal y como lo indica el método:
x(0)
Jacobiana F(x0
)
x 1 -2 2 0 -2
y 1 1 -12 0 -11
z 1 -6 2 -6 -3
x(1)
Inversa por Sherman F(x1
) ∆X(1)
∆F(1)
x -1.09090909 -0.17158216 -0.01705776 -0.04154138 5.56198347 -2.09090909 7.56198347
y -0.09090909 0.02539865 -0.0769134 -0.00787258 4.37190083 -1.09090909 15.3719008
z 2.22727273 0.35778512 0.02652845 -0.14749801 9.78719008 1.22727273 12.7871901
x(2)
) ∆X(2)
∆F(2)
x 0.34457623 -0.11644445 -0.00976813 -0.04569958 -1.22676326 1.43548532 -6.78874673
y 0.18113219 0.04072028 -0.07488776 -0.00902806 -1.39942976 0.27204128 -5.77133059
z 1.56488913 0.35476121 0.02612866 -0.14726996 -3.09254153 -0.66238359 -12.8797316
x(3)
) ∆X(3)
∆F(3)
x 0.04672879 -0.1270022 -0.01248083 -0.04910046 -0.17505561 -0.29784744 1.05170765
y 0.09836654 0.03638359 -0.07600203 -0.010425 -0.22494367 -0.08276565 1.1744861
z 1.58122391 0.38101554 0.03287444 -0.13881287 -0.04532596 0.01633478 3.04721557
x(4)
) ∆X(4)
∆F(4)
x 0.01946334 -0.25822094 -0.02801708 -0.01296154 -0.06987644 -0.02726546 0.10517917
y 0.08716699 0.00692065 -0.07949043 -0.00231062 -0.0650884 -0.01119955 0.15985526
z 1.64902589 0.26877685 0.01958542 -0.10790124 -0.38268463 0.06780198 -0.33735867
x(5)
) ∆X(5)
∆F(5)
x -0.00536399 -0.2538479 -0.02326084 0.00431912 0.02814207 -0.02482733 0.0980185
y 0.08159244 0.00791366 -0.07841041 0.00161338 0.02628352 -0.00557455 0.09137192
z 1.62778969 0.27109766 0.0221096 -0.09873023 0.12201367 -0.02123619 0.5046983
x(6)
) ∆X(6)
∆F(6)
x 0.0018642 -0.25230342 -0.02284205 0.00500031 -0.00052545 0.00722819 -0.02866752
y 0.08323378 0.00840739 -0.07827653 0.00183114 -0.00066605 0.00164134 -0.02694957
z 1.63162577 0.27158543 0.02224186 -0.0985151 -0.00204001 0.00383607 -0.12405368
x(7)
) ∆X(7)
∆F(7)
x 0.00172661 -0.24828084 -0.02183937 0.00562702 1.7081E-05 -0.00013759 0.00054253
y 0.08318979 0.00813062 -0.07834552 0.00178802 -1.1627E-06 -4.3983E-05 0.00066489
z 1.63158231 0.26974847 0.02178397 -0.09880129 2.7612E-05 -4.3452E-05 0.00206762

19
En la redacción del problema se pide calcular el error entorno a f(x) es decir el error será el valor
máximo del vector evaluado en la función, así la tolerancia es alcanzada en la iteración x(7)
que
tiene un error de 2.7612E-05
Con X(0)
= (3,1,1)
Se seguirá el mismo procedimiento que con X(0)
= (1,1,1).
x(0) Jacobiana F(x0)
x 3 2 2 0 -2
y 1 5 -12 0 -5
z 1 6 2 -6 -3
x(1)
) ∆X(1)
∆F(1)
x 4 0.21836587 0.03976862 0.02024584 1 1 3
y 1 0.11822126 -0.06290672 0.00433839 1 0 6
z 1.5 0.38033261 0.03615329 -0.16341287 2.25 0.5 5.25
x(2)
) ∆X(2)
∆F(2)
x 3.69631236 0.15763537 0.0333735 0.02125939 -0.24844133 -0.30368764 -1.24844133
y 0.93492408 0.10543514 -0.06425314 0.00455179 -0.25267621 -0.06507592 -1.25267621
z 1.45119306 0.40212182 0.03844777 -0.16377652 -0.81137393 -0.04880694 -3.06137393
x(3)
) ∆X(3)
∆F(3)
x 3.76115751 0.15670628 0.03321539 0.01914354 0.00147312 0.06484514 0.24991445
y 0.94857648 0.10525914 -0.0642831 0.00415096 0.00223048 0.01365241 0.25490668
z 1.42792758 0.40798056 0.0394448 -0.15043413 0.08789315 -0.02326548 0.89926709
x(4)
) ∆X(4)
∆F(4)
x 3.75916999 0.20188349 0.03750861 0.00088153 -0.00623777 -0.00198752 -0.00771089
y 0.94819997 0.11507017 -0.06335075 0.00018504 -0.00621058 -0.00037652 -0.00844106
z 1.44046072 0.3286913 0.03190987 -0.11838297 -0.04166096 0.01253315 -0.12955411
x(5)
) ∆X(5)
∆F(5)
x 3.76069897 0.19865766 0.03721135 0.00280495 -0.00022617 0.00152898 0.0060116
y 0.94853201 0.11437469 -0.06341484 0.00059972 -0.00022638 0.00033204 0.0059842
z 1.43777726 0.33572898 0.0325584 -0.12257924 -0.00171477 -0.00268347 0.03994619
x(6)
) ∆X(6)
∆F(6)
x 3.76075713 0.19959352 0.03729865 0.00230799 2.4434E-06 5.8164E-05 0.00022861
y 0.94854455 0.11457629 -0.06339603 0.00049266 2.4473E-06 1.254E-05 0.00022883
z 1.43765036 0.33376092 0.03237482 -0.12153416 1.8103E-05 -0.00012689 0.00173287

20
Esta ocasión la tolerancia solicitada se alcanzó en la iteración x(6)
que posee un error de 1.8103E-05.
De no haber sido proporcionados los valores iniciales estos podían ser asignados auxiliándose de la gráfica.
Gracias a herramientas computacionales, es sencillo visualizar cual es la intersección de las figuras y hacer
una buena elección de los valores iniciales para aplicar los distintos métodos.
Observaciones:
 La desventaja del método radica en que se pierde la convergencia cuadrática de Newton, al ser sustituida por una
convergencia denominada superlineal.
 Otra desventaja es que a diferencia del método de Newton, no es autocorregible. El método de Newton
generalmente corregirá el error del redondeo, con iteraciones sucesivas, no así el método de Broyden, salvo que
se incorporen medidas especiales de corrección.
 El teorema de Sherman Morrison permite calcular la inversa de una matriz con sumas y multiplicaciones de
matrices, con lo que se reduce el esfuerzo computacional al orden n2
 Si el método se aplica como se describe el número de evaluaciones funcionales disminuye de n2
+ n a n (las
necesarias para evaluar F(X(i)
), pero todavía se requieren O(n3
) cálculos para resolver el sistema lineal asociado de
nxn.

21
Capítulo 2 Interpolación y aproximación polinomial
2.1 Interpolación polinomial
En la cotidianeidad es fácil encontrarse con datos tabulados de la forma (xi , yi), para i = 0, 1, …, n, tales
como la presión de una sustancia a diferentes temperaturas, la población en diferentes tiempos, las
distancias a diferentes velocidades, entre otros. En estos casos y = f(x) y f(x) es una función desconocida;
y es común la necesidad de conocer algún valor de y para alguna x que no se encuentra en la tabla. Este
procedimiento es lo que se conoce como Interpolación.
Por consiguiente, interpolación es el cálculo de valores para una función tabulada en puntos que no se
encuentran en la tabla proporcionada.
2.1.1 Fórmula de Lagrange
Definición:
La técnica de interpolación consiste en encontrar una función polinomial que ajuste de forma exacta, es
decir, que pase por los puntos dados en la tabla.
Considérese la construcción de un polinomio a lo más de grado n que pase por los n+1 puntos (x0, f(x0)),
(x1, f(x1)), (x2, f(x2)), ... , (xn, f(xn)), se necesita construir, para cada k = 0, 1, ..., n, un cociente Ln,k(x) con la
propiedad de que Ln,k(xi) = 0 cuando i  k y que Ln,k(xk) = 1 cuando x = xk. Entonces los cocientes de Lagrange
están dados por:
Asi Si x0, x1, ... , xn son (n + 1) números diferentes y f es una función cuyos valores están dados en estos
puntos, entonces existe un único polinomio P de grado a los más n con la propiedad de que f(xk) = P(xk)
para cada k = 0, 1, ... ,n. Este polinomio está dado por:
Ejemplo:
La siguiente tabla relaciona los datos observados de voltaje y temperatura (medida en °F) para termopares
formados por Platino y Platino-10% Rodio con junas refrigeradas a 32°.
Estimar la temperatura para Microvoltios de 300.

22
Decidir el grado del polinomio de aproximación, calcular su error, graficar y obtener conclusiones.
Mvt T(°F)
0 32
500 176
1000 296.7
1500 405.7
2000 509
2500 608.4
3000 704.7
3500 799
4000 891.9
4500 983
5000 1072.6
5500 1160.8
6000 1247.5
Según la fórmula para obtener el polinomio de aproximación se necesitan calcular los coeficientes de
Lagrange, que no son reutilizables, es decir que si se necesita aumentar el grado del polinomio de deben
calcular nuevamente.
Coeficientes de Lagrange:
 Polinomio cuadrático:
L0= (300-500)(300-1000) =0.28
(0-500)(0-1000)
L1= (300-0)(300-1000) =0.84
(500-0)(500-1000)
L2= (300-0)(300-500) =-0.12
(1000-0)(1000-500)

23
 Polinomio cúbico:
Siguiendo la metodología de la fórmula de Lagrange las aproximaciones quedan de la siguiente manera:
El error calculado en la tabla anterior es conocido como ERROR DE LA REGLA DEL TERMINO SIGUIENTE y
consiste en calcular Pn+1 y a este restarle Pn obteniendo así el error de Pn, en otras palabras el error será el
término que se le sumaría a Pn para convertirlo en Pn+1
Consideraciones:
 Para la construcción del polinomio de Lagrange es importante conocer de antemano el grado del
polinomio ya que cambiarlo implicaría realizar todos los cálculos desde un inicio.
 Para la construcción del polinomio de Lagrange, los datos no requieren estar ordenados, ni
igualmente espaciados.
 Los polinomios de interpolación generan oscilaciones conforme aumenta el grado del mismo, por
consiguiente se recomienda no emplear polinomios de grados muy elevados.
L0= (300-500)(300-1000)(300-1500) =0.224
(0-500)(0-1000)(0-1500)
L1= (300-0)(300-1000)(300-1500) =1.008
(500-0)(500-1000)(500-1500)
L2= (300-0)(300-500)(300-1500) =-0.288
(1000-0)(1000-500)(1000-1500)
L2= (300-0)(300-500)(300-1000) =0.056
(1500-0)(1500-500)(1500-1000)
x P2(x) P3(x) Error de P2(x)
300 121.196 121.8456 0.6496

24
2.1.2 Diferencias divididas
Definición:
Los métodos para determinar la representación explícita de un polinomio de interpolación, a partir de
datos tabulados, se conocen como métodos de diferencias divididas.
Supóngase que Pn es un polinomio de grado a lo más n que coincide con la función f en los números
distintos x0, x1, ... , xn. Las diferencias divididas de f con respecto a x0, x1, ... , xn se pueden derivar
demostrando que Pn tiene la representación:
con constantes apropiadas a0, a1, ... , an.
Entonces, evaluando Pn en x0 queda solamente el término constante a0, es decir, a0 = Pn(x0) = f(x0).
Ocurre de manera similar, cuando Pn se evalúa en x1:
Así que:
De este modo la 1ª diferencia dividida de f con respecto a xi y xi+1, se denota por f[xi , xi+1] y está definida
como:
Generalizando:
Sean las (k-1) diferencias divididas:
La k-ésima diferencia dividida de f relativa a xi, xi+1, xi+2, ... , xi+k está dada por:

25
De este modo la tabla de diferencias divididas es:
Así el polinomio de interpolación está dado por:
Ó
A esta última ecuación se le conoce como la fórmula de diferencia dividida interpolante de Newton.
Ejemplo:
Tomando en cuenta que Lagrange es equivalente a Diferencias divididas, se retomara el ejemplo del
capítulo anterior, ahora buscando estimar la temperatura para microvoltios de 1700, 3300,5300 y 5900.
Haciendo los cálculos necesarios, la tabla de diferencias divididas es la siguiente:
i xi f(xi) f[1]
f[2]
f[3]
f[4]
f[5]
0 0 32 0.288 -0.0000472 1.66667E-08 -4.93333E-12 1.17333E-15
1 500 176 0.2408 -2.22E-05 6.8E-09 -2E-12 4.53333E-16
2 1000 296.4 0.2186 -0.000012 2.8E-09 -8.66667E-13 4.26667E-16
3 1500 405.7 0.2066 -7.8E-06 1.06667E-09 2E-13 -2.1333E-16
4 2000 509 0.1988 -6.2E-06 1.46667E-09 -3.33333E-13 -1.3333E-16
5 2500 608.4 0.1926 -4E-06 8E-10 -6.66667E-13 4.53333E-16
6 3000 704.7 0.1886 -2.8E-06 -5.33333E-10 4.66667E-13 -2.4E-16
7 3500 799 0.1858 -3.6E-06 4E-10 -1.33333E-13 -2.0351E-28
8 4000 891.9 0.1822 -3E-06 1.33333E-10 -1.33333E-13
9 4500 983 0.1792 -2.8E-06 -1.33333E-10
10 5000 1072.6 0.1764 -0.000003
11 5500 1160.8 0.1734
12 6000 1247.5

26
Para obtener mejores aproximaciones se debe elegir correctamente Xo , considerando que este debe estar
cercano al valor que se desea interpolar. Los datos anteriores a él se ignoraran.
Con x=1700, se elegirá x0=1000 y la parte de la tabla a utilizar será la siguiente:
Así las aproximaciones y sus respectivos errores por la regla del término siguiente son:
El siguiente valor a interpolar es 3300, en este caso x0 sera igual a 2500, siendo la parte de la tabla a utilizar
la siguiente:
Después de seguir el método, las aproximaciones y errores respectivos son:
i xi f(xi) f[1]
f[2]
f[3]
f[4]
f[5]
2 1000 296.4 0.2186 -0.000012 2.8E-09 -8.66667E-13 4.26667E-16
3 1500
4 2000
5 2500
6 3000
P2(1700)= 447.74
P3(1700)= 447.6224
P4(1700)= 447.5933
P2(1700)ERTS = -0.1176
P3(1700)ERTS = -0.02912
P4(1700)ERTS = -0.01864
i xi f(xi) f[1]
f[2]
f[3]
f[4]
f[5]
5 2500 608.4 0.1926 -4E-06 8E-10 -6.66667E-13 4.53333E-16
6 3000
7 3500
8 4000
9 4500
P3(3300)= 761.4816
P4(3300)= 761.4592
P3(3300)ERTS = -0.0224
P4(3300)ERTS = -0.0182784

27
Con x= 5300 ; debido a que el valor se encuentra cerca del final del intervalo permitido (recordar que solo
es posible interpolar un valor que esté dentro del intervalo formado por los extremos de la tabla), el grado
del polinomio no puede ser muy alto, ya que no se tendrían los datos suficientes para calcularlo, de este
modo se tomarán 2 valores iniciales, para observar cómo se comportan.
Con x0=4000
Con x0=4500
Es posible observar que la aproximación es considerablemente más efectiva si el valor a interpolar esta lo
más centrado posible en la tabla que se utilizará. Con x0=4000, aun haciendo un polinomio de tercer grado,
se tiene un error mayor que en el polinomio de segundo grado con x0=4500.
Finalmente se desea interpolar x=5900, y se presenta el mismo percance que con x=5300, así que de igual
manera se realizará la comparación tomando dos puntos de partida distintos.
Con x0=4000
i xi f(xi) f[1]
f[2]
f[3]
f[4]
8 4000 891.9 0.1822 -3E-06 1.33333E-10 -1.33333E-13
9 4500
10 5000
11 5500
P2(5300)= 1125.64
P3(5300)= 1125.6816
P2(5300)ERTS = 0.0416
P3(5300)ERTS = 0.00832
i xi f(xi) f[1]
f[2]
f[3]
9 4500 983 0.1792 -2.8E-06 -1.33333E-10
10 5000
11 5500
P2(5300)= 1125.688
P3(5300)= 1125.6944
P2(5300)ERTS = 0.0064
P3(5300)ERTS = ----
P2(5900)= 1230.1
P3(5900)= 1230.4192

28
Con x0=4500
Al igual que en el punto anterior, la aproximación mejora considerablemente entre más centrado
este el punto a interpolar.
2.1.3 Interpolación de Newton
Definición:
El método de interpolación de Newton es más versátil que Lagrange, ya que si los datos están ordenados
e igualmente espaciados la fórmula se puede simplificar y además mejorar la precisión.
Según la ubicación del valor a interpolar se utilizara la formula Progresiva de Newton ó la formula
Regresiva de newton.
Fórmula regresiva de Newton:
Cuando x0, x1, ... , xn, están ordenados consecutivamente e igualmente espaciados, la fórmula de
diferencias divididas:
Considere:
 Sea h igual a la diferencia entre un punto y otro, entonces:
ℎ = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 para cada i = 0, 1, ... , n – 1
 Haciendo x = x0 + sh, la diferencia (x – xi) puede escribirse como x – xi = (s – i)h, y
𝑠 =
𝑥 − 𝑥0
ℎ
P2(5900)ERTS = 0.3192
P3(5900)ERTS = -0.12768
P2(5900)= 1230.352
P3(5900)= 1230.2848
P2(5900)ERTS = -0.0672
P3(5900)ERTS = -----

29
Así la fórmula se transforma en:
Además como los datos están igualmente espaciados se puede construir el polinomio haciendo uso de la
notación de diferencia progresiva, .Pudiendo expresarse de la siguiente manera:
Generalizando:
Por lo tanto el polinomio queda de la siguiente forma:
A esta fórmula se le conoce como fórmula de diferencias progresivas de Newton.
Fórmula regresiva de Newton:
Si los puntos de la tabla se reordenan descendentemente xn, xn-1, ... , x0, resultará una fórmula similar a la
fórmula de diferencia dividida interpolante de Newton y considerando que se usan espacios iguales entre
los datos.
Sean: x = xn + sh
x = xi + (s + n – i)h
La fórmula se convierte en:
En este caso se definen las diferencias regresivas como:

30
Consecuentemente se obtiene:
Esta última ecuación se llama fórmula de diferencia regresiva de Newton, y se emplea para aproximar
valores que se encuentran al final de la tabla.
Ejemplo:
La siguiente tabla proporciona las presiones de vapor a diferentes temperaturas para el 1-3 butadieno.
Obtener una estimación para la presión a 58° y 83° con un polinomio de 2do
y 3er
grado
Para calcular lo solicitado en necesario obtener la tabla de diferencias de Newton, siendo la siguiente la
que corresponde al ejercicio.
Con x=58 el valor que tomará x0 deberá ser el valor máximo de la tabla que sea menor a x, asi x0=50.
Entonces:
Para obtener una estimación con x=83 se deberá seguir la metodología de la interpolación de Newton
Regresivo, por el hecho de que el valor de x está cercano a los últimos valores tabulados, respetando el
método, el valor de x0 deberá ser igual a 90 (ignorando la última fila de la tabla), siendo los valores a utilizar
los marcados en color azul.
T(°F) 50 60 70 80 90 100
P(l/plg2) 24.94 30.11 36.05 42.84 50.57 59.3
i xi f(xi) ∆f(xi) ∆2
f(xi) ∆3
f(xi) ∆4
f(xi) ∆5
f(xi)
0 50 24.94 5.17 0.77 0.08 0.01 -0.04
1 60 30.11 5.94 0.85 0.09 -0.03
2 70 36.05 6.79 0.94 0.06
3 80 42.84 7.73 1
4 90 50.57 8.73
5 100 59.3
h = 10 P2(58)= 29.0144
S = 0.8 P3(58)= 29.01696
P2(58)ERTS = 0.00256
P3(58)ERTS = -0.000176

31
Así
Observaciones:
o Los resultados son idénticos a los que se obtendrían con las fórmulas de diferencias divididas, pero en este
caso se sustituye el cálculo de las diferencias divididas sólo por diferencias.
o Los datos deben estar igualmente espaciados.
o Los valores a interpolar tienen que ubicarse al final o al inicio de la tabla, ya que las fórmulas de diferencias
de Newton no son apropiadas para aproximar un valor x que se encuentre cerca del centro de la tabla. En
estas circunstancias se dispone de fórmulas de centradas.
2.1.4 Polinomio de Hermite
Definición:
Los polinomios ajustados a los valores de la función y de su derivada se llaman polinomios de interpolación
de Hermite o polinomios osculantes y estos son una generalización de los polinomios de Taylor y Lagrange.
Si f ϵ C1
[a,b] y x0,x1, x2, …, xn (números distintos) ϵ [a, b] , el único polinomio de menor grado que coincide
con f y f’ en x0,x1, x2, …, xn es un polinomio de grado a lo más (2n + 1) dado por:
donde
En este contexto, Ln,j denota al j-ésimo coeficiente polinomial de Lagrange de grado n.
i xi f(xi) ∆f(xi) ∆2
f(xi) ∆3
f(xi) ∆4
f(xi) ∆5
f(xi)
0 50 24.94 5.17 0.77 0.08 0.01 -0.04
1 60 30.11 5.94 0.85 0.09 -0.03
2 70 36.05 6.79 0.94 0.06
3 80 42.84 7.73 1
4 90 50.57 8.73
h = 10 P2(83)= 45.0603
S = -0.7 P3(83)= 45.056205
P2(83)ERTS = -0.004095
P3(83)ERTS = 0.00383337

32
Ejemplo:
La fórmula para obtener H2n+1(x) implica calcular el cuadrado de los coeficientes de Lagrange evaluados en
el punto a interpolar, según el ejemplo los datos requeridos serían los siguientes:
L0= (x-5)(x-8)(x-13) L0= x3
-26x2
+209x-520 L0(x)= 0.3
(3-5)(3-8)(3-13) -100
L1= (x-3)(x-8)(x-13) L1= x3
-24x2
+167x-312 L1(x)= -0.875
(5-3)(5-8)(5-13) 48
L2= (x-3)(x-5)(x-13) L2= x3
-21x2
+119x-195 L2(x)= 1.4
(8-3)(8-5)(8-13) -75
L3= (x-3)(x-5)(x-8) L3= x3
-16x2
+79x-120 L3(x)= 0.175
(13-3)(13-5)(13-8) 400
De igual forma es necesario calcular el valor de las derivadas de Li para posteriormente evaluarlas en cada
punto de la tabla.
L0'= 3x2
-52x+209
-100
L1'= 3x2
-48x+167
48
Con fin de mantener los datos requeridos visibles, se construye una tabla con lo necesario para saber el
valor de H2n+1(x)
j xj f(xj) f'(xj) Lj'(xj) Lj
2
(x) Hn,j(x) H︢n,j(x)
0 3 225 77 -0.8 0.09 1.098 0.63
1 5 383 80 0.04166667 0.765625 0.446614583 3.828125
2 8 625 74 0.33333333 1.96 -0.653333333 3.92
3 13 993 72 0.425 0.030625 0.10871875 -0.091875
Así:
Alternativa:
La necesidad de determinar y evaluar los cocientes de Lagrange y sus derivadas hace el procedimiento
tedioso, aun para valores pequeños de n. Un método alternativo para generar aproximaciones de Hermite
está basada en la fórmula de diferencias divididas y la conexión entre la n-ésima diferencia dividida y la n-
ésima derivada de f.
L2'= 3x2
-42x+119
-75
L3'= 3x2
-32x+79
400
H9(10)= 755.9527708

33
Supóngase se dan n + 1 números distintos x0, x1, ..., xn junto con sus valores de f y f’. Datos con los que se
define una sucesión z0, z1, ..., z2n+1 con la que se construirá la tabla de diferencias divididas de la siguiente
manera:
Las diferencias divididas restantes se producen de la manera usual y por último se emplean las diferencias
divididas apropiadas en la fórmula de diferencia dividida interpolante de Newton.
Retomando el ejemplo, la tabla de diferencias divididas toma los siguientes valores:
z f(z) f[1] f[2] f[3] f[4] f[5] f[6] f[7]
3 225 77 1 -0.25 0.03888889 -0.03814815 0.00668657 -0.00117433
3 225 79 0.5 -0.05555556 -0.15185185 0.02871759 -0.00505671
5 383 80 0.22222222 -0.81481481 0.13532407 -0.02184954
5 383 80.66666667 -2.22222222 0.26777778 -0.03947222
8 625 74 -0.08 -0.048
8 625 73.6 -0.32
13 993 72
13 993
Por lo tanto:
Observaciones:
 El polinomio de Hermite es equivalente al polinomio de grado mayor que es posible calcular
mediante la tabla de diferencias divididas.
 Estas aproximaciones son las mejores debido a que no solo pasan por los puntos, sino también
por sus derivadas.
P7(10)= 755.9527708

34
2.2 Teoría de la aproximación
Otra manera de ajustar un polinomio a un conjunto de datos es mediante un spline, solo que éste lo hace
a través de una curva suave. Siendo el spline cúbico el de menor grado que satisface las condiciones para
crear las curvaturas, será este en el que se enfocara el capítulo.
Por otro lado los ajustes de curvas tienen como objetivo trazar una curva suave que se ajuste de la mejor
manera posible a un conjunto de datos tabulados, a diferencia de la interpolación polinomial el método
de mínimos cuadrados no busca pasar por los puntos, ya que se parte del supuesto de que estos tienen
errores.
2.2.1 Spline Cúbico
Descripción:
La aproximación mediante splines cúbicos o trazadores se aplica a n pares ordenados de datos. Se buscan
encontrar n-1 curvas que conectan los puntos 1 y 2 , 2 y 3 , … , n-1 y n. Además se requiere que las dos
curvas que conectan los puntos (k-1) y k y los puntos k y (k+1) tengan la misma pendiente en el punto k.
De esta manera, el ajuste de la curva resultante es continuo y suave.
Para que lo anterior se cumpla, debe suceder que:
Un polinomio cúbico es el polinomio de menor grado que generalmente satisface las condiciones para el
ajuste de curva. Entonces, se creara una sucesión de splines cúbicos sobre intervalos sucesivos de los
datos.
Sea gi(xi) la ecuación para un polinomio cúbico en el i-ésimo intervalo, entre los puntos (xi , yi) y (xi+1, yi+1):

35
La función de spline cúbico que se desea es de la forma:
Y cumplen las condiciones:
Si hay n + 1 puntos, el número de intervalos y el número de gi(x) es n, entonces hay cuatro veces n
incógnitas que son las {ai , bi , ci , di} para i = 0, 1, ..., n – 1, las cuales están dadas por:
Considere Si =gi’’(xi)
Por otro lado al hacer una serie de sustituciones y operaciones se obtiene que:
Esta última ecuación es válida en cada punto interno i = 1, 2, ... , n – 1, lo cual proporciona n-1 ecuaciones
que relacionan los n+1 valores Si . Al dar condiciones a los extremos se obtienen dos condiciones
adicionales que implican S0 y Sn, las cuales son arbitrarias en cierta medida.Escribiendo dicha ecuación en
forma matricial con S1, S2, ..., Sn-1 como las incógnitas:

36
Como puede observarse hay n+1 incógnitas y n-1 ecuaciones. Para hacer el sistema cuadrado se eliminan
S0 y Sn usando las suposiciones en la frontera, la más común de ellas es el spline natural que consiste en
hacer S0 = 0 y Sn = 0 para que las cúbicas de los extremos se aproximen linealmente a los puntos x0 y xn.
(esta alternativa aplana un poco los extremos).
Una vez que se obtienen los valores Si se calculan los valores {ai , bi , ci , di} para las cúbicas en cada
intervalo. A partir de éstas es posible calcular puntos en la curva de interpolación.

37
Ejemplo:
Mediante trazadores hacer un ajuste de curvas para aproximar el contorno del dragón mostrado en la
figura.
Con fines de orden y claridad se irán recopilando los datos requeridos por el método en tablas.
Para determinar la matriz de coeficientes y el vector independiente que proporciona las si o gi’’(xi) se
necesita la tabulación de los datos, los espacios entre ellos (h) y su primera diferencia dividida:
i xi f(xi) hi f[1]
0 0.62 2.14 0.12 6.833333333
1 0.74 2.96 0.26 -0.615384615
2 1 2.8 0.78 1.025641026
3 1.78 3.6 0.64 -0.25
4 2.42 3.44 0.74 -0.378378378
5 3.16 3.16 1.54 -1.376623377
6 4.7 1.04 2.3 0.417391304
7 7 2 2.08 -0.701923077
8 9.08 0.54 1.28 1.09375
9 10.36 1.94 -0.84 -1.976190476
10 9.52 3.6

38
Consecuentemente la matriz a resolver es la siguiente:
0.12 0.76 0.26 0 0 0 0 0 0 0 0 = -44.69230769
0 0.26 2.08 0.78 0 0 0 0 0 0 0 = 9.846153846
0 0 0.78 2.84 0.64 0 0 0 0 0 0 = -7.653846154
0 0 0 0.64 2.76 0.74 0 0 0 0 0 = -0.77027027
0 0 0 0 0.74 4.56 1.54 0 0 0 0 = -5.989469989
0 0 0 0 0 1.54 7.68 2.3 0 0 0 = 10.76408809
0 0 0 0 0 0 2.3 8.76 2.08 0 0 = -6.715886288
0 0 0 0 0 0 0 2.08 6.72 1.28 0 = 10.77403846
0 0 0 0 0 0 0 0 1.28 0.88 -0.84 = -18.41964286
¡Alto!
La matriz de coeficientes resultante NO es cuadrada, por lo tanto, no tiene solución. Así que para
desaparecer el percance se aplicara “Spline natural” , de este modo la matriz toma la siguiente forma:
Como la matriz ya es cuadrada, esta puede resolverse por el método que se considere más apropiado.
Resolviendo el sistema de ecuaciones y sustituyendo en las fórmulas de ai , bi , ci , di se obtiene:
0.76 0.26 0 0 0 0 0 0 0 = -44.69230769
0.26 2.08 0.78 0 0 0 0 0 0 = 9.846153846
0 0.78 2.84 0.64 0 0 0 0 0 = -7.653846154
0 0 0.64 2.76 0.74 0 0 0 0 = -0.77027027
0 0 0 0.74 4.56 1.54 0 0 0 = -5.989469989
0 0 0 0 1.54 7.68 2.3 0 0 = 10.76408809
0 0 0 0 0 2.3 8.76 2.08 0 = -6.715886288
0 0 0 0 0 0 2.08 6.72 1.28 = 10.77403846
0 0 0 0 0 0 0 1.28 0.88 = -18.41964286
Si ai bi ci di
0 -89.06050909 0 8.115804664 2.14
-64.12356654 51.06935449 -32.06178327 4.268390672 2.96
15.54462646 -4.914351999 7.772313231 -2.046871539 2.8
-7.454540891 2.50779114 -3.727270446 1.108261834 3.6
2.175377088 -1.099702918 1.087688544 -0.581070583 3.44
-2.707303867 0.626532338 -1.353651934 -0.777883492 3.16
3.081854936 -0.498537373 1.540927468 -0.489479169 1.04
-3.797960811 1.054215304 -1.898980406 -1.313000925 2
9.358646185 -5.716488905 4.679323093 4.470111864 0.54
-34.54398861 -6.853965994 -17.2719943 -11.64850729 1.94
0

39
Lo último a especificar es la expresión explicita de los splines cúbicos e indicar el intervalo en el que son
válidos:
Quedando la aproximación a las curvas de la siguiente manera:
Observaciones
 Los intervalos no necesariamente tienen que ser uniformes.
Splines cúbicos Intervalos
go(x)= -89.06050909(x-0.62)3
+8.115804664(x-0.62)+2.14 0.62≤ x ≤ 0.74
g1(x)= 51.06935449 (x-0.74)3
-32.06178327(x-0.74)2
+4.268390672 (x-0.74)+ 2.96 0.74 ≤ x ≤ 1
g2 (x)=-4.914351999 (x-1)3
+7.772313231 (x-1)2
-2.046871539(x-1)+2.8 1 ≤ x ≤ 1.78
g3(x)= 2.50779114(x-1.78)3
-3.727270446(x-1.78)2
+1.108261834(x-1.78)+3.6 1.78 ≤ x ≤ 2.42
g4(x)= -1.099702918(x-2.42)3
+1.087688544(x-2.42)2
-0.581070583 (x-2.42)+ 3.44 2.42 ≤ x ≤ 3.16
g5(x)=0.626532338(x-3.16)3
-1.353651934(x-3.16)2
-0.777883492(x-3.16)+3.16 3.16 ≤ x ≤ 4.7
g6(x)= -0.498537373(x-4.7)3
+1.540927468(x-4.7)2
-0.489479169 (x-4.7)+1.04 4.7≤ x ≤ 7
g7(x)= 1.054215304(x-7)3
-1.898980406(x-7)2
-1.313000925(x-7)+2 7 ≤ x ≤ 9.08
g8(x)= -5.716488905(x-9.08)3
+4.679323093 (x-9.08)2
+4.470111864(x-9.08)+0.54 9.08 ≤ x ≤ 10.36
g9(x)=-6.853965994(x-10.36)3
-17.2719943(x-10.36)2
-11.64850729(x-10.36)+1.94 10.36 ≤ x ≤ 9.52
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 2 4 6 8 10 12

40
2.2.2 Mínimos cuadrados
Descripción:
El método de mínimos cuadrados busca ajustar un polinomio a cierto grupo de valores tabulados, sin
embargo se parte del supuesto de que estos datos contienen errores, motivo por el cual a diferencia de
los métodos de interpolación polinomial esté no busca pasar por los puntos dados.
Mínimos cuadrados forma parte del grupo de alternativas para encontrar una función que se ajuste de la
mejor manera a los valores de una tabla dada. Las otras dos opciones son mínimax y desviación absoluta.
Sea a1xi + a0 el i-ésimo valor de la recta de aproximación, yi el i-ésimo valor dado para y, y n el número de
puntos en la tabla.
El problema de determinar la ecuación de la mejor aproximación lineal en el sentido absoluto consiste en
encontrar los valores de a0 y a1 que minimicen el error, dado por:
𝐸∞(𝑎0, 𝑎1) = 𝑚á𝑥1≤𝑖≤𝑛[|𝑦𝑖 − (𝑎1 𝑎𝑖 + 𝑎0)|]
Este problema se conoce como minímax y no sencilla su solución, además este método da demasiado
valor relativo a un elemento que contiene un gran error por lo que no es recomendable su uso.
Por otro lado a la cantidad dada por:
𝐸1(𝑎0, 𝑎1) = ∑|𝑦𝑖 − (𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎0)|
𝑛
𝑖=1
Se le conoce como desviación absoluta y para minimizarla se necesitan encontrar a1 y a0 tales que:
𝜕
𝜕𝑎0
∑|𝑦𝑖 − (𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎0)| = 0 𝑦
𝑛
𝑖=1
𝜕
𝜕𝑎1
∑|𝑦𝑖 − (𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎0)| = 0
𝑛
𝑖=1
La dificultad de esto radica en que el valor absoluto no es derivable en cero, y este par de ecuaciones no
necesariamente tienen solución. Por otro lado la desviación absoluta promedia el error en varios puntos
sin dar suficiente valor relativo a un punto que está muy alejado de la aproximación.
Buscando la solución a estos percances, el método de mínimos cuadrados considera el error como:
𝐸2(𝑎0, 𝑎1) = ∑[𝑦𝑖 − (𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎0)]2
𝑛
𝑖=1
Convirtiéndose así en el método con el procedimiento más adecuado para determinar las mejores
aproximaciones lineales, entre las razones de ello se encuentra que concede mayor valor relativo al punto
que está alejado del resto de los datos, pero no permite que este domine la aproximación.

41
Para aproximar un polinomio algebraico mediante el procedimiento de mínimos cuadrados, se realiza la
siguiente metodología.
Sea el polinomio
En general para disminuir al mínimo el error de este, es necesario seleccionar las constantes a0, a1, …, an
de tal manera que las parciales con respecto a cada una de ellas sea cero. Esto nos da n + 1 ecuaciones
normales en las n + 1 incógnitas aj y conviene escribir las ecuaciones como sigue.
Donde m es igual al número de datos que contiene la tabla.
Estas ecuaciones normales tienen solución única siempre y cuando las xi sean distintas.
Ejemplo:
Sea la sig. Tabla de valores, construir un polinomio que ajuste a los datos de la mejor manera posible,
quedando a su elección el grado del mismo.
xi yi
1 0.1 1.9
2 1.1 7.9
3 1.6 24.9
4 2.4 25.2
5 2.5 34.9
6 4.1 42.7
7 5.2 29.7
8 6.1 42.6
9 6.6 36.1

42
10 7.1 23.7
11 8.2 13
12 9.1 12.7
13 9.4 -3.1
14 11.1 -13
15 11.4 -28.7
16 12.2 -39.5
17 13.2 -48.6
18 14.1 -40.2
19 15.6 -51.6
20 16.1 -30.5
21 17.6 -34.6
22 17.9 -16.4
23 19.1 -13.4
24 20 -1.1
Para obtener los datos necesarios para formar el sistema de ecuaciones requerido es recomendable
organizar en un tabla los valores calculados, como el problema no especifica el grado del polinomio lo más
óptimo es obtener los polinomios de grado 1, 2 ,3 y 4 siendo éstos menos propensos a oscilaciones y
compararlos.
xi yi xi
2
xi
3
xi
4
xi
5
xi
6
xi
7
xi
8
1 0.1 1.9 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 0.00000001
2 1.1 7.9 1.21 1.331 1.4641 1.61051 1.771561 1.9487171 2.14358881
3 1.6 24.9 2.56 4.096 6.5536 10.48576 16.777216 26.8435456 42.94967296
4 2.4 25.2 5.76 13.824 33.1776 79.62624 191.102976 458.6471424 1100.753142
5 2.5 34.9 6.25 15.625 39.0625 97.65625 244.140625 610.3515625 1525.878906
6 4.1 42.7 16.81 68.921 282.5761 1158.56201 4750.104241 19475.42739 79849.25229
7 5.2 29.7 27.04 140.608 731.1616 3802.04032 19770.60966 102807.1703 534597.2853
8 6.1 42.6 37.21 226.981 1384.5841 8445.96301 51520.37436 314274.2836 1917073.13
9 6.6 36.1 43.56 287.496 1897.4736 12523.32576 82653.95002 545516.0701 3600406.063
10 7.1 23.7 50.41 357.911 2541.1681 18042.29351 128100.2839 909512.0158 6457535.312
11 8.2 13 67.24 551.368 4521.2176 37073.98432 304006.6714 2492854.706 20441408.59
12 9.1 12.7 82.81 753.571 6857.4961 62403.21451 567869.252 5167610.194 47025252.76
13 9.4 -3.1 88.36 830.584 7807.4896 73390.40224 689869.7811 6484775.942 60956893.85
14 11.1 -13 123.21 1367.631 15180.7041 168505.8155 1870414.552 20761601.53 230453777
15 11.4 -28.7 129.96 1481.544 16889.6016 192541.4582 2194972.624 25022687.91 285258642.2
16 12.2 -39.5 148.84 1815.848 22153.3456 270270.8163 3297303.959 40227108.3 490770721.3
17 13.2 -48.6 174.24 2299.968 30359.5776 400746.4243 5289852.801 69826056.97 921703952.1
18 14.1 -40.2 198.81 2803.221 39525.4161 557308.367 7858047.975 110798476.4 1562258518

43
19 15.6 -51.6 243.36 3796.416 59224.0896 923895.7978 14412774.45 224839281.3 3507492789
20 16.1 -30.5 259.21 4173.281 67189.8241 1081756.168 17416274.3 280402016.3 4514472463
21 17.6 -34.6 309.76 5451.776 95951.2576 1688742.134 29721861.55 523104763.4 9206643835
22 17.9 -16.4 320.41 5735.339 102662.5681 1837659.969 32894113.44 588804630.7 10539602889
23 19.1 -13.4 364.81 6967.871 133086.3361 2541949.02 48551226.27 927328421.8 17711972857
24 20 -1.1 400 8000 160000 3200000 64000000 1280000000 25600000000
∑ 231.8 -25.4 3101.84 47145.212 768326.1452 13080405.13 229355836.8 4107152968 74711646130
xiyi xi
2
yi xi
3
yi xi
4
yi
0.19 0.019 0.0019 0.00019
8.69 9.559 10.5149 11.56639
39.84 63.744 101.9904 163.18464
60.48 145.152 348.3648 836.07552
87.25 218.125 545.3125 1363.28125
175.07 717.787 2942.9267 12065.99947
154.44 803.088 4176.0576 21715.49952
259.86 1585.146 9669.3906 58983.28266
238.26 1572.516 10378.6056 68498.79696
168.27 1194.717 8482.4907 60225.68397
106.6 874.12 7167.784 58775.8288
115.57 1051.687 9570.3517 87090.20047
-29.14 -273.916 -2574.8104 -24203.21776
-144.3 -1601.73 -17779.203 -197349.1533
-327.18 -3729.852 -42520.3128 -484731.5659
-481.9 -5879.18 -71725.996 -875057.1512
-641.52 -8468.064 -111778.4448 -1475475.471
-566.82 -7992.162 -112689.4842 -1588921.727
-804.96 -12557.376 -195895.0656 -3055963.023
-491.05 -7905.905 -127285.0705 -2049289.635
-608.96 -10717.696 -188631.4496 -3319913.513
-293.56 -5254.724 -94059.5596 -1683666.117
-255.94 -4888.454 -93369.4714 -1783356.904
-22 -440 -8800 -176000
-3252.81 -61473.399 -1013715.077 -16344198.08

44
En la fila de color amarillo se ubican las sumas requeridas para plantear el sistema de ecuaciones y obtener
las variables a0, a1,…., an que minimicen el error, así el problema se reduce a sustituir los valores en las
formulas dadas de acuerdo al grado del polinomio.
Según el procedimiento de mínimos cuadrados la matriz de coeficientes es la siguiente:
Polinomio lineal:
El sistema de ecuaciones puede resolverse por el método de su agrado. Así los coeficientes a0 y a1 tienen
los siguientes valores:
Polinomio cuadrático:
24 231.8 3101.84 = -25.4
231.8 3101.84 47145.212 = -3252.81
3101.84 47145.212 768326.1452 = -61473.399
Así:
Polinomio cúbico:
Sistema de ecuaciones:
24 231.8 3101.84 47145.212 = -25.4
231.8 3101.84 47145.212 768326.1452 = -3252.81
3101.84 47145.212 768326.1452 13080405.13 = -61473.399
47145.212 768326.1452 13080405.13 229355836.8 = -1013715.077
Solución:
24 231.8 = -25.4
231.8 3101.84 = -3252.81
a0= 32.59871723
a1= -3.484767961
a0= 36.86042897
a1= -4.829885201
a2= 0.067546068
a0= -5.265897338
a1= 23.15637804
a2= -3.515293102
a3= 0.119571206

45
Polinomio de cuarto grado:
Sistema de ecuaciones:
24 231.8 3101.84 47145.212 768326.1452 = -25.4
231.8 3101.84 47145.212 768326.1452 13080405.13 = -3252.81
3101.84 47145.212 768326.1452 13080405.13 229355836.8 = -61473.399
47145.212 768326.1452 13080405.13 229355836.8 4107152968 = -1013715.077
768326.1452 13080405.13 229355836.8 4107152968 74711646130 = -16344198.08
Solución:
a0= -9.73331718
a1= 28.10531668
a2= -4.646925689
a3= 0.20756603
a4= -0.002184407
Ya obtenidos los valores de a0, a1, a2, …, an según el grado del polinomio y considerando que
Los valores para Pn en cada Xi y su respectiva diferencia al cuadrado con los valores de yi son:
P1 P2 P3 P4 (yi-P1)2
(yi-P2)2
(yi-P3)2
(yi-P4)2
32.25024043 36.37811591 -2.985292893 -6.969047421 921.1370941 1188.740477 23.86608665 78.66000216
28.76547247 31.62928599 16.11176313 15.83282328 435.3679413 563.0790136 67.43305371 62.92968519
27.02308849 29.30553058 23.27492085 24.17493447 4.507504727 19.4086997 2.64088225 0.525720022
24.23527412 25.65776984 31.71427405 33.75007028 0.930696026 0.209553223 42.43576638 73.10370186
23.88679732 25.20787889 32.52276597 34.64457976 121.2906332 93.93721162 5.651241611 0.065239497
18.31116858 18.19334904 38.82414269 41.07205739 594.8150978 600.5759412 15.02226992 2.650197149
14.47792383 13.57147159 36.90641115 38.34974843 231.711603 260.1294286 51.93236167 74.81814792
11.34163266 9.911518419 32.32434433 32.88605894 977.0855286 1068.536828 105.5890995 94.36065091
9.599248681 7.925493348 28.81627369 28.87123784 702.2898204 793.8028251 53.05266899 52.25500242
7.856864701 5.97324131 24.73431144 24.30212618 251.0049361 314.2379737 1.069800153 0.362555933
4.023619943 1.797167907 14.1758312 12.84008187 80.57539892 125.5034469 1.382579011 0.02557381
0.887328778 -1.498036502 4.46111443 2.649323835 139.5392014 201.5842405 67.87923544 101.0160914
-0.15810161 -2.572121387 1.106688423 -0.79940889 8.654766137 0.27865583 17.69622749 5.292719456
-6.082207144 -8.428945773 -17.82007598 -19.5991213 47.855858 20.89453675 23.23313244 43.54840199
-7.127637533 -9.421975377 -28.85117504 -22.62273384 465.3668224 371.6422334 0.022853894 36.93316393
-9.915451902 -12.01061378 -28.85117504 -29.98044467 875.2454862 755.6663547 113.3974729 90.62193367
-13.40021986 -15.12482887 -37.09642949 -37.3459278 1239.024522 1120.587083 132.3321345 126.6541412
-16.53651103 -17.81211867 -42.45187257 -41.78980492 559.9607103 501.2172307 5.070930084 2.527479685

46
-21.76366297 -22.04776916 -45.56608914 -43.52875388 890.2070074 873.3343479 36.40808023 65.14501386
-23.50604695 -23.39210658 -44.64309319 -42.30590501 48.91537926 50.52214881 200.0270851 139.3793931
-28.73319889 -27.22248067 -34.73540327 -32.50457947 34.41935524 54.42779149 0.018334046 4.390787217
-29.77862928 -27.95208061 -31.32039147 -29.36493302 178.9877214 133.4505664 222.6180817 168.0894883
-33.96035083 -30.74889745 -12.23641373 -12.58818261 422.7280264 300.9842427 1.353933004 0.659047467
-37.096642 -32.71884801 8.314071647 4.625800574 1295.758235 999.7515495 88.62474498 32.78479222
Lo último a calcular, es el error por mínimos cuadrados que contiene cada polinomio, compararlo y elegir
la mejor aproximación.
Polinomio lineal:
𝐸2(𝑎0, 𝑎1) = ∑[𝑦𝑖 − (𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎0)]2
24
𝑖=1
= 10527.37935
Polinomio cuadrático:
𝐸2(𝑎0, 𝑎1, 𝑎2) = ∑[𝑦𝑖 − (𝑎2 𝑥𝑖
2
+ 𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎0)]2
24
𝑖=1
= 10412.50238
Polinomio cubico:
𝐸2(𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) = ∑[𝑦𝑖 − (𝑎3 𝑥𝑖
3
+ 𝑎2 𝑥𝑖
2
+ 𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎0)]2
24
𝑖=1
= 1278.758056
Polinomio de cuarto grado:
𝐸2(𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4) = ∑[𝑦𝑖 − (𝑎4 𝑥𝑖
4
+ 𝑎3 𝑥𝑖
3
+ 𝑎2 𝑥𝑖
2
+ 𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎0)]2
24
𝑖=1
= 1256.79893
De acuerdo a los cálculos los polinomios que tiene un error menor son P3 y P4, para hacer más claro cuál
de ellos es mejor aproximación se recomienda graficarlos.

47
Es posible observar que la diferencia entre P3 y P4 no es grande y si se considera que P4 requiere mayor
número de evaluaciones es normal considerar a P3 como la mejor aproximación.
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 5 10 15 20 25
y
P2
P1
P3
P4

48
Capítulo 3 Diferenciación e integración numérica.
Una tabla de diferencias divididas se puede utilizar para estimar los valores de las derivadas e integrales.
Ya que si Pn(x) representa una buena aproximación de f(x), también se podrá obtener un polinomio que
aproxime la derivada, f’(x), y la integral, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
,diferenciando e integrando el polinomio Pn(x),
respectivamente.
3.1 Derivación numérica
Definición:
Una tabla de diferencias divididas se puede utilizar para estimar los valores de las derivadas.
El polinomio de interpolación de grado n que se satisface en los puntos p0, p1, ..., pn es en términos de
diferencias divididas:
Si Pn(x) representa una buena aproximación de f(x), también se podría obtener un polinomio que aproxime
la derivada, f’(x), diferenciando Pn(x).
Así P’n(x) está dado por:
Por otro lado cuando los datos están igualmente espaciados, el polinomio queda escrito en términos de
s=(x-xi)/h :

49
Consideración:
Con estas fórmulas también se debe proporcionar el valor de i, el cual depende de la ubicación del valor
de x a derivar, se debe buscar que éste quede al centro de los valores empleados.
Formula de diferencia progresiva:
Si el valor de x que deseamos derivar se encuentra en los valores tabulados, la fórmula se puede simplificar
de manera significativa debido a que x = xi , s = 0 y
Así la ecuación toma la siguiente forma:
En general, con n términos, el error es O(h n
).Sin embargo el error puede estimarse mediante la regla del
término siguiente.
Diferencia centrada:
Suponiendo que se utiliza un polinomio de 2º grado que emplea los valores tabulados xi , xi+1 y xi+2 pero
evaluado para f’(xi+1) usando s = 1. La ecuación de diferencia progresiva se convierte en:
Es importante notar que se obtiene un mejor orden del error y solo se requieren dos valores de f. Por lo
que de ser posible, es recomendable utilizar diferencia centrada.
Extrapolación de Richarson:
Existe una forma para mejorar la exactitud de las estimaciones de las derivadas a partir de tablas de
valores igualmente espaciados. Esta técnica es equivalente a usar fórmulas basadas en polinomios de
grado superior sin encontrar la fórmula explícitamente.

50
Está dada por:
𝑀𝑒𝑗𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑀á𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 +
𝑀á𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 − 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜
2 𝑛 − 1
Recordar que para utilizar este método se debe calcular f’(x) o f’’(x) con diferentes tamaños de paso siendo
una h la mitad de la otra.
Ejemplo 1:
El voltaje E(t) en un circuito eléctrico obedece la ecuación 𝐸(𝑡) = 𝐿 (
𝑑𝐼
𝑑𝑥
) + 𝑅𝐼(𝑡) donde R es la resistencia,
L es la Inductancia e I es la intensidad de l corriente.
Sean L = 0.05 henrios, R = 2 ohmios y los valores de la intensidad I(t), en amperios, se muestran en la
siguiente tabla:
a) Determinar I’(1.2) y emplear este valor para determinar E(1.2).
b) Comparar la respuesta con el resultado exacto a partir de 𝐼(𝑡) = 10𝑒−
𝑡
10 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
Soluciones:
a) El dato del que se solicita la derivada se encuentra al centro de la tabla por lo que lo más recomendable
es calcular I’(1.2) mediante la fórmula de diferencia centrada, ya que aparte de ser más sencilla de
emplear proporciona un error menor. En cuanto a E(1.2), ya calculado el valor de I’(1.2), el problema
se reduce a sustituir en la formula dada. Así:
b) Sea:
𝐼′(𝑡) = 10(−𝑒−
𝑡
10
1
10
sen(2𝑡) + 2𝑒−
𝑡
10 cos(2𝑡))
Conociendo la derivada se procede a sustituir t = 1.2 y realizar la comparación:
De acuerdo a la tabla anterior el error en la aproximación de la derivada es -0.09527322, esto
indica que se obtuvo un resultado aceptable.
T 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
I(t) 8.2277 7.2428 5.9908 4.526 2.9122
I'(1.2) E(1.2)
-13.584 11.3024
I'(1.2) Error E(1.2) Error
Dif.centrada -13.584 -0.09527322 11.3024 -0.004763661
Valor exacto -13.67927322 11.2976363

51
Ejemplo 2:
Sea la función:
𝑓(𝑥) = 4𝑥𝑙𝑛(𝑥) +
cos(𝑥 − 3)
√1 + 𝑥2
a) Estimar la derivada para x = 1.5 con h = 0.1, 0.05 y 0.025 empleando las fórmulas de segundo grado
progresiva y centrada.
b) Tabular la función en el intervalo [0.5, 2.3] con intervalos de 0.1 y estimar la derivada en cada punto;
para [0.6, 2.2] con diferencias centradas. Para x=2.3, deducir la fórmula de derivación a partir de la
fórmula regresiva de Newton.
Soluciones:
a) Como primer paso se deben crear las tablas de diferencias de Newton con cada h solicitada:
Sustituyendo en las formulas correspondientes (Progresiva y Centrada), se obtienen las siguientes
aproximaciones:
b) Para resolver el problema en el intervalo [0.6, 2.2] es suficiente tabular y seguir la fórmula :
h= 0.1
x f(x) ∆1 ∆2
1.4 1.867272647 0.60475594 0.0213211
1.5 2.472028588 0.62607704 0.01971672
1.6 3.098105633 0.64579376
1.7 3.743899397
h= 0.05
x f(x) ∆1 ∆2
1.45 2.166874536 0.30515405 0.00532572
1.5 2.472028588 0.31047977 0.0051175
1.55 2.782508361 0.31559727
1.6 3.098105633
h= 0.025
x f(x) ∆1 ∆2
1.475 2.318772147 0.15325644 0.00133115
1.5 2.472028588 0.15458759 0.0013046
1.525 2.626616176 0.15589218
1.55 2.782508361
h
f’(1.5)
Progresiva
f’(1.5)
Centrada
0.1 6.16218684 6.15416493
0.05 6.15842046 6.15633825
0.025 6.15741156 6.15688059

52
𝑓′(𝑥𝑖+1) ≈
1
2ℎ
(𝑓𝑖+2 − 𝑓𝑖)
Siendo las derivadas en cada punto las siguientes:
x f(x) f'(x)
0.5 -2.10285899
0.6 -1.85829139 2.79167284
0.7 -1.54452443 3.4234493
0.8 -1.17360153 3.94988708
0.9 -0.75454701 4.3967064
1 -0.29426025 4.78221853
1.1 0.201896695 5.11976243
1.2 0.729692236 5.41919803
1.3 1.285736301 5.68790206
1.4 1.867272647 5.93146144
1.5 2.472028588 6.15416493
1.6 3.098105633 6.35935404
1.7 3.743899397 6.54967418
1.8 4.408040469 6.72725457
1.9 5.08935031 6.89383756
2 5.786807981 7.05087192
2.1 6.499524695 7.19958039
2.2 7.226724059 7.34100894
2.3 7.967726482
Para obtener f’(2.3) primero se debe deducir la fórmula que se utilizara a partir de la formula regresiva de
Newton.
Sea:
(1)
Desarrollando (1):
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥 𝑛) + s∇𝑓(𝑥 𝑛) + (𝑠2
+ 𝑠)
∇2
𝑓(𝑥 𝑛)
2
+ (𝑠3
+ 3𝑠2
+ 2𝑠)
∇3
𝑓(𝑥 𝑛)
6
+ (𝑠4
+ 6𝑠3
+ 11𝑠2
+ 6𝑠)
∇4
𝑓(𝑥 𝑛)
24
+ ⋯ + (𝑠3
+ 3𝑠2
+ 2𝑠)(𝑠
+ 3) …
(s + n − 1)∇ 𝑛
𝑓(𝑥 𝑛)
𝑛!

53
Como 𝑠 =
𝑥−𝑥 𝑛
ℎ
y
𝑑𝑠
𝑑𝑥
=
1
ℎ
, entonces
𝑑𝑃(𝑠)
𝑑𝑠
∙
𝑑𝑠
𝑑𝑥
= 𝑃′(𝑥)
Haciendo n=4
𝑃4
′(𝑥)
= ∇𝑓(𝑥 𝑛) + (2𝑠 + 1)
∇2
𝑓(𝑥 𝑛)
2
+ (3𝑠2
+ 6𝑠 + 2)
∇3
𝑓(𝑥 𝑛)
6
+ (4𝑠3
+ 18𝑠2
+ 22𝑠 + 6)
∇3
𝑓(𝑥 𝑛)
24
Si x=xn y s=0 entonces:
𝑃𝑛
′
(𝑥) =
1
ℎ
[∇𝑓𝑛 +
1
2
∇2
𝑓𝑛 +
1
3
∇3
𝑓𝑛 +
1
4
∇4
𝑓𝑛]
Consecuentemente, en general:
𝑃𝑛
′
(𝑥 𝑛) =
1
ℎ
∑
1
𝑗
∇ 𝑗
𝑓𝑛
𝑛
𝑗=1
Ya conociendo la metodología a seguir, resta obtener la tabla de diferencias de Newton y aplicar la
formula; al ser regresiva los valores a utilizar son los marcados en color amarillo.
Por lo tanto :
x f(x) ∆f1 ∆f2 ∆f3 ∆f4 ∆f5 ∆f6
0.5 -2.10285899 0.2445676 0.06919936 -0.01204343 0.00301912 -0.00089419 0.0003066
0.6 -1.85829139 0.31376696 0.05715593 -0.00902431 0.00212493 -0.0005876 0.00018074
0.7 -1.54452443 0.3709229 0.04813162 -0.00689938 0.00153733 -0.00040686 0.00011791
0.8 -1.17360153 0.41905452 0.04123224 -0.00536206 0.00113047 -0.00028895 8.1267E-05
0.9 -0.75454701 0.46028676 0.03587018 -0.00423159 0.00084152 -0.00020768 5.7406E-05
1 -0.29426025 0.49615695 0.0316386 -0.00339007 0.00063383 -0.00015028 4.0924E-05
1.1 0.20189669 0.52779554 0.02824852 -0.00275624 0.00048355 -0.00010935 2.9263E-05
1.2 0.72969224 0.55604406 0.02549228 -0.00227269 0.0003742 -8.0092E-05 2.0956E-05
1.3 1.2857363 0.58153635 0.02321959 -0.00189849 0.00029411 -5.9135E-05 1.5037E-05
1.4 1.86727265 0.60475594 0.0213211 -0.00160438 0.00023497 -4.4098E-05 1.0824E-05
1.5 2.47202859 0.62607704 0.01971672 -0.00136941 0.00019087 -3.3274E-05 7.8261E-06
1.6 3.09810563 0.64579376 0.01834731 -0.00117854 0.0001576 -2.5448E-05 5.6903E-06
1.7 3.7438994 0.66414107 0.01716877 -0.00102094 0.00013215 -1.9757E-05 4.1646E-06
1.8 4.40804047 0.68130984 0.01614783 -0.00088879 0.00011239 -1.5593E-05
1.9 5.08935031 0.69745767 0.01525904 -0.00077639 9.6802E-05
2 5.78680798 0.71271671 0.01448265 -0.00067959
2.1 6.49952469 0.72719936 0.01380306
2.2 7.22672406 0.74100242
2.3 7.96772648

54
Ejemplo 3:
Sea 𝑓(𝑥) =
3ln(𝑥3+2)
tan(𝑥+1)
estimar f’(2.3) y f’’(2.3) alterando el valor de h y realizando extrapolaciones.
Como las aproximaciones mejoran conforme h disminuye se utilizara h= 0.005, 0.0025 y 0.00125 para
calcular por diferencia centrada la primera y segunda derivada.
h= 0.005
x f(x)
2.295 51.32466163
2.3 49.78377244
2.305 48.33612459
Quedando las extrapolaciones de la siguiente manera:
Extrapolación f'(2.3)
h f'(2.3)
Extrap. 1er
orden
Extrap.
2do
orden
0.005 -298.853703 -298.5591288 -298.5592022
0.0025 -298.632772 -298.5591976
0.00125 -298.577591
Extrapolación f''(2.3)
h f''(2.3)
Extrap. 1er
orden
Extrap.
2do
orden
0.005 3729.65402 3725.934827 3725.935754
0.0025 3726.86463 3725.935696
0.00125 3726.16793
f'(2.3) = 7.47701623
h= 0.0025
x f(x)
2.2975 50.5420008
2.3 49.7837724
2.3025 49.048837
h= 0.00125
x f(x)
2.29875 50.15990549
2.3 49.78377244
2.30125 49.41346152

55
Notas:
Al ser el tamaño de h pequeño, las extrapolaciones convergen en 6 (f’(x)) y 7 (f’’(x)) cifras
significativas, lo que indica un error muy pequeño.
Observaciones:
 Si el polinomio de interpolación ajusta de manera exacta, entonces su derivada también lo hará.
 Los resultados de la fórmula de diferencias progresivas tiene errores mucho más grandes que los
que se obtienen con la fórmula de diferencia centrada.
3.2 Reglas de Integración (Newton-Cotes)
Descripción:
La estrategia usual de desarrollo de fórmulas de integración numérica es similar a las de diferenciación
numérica. Se hace pasar un polinomio a través de puntos definidos por una función, entonces se integra
esta aproximación polinomial. Esto permite integrar una función conocida solo como una tabla de
valores. Cuando los valores están igualmente espaciados, las fórmulas progresivas de Newton son un
punto conveniente para empezar.
Regla del trapecio:
La primera de las fórmulas de Newton-Cotes está basada en aproximar f(x) sobre (x0, x1) mediante una
línea recta, de ahí el nombre de “regla del trapecio”.
Este método puede considerarse como una adaptación del planeamiento de la integral definida como una
suma. Al evaluar ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
,subdividiendo el intervalo de [a,b] en n subintervalos.
El área bajo la curva en cada subintervalo es aproximada por el trapecio formado al sustituir la curva por
su secante. Entonces, la integral es aproximada por la suma de todas las áreas trapezoidales.
Los intervalos no tienen que ser igual de anchos, pero la fórmula es más simple si esto sucede.
Sabiendo que la regla del trapecio está dada por:
Sea h= ∆x . Dado que el área de un trapecio es el promedio de la altura y las bases, para casa subintervalo,
entonces si se desea integrar ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
,el intervalo [a,b] se divide en n subintervalos de tamaño h, así:

56
A esta última se le conoce como “Regla del trapecio compuesta”.
El error de la Regla del trapecio es:
Y es posible suponer que la regla del trapecio compuesta también tiene un error de tercer orden, sin
embargo este error únicamente es el “error local”, es decir en un solo intervalo, y la Regla normalmente
se aplica a una serie de subintervalos para obtener la integral de un intervalo grande, por consiguiente
nuestro interés radica en el “error global”.
El desarrollo de la fórmula para el error global de la regla del trapecio, consiste en la suma de los errores
locales dada por:
Donde cada uno de los valores εi se encuentra en los n subintervalos sucesivos. Si se supone f’’(x) es
continua en (a, b), existen algunos valores de x en (a, b) – sean x = ε – en los cuales el valor de la suma en
la integral es igual a nf”(ε). Dado que nh = b – a, el error global se convierte en:
Disminuyendo el orden en 1.
Regla de Simpson 1/3:
La fórmula de 2º grado de Newton – Cotes integra un polinomio cuadrático sobre dos intervalos del mismo
ancho (a estos intervalos se les suele llamar paneles).
Y tiene la siguiente forma explícita:
La fórmula compuesta que se aplica a una subdivisión del intervalo de integración en n paneles (con n par)
es:

57
Observaciones:
 La regla de Simpson 1/3 también se puede aplicar a valores tabulados (cuando no se conoce la
función). Si el número de intervalos de la tabla no fuera par, se puede hacer un subintervalo en el
intervalo final o algún otro y aplicar la regla del trapecio y el resto con la Regla de Simpson 1/3.
 De igual manera que en la regla del trapecio el error global disminuye en uno el orden del error
local.
Regla de Simpson 3/8:
La regla compuesta basada en un polinomio de 4 puntos o cúbico se conoce como Simpson 3/8.
Partiendo de la ecuación:
Se aplica a un conjunto de subintervalos, cuyo valor para n es múltiplo de 3, a partir de la siguiente formula:
Nota:
Se aplica igual que la regla de Simpson 1/3. Si la función es conocida se divide el intervalo de integración
en n paneles donde n debe ser divisible entre 3. De no conocer la función resolver los intervalos restantes
por Simpson 1/3 o la Regla del Trapecio.

58
Ejemplo:
El cuerpo de revolución que se muestra en la figura, se
obtiene de girar la curva dada por: 𝑦 = 1 + (
𝑥
2
)
2
cuando 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 alrededor del eje x. Calcular el
volumen.
Como en el ejercicio no se menciona algún método en especificó, con fines de practica y aprendizaje se
aproximará la integral por la Regla del trapecio, Simpson 1/3 y Simpson 3/8 (combinada), de igual forma
se cambiara el tamaño de h, para ver la influencia de ello en el resultado.
 Regla del trapecio.
Con h=0.125, la tabulación de la función 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
(que dará el volumen del sólido de
revolución) queda la siguiente manera:
i x f(x)
0 0 3.141592654
1 0.125 3.166184283
2 0.25 3.240534414
3 0.375 3.366368776
4 0.5 3.546563582
5 0.625 3.785145531
6 0.75 4.087291809
7 0.875 4.459330087
8 1 4.908738521
9 1.125 5.444145753
10 1.25 6.07533091
11 1.375 6.813223606
12 1.5 7.669903939
13 1.625 8.658602494
14 1.75 9.79370034
15 1.875 11.09072903
16 2 12.56637061

59
Así:
∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
2
0
≈ 11.74497184
Con h=0625 los cálculos requeridos son:
i x f(x) Simpson 1/3
0 0 3.141592654
1 0.0625 3.147731573 12.59092629
2 0.125 3.166184283 6.332368566
3 0.1875 3.197058643 12.78823457
4 0.25 3.240534414 6.481068829
5 0.3125 3.296863268 13.18745307
6 0.375 3.366368776 6.732737552
7 0.4375 3.449446419 13.79778568
8 0.5 3.546563582 7.093127163
9 0.5625 3.658259554 14.63303822
10 0.625 3.785145531 7.570291062
11 0.6875 3.927904614 15.71161846
12 0.75 4.087291809 8.174583619
13 0.8125 4.264134028 17.05653611
14 0.875 4.459330087 8.918660175
15 0.9375 4.673850709 18.69540284
16 1 4.908738521 9.817477042
17 1.0625 5.165108056 20.66043223
18 1.125 5.444145753 10.88829151
19 1.1875 5.747109955 22.98843982
20 1.25 6.07533091 12.15066182
21 1.3125 6.430210774 25.7208431
22 1.375 6.813223606 13.62644721
23 1.4375 7.225915371 28.90366148
24 1.5 7.669903939 15.33980788
25 1.5625 8.146879087 32.58751635
26 1.625 8.658602494 17.31720499

60
27 1.6875 9.206907748 36.82763099
28 1.75 9.79370034 19.58740068
29 1.8125 10.42095767 41.68383067
30 1.875 11.09072903 22.18145807
31 1.9375 11.80513564 47.22054258
32 2 12.56637061
Con ello:
∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
2
0
≈ 11.73270299
 Regla Simpson 1/3:
Sea h=0.125
Para realizar la suma necesaria y obtener el volumen del sólido, se hicieron las
multiplicaciones (por dos o pos cuatro) validando con una sentencia lógica si i es par o
impar y se colocaron en la columna “Simpson 1/3”.
Por lo tanto:
∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
2
0
≈ 11.72862536
0 0 3.141592654
1 0.125 3.166184283 12.66473713
2 0.25 3.240534414 6.481068829
3 0.375 3.366368776 13.4654751
4 0.5 3.546563582 7.093127163
5 0.625 3.785145531 15.14058212
6 0.75 4.087291809 8.174583619
7 0.875 4.459330087 17.83732035
8 1 4.908738521 9.817477042
9 1.125 5.444145753 21.77658301
10 1.25 6.07533091 12.15066182
11 1.375 6.813223606 27.25289443
12 1.5 7.669903939 15.33980788
13 1.625 8.658602494 34.63440998
14 1.75 9.79370034 19.58740068
15 1.875 11.09072903 44.36291613
16 2 12.56637061

61
Si h=0.0625:
0 0 3.141592654
1 0.0625 3.147731573 12.59092629
2 0.125 3.166184283 6.332368566
3 0.1875 3.197058643 12.78823457
4 0.25 3.240534414 6.481068829
5 0.3125 3.296863268 13.18745307
6 0.375 3.366368776 6.732737552
7 0.4375 3.449446419 13.79778568
8 0.5 3.546563582 7.093127163
9 0.5625 3.658259554 14.63303822
10 0.625 3.785145531 7.570291062
11 0.6875 3.927904614 15.71161846
12 0.75 4.087291809 8.174583619
13 0.8125 4.264134028 17.05653611
14 0.875 4.459330087 8.918660175
15 0.9375 4.673850709 18.69540284
16 1 4.908738521 9.817477042
17 1.0625 5.165108056 20.66043223
18 1.125 5.444145753 10.88829151
19 1.1875 5.747109955 22.98843982
20 1.25 6.07533091 12.15066182
21 1.3125 6.430210774 25.7208431
22 1.375 6.813223606 13.62644721
23 1.4375 7.225915371 28.90366148
24 1.5 7.669903939 15.33980788
25 1.5625 8.146879087 32.58751635
26 1.625 8.658602494 17.31720499
27 1.6875 9.206907748 36.82763099
28 1.75 9.79370034 19.58740068
29 1.8125 10.42095767 41.68383067
30 1.875 11.09072903 22.18145807
31 1.9375 11.80513564 47.22054258
32 2 12.56637061
Entonces:
∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
2
0
≈ 11.72861337

62
 Regla Simpson 3/8:
Sea h=0.125:
Para aplicar dicha regla i debería ser un numero múltiplo de 3, como no es el caso se tomara hasta
i=15 y al dato restante se le aplicara la Regla del trapecio, ejemplificando así la combinación de las
reglas vistas en este capítulo.
Por consiguiente el volumen del solido de revolución está dado por:
∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
1.875
0
+ ∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
2
1.875
De igual forma se colocó en una columna extra la información de las multiplicaciones realizadas
(f(x) por 2 o por 3 según sea el caso). De este modo:
∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
1.875
0
≈ 10.25202204
0 0 3.141592654
1 0.125 3.166184283 9.498552849
2 0.25 3.240534414 9.721603243
3 0.375 3.366368776 6.732737552
4 0.5 3.546563582 10.63969074
5 0.625 3.785145531 11.35543659
6 0.75 4.087291809 8.174583619
7 0.875 4.459330087 13.37799026
8 1 4.908738521 14.72621556
9 1.125 5.444145753 10.88829151
10 1.25 6.07533091 18.22599273
11 1.375 6.813223606 20.43967082
12 1.5 7.669903939 15.33980788
13 1.625 8.658602494 25.97580748
14 1.75 9.79370034 29.38110102
15 1.875 11.09072903
16 2 12.56637061

63
∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
2
1.875
≈ 1.478568728
∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
1.875
0
+ ∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
2
1.875
≈ 11.73059077
Sea h=0.0625:
En este caso la combinación se realizara entre Simpson 3/8 hasta i =30 y Simpson 1/3 en los datos
restantes.
0 0 3.141592654
1 0.0625 3.147731573 9.443194718
2 0.125 3.166184283 9.498552849
3 0.1875 3.197058643 6.394117285
4 0.25 3.240534414 9.721603243
5 0.3125 3.296863268 9.890589803
6 0.375 3.366368776 6.732737552
7 0.4375 3.449446419 10.34833926
8 0.5 3.546563582 10.63969074
9 0.5625 3.658259554 7.316519108
10 0.625 3.785145531 11.35543659
11 0.6875 3.927904614 11.78371384
12 0.75 4.087291809 8.174583619
13 0.8125 4.264134028 12.79240208
14 0.875 4.459330087 13.37799026
15 0.9375 4.673850709 9.347701418
16 1 4.908738521 14.72621556
17 1.0625 5.165108056 15.49532417
18 1.125 5.444145753 10.88829151
19 1.1875 5.747109955 17.24132986
20 1.25 6.07533091 18.22599273
21 1.3125 6.430210774 12.86042155
22 1.375 6.813223606 20.43967082
23 1.4375 7.225915371 21.67774611
24 1.5 7.669903939 15.33980788
25 1.5625 8.146879087 24.44063726
26 1.625 8.658602494 25.97580748
27 1.6875 9.206907748 18.4138155
28 1.75 9.79370034 29.38110102
29 1.8125 10.42095767 31.262873

64
30 1.875 11.09072903
31 1.9375 11.80513564
32 2 12.56637061
Así:
∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
1.875
0
≈ 10.25199676
∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
2
1.875
≈ 1.476617546
∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
1.875
0
+ ∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
2
1.875
≈ 11.72861431
Lo último a realizar será el análisis y comparación de resultados, para ello es necesario conocer el valor
exacto de la integral:
∫ 𝜋(1 + (
𝑥
2
)
2
)2
2
0
= 11.72861257
En la siguiente tabla se muestran los errores de cada aproximación:
h Trapecio Simpson 1/3 Combinaciones Simpson 3/8
0.125 -0.016359269 -1.27866E-05 (Trapecio) -0.001978199
0.0625 -0.004090419 -8.0235E-07 (Simpson 1/3) -1.73862E-06
Según lo anterior el error disminuye con forme disminuye h, y de acuerdo a lo mencionado las mejores
aproximaciones las proporciona Simpson 1/3.
Observaciones:
El error global de las reglas de Simpson es 5, sin embargo Simpson 1/3 proporciona las mejores
aproximaciones.
De ser posible, evitar el uso de la regla del trapecio debido a que proporciona errores grandes.
La mejor metodología para usar las fórmulas de Newton-Cotes es combinándolas.

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