Este documento resume los tipos básicos de ecuaciones y cómo resolverlas. Explica ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, ecuaciones ya factorizadas, ecuaciones de grado superior a dos y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.
Esta presentación comienza en un nivel básico de sistemas de ecuaciones, dando las definiciones oportunas, representación gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, sus métodos de resolución y termina en un nivel avanzado, dando sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas. Hay además multitud de ejercicios resueltos. Finalmente hay una pequeña colección de problemas, comenzando con problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, problemas de sistemas no lineales y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Incluye además, un pequeño apartado de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Esta presentación comienza en un nivel básico de sistemas de ecuaciones, dando las definiciones oportunas, representación gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, sus métodos de resolución y termina en un nivel avanzado, dando sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas. Hay además multitud de ejercicios resueltos. Finalmente hay una pequeña colección de problemas, comenzando con problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, problemas de sistemas no lineales y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Incluye además, un pequeño apartado de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
¿Qué son las ecuaciones? Esta presentación recorre desde los conceptos mas básicos hasta las ecuaciones exponenciales y logarítmicas, además de una aplicación a la resolución de problemas. Ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones polinómicas reducibles a ecuaciones de segundo grado, ecuaciones polinómicas en general, ecuaciones racionales e irracionales y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Problemas numéricos, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles, problemas con figuras geométricas y problemas de calcular el tiempo en el interés compuesto.
Lenguaje Algebraico, es la expresión literal y simbólica de las operaciones algebraicas, que desarrollan el pensamiento funcional, como la forma de analizar los elementos aritméticos que conforman las expresiones matemáticas.
Las expresiones algebraicas son combinaciones de números y letras unidos por las operaciones fundamentales del álgebra, dando como resultado monomios y polinomios.
El presente documento recopila la comprensión de estos conceptos y sus procesos matemáticos mediante el desarrollo de ejercicios que así lo evidencian.
Nivel: 4º ESO o 1º de Bachillerato
Contenido: Inecuaciones de primer grado y una incógnita, inecuaciones polinomicas de grado mayor que 1 y una incógnita, inecuaciones racionales, inecuaciones lineales de 2 incógnitas y sistemas de inecuaciones.
Ponencia en I SEMINARIO SOBRE LA APLICABILIDAD DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSITARIA. 3 de junio de 2024. Facultad de Estudios Sociales y Trabajo, Universidad de Málaga.
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
3. ECUACIONES YA FACTORIZADAS:
Para despejareste tipode ecuacionesbastaconigualarcada uno de losmiembrosacero y
resolvercadauna de lasecuacionesresultantes.Ejemplo:
2𝑥( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2) = 0
2𝑥 = 0 → 𝑥1 = 0
𝑥 − 3 = 0 → 𝑥2 = 3
𝑥 + 1 = 0 → 𝑥3 = −1
𝑥 − 2 = 0 → 𝑥4 = 2
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS:
Bicuadradas:
Las ecuacionesbicuadradassondel tipo: 𝒂𝒙 𝟒 + 𝒃𝒙 𝟐 + 𝒄 = 𝟎
Para resolver:
1. Hacer cambiovariable; 𝒙 𝟐 = 𝒕 𝑦 𝒙 𝟒 = 𝒕 𝟐 Porloque nosquedauna ecuaciónde
segundogrado.
2. Despejarlaecuaciónde segundogrado,cont como incognita
3. Para obtenerlosvaloresde x,hacerraíz cuadradaa cada uno de losvaloresde t
obtenidos.
Ejemplo
𝑥4 − 10𝑥2 + 9 = 0
Cambiovariable: 𝑥2 = 𝑡 ; 𝑥4 = 𝑡2
𝑡2 + 10𝑡 + 9 = 0
Resolver: 𝑡 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑡 =
10±√(−10)2−4∙1∙9
2∙1
𝑡 =
10 ± 8
2
{
𝑡1 =
10 + 8
2
𝑡1 = 9
𝑡2 =
10 − 8
2
𝑡2 = 1
Sacar los valoresde x,sustituyendo ten 𝑥2 = 𝑡
{
𝑥2 = 9 𝑥 = ±√9 𝑥 = ±3
𝑥2 = 1 𝑥 = ±√1 𝑥 = ±1
4. Ecuaciones de grado superior a dos y no bicuadradas
La resolución de estas ecuaciones consiste en factorizar el polinomio, dejándolo como
ecuacionesde primer y/o de segundo grado. Hecho esto, basta igualar a cero cada uno de los
factores y resolver las ecuaciones resultantes para hallar los resultados de la ecuación.
Pasos para factorizar:
1. Ver si hay factor común de x
2. Si no tenemos factor común x o aun habiendo nos sigue quedando una ecuación de
grado mayor de dos, hay que factorizar por Ruffini* hasta conseguir una ecuación de
segundo grado.
3. Escribir el poliniomio factorizado, para ello debemos cambiar el signo a las raíces
obtenidas.Porejemplo,si lasraícesdel polinomioson -2y 1, factorizadolopondremos
como (x+2)(x-1).
EJEMPLOS
𝑥3 + 4𝑥2 + 5𝑥 = 0
Factor común x:
𝑥 ∙ ( 𝑥2 + 4𝑥 − 5) = 0
{
𝑥1 = 0
𝑥2 + 4𝑥 − 5 = 0 {
𝑥2 = 1
𝑥3 = −5
Resolver como ecuación
segundo grado
𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
Descomponer por Ruffini,
hasta conseguir una de
segundo grado:
1 2 − 1 − 2
1 1 3 2
1 3 2 0
( 𝑥 − 1)( 𝑥2 + 3𝑥 + 2) = 0
{
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥1 = 1
𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 {
𝑥2 = −1
𝑥3 = −2
2𝑥4 + 𝑥3 − 8𝑥2 − 𝑥 + 6 = 0
Descomponer por Ruffini,
hasta conseguir una de
segundo grado:
2 1 − 8 − 1 6
1 2 3 − 5 − 6
2 3 − 5 − 6 0
-1 −2 − 1 6
2 1 − 6 0
( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1)(2𝑥2 + 𝑥 − 6)
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1
𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −1
2𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 → {
𝑥 = 3
2⁄
𝑥 = −2
5. Ecuaciones irracionales
SISTEMAS DE ECUACIONES
ECUACIONES LINEALES (De primer grado)
{
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑎2 𝑥+ 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
Donde a1, a2 b1 y b2 son números reales.
La solucióndel sistemaesunparde números (x,y) que verificalasdosecuaciones del sistema.
Para resolver estos sistemas se puede hacer de tres formas diferentes:
SUSTITUCIÓN:
o En una de la ecuaciones se despeja una
incógnita.
o La expresiónobtenida en el punto anterior la
sustituimos enla otra ecuación (Obtenemos una
ecuación de primer grado y una incognita)
o Resolver la ecuación.
o Una vez obtenido el valor de la incognita,
sustiruir ese valor enla ecuacióndel punto uno
para obtener el valor de la otra .
{
4𝑥 + 3𝑦 = 18 (1)
5𝑥 − 6𝑦 = 3 (2)
En la (1) despejamos x: 𝑥 =
13−3𝑦
4
Sustituimos este valor de x en la (2) y resolvemos:
5 (
13 − 3𝑦
4
) − 6𝑦 = 3 →
65 − 15𝑦
4
− 6𝑦 = 3 →
65 − 15𝑦
4
−
24𝑦
4
=
12
4
→ 65 − 15𝑦− 24𝑦 = 12 → 𝒚 =
𝟓𝟑
𝟑𝟗
P Sustituir el valor de yen la ecuación despejada, para obtener x:
𝑥 =
13 − 3
53
39
4
→ 𝑥 =
13 −
159
39
4
→ 𝑥 =
507 − 159
39
4
→ 𝑥 =
348
39
4
𝑥 =
348
156
→ 𝒙 =
𝟖𝟕
𝟑𝟗
IGUALACIÓN:
o En las dos ecuaciones despejamos la misma
incognita.
o Igualamos las expresiones obtenidas.
o Resolver la ecuaciónde primer gradoobtenida.
o Una vez calculado el valor de la incógnita,
sustituir en alguna de las dos ecuaciones del
punto uno, para obtener el valor de la otra
incógnita.
REDUCCIÓN:
o Tenemos que anular una de las dos incognitas,
haciendo operacionesentre ambasecuaciones.
o Para ello, multiplicamos uno o las dos
ecuacionespara que los coeficientes de x o y
sean iguales pero de signo diferente.
o Haciendola suma obtendremos una ecuaciónde
una incógnita, la resolvemos.
o Después, se calcula la otra incognita.
{
4𝑥 + 3𝑦 = 18 (1)
5𝑥 − 6𝑦 = 3 (2)
En la (1) despejamos x: 𝑥 =
13−3𝑦
4
En la (2) despejamos x: 𝑥 =
3+6𝑦
5
P Igualamos las dos ecuaciones: 𝑥 = 𝑥 →
13−3𝑦
4
=
3+6𝑦
5
Despejar: 5(13− 3𝑦) = 4(3 + 6𝑦) → 65 − 15𝑦 = 12 + 24𝑦
EKUAZIO EZ-LINEALAK:
Sistema hauetan ekuazio bat edo biak ez dira linealak. Hauek ebazteko 2. mailako ekuazioak
ebazteko erabiltzen ditugun metodoak eta sistema linealak aplikatuko ditugu.
{
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑐2
6. {
𝑎1 𝑥2 + 𝑏1 𝑦2 = 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
EBAZPENA
o Mota honetako sistemak ebazteko x edo y bakanduko ditugu ekuazio batean
(bietako errezenean).
o Bestean ordezkatuko dugu eta ekuazioa murriztu.
o Ekuazioa ebatzi.
o Amaitzeko bakandutako ekuazioan aurkitutako balioak ordezkatuko ditugu
beste ezezaguna kalkulatzeko.
Expresiones algebraicas más comunes