Este documento describe los métodos iterativos de Gauss-Jacobi y Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Ambos métodos comienzan con valores iniciales y generan sucesivas aproximaciones hasta que la solución converge de acuerdo con un criterio de error. El método de Gauss-Seidel converge más rápido que Gauss-Jacobi porque actualiza las variables con los valores más recientes en cada paso.

1. UNIDAD III. APROXIMACIÓN A LA SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODOS ITERATIVOS - MÉTODO DE GAUSS-JACOBI Y GAUSS-SEIDEL
Introducción
Los métodos de eliminación directa se pueden usar para resolver sistemas de hasta 50 ecuaciones lineales simultáneas. Esta cantidad
pueden aumentarse si el sistema esta bien condicionado, si se emplea la estrategia pivotal o si la matriz es dispersa. Sin embargo, debido
a los errores de redondeo, los métodos de eliminación algunas veces son inadecuados para sistemas muy grandes.
En este tipo de problemas, se pueden usar los métodos iterativos o de aproximación con ventajas, ya que los errores de redondeo son
pequeños y se deben únicamente a la iteración última. No obstante, los métodod iterativos convergen solamente bajo ciertas condiciones.
Los métodos iterativos son particularmente útiles cuando el sistema de ecuaciones es grande y la mayor parte de los coeficientes son cero.
La idea básica que encierran los métodos iterativos es, en esencia, la misma del método de iteración de punto fijo, donde la ecuación
f(x) = 0 se reordenó para dar una fórmula de iteración:
Xk+1 = g(k)
Para encontrar un cero de f(x). Mientras que aquí hay n ecuaciones:
En lugar de una.
MÉTODO DE GAUSS - JACOBI
El método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo A𝐱=𝐛. El algoritmo toma su
nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.
Paso 1:
La estructura de las ecuaciones implica un reordenamiento. Tanto para el método de Gauss-Jacobi como el método de Gauss Seidel su
criterio de convergencia lo conforman los criterios de la diagonal dominante, mismo que posee dos condiciones:
1. Condición necesaria: Que el elemento ubicado en la diagonal principal de cada ecuación sea mayor en valor absoluto que el resto de
los elementos de la misma ecuación. |aii| > |aij |
2. Condición suficiente: Que el elemento ubicado en la diagonal principal de cada ecuación sea mayor en valor absoluto que la suma
del resto de los elementos de la misma ecuación.
La convergencia se verifica usando el criterio del error relativo porcentual:
para todas la i, donde j y j-1 son la iteraciones actuales y previas, respectivamente.
Paso 2:
Suponga que se da un sistema de n ecuaciones: [A] [X] = {b} que comprende un conjunto de ecuaciones de 3x3.
El método consiste en despejar x1 de la primera ecuación, x2 de la segunda y, en general xi de la i-ésima ecuación de la forma siguiente:
Ahora, se puede empezar el proceso de solución iniciando con la primera iteración al escoger valores iniciales para las x. Una forma simple
para obtener los valores iniciales es suponer que todos son cero. Estos ceros se sustituyen en todas las ecuaciones (x1 = 0, x2 = 0 y x3 = 0),
de esta forma encontramos los valores x1 = b1/a11, x2 = b2/a22 y x3 = b3/a33. Después se regresa a la primera ecuación y se repite el
procedimiento encontrando los nuevos valores x1, x2 y x3, hasta que la solución converja suficientemente cerca a los valores verdaderos.

2. Ejemplo práctico:
Resolver el sistema de ecuaciones siguientes:
x1 + x2 + 10 x3 = 12
x1 + 10x2 + x3 = 12
10x1 + x2 + x3 = 12
utilizando el método de Gauss-Jacobi con una precisión de Es = 0.0001.
Paso 1:
Se reordena el sistema para que cumpla con el criterio de diagonal dominante.
10x1 + x2 + x3 = 12
x1 + 10x2 + x3 = 12
x1 + x2 + 10 x3 = 12
a11: /a11=10/ = 10 > /a12=1/ + /a13=1/ = 2 Ok
a22: /a22=10/ = 10 > /a21=1/ + /a23=1/ = 2 Ok
a33: /a33=10/ = 10 > /a31=1/ + /a32=1/ = 2 Ok
Paso 2:
Despejamos de la primera ecuación x1, de la segunda x2 y de la tercera x3.
12 - x2 - x3
10
12 - x1 - x3
10
12 - x1 - x2
10
Paso 3: Primera Iteración x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0
12 - 0 - 0
10
12 - 0 - 0
10
12 - 0 - 0
10
Paso 4: Segunda Iteración x1 = 1.2; x2 = 1.2; x3 = 1.2
12 - 1.2 - 1.2
10
12 - 1.2 - 1.2
10
12 - 1.2 - 1.2
10
Paso 5: Tercera Iteración x1 = 0.76; x2 = 0.76; x3 = 0.76
12 - 0.76 - 0.76
10
12 - 0.76 - 0.76
10
12 - 0.76 - 0.76
10
Paso 6: Tabla con las respectivas iteraciones
N x1 x2 x3 Er% x1
0 0 0 0 100 /(1-0)/*100 = 100%
1 1.2 1.2 1.2 20 x2
2 0.96 0.96 0.96 4 /(1-0)/*100 = 100%
3 1.008 1.008 1.008 0.8 x3
4 0.9984 0.9984 0.9984 0.16 /(1-0)/*100 = 100%
5 1.0003 1.0003 1.0003 0.03
6 0.9999 0.9999 0.9999 0.01
7 1.0000 1.0000 1.0000 0
Solución: x1 = 1; x2 = 1; x3 = 1.
x1 = = 1.008
x2 = = 1.008
x3 = = 1.008
x1 = = 0.76
x2 = = 0.76
x3 = = 0.76
x1 = = 1.2
x2 = = 1.2
x3 = = 1.2
x1 =
x2 =
x3 =

3. MÉTODO DE GAUSS - SEIDEL
El método de Gauss-Seidel es una forma más elaborado del método de Gauss-Jacobi. El método de Jacobi se transforma en el Gauss-Seidel
si en cada iteración se evaluan los valores de xi que han sido calculados en los pasos anteriores. De esta forma se acelera la convergencia
Paso 1:
La estructura de las ecuaciones implica un reordenamiento. Se mantiene el criterio de convergencia de la diagonal dominante, aplicado en el
método anterior, el cuál posee dos condiciones:
1. Condición necesaria: Que el elemento ubicado en la diagonal principal de cada ecuación sea mayor en valor absoluto que el resto de
los elementos de la misma ecuación. |aii| > |aij |
2. Condición suficiente: Que el elemento ubicado en la diagonal principal de cada ecuación sea mayor en valor absoluto que la suma
del resto de los elementos de la misma ecuación.
La convergencia se verifica usando el criterio del error relativo porcentual:
para todas la i, donde j y j-1 son la iteraciones actuales y previas, respectivamente.
Paso 2:
Suponga que se da un sistema de n ecuaciones: [A] [X] = {b} que comprende un conjunto de ecuaciones de 3x3.
El método consiste en despejar x1 de la primera ecuación, x2 de la segunda y, en general xi de la i-ésima ecuación de la forma siguiente:
Ahora, se puede empezar el proceso de solución al escoger valores iniciales para las x. Una forma simple para obtener los valores iniciales es
suponer que todos son cero. Estos ceros se sustituyen en la primera ecuación, la cual se utiliza para calcular un nuevo valor x1 = b1/a11.
Después, se sustituye en la segunda ecuación este nuevo valor de x1 junto con el valor previo x3 = 0, y se calcula el nuevo valor de x2. Este
proceso se repite en la tercera ecuación considerando los valores de x1 y x2 recientemente calculados, para calcular el nuevo valor de x3.
Después se regresa a la primera ecuación y se repite el procedimiento encontrando los nuevos valores x1, x2 y x3, hasta que la solución
converja suficientemente cerca a los valores verdaderos.
Ejemplo práctico:
Resolver el sistema de ecuaciones siguientes:
-6 x1 + 0 x2 + 12 x3 = 60
4 x1 - x2 + x3 = - 2
6 x1 + 8 x2 + 0 x3 = 44
utilizando el método de Gauss-Seidel con una precisión de Es = 0.000001. 0.0001%
Paso 1:
Se reordena el sistema para que cumpla con el criterio de diagonal dominante.
4 x1 - x2 - x3 = - 2
6 x1 + 8 x2 + 0 x3 = 44
-6 x1 + 0 x2 + 12 x3 = 60
a11: /a11=4/ = 4 > /a12=-1/ + /a13=1/ = 2 Ok
a22: /a22=8/ = 8 > /a21=6/ + /a23=0/ = 6 Ok
a33: /a33=12/ = 12 > /a31=-6/ + /a32=0/ = 6 Ok
Paso 2:
Despejamos de la primera ecuación x1, de la segunda x2 y de la tercera x3.
- 2 + x2 + x3
4
44 - 6 x1 - 0 x3
8
60 + 6 x1 - 0 x2
12
x1 =
x2 =
x3 =

4. Paso 3: Primera Iteración Si inicia con x2 = 0; x3 = 0
- 2 + 0 + 0
4
44 - 6(0.5) - 0*0
8
60 + 6(0.5) - 0*(5.875)
12
Paso 4: Segunda Iteración x2 = 5.875; x3 = 4.75
- 2 + 5.875 + 4.75
4
44 - 6(2.15625) - 0*4.75
8
60 + 6(2.15625) - 0*(3.88281)
12
Paso 5: Tercera Iteración x2 = 3.88281; x3 = 6.07813
- 2 + 3.88281 + 6.07813
4
44 - 6(1.99024) - 0*6.07813
8
60 + 6(1.99024) - 0*(4.00732)
12
Paso 6: Tabla con las respectivas iteraciones
N x1 Er% x2 Er% x3 Er% x1
0 0 100.00 0 100.00 0 100 /(2-0)/2/*100
1 -0.5 125.00 5.875 46.88 4.75 20.83333333 x2
2 2.15625 7.81 3.88281 2.93 6.07813 1.302166667 /(4-0)/4/*100
3 1.99024 0.49 4.00732 0.18 5.99512 0.081333333 x3
4 2.00061 0.03 3.79954 5.01 6.00031 0.005166667 /(6-0)/6/*100
5 1.99996 0.00 4.00003 0.00 5.99998 0.000333333
6 2.00000 0 4.00000 0 6.00000 0
Solución: x1 = 2; x2 = 4; x3 = 6.
x1 = = 1.99024
x2 = =4.00732
x3 = = 5.99512
x1 = = 2.15625
x2 = = 3.88281
x3 = = 6.07813
x1 = = -0.5
x2 = = 5.875
x3 = = 4.75